最新高中物理奧賽解題方法：08-作圖法

PAGE 作圖法第8頁〔共10頁〕 八、作圖法方法簡介 作圖法是根據(jù)題意把抽象復(fù)雜的物理過程有針對性的表示成物理圖像，將物理問題轉(zhuǎn)化成一個幾何問題，通過幾何知識求解，作圖法的優(yōu)點是直觀形象，便于定性分析，也可定性計算，靈活應(yīng)用作圖法會給解題帶來很大方便。賽題精析例1：如圖8—1所示，細(xì)繩跨過定滑輪，系住一個質(zhì)量為m的球，球靠在光滑豎直墻上，當(dāng)拉動細(xì)繩使球勻速上升時，球?qū)Φ膲毫ⅰ病矨、增大B、減小C、先增大后減小D、先減小后增大解析：球在三個力的作用下處于平衡。當(dāng)球上升時，θ角增大，可用動態(tài)的三角形定性分析，作出圓球的受力圖，如圖8—1甲所示。從圖可見，當(dāng)球上升時，θ角增大，墻對球的支持力增大，從而球?qū)Φ膲毫σ苍龃?。?yīng)選A正確。例2：用兩根繩子系住一重物，如圖8—2所示。繩OA與天花板間夾角θ不變，當(dāng)用手拉住繩子OB，使繩OB由水平方向轉(zhuǎn)向豎直方向的過程中，OB繩所受的拉力將〔〕A、始終減小B、始終增大C、先減小后增大D、先增大后減小解析：因物體所受重力的大小、方向始終不變，繩OA拉力的方向始終不變，又因為物體始終處于平衡狀態(tài)，所受的力必然構(gòu)成一個三角形，如圖8—2甲所示，由圖可知OB繩受的拉力是先減小后增大。可知答案選C例3：如圖8—3所示，質(zhì)量為m的小球A用細(xì)繩拴在天花板上，懸點為O，小球靠在光滑的大球上，處于靜止?fàn)顟B(tài)。：大球的球心O′在懸點的正下方，其中繩長為l，大球的半徑為R，懸點到大球最高點的距離為h。求對小球的拉力T和小球?qū)Υ笄虻膲毫?。解析：力的三角形圖和幾何三角形有聯(lián)系，假設(shè)兩個三角形相似，那么可以將力的三角形與幾何三角形聯(lián)系起來，通過邊邊對應(yīng)成比例求解。以小球為研究對象，進(jìn)行受力分析，如圖8—3甲所示，小球受重力mg、繩的拉力T、大球的支持力N，其中重力mg與拉力T的合力與支持力N平衡。觀察圖中的特點，可以看出力的矢量三角形〔灰色〕與幾何三角形AOO′相似，即：=，=所以繩的拉力：T=mg小球?qū)Υ笄虻膲毫Γ篘′=N=mg例4：如圖8—4所示，質(zhì)點自傾角為α的斜面上方定點O沿光滑的斜槽從靜止開始下滑，為使質(zhì)點在最短時間內(nèi)從O點到達(dá)斜面，斜槽與豎直方向的夾角β應(yīng)等于多少？解析：如圖8—4甲所示，以經(jīng)過O點的豎直線上的一點O′為圓心，OO′為半徑作圓，并使該圓與斜面恰好相切于A點，與OO′延長線交于B點。從O點由靜止出發(fā)沿傾角不同的光滑斜面下滑的質(zhì)點，到達(dá)圓周上不同點所需時間相等，顯然，質(zhì)點沿OA方向從靜止開始滑到斜面上所需時間比沿其他方向滑到斜面上所需時間短。連接O′A，由幾何關(guān)系得：∠AO′B=α所以所用時間最短時，斜槽與豎直方向的夾角：β=〔所題也可用極限法求解，讀者可試試。〕例5：一條小河，河水以v1=5m/s的速度勻速流動，一條小船在靜水中的速度為v2=3m解析：假設(shè)v1＜v2，可垂直渡河，船程最短。但此題v1＞v2，小船就不能垂直渡河。但欲使航程最短，那么應(yīng)使合速度方向與河岸夾角最大。根據(jù)矢量合成的三角形法，v1、v2、v合，構(gòu)成封閉三角形，作圖如8—5所示，作有向線段OA表示河水流速v1，以表示v2的有向長度為半徑，以A為圓心畫圓，過O該圓的切線，切點為B，作有向線段AB，有向線段AB的方向就是所求的方向。由直角三角形AOB，得：cosθ==所以：θ=53°即小船的船頭應(yīng)指向上游并沿與上游的河岸成53°角的方向。例6：一木箱重為G，與地面動摩擦因數(shù)為μ，現(xiàn)用斜向上的力F拉木箱使之沿水平地面勻速前進(jìn)，如圖8—6所示。求拉力F與水平方向夾角θ為何值時拉力最??？這個最小值多大？解析：木箱受重力G、彈力N、摩擦力f及拉力F四個力的作用，但此題也可以把木箱看做只受三個力作用，即重力G、拉力F和摩擦力f與支持力N的合力F′，設(shè)F′與N的夾角為φ，那么tanφ==μ，再應(yīng)用矢量三角形求解。木箱受力情況如圖8—6甲所示，G的大小和方向，F(xiàn)′的方向，顯然，要使封閉的矢量三角形中F值最小，只有由G的端點作F′的作用線的垂線時，F(xiàn)值最小，如圖8—6乙所示，此時F的最小值為Fmin=Gsinφ其中φ=arctanμ，所以最小的拉力F與水平方向的夾角為θ=φ=arctanμ。F的最小值可以表達(dá)為：Fmin=G。例7：如圖8—7所示，一帶電質(zhì)點，質(zhì)量為m，電量為q，以平行于Ox軸的速度v從y軸上的a點射入圖中第一象限所示的區(qū)域，為了使該質(zhì)點能從x軸上的b點以垂直于Ox軸的速度v射出，可在適當(dāng)?shù)牡胤郊右粋€垂直于xy平面、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場。假設(shè)此磁場僅分布在一個圓形區(qū)域內(nèi)，試求這圓形磁場區(qū)域的最小半徑。重力忽略不計。解析：當(dāng)帶電質(zhì)點以垂直于磁場方向的速度v進(jìn)入磁場，在磁場中將做勻速圓周運(yùn)動，由此要從a點進(jìn)入從b點射出其圓軌道為圓弧，因而可用作圖法求解。過a點作平行Ox軸的直線，過b作平行Oy的直線，兩直線相交于c點，如圖8—7甲所示，可見只要能保證帶電質(zhì)點的圓軌道處在勻強(qiáng)磁場中，即可使帶電質(zhì)點從b點射出，由此可知，磁場區(qū)域有一最小值，其最小半徑為圓形軌道兩個端點連線的一半，即：由qvB=m可得粒子在磁場中的偏轉(zhuǎn)半徑為：r= 所加磁場的最小半徑為：R=r=例8：圖8—8中AB表示一橫放的平面鏡，P1P2是水平放置的米尺〔有刻度的一面朝著平面鏡〕，MN是屏，三者互相平行，屏MN上的ab表示一條直縫〔即a、b之間是透光的〕。某人眼睛緊貼米尺上的小孔S〔其位置見圖〕，可通過平面鏡看到米尺上的一局部刻度。試在此題的圖上用三角板作圖求出可看到的局部，并在P1P2上把這局部涂以標(biāo)志。解析：根據(jù)物像位置鏡面對稱可知：人眼通過平面鏡看到的米尺刻度范圍，好似人眼在平面鏡中的像直接去看刻度范圍，不過要受到擋板MN的像M′N′的阻擋，所以先將眼睛在平面鏡中成像點S′作出，再作出擋板MN在平面鏡中的像M′N′，如圖8—8—甲，其中a′b′是擋板上的縫ab在平面鏡中的像，連接S′a′并延長交AB、P1P2于c、d兩點，再作S′和b的連線交AB于E點，并延長后交P1P2于F點，那么dF即為人眼通過平面鏡和擋板后能看到的刻度范圍。例9：光線透過空氣中的平行平面厚玻璃板，問下列圖8—9所示四種情形中，哪一種是正確的？解析：根據(jù)光的折射定律，光由光疏介質(zhì)進(jìn)入光密介質(zhì)時，光線要向著法線的方向偏析，相反時，向遠(yuǎn)離法線的方向偏折，且在傳播中光路是可逆的。由上分析可知，B圖是正確的。例10：某人通過焦距為10cm，直徑為4.0cm的薄凸透鏡觀看方格紙，每個方格的邊長為0.3cm。他使透鏡的主軸與方格紙垂直AB，透鏡與紙面相距10cm解析：可以用光路的可逆性來做，假設(shè)在S點放一點光源，那么成像于S′點，能照亮方格紙上一定面積，其直徑為x，如圖8—10所示，根據(jù)光路的可逆性，來自面積x上的方格的光經(jīng)透鏡折射后都能進(jìn)入人眼，即能被人看到。由+=可得：p′=－10cm由相似三角形對應(yīng)邊成比例得：=，所以x=8cm，格數(shù)n===26.7即最多能看到同一行上26個完整的方格。例11：凸透鏡L1與凹透鏡L2同軸放置，L1左側(cè)媒質(zhì)的折射率n，L2右側(cè)媒質(zhì)的折射率也是n，兩透鏡之間的價質(zhì)折射率為n0，且n＜n0。F1是L1的物方焦點，F(xiàn)2是L2的物方焦點，是L2的像方焦點。有一物點S位于L1的物方焦平面上，如圖8—11所示?！?〕畫出成像光路圖，求出像點S1的位置。簡述作圖的依據(jù)；〔2〕假設(shè)L1的物方焦距f1=20厘米，L2的物方焦距f2=10厘米，物點S離光軸的距離為2厘米，問像點S1離光軸的距離為多少？解析：放于焦平面上的點光源發(fā)出的光經(jīng)凸透鏡折射后平行于副光軸，平行于副光軸的平行光經(jīng)凹透鏡發(fā)散后，反向延長線將交一凹透鏡的副焦點，光路圖如圖8—11—甲所示?！?〕作法：①過S作過光心O點的光線，傳播方向不改變；②過O′點作平行于SO的輔助線及過F2作垂直于主軸的直線〔焦平面〕，兩線相交于S1〔副焦點〕。平行于副光軸的光線，經(jīng)凹透鏡折射后，折射線的反向延長線將通過S1點，即S1為所求的像點?！?〕由圖可知：=，所以：=1cm即S1離主光軸的距離為1cm。針對訓(xùn)練1．如圖8—12所示，一個重為G的勻質(zhì)球，放在光滑的斜面上，斜面傾角為α，在斜面上有一光滑的斜木板擋住球處于靜止?fàn)顟B(tài)。如果擋板與斜面間的夾角β緩慢增大到擋板呈水平狀態(tài)，此過程中擋板對球的彈力N1和斜面對球的彈力N2如何變化？2．一重為G的物塊放在傾角為α的斜面上，物塊與斜面間的摩擦因數(shù)為μ，今在物塊上的作用力為F，F(xiàn)可與斜面成任意夾角，如圖8—13所示，求拉動物塊沿斜面上升所需力F的最小值及對應(yīng)的θ角。3．如圖8—14所示，小環(huán)m1、m2能沿著一輕繩光滑地滑動，繩的兩端固定于直桿AB的兩端，桿與水平線成角度θ。在此桿上又套一輕小環(huán)，繩穿過輕環(huán)，并使m1、m2在其兩邊，設(shè)環(huán)與直桿的接觸是光滑的，當(dāng)系統(tǒng)平衡時，直桿與輕環(huán)兩邊的繩夾角為φ，試證明：=。4．一條在湖面上以恒定速度行駛的船上，有一與船固定的豎直光滑墻壁。有一個小球沿水平方向射到墻上。相對于岸，小球的速度大小為v1，方向與墻的法線成60°角，小球自墻反彈時的速度方向正好與小球入射到墻上時的速度方向垂直。問船的速度應(yīng)滿足什么條件。設(shè)小球與墻壁的碰撞是完全彈性的。5．F=400N的力拖著小船，使它沿著河中心線運(yùn)動?，F(xiàn)甲、乙兩人在河兩岸共同拖船，甲拉力的方向與河中心線的夾角為30°，要使兩人共同產(chǎn)生的效果與F單獨作用的效果相同，乙拉力的最小值應(yīng)為多少？方向如何？6．如圖8—15所示，一儲油圓桶，底面直徑與桶高均為d。當(dāng)桶內(nèi)無油時，從某點A恰能看到桶底邊緣上的某點B。當(dāng)桶內(nèi)油的深度等于桶高一半時，在A點沿AB方向看去，看到桶底上的C點，C、B相距。由此可得油的折射率n=；光在油中傳播的速度v=m/s〔結(jié)果可用根式表示〕。7．要在一張照片上同時拍攝物體正面和幾個不同側(cè)面的像，可以在物體的后面放兩個直立的大平面鏡AO和BO，使物體和它對兩個平面鏡所成的像都攝入照相機(jī)，如圖8—16所示。圖中帶箭頭的圓圈P代表一個人的頭部，白色半圓代表人的臉部，此人正面對著照相機(jī)的鏡頭；有斜線的半圓代表腦后的頭發(fā)；箭頭表示頭頂上的帽子。圖8—16甲為俯視圖。假設(shè)兩平面鏡的夾角∠AOB=72°，設(shè)人頭的中心恰好位于角平分線OC上，且照相機(jī)到人的距離遠(yuǎn)大于人到平面鏡的距離?！?〕試在圖8—16甲畫出P的所有的像的位置并用空白和斜線分別表示人臉和頭發(fā)，以說明各個像的方位?！?〕在圖8—16乙的方框中畫出照片上得到所有的像〔分別用空白和斜線表示人臉和頭發(fā)，用箭頭表示頭頂上的帽子〕。8．圖8—17中所示是一潛望鏡殼體的示意圖。MN為光線的入口。在上方AB處已放置一塊與紙面垂直的平面鏡，它和與紙面垂直的豎直面之間的夾角為45°。眼睛在觀察孔S處觀察，在CD〔與垂直面的夾角也是45°〕處放置一塊平面鏡。今要使觀察到的視場不受CD處的平面鏡的限制，那么平面鏡CD至少要有多大的線度才行？要求直接在圖上用作圖法畫出即可，但要說明作圖的步驟。9．圖8—18中MN是薄透鏡的主軸，S是發(fā)光點，S′是它的像點。〔1〕用作圖法求出薄透鏡的位置，標(biāo)在圖上；〔2〕分別作光路圖求出兩個焦點的位置，標(biāo)在圖上。再標(biāo)明透鏡的類別。10．如圖8—19所示，某人的眼睛在E處通過放大鏡L觀察標(biāo)尺M(jìn)，F(xiàn)1和F2為L的焦點。他既能通過L看到M上的一局部刻度，又能直接從鏡外看到一局部刻度值的范圍。在作圖進(jìn)用①、②、…標(biāo)明你畫的光線，并寫出作圖步驟。11．如圖8—20所示，凸透鏡L的主軸與x軸重合，光心O就是坐標(biāo)原點，凸透鏡的焦距為10厘米。有一平面鏡M放在y=－2厘米、x＞0的位置，眼睛從平面鏡反射的光中看到光點A的像位于A2處，A2的坐標(biāo)見圖?！?〕求出此發(fā)光點A的位置；〔2〕寫出用作圖法確定A的位置的步驟并作圖。12．一平凸透鏡焦距為f，其平面上鍍了銀，現(xiàn)在其凸面一側(cè)距它2f處，垂直于主軸放置一高為H的物，其下端在透鏡的主軸上，如圖8—21所示?！?〕用作圖法畫出物經(jīng)鍍銀透鏡所成的像，并標(biāo)明該像是虛、是實；〔2〕用計算法求出此像的位置和大小。13．焦距均為f的兩個凸透鏡L1、L2與兩個平面鏡M1、M2放置在如圖8—22所示的位置。兩透鏡共軸，透鏡的主軸與二平面鏡垂直，并通過兩平面鏡的中心，四鏡的直徑相同，在主軸上有一點光源O?！?〕畫出由光源向右的一條光線OA，在此光學(xué)系統(tǒng)中的光路；〔2〕分別說出由光源向右發(fā)出的光線和向左發(fā)出的光線各在哪些位置〔O點除外〕？形成光源O的能看到的像，哪些是實像？哪些是虛像？14．兩透鏡組合系統(tǒng)如圖8—23所示，物經(jīng)整個系統(tǒng)成像，像的位置大小如下圖。試用作圖法求物經(jīng)L1所成的像的位置與大小，作出L1的焦點及系統(tǒng)的焦點位置。說明L1和L2是什么透鏡？15．有兩個焦距分別為f1和f2的凸透鏡，如果把這兩個透鏡做適當(dāng)?shù)呐渲?，那么可使一垂直于光軸的小物體在原位置成一等大、倒立的像，如圖8—24所示，試求出滿足上述要求的配置方案中各透鏡的位置。參考答案1、N1先減小后增大，N2減小。2、F=(sinα+μcosα)，θ=arctanμ3、證明過程略。4、船的行駛速度必須有沿y方向的分速度，亦即具有