信息與通信第四章：根軌跡法課件

第四章：根軌跡法第四章：根軌跡法1教學(xué)目的對(duì)于低階控制系統(tǒng)，我們可以用求解微分方程方法來分析控制系統(tǒng)，而對(duì)于高階系統(tǒng)，用微分方程的方法求解就比較困難。根軌跡方法是分析和設(shè)計(jì)線性定?？刂葡到y(tǒng)的圖解方法，使用起來比較簡(jiǎn)便，因此在工程設(shè)計(jì)中獲得了廣泛應(yīng)用。通過本章內(nèi)容學(xué)習(xí)，要使學(xué)生懂得根軌跡的概念，根軌跡的作圖方法，以及根軌跡與系統(tǒng)性能之間的關(guān)系。教學(xué)目的對(duì)于低階控制系統(tǒng)，我們可以用求解微分方程方法來分2本章重點(diǎn)1、根軌跡方程或：模值條件：相角條件：本章重點(diǎn)1、根軌跡方程或：模值條件：相角條件：3本章重點(diǎn)2、根軌跡的繪制方法，八個(gè)法則3、廣義根軌跡的概念4、根軌跡與系統(tǒng)性能的關(guān)系5、幾個(gè)基本要概念根軌跡的概念：根軌跡是指開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零到無窮變化時(shí)，閉環(huán)特征根相應(yīng)在s平面上運(yùn)動(dòng)的軌跡。根軌跡增益k*與開環(huán)增益k的關(guān)系：根據(jù)對(duì)傳遞函數(shù)分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式的分解，開環(huán)傳遞函數(shù)可寫成二種不同的表達(dá)式。本章重點(diǎn)2、根軌跡的繪制方法，八個(gè)法則5、幾個(gè)基本要概念4本章重點(diǎn)尾1型：時(shí)間常數(shù)表達(dá)式首1型：零極點(diǎn)形式K*與k的關(guān)系：K*是根軌跡增益；k是開環(huán)增益本章重點(diǎn)尾1型：時(shí)間常數(shù)表達(dá)式首1型：零極點(diǎn)形式K*與k的關(guān)5本章要求1、正確理解根軌跡的概念2、掌握根軌跡繪制方法（以開環(huán)增益k為變量）3、廣義根軌跡繪制方法（以系統(tǒng)其它參數(shù)為變量）4、用根軌跡分析系統(tǒng)性能了解：零度根軌跡學(xué)時(shí)：8學(xué)時(shí)本章要求1、正確理解根軌跡的概念了解：零度根軌跡6第四章第一次課一、根軌跡的基本概念1、開環(huán)系統(tǒng)的某一參數(shù)從零變化到無窮時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的特征根在s平面上變化的軌跡。注意理解：根軌跡是由開環(huán)系統(tǒng)來作閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的軌跡一般系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)比較復(fù)雜，而開環(huán)傳遞函數(shù)的表達(dá)式相對(duì)簡(jiǎn)單，所以繪制根軌跡比較容易。2、根軌跡有常規(guī)根軌跡（以開環(huán)增益為變量參數(shù)）；廣義根軌跡（除開環(huán)增益k外，以其他參數(shù)為變量）。第四章第一次課一、根軌跡的基本概念2、根軌跡有常規(guī)根軌跡（以7第四章第一次課3、從相位條件看，有180°根軌跡，有0°根軌跡（具有正反饋系統(tǒng)）。4、根軌跡方程：幅值條件、相角條件，根軌跡上的任意一點(diǎn)都得滿足這二個(gè)條件。二、根軌跡的繪制方法，七個(gè)基本繪圖法則第四章第一次課3、從相位條件看，有180°根軌跡，有0°根軌8第四章第二次課一、繼續(xù)講繪制根軌跡的基本法則二、由根軌求閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)三、廣義根軌跡1、參數(shù)根軌跡，正確理解等效單位反饋，等效傳遞函數(shù)問題：如何解析出等效傳遞函數(shù)2、零度根軌跡第四章第二次課一、繼續(xù)講繪制根軌跡的基本法則9第四章第三次課一、零度根軌跡什么情況下產(chǎn)生零度根軌跡零度根軌跡與常規(guī)根軌跡的差別二、系統(tǒng)性能分析第四章第三次課一、零度根軌跡10第四章第四次課一、應(yīng)用MATLAB繪制根軌跡二、本章小結(jié)第四章第四次課一、應(yīng)用MATLAB繪制根軌跡11

要求解系統(tǒng)的特征根，對(duì)于高于三階的系統(tǒng)，求根比較困難，如果要研究系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)特征根的影響時(shí)，需要大量反復(fù)的計(jì)算，同時(shí)還不能直觀地看出系統(tǒng)性能隨參數(shù)變化的影響趨勢(shì)。為了避免直接求解高階方程的特征根困難，1948年，W.R.Evans根據(jù)反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)與其閉環(huán)特征方程式之間的內(nèi)在聯(lián)系，提出了一種非常實(shí)用的求取閉環(huán)特征方程式根的圖解法－根軌跡法。要求解系統(tǒng)的特征根，對(duì)于高于三階的系統(tǒng)，求根比較12

根軌跡的概念：它是開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零變化至無窮時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的特征根在s平面上變化的軌跡。

注意概念，根軌跡是通過開環(huán)系統(tǒng)來研究閉環(huán)系統(tǒng)特征根的變化。根軌跡的概念：它是開環(huán)系統(tǒng)某一參131.根軌跡概念ks(0.5s+1)ks(0.5s+1)R(s)C(s)設(shè)控制系統(tǒng)及系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如圖所示，當(dāng)k從0→∞時(shí)，求系統(tǒng)特征根的變化。1.根軌跡概念ks(0.5s+1)ks(0.5s+1)R(s14注意：K一變，一組根變；K一停，一組根停；一組根對(duì)應(yīng)同一個(gè)K；根軌跡概念

-2-10jks(0.5s+1)K:0~∞特征方程：S2+2s+2k=0特征根：s1,2=－1±√1－2kk=0時(shí)，s1=0,s2=－20＜k＜0.5時(shí)，兩個(gè)負(fù)實(shí)根k=0.5時(shí)，s1=s2=－10.5＜k＜∞時(shí)，s1,2=－1±j√2k－1演示rltool注意：K一變，一組根變；K一停，一組根停；一組根對(duì)應(yīng)同一個(gè)K152.根軌跡與系統(tǒng)性能之間的關(guān)系

有了根軌跡，就可以立即分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性:穩(wěn)定性：如果從k＝0到k＝∞，根軌跡不會(huì)越過虛軸進(jìn)入右半s平面，說明系統(tǒng)對(duì)所有的k值都是穩(wěn)定的。如果越過虛軸進(jìn)入右半s平面，此時(shí)根軌跡與虛軸交點(diǎn)處的k值就是系統(tǒng)穩(wěn)定與不穩(wěn)定的臨界增益。動(dòng)態(tài)性能：從根軌跡圖可以分析出系統(tǒng)的工作狀態(tài)，如過阻尼狀態(tài)、欠阻尼狀態(tài)……2.根軌跡與系統(tǒng)性能之間的關(guān)系有了根軌跡，就可以立即分析系16GHG(s)=KG*∏(s-piqi=1);∏(s-zifi=1)H(s)=KH*∏(s-pjhj=1)j=1∏(s-zjl)Φ(s)=∏(s-piqi=1)hj=1∏(s-pj)∏(s-zifi=1)+kG*kH*∏(s-zjl)j=1∏(s-zifi=1)∏(s-pjhj=1)*KG結(jié)論：1零點(diǎn)、2極點(diǎn)、3根軌跡增益3.根軌跡增益、閉環(huán)零極點(diǎn)與開環(huán)零極點(diǎn)的關(guān)系K*為開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益GHG(s)=KG*∏(s-piqi=1);∏(s-zif17結(jié)論：1）閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益，等于開環(huán)系統(tǒng)前向通路根軌跡增益。對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益就等于開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益。2）閉環(huán)零點(diǎn)由開環(huán)前向通路傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和反饋通路傳遞函數(shù)的極點(diǎn)所組成。對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)零點(diǎn)就是開環(huán)零點(diǎn)。3）閉環(huán)極點(diǎn)與開環(huán)零點(diǎn)、開環(huán)極點(diǎn)以及根軌跡增益k*均有關(guān)。4）根軌跡法的基本任務(wù)就是如何由已知的開環(huán)零、極點(diǎn)的分布，通過圖解的方法，求出閉環(huán)的極點(diǎn)。結(jié)論：1）閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益，等于開環(huán)系統(tǒng)前向通路根軌跡增益18

4.根軌跡方程

由于根軌跡是所有閉環(huán)極點(diǎn)的集合，而閉環(huán)極點(diǎn)又是特征方程的特征根，為了求出所有的閉環(huán)極點(diǎn)，研究一下閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程。特征方程1+GH=0或：GH＝－1

所以，只要將閉環(huán)特征方程化為根軌跡方程，就可以繪出根軌跡圖，由于GH是系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，這樣就達(dá)到了從開環(huán)傳遞函數(shù)出發(fā)，研究閉環(huán)系統(tǒng)的目的。4.根軌跡方程由于根軌跡是所有閉環(huán)極點(diǎn)的集合，而閉環(huán)極點(diǎn)19根軌跡方程特征方程1+GH=01+K*=0j=1m∏spi(-)pi開環(huán)極點(diǎn)“×”,也是常數(shù)！開環(huán)零點(diǎn)“○”,是常數(shù)！Zji=1n∏根軌跡增益K*，不是定數(shù)，從0~∞變化這種形式的特征方程就是根軌跡方程szj(-)根軌跡方程特征方程1+GH=01+K*=0j=1m∏s20根軌跡的模值條件與相角條件j=1mn1+K*=0∏∏((ss--zjpi))i=1-1∑∠(s-zj)－∑∠(s-pj)=(2k+1)π

k=0,±1,

±2,…j=1i=1mnj=1mnK*=1∏∏︱ss--zjpi︱︱︱i=1K*=mnj=1∏︱s-zj︱∏s-pi︱︱i=1相角條件:模值條件:繪制根軌跡的充要條件

確定根軌跡上某點(diǎn)對(duì)應(yīng)的K*值根軌跡的模值條件與相角條件j=1mn1+K*=0∏∏((ss21根軌跡的分支數(shù)法則一根軌跡的分支數(shù)等于特征方程的階次，即開環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)。

根軌跡的連續(xù)性與對(duì)稱性法則二根軌跡連續(xù)且對(duì)稱于實(shí)軸。4.2繪制根軌跡的基本規(guī)則根軌跡的分支數(shù)4.2繪制根軌跡的基本規(guī)則22根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)根軌跡的起點(diǎn)是指k=0時(shí)的特征根位置，根軌跡的終點(diǎn)是指時(shí)的特征根位置。根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)。此時(shí)開環(huán)極點(diǎn)就是閉環(huán)極點(diǎn)。根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)23法則三根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)，終止于開環(huán)零點(diǎn)。若n>m,則有(n-m)條根軌跡終止于[s]平面無窮遠(yuǎn)處。[信息與通信]第四章：根軌跡法課件24

根軌跡的漸近線n>m，(n-m)條根軌跡沿什么方向趨于[s]平面無窮遠(yuǎn)處。漸近線可認(rèn)為是時(shí)的根軌跡。根軌跡的漸近線n>m，(n-m)條根軌跡沿什么方向趨于[s25[信息與通信]第四章：根軌跡法課件26法則四

如果m<n,k→∞時(shí)，根軌跡有漸近線

n-m條。這些漸近線在實(shí)軸上交于一點(diǎn)，

漸近線與實(shí)軸正方向的夾角是p150例法則四如果m<n,k→∞時(shí)，根軌跡有漸近線p150例27實(shí)軸上的根軌跡

設(shè)其中是共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)?！?°-°=-D--D=-D--D--D--D=D￥-°-=°----°=-D--D--D--D=D0180180)()(

)()()()()()(,)180180)(0

)()(

)()()()(,3212322212122131211111131pszspspspszssHsGszpspspszssHsGspz有中間取非根軌跡的點(diǎn)，在（則有之間取根軌跡上的點(diǎn)與在qq實(shí)軸上的根軌跡設(shè)°=°-°=-D--D=-D--D--D-28法則五

實(shí)軸上的根軌跡：實(shí)軸上的某一區(qū)域，若其右邊開環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)，則該區(qū)域是根軌跡。法則五實(shí)軸上的根軌跡：實(shí)軸上的某一區(qū)域，若其右邊開環(huán)實(shí)29系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為代入得根軌跡若有分離點(diǎn)，表明閉環(huán)特征方程有重根，重根條件為兩式相除得法則六根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿足上述方程。系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為代入得根軌跡若有分離點(diǎn)，表明閉環(huán)特征30根軌跡與虛軸的交點(diǎn)

法則七

根軌跡與虛軸相交，說明控制系統(tǒng)有位于虛軸上的閉環(huán)極點(diǎn)，即特征方程有純虛根。

根軌跡與虛軸的交點(diǎn)法則七根軌跡與虛軸相交，說明控制系統(tǒng)31

例4-2-1負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為繪制系統(tǒng)的根軌跡。解開環(huán)極點(diǎn)為1）根軌跡的分支數(shù)等于3。2）根軌跡起點(diǎn)為（0，j0)，(-1，j0)，(-2，j0)。終點(diǎn)均為無窮遠(yuǎn)。例4-2-1負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)32

3）漸近線三條，實(shí)軸上交點(diǎn)坐標(biāo)是：漸近線與實(shí)軸正方向夾角：

4）實(shí)軸上的根軌跡（-∞，-2]段及[-1，0]段。5）求實(shí)軸上的分離點(diǎn)坐標(biāo)

3）漸近線三條，實(shí)軸上交點(diǎn)坐標(biāo)是：33求分離點(diǎn):求分離點(diǎn):34根軌跡的起始角與終止角起始角：根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的切線方向與實(shí)軸正方向的夾角，如。終止角：根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線方向與實(shí)軸正方向的夾角，如。在根軌跡上取一試驗(yàn)點(diǎn)，根軌跡的起始角與終止角起始角：根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)35起始角表達(dá)式同理可求出終止角表達(dá)式法則八

始于開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的根軌跡的起始角和止于開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的終止角按上兩式計(jì)算。起始角表達(dá)式36

法則9:

根之和：若n-m>=2，則有根據(jù)代數(shù)式方程根與系數(shù)的關(guān)系可寫出法則9:根之和：根據(jù)代數(shù)式方程根與系數(shù)的關(guān)系可寫出37例4-2-3負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

繪制系統(tǒng)的根軌跡。解：1）根軌跡的分支數(shù)等于2。2）根軌跡起點(diǎn)是。終點(diǎn)是及無窮遠(yuǎn)。3）因?yàn)閚=2,m=1,所以只有一條漸近線，是負(fù)實(shí)軸。4）實(shí)軸上的根軌跡是（-∞，-１]。

例4-2-3負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為385）根軌跡在實(shí)軸上的會(huì)合點(diǎn)坐標(biāo)

是根軌跡與實(shí)軸分離點(diǎn)，不是根軌跡上的點(diǎn)，舍去。６）起始角5）根軌跡在實(shí)軸上的會(huì)合點(diǎn)坐標(biāo)39

解：⑴根軌跡的起點(diǎn)、終點(diǎn)及分支數(shù)

⑵實(shí)軸上的根軌跡[0,-3]

例4-4設(shè)一單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡。

系統(tǒng)有4條根軌跡分支，它們的起點(diǎn)為開環(huán)極點(diǎn)（0，-3，），終點(diǎn)為無窮遠(yuǎn)處。

⑶根軌跡的漸近線

漸近線與實(shí)軸的夾角分別為、，漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為。解：⑴根軌跡的起點(diǎn)、終點(diǎn)及分支數(shù)⑵實(shí)軸上的40

⑷根軌跡的分離點(diǎn)

根據(jù)公式，可得分離點(diǎn)為，分離角為，對(duì)應(yīng)分離點(diǎn)的值

⑸復(fù)數(shù)極點(diǎn)的起始角

系統(tǒng)特征方程為

⑹根軌跡與虛軸的交點(diǎn)令，實(shí)部和虛部分別為零，得⑷根軌跡的分離點(diǎn)根據(jù)公式，可得分離點(diǎn)為41繪制根軌跡的規(guī)則表繪制根軌跡的規(guī)則表42繪制根軌跡的規(guī)則表繪制根軌跡的規(guī)則表43廣義根軌跡控制系統(tǒng)中除了k*

發(fā)生變化外，還有許多參數(shù)，如時(shí)間常數(shù)。時(shí)間常數(shù)參數(shù)發(fā)生變化也會(huì)影響根軌跡的運(yùn)動(dòng)。以開環(huán)增益k*為可變參量的常規(guī)根軌跡是最常見的。若需要研究除k*外的其它參數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的影響，就要繪制以其它參數(shù)為可變參量的根軌跡，即參數(shù)根軌跡或廣義根軌跡。廣義根軌跡控制系統(tǒng)中除了k*發(fā)生變化外，還有44廣義根軌跡若系統(tǒng)可變參量為時(shí)間常數(shù)，此時(shí)不能采用前述的方法直接繪制系統(tǒng)根軌跡，而需要把閉環(huán)特征方程式中不含的各項(xiàng)去除該方程，使原方程變?yōu)?/p>

其中：為等效開環(huán)傳遞函數(shù)，

在其中相當(dāng)于的位置。這樣，前述的各項(xiàng)規(guī)則依然有效。定義：以非開環(huán)增益為可變參數(shù)繪制的根軌跡稱為參數(shù)根軌跡，在參數(shù)根軌跡中k*是固定的。廣義根軌跡若系統(tǒng)可變參量為時(shí)間常數(shù)，此時(shí)不能采用前45參數(shù)根軌跡解系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為例7設(shè)反饋系統(tǒng)如圖所示，試?yán)L制以為參變量的根軌跡。以不含的項(xiàng)

，除以上式得

特征方程為參數(shù)根軌跡解系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為例7設(shè)反饋46參數(shù)根軌跡系統(tǒng)等效開環(huán)傳遞函數(shù)為式中，。⑴根軌跡的起點(diǎn)、終點(diǎn)及分支數(shù)⑵實(shí)軸上的根軌跡負(fù)實(shí)軸為根軌跡的一部分。

系統(tǒng)有2條根軌跡分支，起始于開環(huán)極點(diǎn)，終止于開環(huán)零點(diǎn)0和無窮遠(yuǎn)處。參數(shù)根軌跡系統(tǒng)等效開環(huán)傳遞函數(shù)為式中，。⑴47參數(shù)根軌跡⑶根軌跡的會(huì)合點(diǎn)根據(jù)，可得會(huì)合點(diǎn)為，會(huì)合角為，相應(yīng)的，。⑷復(fù)數(shù)極點(diǎn)

的出射角解本題的MATLAB程序?yàn)?/p>

%ks/(s2+2s+10)n=[10]d=[1210]rlocus(n,d)參數(shù)根軌跡⑶根軌跡的會(huì)合點(diǎn)根據(jù)48零度根軌跡特征方程為以下形式時(shí)，繪制零度根軌跡請(qǐng)注意：G(s)H(s)的分子分母均首一1、K*:0~+1–2、K*:0~–1+零度根軌跡特征方程為以下形式時(shí)，繪制零度根軌跡請(qǐng)注意：G(s49零度根軌跡的模值條件與相角條件K*=mnj=1∏︱s-zj︱∏s-pi︱︱i=1模值條件:∑∠(s-zj)－∑∠(s-pj)=(2k+1)π

k=0,±1,

±2,…j=1i=1mn相角條件:2kπ零度零度根軌跡的模值條件與相角條件K*=mnj=1∏︱s-zj︱50繪制零度根軌跡的基本法則1根軌跡的條數(shù)就是特征根的個(gè)數(shù)2根軌跡對(duì)稱于軸實(shí)3根軌跡起始于,終止于開環(huán)極點(diǎn)開環(huán)零點(diǎn)()∞()∞j=1mn=∏∏︱ss--zjpi︱︱︱i=11K*不變！不變！不變！4∣n-m∣條漸近線對(duì)稱于實(shí)軸,起點(diǎn)∑pi-∑zj∣n-m∣i=1j=1nmσa=不變！漸近線方向:φa=(2k+1)πn-mk=0,1,2,…2kπ5實(shí)軸上某段右側(cè)零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)，則該段是根軌跡偶6根軌跡的分離點(diǎn)j=1m∑i=1n∑d-pi11d-zj=k=0,1,2,…λL=(2k+1)πL,不變！不變！7與虛軸的交點(diǎn)8起始角與終止角變了繪制零度根軌跡的基本法則1根軌跡的條數(shù)就是特征根的個(gè)數(shù)2根軌51確定閉環(huán)極點(diǎn)的方法當(dāng)值滿足幅值條件時(shí)，對(duì)應(yīng)的根軌跡上的點(diǎn)，就是此時(shí)的閉環(huán)極點(diǎn)。同樣，利用幅值條件可確定根軌跡上任一點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的值。有時(shí)已知一對(duì)主導(dǎo)共軛極點(diǎn)的阻尼比，要求確定閉環(huán)極點(diǎn)及其相應(yīng)的開環(huán)增益。為此可先畫出一條給定的線，根據(jù)它與復(fù)平面上根軌跡的交點(diǎn)確定一對(duì)共軛閉環(huán)極點(diǎn)。然后用幅值條件求相應(yīng)的開環(huán)增益，并用試探法求出滿足幅值條件的實(shí)數(shù)極點(diǎn)。

例4中，若給定一對(duì)主導(dǎo)極點(diǎn)的阻尼比

，則。確定閉環(huán)極點(diǎn)的方法當(dāng)值滿足幅值條件時(shí)，對(duì)應(yīng)的根軌52確定閉環(huán)極點(diǎn)的方法用試探法可以確定此時(shí)的另一個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)為，則系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為在圖中作60o線可得它與根軌跡的交點(diǎn)為

，根據(jù)幅值條件，對(duì)應(yīng)的開環(huán)增益為確定閉環(huán)極點(diǎn)的方法用試探法可以確定此時(shí)的另一個(gè)閉環(huán)極53應(yīng)用MATLAB繪根軌跡例，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為:求系統(tǒng)的根軌跡，作阻尼線ζ=0.5，求系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)，求系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。應(yīng)用MATLAB繪根軌跡例，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為:54G=zpk([-6.93+6.93i-6.93-6.93i],[00-13.86],1);建立開環(huán)傳遞函數(shù)Gz=0.5;設(shè)阻尼系統(tǒng)figure(1);作圖(1)rlocus(G);畫G的根軌跡sgrid(z,’new’);作阻尼=0.5的阻尼線axis([-105-1010]);圖(1)坐標(biāo)系的設(shè)置K=rlocfind(G);通過光標(biāo)求阻尼=0.5的增益figure(2);作圖(2)rlocus(G);求阻尼=0.5的增益holdon;rlocus(G,K);求阻尼=0.5時(shí)系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)-4.49+7.77iaxis([-405-1010])設(shè)圖(2)的坐標(biāo)系應(yīng)用MATLAB繪根軌跡G=zpk([-6.93+6.93i-6.93-6.93i55應(yīng)用MATLAB繪根軌跡t=0:0.005:3;求階躍響應(yīng),設(shè)坐標(biāo)系kos=0.5;阻尼系數(shù)wn=4.49/kos;求wn,因?yàn)?wn=σ/ζ=4.49/0.5num=wn^2;設(shè)閉環(huán)傳遞函數(shù)的分子多項(xiàng)式系數(shù)den=[1,2*kos*wn,wn^2];設(shè)閉環(huán)傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式系數(shù)figure(3);作圖(3)階躍響應(yīng)圖step(num,den,t);grid應(yīng)用MATLAB繪根軌跡t=0:0.005:3;求階躍響應(yīng),56應(yīng)用MATLAB繪根軌跡應(yīng)用MATLAB繪根軌跡57應(yīng)用MATLAB繪根軌跡應(yīng)用MATLAB繪根軌跡58應(yīng)用MATLAB繪根軌跡應(yīng)用MATLAB繪根軌跡59第四章：根軌跡法第四章：根軌跡法60教學(xué)目的對(duì)于低階控制系統(tǒng)，我們可以用求解微分方程方法來分析控制系統(tǒng)，而對(duì)于高階系統(tǒng)，用微分方程的方法求解就比較困難。根軌跡方法是分析和設(shè)計(jì)線性定常控制系統(tǒng)的圖解方法，使用起來比較簡(jiǎn)便，因此在工程設(shè)計(jì)中獲得了廣泛應(yīng)用。通過本章內(nèi)容學(xué)習(xí)，要使學(xué)生懂得根軌跡的概念，根軌跡的作圖方法，以及根軌跡與系統(tǒng)性能之間的關(guān)系。教學(xué)目的對(duì)于低階控制系統(tǒng)，我們可以用求解微分方程方法來分61本章重點(diǎn)1、根軌跡方程或：模值條件：相角條件：本章重點(diǎn)1、根軌跡方程或：模值條件：相角條件：62本章重點(diǎn)2、根軌跡的繪制方法，八個(gè)法則3、廣義根軌跡的概念4、根軌跡與系統(tǒng)性能的關(guān)系5、幾個(gè)基本要概念根軌跡的概念：根軌跡是指開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零到無窮變化時(shí)，閉環(huán)特征根相應(yīng)在s平面上運(yùn)動(dòng)的軌跡。根軌跡增益k*與開環(huán)增益k的關(guān)系：根據(jù)對(duì)傳遞函數(shù)分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式的分解，開環(huán)傳遞函數(shù)可寫成二種不同的表達(dá)式。本章重點(diǎn)2、根軌跡的繪制方法，八個(gè)法則5、幾個(gè)基本要概念63本章重點(diǎn)尾1型：時(shí)間常數(shù)表達(dá)式首1型：零極點(diǎn)形式K*與k的關(guān)系：K*是根軌跡增益；k是開環(huán)增益本章重點(diǎn)尾1型：時(shí)間常數(shù)表達(dá)式首1型：零極點(diǎn)形式K*與k的關(guān)64本章要求1、正確理解根軌跡的概念2、掌握根軌跡繪制方法（以開環(huán)增益k為變量）3、廣義根軌跡繪制方法（以系統(tǒng)其它參數(shù)為變量）4、用根軌跡分析系統(tǒng)性能了解：零度根軌跡學(xué)時(shí)：8學(xué)時(shí)本章要求1、正確理解根軌跡的概念了解：零度根軌跡65第四章第一次課一、根軌跡的基本概念1、開環(huán)系統(tǒng)的某一參數(shù)從零變化到無窮時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的特征根在s平面上變化的軌跡。注意理解：根軌跡是由開環(huán)系統(tǒng)來作閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的軌跡一般系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)比較復(fù)雜，而開環(huán)傳遞函數(shù)的表達(dá)式相對(duì)簡(jiǎn)單，所以繪制根軌跡比較容易。2、根軌跡有常規(guī)根軌跡（以開環(huán)增益為變量參數(shù)）；廣義根軌跡（除開環(huán)增益k外，以其他參數(shù)為變量）。第四章第一次課一、根軌跡的基本概念2、根軌跡有常規(guī)根軌跡（以66第四章第一次課3、從相位條件看，有180°根軌跡，有0°根軌跡（具有正反饋系統(tǒng)）。4、根軌跡方程：幅值條件、相角條件，根軌跡上的任意一點(diǎn)都得滿足這二個(gè)條件。二、根軌跡的繪制方法，七個(gè)基本繪圖法則第四章第一次課3、從相位條件看，有180°根軌跡，有0°根軌67第四章第二次課一、繼續(xù)講繪制根軌跡的基本法則二、由根軌求閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)三、廣義根軌跡1、參數(shù)根軌跡，正確理解等效單位反饋，等效傳遞函數(shù)問題：如何解析出等效傳遞函數(shù)2、零度根軌跡第四章第二次課一、繼續(xù)講繪制根軌跡的基本法則68第四章第三次課一、零度根軌跡什么情況下產(chǎn)生零度根軌跡零度根軌跡與常規(guī)根軌跡的差別二、系統(tǒng)性能分析第四章第三次課一、零度根軌跡69第四章第四次課一、應(yīng)用MATLAB繪制根軌跡二、本章小結(jié)第四章第四次課一、應(yīng)用MATLAB繪制根軌跡70

要求解系統(tǒng)的特征根，對(duì)于高于三階的系統(tǒng)，求根比較困難，如果要研究系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)特征根的影響時(shí)，需要大量反復(fù)的計(jì)算，同時(shí)還不能直觀地看出系統(tǒng)性能隨參數(shù)變化的影響趨勢(shì)。為了避免直接求解高階方程的特征根困難，1948年，W.R.Evans根據(jù)反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)與其閉環(huán)特征方程式之間的內(nèi)在聯(lián)系，提出了一種非常實(shí)用的求取閉環(huán)特征方程式根的圖解法－根軌跡法。要求解系統(tǒng)的特征根，對(duì)于高于三階的系統(tǒng)，求根比較71

根軌跡的概念：它是開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零變化至無窮時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的特征根在s平面上變化的軌跡。

注意概念，根軌跡是通過開環(huán)系統(tǒng)來研究閉環(huán)系統(tǒng)特征根的變化。根軌跡的概念：它是開環(huán)系統(tǒng)某一參721.根軌跡概念ks(0.5s+1)ks(0.5s+1)R(s)C(s)設(shè)控制系統(tǒng)及系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如圖所示，當(dāng)k從0→∞時(shí)，求系統(tǒng)特征根的變化。1.根軌跡概念ks(0.5s+1)ks(0.5s+1)R(s73注意：K一變，一組根變；K一停，一組根停；一組根對(duì)應(yīng)同一個(gè)K；根軌跡概念

-2-10jks(0.5s+1)K:0~∞特征方程：S2+2s+2k=0特征根：s1,2=－1±√1－2kk=0時(shí)，s1=0,s2=－20＜k＜0.5時(shí)，兩個(gè)負(fù)實(shí)根k=0.5時(shí)，s1=s2=－10.5＜k＜∞時(shí)，s1,2=－1±j√2k－1演示rltool注意：K一變，一組根變；K一停，一組根停；一組根對(duì)應(yīng)同一個(gè)K742.根軌跡與系統(tǒng)性能之間的關(guān)系

有了根軌跡，就可以立即分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性:穩(wěn)定性：如果從k＝0到k＝∞，根軌跡不會(huì)越過虛軸進(jìn)入右半s平面，說明系統(tǒng)對(duì)所有的k值都是穩(wěn)定的。如果越過虛軸進(jìn)入右半s平面，此時(shí)根軌跡與虛軸交點(diǎn)處的k值就是系統(tǒng)穩(wěn)定與不穩(wěn)定的臨界增益。動(dòng)態(tài)性能：從根軌跡圖可以分析出系統(tǒng)的工作狀態(tài)，如過阻尼狀態(tài)、欠阻尼狀態(tài)……2.根軌跡與系統(tǒng)性能之間的關(guān)系有了根軌跡，就可以立即分析系75GHG(s)=KG*∏(s-piqi=1);∏(s-zifi=1)H(s)=KH*∏(s-pjhj=1)j=1∏(s-zjl)Φ(s)=∏(s-piqi=1)hj=1∏(s-pj)∏(s-zifi=1)+kG*kH*∏(s-zjl)j=1∏(s-zifi=1)∏(s-pjhj=1)*KG結(jié)論：1零點(diǎn)、2極點(diǎn)、3根軌跡增益3.根軌跡增益、閉環(huán)零極點(diǎn)與開環(huán)零極點(diǎn)的關(guān)系K*為開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益GHG(s)=KG*∏(s-piqi=1);∏(s-zif76結(jié)論：1）閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益，等于開環(huán)系統(tǒng)前向通路根軌跡增益。對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益就等于開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益。2）閉環(huán)零點(diǎn)由開環(huán)前向通路傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和反饋通路傳遞函數(shù)的極點(diǎn)所組成。對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)零點(diǎn)就是開環(huán)零點(diǎn)。3）閉環(huán)極點(diǎn)與開環(huán)零點(diǎn)、開環(huán)極點(diǎn)以及根軌跡增益k*均有關(guān)。4）根軌跡法的基本任務(wù)就是如何由已知的開環(huán)零、極點(diǎn)的分布，通過圖解的方法，求出閉環(huán)的極點(diǎn)。結(jié)論：1）閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益，等于開環(huán)系統(tǒng)前向通路根軌跡增益77

4.根軌跡方程

由于根軌跡是所有閉環(huán)極點(diǎn)的集合，而閉環(huán)極點(diǎn)又是特征方程的特征根，為了求出所有的閉環(huán)極點(diǎn)，研究一下閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程。特征方程1+GH=0或：GH＝－1

所以，只要將閉環(huán)特征方程化為根軌跡方程，就可以繪出根軌跡圖，由于GH是系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，這樣就達(dá)到了從開環(huán)傳遞函數(shù)出發(fā)，研究閉環(huán)系統(tǒng)的目的。4.根軌跡方程由于根軌跡是所有閉環(huán)極點(diǎn)的集合，而閉環(huán)極點(diǎn)78根軌跡方程特征方程1+GH=01+K*=0j=1m∏spi(-)pi開環(huán)極點(diǎn)“×”,也是常數(shù)！開環(huán)零點(diǎn)“○”,是常數(shù)！Zji=1n∏根軌跡增益K*，不是定數(shù)，從0~∞變化這種形式的特征方程就是根軌跡方程szj(-)根軌跡方程特征方程1+GH=01+K*=0j=1m∏s79根軌跡的模值條件與相角條件j=1mn1+K*=0∏∏((ss--zjpi))i=1-1∑∠(s-zj)－∑∠(s-pj)=(2k+1)π

k=0,±1,

±2,…j=1i=1mnj=1mnK*=1∏∏︱ss--zjpi︱︱︱i=1K*=mnj=1∏︱s-zj︱∏s-pi︱︱i=1相角條件:模值條件:繪制根軌跡的充要條件

確定根軌跡上某點(diǎn)對(duì)應(yīng)的K*值根軌跡的模值條件與相角條件j=1mn1+K*=0∏∏((ss80根軌跡的分支數(shù)法則一根軌跡的分支數(shù)等于特征方程的階次，即開環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)。

根軌跡的連續(xù)性與對(duì)稱性法則二根軌跡連續(xù)且對(duì)稱于實(shí)軸。4.2繪制根軌跡的基本規(guī)則根軌跡的分支數(shù)4.2繪制根軌跡的基本規(guī)則81根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)根軌跡的起點(diǎn)是指k=0時(shí)的特征根位置，根軌跡的終點(diǎn)是指時(shí)的特征根位置。根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)。此時(shí)開環(huán)極點(diǎn)就是閉環(huán)極點(diǎn)。根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)82法則三根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)，終止于開環(huán)零點(diǎn)。若n>m,則有(n-m)條根軌跡終止于[s]平面無窮遠(yuǎn)處。[信息與通信]第四章：根軌跡法課件83

根軌跡的漸近線n>m，(n-m)條根軌跡沿什么方向趨于[s]平面無窮遠(yuǎn)處。漸近線可認(rèn)為是時(shí)的根軌跡。根軌跡的漸近線n>m，(n-m)條根軌跡沿什么方向趨于[s84[信息與通信]第四章：根軌跡法課件85法則四

如果m<n,k→∞時(shí)，根軌跡有漸近線

n-m條。這些漸近線在實(shí)軸上交于一點(diǎn)，

漸近線與實(shí)軸正方向的夾角是p150例法則四如果m<n,k→∞時(shí)，根軌跡有漸近線p150例86實(shí)軸上的根軌跡

設(shè)其中是共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)?！?°-°=-D--D=-D--D--D--D=D￥-°-=°----°=-D--D--D--D=D0180180)()(

)()()()()()(,)180180)(0

)()(

)()()()(,3212322212122131211111131pszspspspszssHsGszpspspszssHsGspz有中間取非根軌跡的點(diǎn)，在（則有之間取根軌跡上的點(diǎn)與在qq實(shí)軸上的根軌跡設(shè)°=°-°=-D--D=-D--D--D-87法則五

實(shí)軸上的根軌跡：實(shí)軸上的某一區(qū)域，若其右邊開環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)，則該區(qū)域是根軌跡。法則五實(shí)軸上的根軌跡：實(shí)軸上的某一區(qū)域，若其右邊開環(huán)實(shí)88系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為代入得根軌跡若有分離點(diǎn)，表明閉環(huán)特征方程有重根，重根條件為兩式相除得法則六根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿足上述方程。系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為代入得根軌跡若有分離點(diǎn)，表明閉環(huán)特征89根軌跡與虛軸的交點(diǎn)

法則七

根軌跡與虛軸相交，說明控制系統(tǒng)有位于虛軸上的閉環(huán)極點(diǎn)，即特征方程有純虛根。

根軌跡與虛軸的交點(diǎn)法則七根軌跡與虛軸相交，說明控制系統(tǒng)90

例4-2-1負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為繪制系統(tǒng)的根軌跡。解開環(huán)極點(diǎn)為1）根軌跡的分支數(shù)等于3。2）根軌跡起點(diǎn)為（0，j0)，(-1，j0)，(-2，j0)。終點(diǎn)均為無窮遠(yuǎn)。例4-2-1負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)91

3）漸近線三條，實(shí)軸上交點(diǎn)坐標(biāo)是：漸近線與實(shí)軸正方向夾角：

4）實(shí)軸上的根軌跡（-∞，-2]段及[-1，0]段。5）求實(shí)軸上的分離點(diǎn)坐標(biāo)

3）漸近線三條，實(shí)軸上交點(diǎn)坐標(biāo)是：92求分離點(diǎn):求分離點(diǎn):93根軌跡的起始角與終止角起始角：根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的切線方向與實(shí)軸正方向的夾角，如。終止角：根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線方向與實(shí)軸正方向的夾角，如。在根軌跡上取一試驗(yàn)點(diǎn)，根軌跡的起始角與終止角起始角：根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)94起始角表達(dá)式同理可求出終止角表達(dá)式法則八

始于開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的根軌跡的起始角和止于開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的終止角按上兩式計(jì)算。起始角表達(dá)式95

法則9:

根之和：若n-m>=2，則有根據(jù)代數(shù)式方程根與系數(shù)的關(guān)系可寫出法則9:根之和：根據(jù)代數(shù)式方程根與系數(shù)的關(guān)系可寫出96例4-2-3負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

繪制系統(tǒng)的根軌跡。解：1）根軌跡的分支數(shù)等于2。2）根軌跡起點(diǎn)是。終點(diǎn)是及無窮遠(yuǎn)。3）因?yàn)閚=2,m=1,所以只有一條漸近線，是負(fù)實(shí)軸。4）實(shí)軸上的根軌跡是（-∞，-１]。

例4-2-3負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為975）根軌跡在實(shí)軸上的會(huì)合點(diǎn)坐標(biāo)

是根軌跡與實(shí)軸分離點(diǎn)，不是根軌跡上的點(diǎn)，舍去。６）起始角5）根軌跡在實(shí)軸上的會(huì)合點(diǎn)坐標(biāo)98

解：⑴根軌跡的起點(diǎn)、終點(diǎn)及分支數(shù)

⑵實(shí)軸上的根軌跡[0,-3]

例4-4設(shè)一單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡。

系統(tǒng)有4條根軌跡分支，它們的起點(diǎn)為開環(huán)極點(diǎn)（0，-3，），終點(diǎn)為無窮遠(yuǎn)處。

⑶根軌跡的漸近線

漸近線與實(shí)軸的夾角分別為、，漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為。解：⑴根軌跡的起點(diǎn)、終點(diǎn)及分支數(shù)⑵實(shí)軸上的99

⑷根軌跡的分離點(diǎn)

根據(jù)公式，可得分離點(diǎn)為，分離角為，對(duì)應(yīng)分離點(diǎn)的值

⑸復(fù)數(shù)極點(diǎn)的起始角

系統(tǒng)特征方程為

⑹根軌跡與虛軸的交點(diǎn)令，實(shí)部和虛部分別為零，得⑷根軌跡的分離點(diǎn)根據(jù)公式，可得分離點(diǎn)為100繪制根軌跡的規(guī)則表繪制根軌跡的規(guī)則表101繪制根軌跡的規(guī)則表繪制根軌跡的規(guī)則表102廣義根軌跡控制系統(tǒng)中除了k*

發(fā)生變化外，還有許多參數(shù)，如時(shí)間常數(shù)。時(shí)間常數(shù)參數(shù)發(fā)生變化也會(huì)影響根軌跡的運(yùn)動(dòng)。以開環(huán)增益k*為可變參量的常規(guī)根軌跡是最常見的。若需要研究除k*外的其它參數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的影響，就要繪制以其它參數(shù)為可變參量的根軌跡，即參數(shù)根軌跡或廣義根軌跡。廣義根軌跡控制系統(tǒng)中除了k*發(fā)生變化外，還有103廣義根軌跡若系統(tǒng)可變參量為時(shí)間常數(shù)，此時(shí)不能采用前述的方法直接繪制系統(tǒng)根軌跡，而需要把閉環(huán)特征方程式中不含的各項(xiàng)去除該方程，使原方程變?yōu)?/p>

其中：為等效開環(huán)傳遞函數(shù)，

在其中相當(dāng)于的位置。這樣，前述的各項(xiàng)規(guī)則依然有效。定義：以非開環(huán)增益為可變參數(shù)繪制的根軌跡稱為參數(shù)根軌跡，在參數(shù)根軌跡中k*是固定的。廣義根軌跡若系統(tǒng)可變參量為時(shí)間常數(shù)，此時(shí)不能采用前104參數(shù)根軌跡解系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為例7設(shè)反饋系統(tǒng)如圖所示，試?yán)L制以為參變量的根軌跡。以不含的項(xiàng)

，除以上式得

特征方程為參數(shù)根軌跡解系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為例7設(shè)反饋105參數(shù)根軌跡系統(tǒng)等效開環(huán)傳遞函數(shù)為式中，。⑴根軌跡的起點(diǎn)、終點(diǎn)及分支數(shù)⑵實(shí)軸上的根軌跡負(fù)實(shí)軸為根軌跡的一部分。

系統(tǒng)有2條根軌跡分支，起始于開環(huán)極點(diǎn)，終止于開環(huán)零點(diǎn)0和無窮遠(yuǎn)處。參數(shù)根軌跡系統(tǒng)等效開環(huán)傳遞函數(shù)為式中，。⑴106參數(shù)根軌跡⑶根軌跡的會(huì)合點(diǎn)根據(jù)，可得會(huì)合點(diǎn)為，會(huì)合角為，相應(yīng)的，。⑷復(fù)數(shù)極點(diǎn)

的出射角解本題的MATLAB程序?yàn)?/p>

%ks/(s2+2s+10)n=[10]d=[1210]rlocus(n,d)參數(shù)根軌跡⑶根軌跡的會(huì)合點(diǎn)根據(jù)107零度根軌跡特征方程為以下形式時(shí)，繪制零度根軌跡請(qǐng)注意：G(s)H(s)的分子分母均首一1、K*:0~+1–2、K*:0~–1+零度根軌跡特征方程為以下形式時(shí)，繪制零度根軌跡請(qǐng)注意：G(s108零度根軌跡的模值條件與相角條件K*=mnj=1∏︱s-zj︱∏s-pi︱︱i=1模值條件:∑∠(