(完整版)平面向量基本定理及經(jīng)典例題

相信自己是最棒的!相信自己是最棒的!相信自己是最棒的！相信自己是最棒的！平面向量基本定理一．教學(xué)目標(biāo)：了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐標(biāo)概念，會(huì)用坐標(biāo)形式進(jìn)行向量的加法、數(shù)乘的運(yùn)算，掌握向量坐標(biāo)形式的平行的條件；教學(xué)重點(diǎn):用向量的坐標(biāo)表示向量加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算和平行.二.課前預(yù)習(xí)ff1.已知a=(x,2),b=(l,x),若a//b,則x的值為()A、J2B、-邁C、土邁D、22.下列各組向量，共線的是()(A)a=(-2,3),b=(4,6)(B)a=(2,3)b=(3,2)(C)a=(1-2),b=⑺14)(D)a=(-3,2),b=(6,-4)■■■■■3.已知點(diǎn)A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4)，且CM=3?CA,CN=2?CB，則MN二4?已知點(diǎn)A(-1,5)和向量a=(2,3)，若AB=3a，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為三.知識(shí)歸納i.平面向量基本定理：如果e,z是同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量，那么對(duì)于這一平面12內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)九,九，使a=xe+九e成立。其中e,三叫做這一平面12112212TOC\o"1-5"\h\z的一組，即對(duì)基底的要求是向量；2?坐標(biāo)表示法：在直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與x軸，y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i,j作基底，則對(duì)任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x,y，使a=xi+yj、就把叫做向量a的坐標(biāo)，記作。3.向量的坐標(biāo)計(jì)算：O(0,0)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x,y),貝V向量OA的坐標(biāo)為OA=，點(diǎn)P、P的坐標(biāo)分別為(x,y),P(x,y),則向量Pp的坐標(biāo)為121122212PP=，即平面內(nèi)任一向量的坐標(biāo)等于表示它的有向線段的點(diǎn)12坐標(biāo)減去點(diǎn)坐標(biāo)?4?線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式：A(x,y),B(x,y)線段中點(diǎn)為M,則有：1122TOC\o"1-5"\h\zOM=,M點(diǎn)的坐標(biāo)為?5.兩個(gè)向量平行的充要條件是：向量形式：a//b(b豐0)o;坐標(biāo)形式：a//b(b豐0)o?

6?a6?a=(x,y),則?與a共線的單位向量是：e=±$四?例題分析:例1.(1)、已知M(—2,7)、N(10,-2),點(diǎn)P是線段MN上的點(diǎn)，且pn=-2PM，貝卩P點(diǎn)的坐標(biāo)為()(B)(22,-11)(C)(6,1)(D)(2,4)A(-14,16)(2)、已知兩點(diǎn)A(4,1),B(7,-3),則與向量(B)(22,-11)(C)(6,1)(D)(2,4)(A)乜4、(B)(34、(C)(43、(D)[￡-3](5廠5丿〔5'5丿〔5'5丿(3)、若a=(2,3),b=(—4,7),則a在b方向上的投影為例2.(1)已知向量a=(1,2),b=(x,l),u=a+2b,v二la-b，且U//V，求實(shí)數(shù)x的值。(2)已知向量a=(屈,1),b=(0,-1),c=(k,屈)。若a-2b與c共線，則k=例3?已知a=(1,0),b=(2,1),(1)求ia+3bi；(2)當(dāng)k為何實(shí)數(shù)時(shí)，ka-b與a+3b平行，平行時(shí)它們是同向還是反向？例4.如圖，平行四邊形ABCD中，E,F分別是BC,DC的中點(diǎn)，例4.如圖，平行四邊形ABCD中，E,F分別是BC,DC的中點(diǎn)，G為交點(diǎn)，若ABa,AD=(1)試以a,b為基底表示DE、BF；(2)求證：A、G、C三點(diǎn)共線。例5.如圖'平行四邊形ABCD中，BE=4BA,BF=1BD,求證：E,F,C5三點(diǎn)共線。(利用向量證明)五?課后作業(yè)：—3—1——1?a=(_,sina),b=(cosa,一)且a//b，則銳角a為2330°60°45°75°30°60°45°75°2?平面內(nèi)有二點(diǎn)A(0,-3),B(3,3),C(x,-1)，且AB〃BC，則x的值是()(A)1(B)5(A)1(B)5(C)-1(D)-53?如果e〔,e2是平面a內(nèi)所有向量的一組基底，那么下列命題中正確的是(12(A)若實(shí)數(shù)九,九使九e+Xe=0,貝I」九=九=012112212(b)空間任一向量a可以表示為a二九e+九r，這里九,九是實(shí)數(shù)112212(C)對(duì)實(shí)數(shù)九,九，向量九e+九7不一定在平面a內(nèi)121122(d)對(duì)平面內(nèi)任一向量a，使a二九e+九r的實(shí)數(shù)九,九有無(wú)數(shù)對(duì)1122124?下列各組向量中：①e=(-1,2)e=(5,7)②e=(3,5)e=(6,10)③e=(2,-3)12121其中能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底的是()A?①B?①③C?②③D?①②③5?若A(—1,—2),B(4,8),且AC=-3CB,則C點(diǎn)坐標(biāo)為6?已知a=(3,2),b=(2,-1)，若九a+b與a+九b平行，貝I」入二7?已知向量a二(1,-2),b與a方向相反，且IbI二21aI，那么向量b的坐標(biāo)是;8?已知a二(5,4),b二(3,2)，則與2a-3b平行的單位向量的坐標(biāo)為9?已知a=(3,—1),b=(1,-2),c=(1,7)，求p=a+b+c，并以a,b為基底來(lái)表示p。10.向量OA二(k,12),OB二(4,5),OC二(10,k),當(dāng)k為何值時(shí)，A,B,C三點(diǎn)共線?平面向量的數(shù)量積一、教學(xué)目標(biāo)：掌握平面向量的數(shù)量積及其性質(zhì)，掌握兩向量夾角及兩向量垂直的充要條件和向量數(shù)量積的簡(jiǎn)單運(yùn)用.教學(xué)重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積及其應(yīng)用二、課前預(yù)習(xí)：1?已知向量a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量a+xb與b垂直，則x的值為()坐標(biāo)形式：坐標(biāo)形式：a//b(b主0)o相信自己是最棒的！相信自己是最棒的！相信自己是最棒的！相信自己是最棒的！TOC\o"1-5"\h\z2332(A)—(B)一(C)2(D)--3235下列命題正確的是①AB+BA=0；②0-AB=0；③AB-AC=BC；④0-AB=0?平面向量a,b中，已知a=(4,-3),ib\=i，且a-b=5，則向量b=?已知向量a,b的方向相同，且\a\=3,\b\=7，則\2a-b\=。5?已知向量a和b的夾角是120°,且\a\=2,\b\=5，則(2a-b)-a=。三、知識(shí)歸納平面向量的數(shù)量積：(1)定義:a?b=(a豐0,b豐0,e為a與b的夾角，o<o<兀)；特例：0?a=0,a2=a?a=|a|2；coseCcose)叫做向量a在b方向上6在a方向上)cose注：acose=，同理bcose=.lbl(2)?坐標(biāo)運(yùn)算：若a=(x,y),b=(x,y)則a?b=1122兩個(gè)向量的夾角與長(zhǎng)度已知向量a=(x,y),b=(x,y)1122TOC\o"1-5"\h\z(1)兩個(gè)向量a與b的夾角e:向量形式：cose=；坐標(biāo)形式：cose=．1.0<e<一,cose>0;即a-b>02注:e兀=,cose=0,即a-b=02xT1■<e<兀,cose<0.即a-b<0e=0,即同向時(shí)，a-b=-b；0=兀，即反向時(shí)e=0,即同向時(shí)，a-b=(2)向量a的長(zhǎng)度1a|2=a2=a?a=。|a|=其中a=(x,y)；I—f]1-1-f1a+b=p(a+b)2=*a+b+2a-b-cose兩點(diǎn)間的距離公式：|PP|=其中P=(x,y),P=(x,y)?12111222向量的平行、垂直如果兩個(gè)向量a=(xy)b=(xy)那么1122(1)兩個(gè)向量平行的充要條件是：向量形式：a//b(b豐0)o;TOC\o"1-5"\h\z(2)兩個(gè)向量垂直的充要條件是：向量形式：a丄bo;坐標(biāo)形式：a丄bo.四：例題分析：例1.已知平面上三個(gè)向量a、b、c的模均為i,它們相互之間的夾角均為120°,(1)求證：(a-b)丄c；(2)若Ika+b1>1(kgR)，求k的取值范圍.例2?已知：a、b、c是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中a=(1,2)f_t—-f若IcI二2、，且c//a，求c的坐標(biāo)；gMBMl若|b|=,且a+2b與2a-b垂直，求a與b的夾角0.2例3.1?若向量a,b,c滿足a#b且8丄c,則c?(a+2b)二A.4B.3C.2D.02?已知單位向量ei,e2的夾角為60°，則民-eJ=TOC\o"1-5"\h\z3?在正三角形ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AB二3,BD二1，則AB-AD二。4.己知向量a，b滿足(a+2b)'(a-b)=-6，且問(wèn)=1，網(wǎng)=2，則a與b的夾角為.5?在邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC中，設(shè)BC=2BD，CA=3CE，則AD-BE=例4?⑴已知由向量AB=(3,2),AC=(1,k)確定的△ABC為直角三角形，求k的值。⑵設(shè)OA=(3，1)，OB=(—1，2)，OC丄OB，BC〃OA，試求滿足OD+OA=OC的OD的坐標(biāo)(0為原點(diǎn))。

五?課后作業(yè)：1?平面內(nèi)有三點(diǎn)A(0,-3),B(3,3),C(x,-1)，且AB〃BC，則x的值是()(A)1(B)5(C)-1(D)-52?已知a=J3,b=2J3,a-b=—3，則a與b的夾角是()3.A、150。已知向量3.A、150。已知向量a=(cos75°,sin75。),b=(cos15。,sin15。)，那么Ia—bI的值是()(A)1(B)空(C)也222B、120。C、60。D、30。(D)14.5.已知向量a=(cos。,sin0)，向量b=(.3,-1)則I2a—bI的最大值，最小值分別是()4.5.(A)4<2,0(B)4,4、邁(C)16,0(D)4,0在AABC中，AB?ACv0,AABC的面積是15，若IABI=3,IACI=5，則ABAC=4(吩46?在AABC中，若AB=3,AC=4,ABAC=600，則BA?AC=(TOC\o"1-5"\h\zA、6B、4C、-6D、-47?已知向量a=(1,-2),b與a方向相反，且Ibi=2Ia丨，那么向量b的坐標(biāo)是平面上有三個(gè)點(diǎn)A(1,3),B(2,2),C(7,x),若B二90。,則x=&已知Ia|=1,|b|=<2，且向量a+b與2a-b互相垂直，則b與a的夾角二9?已知a=(5,4),b=(3,2)，則與2a-3b平行的單位向量的坐標(biāo)為。10.(1)已知向量a=(6,2)與b=(-3,k)的夾角是鈍角，則k的取值范圍是。(2)已知向量a=(6,2)與b=(-3,k)的夾角大于90。,則k的取值范圍是11.⑴已知向量a=(3,4),b=(2,-1)，則a在b上的投影為—*■r—bf—?—fc-—?(2)已知|a|=|b|=2,a與b的夾角為600,則a+b在a上的投影為。12.設(shè)O,A,B,C為平面上四個(gè)點(diǎn)，OA=a,OB=b,OC=c,且a+b+c=0,a-b=b-c=c-a=-1，則IaI+1bI+1?I=o