滬科版四邊形講解

第17頁(yè)四邊形講義知識(shí)脈絡(luò)：一基本概念：四邊形，四邊形的內(nèi)角，四邊形的外角，多邊形，平行線(xiàn)間的距離，平行四邊形，矩形，菱形，正方形，中心對(duì)稱(chēng)，中心對(duì)稱(chēng)圖形，梯形，等腰梯形，直角梯形，三角形中位線(xiàn)，梯形中位線(xiàn).多邊形：由若干條不在同一條直線(xiàn)上的線(xiàn)段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形。凸邊形：一個(gè)多邊形，如果把它任何一邊雙向延長(zhǎng)，其他各邊都在延長(zhǎng)所得直線(xiàn)的同一旁，這樣的多邊形叫做凸邊形。1．四邊形的內(nèi)角和及外角和定理：（1）四邊形的內(nèi)角和等于360°；（2）四邊形的外角和等于360°.2．多邊形的內(nèi)角和及外角和定理：（1）n邊形的內(nèi)角和等于(2)180°；（2）任意多邊形的外角和等于360°.3.平行四邊形：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。平行四邊形的性質(zhì)：因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?.平行四邊形的判定：.5.兩條平行線(xiàn)的距離兩條平行線(xiàn)中，一條直線(xiàn)上的任意一點(diǎn)到另一條直線(xiàn)的距離，叫做這兩條平行線(xiàn)的距離．平行線(xiàn)間的距離處處相等平行四邊形的面積：··同底(等底)同高（等高）的平行四邊形面積相等.=(5)中心對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)中心是對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)。(6)若一直線(xiàn)過(guò)平行四邊形兩對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，則這直線(xiàn)被一組對(duì)邊截下的線(xiàn)段以對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)為中點(diǎn)，且這條直線(xiàn)二等分四邊形的面積．5.矩形：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形。矩形的性質(zhì)：因?yàn)樗倪呅问蔷匦?.矩形的判定：四邊形是矩形.(4)矩形是軸對(duì)稱(chēng)、中心對(duì)稱(chēng)圖形．(5)矩形面積＝長(zhǎng)×寬7.菱形：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。菱形的性質(zhì)：因?yàn)槭橇庑?．菱形的判定：四邊形是菱形.(4)菱形是軸對(duì)稱(chēng)、中心對(duì)稱(chēng)圖形．(5)菱形面積＝底×高＝對(duì)角線(xiàn)乘積的一半9.正方形：有一個(gè)角是直角，且有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做正方形。正方形的性質(zhì)：因?yàn)槭钦叫危?）（2）（3）(4)正方形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有4條對(duì)稱(chēng)軸．(5)正方形的一條對(duì)角線(xiàn)把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形，兩條對(duì)角線(xiàn)把正方形分成四個(gè)小的全等的等腰直角三角形．如上方右圖。(6)正方形一條對(duì)角線(xiàn)上一點(diǎn)和另一條對(duì)角線(xiàn)的兩端距離相等．(7)正方形的面積：若正方形的邊長(zhǎng)為，對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為，則10．正方形的判定：四邊形是正方形.(3)∵是矩形又∵∴四邊形是正方形(2)判定正方形的一般順序：①先證明它是平行四邊形；②再證明它是菱形(或矩形)；③最后證明它是矩形(或菱形)．11.梯形：只有一組對(duì)邊平行，而另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形。等腰梯形的性質(zhì)：因?yàn)槭堑妊菪?2.等腰梯形的判定：四邊形是等腰梯形(3)∵是梯形且∥∵∴四邊形是等腰梯形(4)等腰梯形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它只有一條對(duì)稱(chēng)軸，一底的垂直平分線(xiàn)是它的對(duì)稱(chēng)軸．（5）．梯形的面積(1)．(2)梯形中有關(guān)圖形面積：①．②．③．※13．梯形中常見(jiàn)的輔助線(xiàn)：14.三角形中位線(xiàn)定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線(xiàn)段叫做三角形的中位線(xiàn)。（三角形有三條中位線(xiàn)）三角形中位線(xiàn)定理：(性質(zhì))三角形的中位線(xiàn)平行第三邊，并且等于它的一半.15.梯形中位線(xiàn)定義：連接梯形兩腰中點(diǎn)的線(xiàn)段，叫做梯形的中位線(xiàn)。（梯形的中位線(xiàn)有且只有一條）梯形中位線(xiàn)定理：梯形的中位線(xiàn)平行于兩底，并且等于兩底和的一半.二．中心對(duì)稱(chēng)圖形：（1）定義：在平面內(nèi)，一個(gè)圖形繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180O，如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形互相重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱(chēng)圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做它的對(duì)稱(chēng)中心.（2）中心對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)：中心對(duì)稱(chēng)圖形上的每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連成的線(xiàn)段都被對(duì)稱(chēng)中心平分軸對(duì)稱(chēng)圖形中心對(duì)稱(chēng)圖形有一條對(duì)稱(chēng)軸——直線(xiàn)有一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心——點(diǎn)沿對(duì)稱(chēng)軸對(duì)折繞對(duì)稱(chēng)中心旋轉(zhuǎn)180O對(duì)折后及原圖形重合旋轉(zhuǎn)后及原圖形重合如果把一個(gè)圖形沿著一條直線(xiàn)翻折過(guò)來(lái)，直線(xiàn)兩旁的部分能夠完全重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形這條直線(xiàn)叫做對(duì)稱(chēng)軸這時(shí),我們也說(shuō)這個(gè)圖形關(guān)于這條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)（3）中心對(duì)稱(chēng)的有關(guān)定理※1．關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形是全等形.※2．關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形，對(duì)稱(chēng)點(diǎn)連線(xiàn)都經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)中心，并且被對(duì)稱(chēng)中心平分.※3．如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線(xiàn)都經(jīng)過(guò)某一點(diǎn)，并且被這一點(diǎn)平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這一點(diǎn)對(duì)稱(chēng).三．常識(shí)：※1．若n是多邊形的邊數(shù)，則對(duì)角線(xiàn)條數(shù)公式是：.2．規(guī)則圖形折疊一般“出一對(duì)全等，一對(duì)相似”.3．如圖：平行四邊形、矩形、菱形、正方形的從屬關(guān)系.4．常見(jiàn)圖形中，僅是軸對(duì)稱(chēng)圖形的有：角、等腰三角形、等邊三角形、正奇邊形、等腰梯形……；僅是中心對(duì)稱(chēng)圖形的有：平行四邊形……；是雙對(duì)稱(chēng)圖形的有：線(xiàn)段、矩形、菱形、正方形、正偶邊形、圓…….注意：線(xiàn)段有兩條對(duì)稱(chēng)軸.邊形的的性質(zhì)：（1）邊形的內(nèi)角和等于．（2）任意多邊形的外角和等于（3）邊形共有條對(duì)角線(xiàn)（4）在平面內(nèi)，內(nèi)角都相等且邊都相等的多邊形叫做正多邊形。（5）正多邊形的每個(gè)內(nèi)角等于5．四邊形內(nèi)角及同一個(gè)頂點(diǎn)的一個(gè)外角互為鄰補(bǔ)角．6．順次連接任意四邊形和平行四邊形四邊中點(diǎn)所得的是四邊形是平行四邊形。順次連接對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形的四邊中點(diǎn)所得的是四邊形是菱形，如矩形、等腰梯形或圖二中圖形等。順次連接對(duì)角線(xiàn)垂直的四邊形的四邊中點(diǎn)所得的是四邊形是矩形，如菱形或圖三中圖形等。順次連接對(duì)角線(xiàn)既相等又垂直的四邊形的四邊中點(diǎn)所得的是四邊形是正方形，如正方形或圖四中圖形等。證明類(lèi)題型：1、在□中，E、F分別是、上的點(diǎn)，且＝ADFEADFEBC2、菱形的對(duì)角線(xiàn)交于O點(diǎn)，∥，∥，求證：四邊形是矩形。AADECBO3、如圖，梯形中，∥，M、N、P、Q分別為、、、的中點(diǎn)。求證：和互相平分。4.已知：如圖，平行四邊形的四個(gè)內(nèi)角的平分線(xiàn)分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，求證：四邊形是矩形。5.如圖，在矩形中，對(duì)角線(xiàn)、相交于點(diǎn)O，（1），畫(huà)出△平移后的三角形，其平移的方向?yàn)樯渚€(xiàn)的方向，平移的距離為線(xiàn)段的長(zhǎng)。（2）觀(guān)察平移后的圖形，除了矩形外還有哪一種特殊的平行四邊形？并給出證明。6.如圖所示，已知菱形中E在上，且，∠∠，交于M，試說(shuō)明。7.已知：如圖，△中，∠的平分線(xiàn)交于點(diǎn)D，E是上一點(diǎn)，且，∥交于點(diǎn)F，求證：四邊形是菱形。8如圖，平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)及、、分別交于點(diǎn)E、F、O，求證：四邊形是菱形。9.已知：如圖，C是線(xiàn)段上一點(diǎn)，△和△都是等邊三角形，R、F、G、H分別是四邊形各邊的中點(diǎn)，求證：四邊形是菱形。10.如圖，已知在△中，，∠B，∠C的平分線(xiàn)、相交于點(diǎn)M，∥，∥，及交于N，求證：四邊形是菱形。11.已知：如圖所示，為菱形，通過(guò)它的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)O作、的垂線(xiàn)，及、，，分別相交于點(diǎn)E、F、G、H，求證：四邊形為矩形。12.如圖，菱形的邊長(zhǎng)為2，＝2，E、F分別是邊，上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足＋＝2．求證：△≌△；判斷△的形狀，并說(shuō)明理由；設(shè)△的面積為S，求S的取值范圍．13、如圖，正方形中，過(guò)D做∥，∠=30°，交于點(diǎn)F，求證：=；14、如圖，在⊿中，∠=，⊥于D，平分∠，交于G，交于E，⊥于F，求證：四邊形是菱形；15、如圖，正方形中，F(xiàn)在上，平分∠，E為中點(diǎn)，求證：=+16、已知Δ中，E、F分別為、的中點(diǎn)，平分∠交于D，求證：⊥17、如圖所示，以△的三邊為邊在的同側(cè)分別作三個(gè)等邊三角形△、△、△，猜想：四邊形是什么四邊形，試證明你的結(jié)論.18、已知：P是正方形對(duì)角線(xiàn)上一點(diǎn)，⊥，⊥，E、F分別為垂足.求證：.19、如圖,△為等邊三角形，D、F分別為、上的點(diǎn)，且＝，以為邊作等邊△.(1)求證：△≌△.(2)點(diǎn)D在線(xiàn)段上何處時(shí)，四邊形是平行四邊形且∠30°.20、如圖，、是矩形的對(duì)角線(xiàn)，⊥于H，⊥于G，為∠的平分線(xiàn)，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，求證：=；求值類(lèi)：1.如圖，矩形的對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)O，⊥，⊥，：1：3，4，求∠的度數(shù)和的長(zhǎng)。如圖所示，矩形中，M是的中點(diǎn)，且⊥，若矩形的周長(zhǎng)為36，求此矩形的面積。如圖，在矩形中，是上一點(diǎn)，是上一點(diǎn)，，且，矩形的周長(zhǎng)為，求及的長(zhǎng)．如圖所示，已知菱形中，E、F分別在和上，且∠∠60°，∠15°，求∠的度數(shù)。已知：如圖，在菱形中，E、F分別是、上的點(diǎn)，且。過(guò)點(diǎn)C作∥交于H，交于G，若∠25°，∠130°，求∠的度數(shù)。已知：如圖，在矩形中，E、F分別是邊、上的點(diǎn)，且＝，⊥．求證：平分∠．如圖，在△中，，D、E、F分別是、、上的中點(diǎn)，（1）求證四邊形是菱形。（2）若12，求菱形的周長(zhǎng)？8、點(diǎn)M、N分別在正方形的邊、上，，已知△的周長(zhǎng)等于正方形周長(zhǎng)的一半，求∠的度數(shù)。9、如圖，在平行四邊形中，=2，E為的中點(diǎn)，求∠的度數(shù)；10、如圖，以正方形的對(duì)角線(xiàn)為一邊，延長(zhǎng)到E，使=，以為一邊作菱形，若菱形的面積為，求正方形邊長(zhǎng)；11、已知：平行四邊形中，11，∠150°，平行四邊形的面積是152，求，。12、如圖，在⊿中，∠C=，=，=30，矩形的一邊在上，頂點(diǎn)G、F分別在、上，若：=1：4，求矩形的面積動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題：APDBAPDBQC（1）t為何時(shí)，四邊形為矩形？（2）t為何時(shí)，四邊形為等腰梯形？2、如圖，梯形中為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)、B、C的坐標(biāo)分別為（14，0）、（14，3）、（4，3）。點(diǎn)P、Q同時(shí)從原點(diǎn)出發(fā)，分別作勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P沿以每秒1個(gè)單位向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿、以每秒2個(gè)單位向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)。當(dāng)這兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)自己的終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)。(1)設(shè)從出發(fā)起運(yùn)動(dòng)了x秒，且x﹥2.5時(shí)，Q點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)當(dāng)x等于多少時(shí)，四邊形為平行四邊形？(3)四邊形能否成為等腰梯形？說(shuō)明理由。POyCPOyC(4,3)QB(14,3))A(14,0)x等腰梯形中，＝15，＝20，∠C＝30o．M、N同時(shí)以相同速度分別從點(diǎn)A、點(diǎn)D開(kāi)始在、（包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)．（1）設(shè)為x，用x表示出點(diǎn)N到的距離，并寫(xiě)出x的取值范圍．（2）設(shè)10,用t表示△的面積．（3）求△的面積的最大值，并判斷取最大值時(shí)△的形狀．如圖(1)，已知P為正方形的對(duì)角線(xiàn)上一點(diǎn)(不及A、C重合)，⊥于點(diǎn)E，⊥于點(diǎn)F.第10題圖2第10題圖1第10題圖2第10題圖1(2)如圖47(2)，若四邊形繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中是否總有？若是，請(qǐng)證明之；若不是，請(qǐng)舉出反例；(3)試選取正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)，分別及四邊形的兩個(gè)頂點(diǎn)連結(jié)，使得到的兩條線(xiàn)段在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中長(zhǎng)度始終相等，并證明之.5.如圖，□中，⊥，＝1，＝．對(duì)角線(xiàn)，相交于點(diǎn)O，將直線(xiàn)繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)．證明：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90°時(shí)，四邊形是平行四邊形；試說(shuō)明在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線(xiàn)段及總保持相等；在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，四邊形可能是菱形嗎?如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果能，畫(huà)出圖形并寫(xiě)出此時(shí)繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)．6．如圖1，正方形邊長(zhǎng)為1，G為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)G及C、D不重合），以為一邊向正方形外作正方形，連接交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H。（1）求證：①△≌△；②⊥。（2）當(dāng)點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，垂直平分？請(qǐng)說(shuō)明理由。折疊問(wèn)題：1、如圖，有一塊面積為1的正方形，M、N分別為、邊的中點(diǎn)，將C點(diǎn)折至上，落在點(diǎn)P的位置，折痕為，連結(jié).(1)求的長(zhǎng)度;⑵求證：以為邊長(zhǎng)的正方形的面積等于.2.折疊矩形紙片，先折出折痕，再折疊使邊及對(duì)角線(xiàn)重合，得折痕，如圖，若2，1，求。3、如圖，將矩形紙片沿對(duì)角線(xiàn)折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，求證：.常見(jiàn)輔助線(xiàn)的作法有以下幾種：遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線(xiàn)合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對(duì)折”．遇到三角形的中線(xiàn)，倍長(zhǎng)中線(xiàn)，使延長(zhǎng)線(xiàn)段及原中線(xiàn)長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”．遇到角平分線(xiàn)，可以自角平分線(xiàn)上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線(xiàn)，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理或逆定理．過(guò)圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”截長(zhǎng)法及補(bǔ)短法，具體做法是在某條線(xiàn)段上截取一條線(xiàn)段及特定線(xiàn)段相等，或是將某條線(xiàn)段延長(zhǎng)，是之及特定線(xiàn)段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說(shuō)明．這種作法，適合于證明線(xiàn)段的和、差、倍、分等類(lèi)的題目．特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類(lèi)的問(wèn)題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線(xiàn)段連接起來(lái)，利用三角形面積的知識(shí)解答．一、倍長(zhǎng)中線(xiàn)（線(xiàn)段）造全等例1、（“希望杯”試題）已知，如圖△中，5，3，則中線(xiàn)的取值范圍是.例2、如圖，△中，E、F分別在、上，⊥，D是中點(diǎn)，試比較及的大小.例3、如圖，△中，，E是的中點(diǎn)，求證：平分∠.應(yīng)用：1、（09崇文二模）以的兩邊、為腰分別向外作等腰和等腰，連接，M、N分別是、的中點(diǎn)．探究：及的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．（1）如圖①當(dāng)為直角三角形時(shí)，及的位置關(guān)系是，線(xiàn)段及的數(shù)量關(guān)系是；（2）將圖①中的等腰繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)(0<<90)后，如圖②所示，（1）問(wèn)中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變？并說(shuō)明理由．二、截長(zhǎng)補(bǔ)短1、如圖，中，2，平分，且，求證：⊥2、如圖，∥，分別平分∠,∠，過(guò)點(diǎn)E，求證＝3、如圖，已知在內(nèi)，，，P，Q分別在，上，并且，分別是，的角平分線(xiàn)。求證：4、如圖，在四邊形中，＞＝，平分，求證：5、如圖在△中，＞，∠1＝∠2，P為上任意一點(diǎn)，求證＞三、平移變換例1為△的角平分線(xiàn)，直線(xiàn)⊥于為上一點(diǎn)，△周長(zhǎng)記為，△周長(zhǎng)記為.求證＞.例2如圖，在△的邊上取兩點(diǎn)D、E，且，求證：>.四、借助角平分線(xiàn)造全等1、如圖，已知在△中，∠60°，△的角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)O，求證：2、如圖，△中，平分∠，⊥且平分，⊥于E，⊥于F.（1）說(shuō)明的理由；（2）如果，，求、的長(zhǎng).鏈接中考：1．（2010山東萊蕪）在平行四邊形中，、交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O