2023年版新教材高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)3.2函數(shù)的基本性質(zhì)3.2.2奇偶性課時作業(yè)新人教A版必修第一冊

PAGE10PAGE3．2.2奇偶性必備知識基礎(chǔ)練1．下列函數(shù)中是偶函數(shù)的是()A．y＝x4(x<0)B．y＝eq\f(2,x2＋1)C．y＝3x－1D．y＝|x＋1|2．下列函數(shù)是奇函數(shù)的是()A．f(x)＝x－eq\f(1,x)B．f(x)＝x2＋1C．f(x)＝x＋1D．f(x)＝x，x∈(－1，1]3．已知函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f(x)·g(x)的圖象可能是()4．函數(shù)f(x)＝x2－1的圖象關(guān)于()A．x軸對稱B．y軸對稱C．坐標(biāo)原點對稱D．直線y＝x對稱5．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在定義域內(nèi)是增函數(shù)的為()A．y＝x＋1B．y＝－x3C．y＝－eq\f(1,x)D．y＝x|x|6．設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是()A．|f(x)|－g(x)是奇函數(shù)B．f(x)－|g(x)|是奇函數(shù)C．|f(x)|＋g(x)是偶函數(shù)D．f(x)＋|g(x)|是偶函數(shù)7．[2022·湖南邵陽高一期末]已知f(x)為奇函數(shù)，f(2)＝3，則f(－2)＝________．8．已知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且f(x)的定義域為[a＋1，3]，則a的值為________．關(guān)鍵能力綜合練1．若函數(shù)y＝(3x＋1)(x－a)為偶函數(shù)，則a＝()A．1B．－1C．eq\f(1,3)D．22．若函數(shù)f(x)＝eq\f(x,（2x＋1）（x－a）)為奇函數(shù)，則a＝()A．eq\f(1,2)B．eq\f(2,3)C．eq\f(3,4)D．13．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,1－x2)的圖象大致為()4．[2022·廣東珠海高一期末]已知f(x)是R上的偶函數(shù)，在(－∞，0]上單調(diào)遞增，且f(2)＝0，則下列不等式成立的是()A．0<f(1)<f(5)<f(－3)B．f(5)<f(－3)<0<f(1)C．f(－3)<f(－1)<0<f(1)D．f(－3)<0<f(1)<f(5)5．[2022·福建廈門高一期末]已知偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(3)＝0，則f(x－2)>0的解集是()A．{x|－3<x<3}B．{x|x<－1或x>5}C．{x|x<－3或x>3}D．{x|x<－5或x>1}6．[2022·河北安新中學(xué)高一期末](多選)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)＝x2＋x＋5，則()A．f(0)＝0B．函數(shù)g(x)＝xf(x)為奇函數(shù)C．f(－1)＝－7D．當(dāng)x<0時，f(x)＝－x2＋x－57．定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足：當(dāng)x≥0時，f(x)＝x3＋x2，則f(－2)＝________．8．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x（4＋x），x≥0,x（4－x），x<0))，則f(－1)·f(1)＝________；f(x)是________(填奇、偶或非奇非偶函數(shù)).9．已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝eq\f(ax＋1,x2＋1)為偶函數(shù)．(1)求a的值；(2)判斷f(x)在[0，＋∞)上的單調(diào)性，并用定義法證明．10．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)＝x2－2x－3(1)求f(f(1))的值；(2)求函數(shù)f(x)的解析式；(3)把函數(shù)圖象補充完整，并寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間．核心素養(yǎng)升級練1．[2022·河北滄州高一期末]符號函數(shù)sgn(x)是一個很有用的函數(shù)，符號函數(shù)能夠把函數(shù)的符號析離出來，其表達式為sgn(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))若定義在R上的奇函數(shù)f(x)，當(dāng)x∈(0，＋∞)時，f(x)＝－x2＋2x，則y＝sgn(f(x))的圖象是()2．已知f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且f(x)＋g(x)＝x3－2x2，則f(2)－g(2)＝________．3．[2022·河北石家莊高一期末]已知函數(shù)f(x)＝eq\f(ax＋b,x2＋1)是定義在(－1，1)上的奇函數(shù)，且f(eq\f(1,2))＝eq\f(2,5).(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)判斷函數(shù)f(x)在(－1，1)上的單調(diào)性，并用定義證明；(3)解關(guān)于t的不等式：f(t＋eq\f(1,2))＋f(t－eq\f(1,2))<0.3．2.2奇偶性必備知識基礎(chǔ)練1．答案：B解析：對于A，因為函數(shù)y＝x4(x<0)的定義域不關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)不具有奇偶性，故A不符合題意；對于B，函數(shù)y＝f(x)＝eq\f(2,x2＋1)的定義域為R，f(－x)＝eq\f(2,x2＋1)＝f(x)，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故B符合題意；對于C，函數(shù)y＝f(x)＝3x－1的定義域為R，f(－x)＝－3x－1≠f(x)，所以函數(shù)不是偶函數(shù)，故C不符合題意；對于D，函數(shù)y＝f(x)＝|x＋1|的定義域為R，因為f(－1)＝0≠f(1)＝2，所以函數(shù)不是偶函數(shù)，故D不符合題意．2．答案：A解析：對于A：f(x)＝x－eq\f(1,x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞).因為f(－x)＝(－x)－eq\f(1,－x)＝－(x－eq\f(1,x))＝－f(x)，所以f(x)＝x－eq\f(1,x)為奇函數(shù)，故A正確；對于B:f(x)＝x2＋1定義域為R，因為f(1)＝12＋1＝2，f(－1)＝(－1)2＋1＝2，所以f(－1)≠－f(1)，所以f(x)＝x2＋1不是奇函數(shù)，故B錯誤．對于C：f(x)＝x＋1定義域為R，因為f(1)＝1＋1＝2，f(－1)＝(－1)＋1＝0，所以f(－1)≠－f(1)，所以f(x)＝x＋1不是奇函數(shù)，故C錯誤．對于D：f(x)＝x定義域為(－1，1]，不關(guān)于原點對稱，所以f(x)＝x，x∈(－1，1]不是奇函數(shù)，故D錯誤．3．答案：A解析：根據(jù)函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)的圖象，可得函數(shù)y＝f(x)·g(x)在x＝0處無意義，故排除CD；由圖象可知y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱為偶函數(shù)，y＝g(x)的圖象關(guān)于原點對稱為奇函數(shù)，所以y＝f(x)·g(x)為奇函數(shù)，故排除B.4．答案：B解析：函數(shù)f(x)的定義域是實數(shù)集R，關(guān)于原點對稱，f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)，是偶函數(shù)，∴函數(shù)f(x)圖象關(guān)于y軸對稱．5．答案：D解析：選項A：y＝x＋1不是奇函數(shù)，不正確；選項B：y＝－x3在R是減函數(shù)，不正確；選項C：y＝－eq\f(1,x)定義域上沒有單調(diào)性，不正確；選項D：設(shè)f(x)＝x|x|，f(－x)＝－x|x|＝－f(x)，f(x)是奇函數(shù)，f(x)＝x|x|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2，x≥0,－x2，x<0))，f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)都是單調(diào)遞增，且在x＝0處是連續(xù)的，f(x)在R上單調(diào)遞增，所以正確．6．答案：D解析：∵函數(shù)f(x)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x).對于選項A，|f(－x)|－g(－x)＝|f(x)|＋g(x)≠±(|f(x)|－g(x))，故其不具有奇偶性；對于選項B，f(－x)－|g(－x)|＝f(x)－|g(x)|，故函數(shù)為偶函數(shù)；對于選項C，|f(－x)|＋g(－x)＝|f(x)|－g(x)≠±(|f(x)|＋g(x))，故其不具有奇偶性；對于選項D，f(－x)＋|g(－x)|＝f(x)＋|g(x)|，故函數(shù)為偶函數(shù)．綜上，選D.7．答案：－3解析：因為f(x)為奇函數(shù)，f(2)＝3，所以f(－2)＝－f(2)＝－3.8．答案：－4解析：因為函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且f(x)的定義域為[a＋1，3]，則a＋1＋3＝0，解得a＝－4.關(guān)鍵能力綜合練1．答案：C解析：若y＝f(x)，則f(x)＝3x2＋(1－3a)x－a為偶函數(shù)，∴f(x)＝f(－x)，即3x2＋(1－3a)x－a＝3(－x)2＋(1－3a)(－x)－a，∴2(1－3a)x＝0恒成立，可得a＝eq\f(1,3).2．答案：A解析：∵f(x)＝eq\f(x,（2x＋1）（x－a）)為奇函數(shù)，∴f(－1)＋f(1)＝0，得a＝eq\f(1,2).3．答案：A解析：函數(shù)定義域為{x|x≠±1}，f(－x)＝eq\f(1,1－x2)＝f(x)，則f(x)為偶函數(shù)，排除選項CD；又f(2)＝eq\f(1,1－22)＝－eq\f(1,3)<0，排除B.4．答案：B解析：因為f(x)是R上的偶函數(shù)，在(－∞，0]上單調(diào)遞增，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，f(－3)＝f(3).又因為f(2)＝0，1<2<3<5，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f(1)>f(2)>f(3)>f(5)，即f(5)<f(－3)<0<f(1).5．答案：B解析：因為f(3)＝0，則f(x－2)>0，所以f(x－2)>f(3)，因為f(x)為偶函數(shù)，所以f(|x－2|)>f(3)，因為f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以|x－2|>3，解得x<－1或x>5，所以不等式的解集為{x|x<－1或x>5}．6．答案：ACD解析：對于A，f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，故f(0)＝0，A正確．對于B，由g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，得g(x)為偶函數(shù)，B錯誤．對于C，f(－1)＝－f(1)＝－7，C正確，對于D，當(dāng)x<0時，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－x2＋x－5，D正確．7．答案：12解析：因為f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，故可得f(－2)＝f(2)，又當(dāng)x≥0時，f(x)＝x3＋x2，故可得f(2)＝12，綜上所述：f(－2)＝12.8．答案：－25奇函數(shù)解析：f(1)＝1×(4＋1)＝5，f(－1)＝－1×(4＋1)＝－5，所以f(－1)·f(1)＝－25.當(dāng)x＝0時，f(0)＝0；當(dāng)x>0時，f(x)＝x(4＋x)，則－x<0，則f(－x)＝－x(4＋x)＝－f(x)，當(dāng)x<0時，f(x)＝x(4－x)，則－x>0，則f(－x)＝－x(4－x)＝－f(x)，綜上可得，對任意x∈R，均有f(－x)＝－f(x)成立，故f(x)為奇函數(shù)．9．解析：(1)由題意可得f(x)＝f(－x)，則eq\f(ax＋1,x2＋1)＝eq\f(－ax＋1,x2＋1)，解得a＝0.(2)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減．證明如下：由(1)可得f(x)＝eq\f(1,x2＋1)，令0≤x1<x2，則xeq\o\al(\s\up11(2),\s\do4(2))－xeq\o\al(\s\up11(2),\s\do4(1))>0，又f(x1)－f(x2)＝eq\f(1,xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋1)－eq\f(1,xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋1)＝eq\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))－xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)),（xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋1）（xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋1）)>0，即f(x1)>f(x2)，故f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減．10．解析：(1)∵f(x)是R上的奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，∵f(1)＝1－2－3＝－4，∴f(f(1))＝f(－4)＝－f(4)＝－(16－8－3)＝－5.(2)當(dāng)x<0時，－x>0，∴f(－x)＝(－x)2－2(－x)－3＝x2＋2x－3，∴f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x＋3；又f(0)＝0，∴f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x－3，x>0,0，x＝0,－x2－2x＋3，x<0)).(3)f(x)圖象如下圖所示：結(jié)合圖象可知：f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1]和[1，＋∞).核心素養(yǎng)升級練1．答案：C解析：依題意，f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱．當(dāng)x∈(0，＋∞)時，f(x)＝－x2＋2x，結(jié)合f(x)的奇偶性，作出f(x)的大致圖象如圖所示，根據(jù)sgn(x)的定義可知，選項C符合題意．2．答案：16解析：由題意，f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，∴f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)＝－x3－2x2，即f(x)－g(x)＝x3＋2x2，∴f(2)－g(2)＝8＋8＝16.3．解析：(1)因為函數(shù)f(x)＝eq\f(ax＋b,x2＋1)是定義在(－1，1)上的奇函數(shù)，則f(－x)＝－f(x)，即eq\f(－ax＋b,x2＋1)＝－eq\f(ax＋b,x2＋1)，可得b＝0，則f(x)＝eq\f(ax,x2＋1)，所以，f(eq\f(1,2))＝eq\f(\f(1,2)a,（\f(1,2)）2＋1)＝eq\f(2,5)a＝eq\f(2,5)，則a＝1，因此，f(x)＝eq\f(x,x2＋1).(2)證明：函數(shù)f(x)在(－1，1)上是增函數(shù)，證明如下：任取x1、x2∈(－1，1)且x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝eq\f(x1,xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋1)－eq\f(x2,xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋1)＝eq\f(x1xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋x1－xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)