數(shù)值分析作業(yè)答案

精品文檔精品文檔第2章插值法1、當x=1，-1，2時，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多項式。用單項式基底。Lagrange插值基底。Newton基底。1）用單項式基底設(shè)多項式為:P(x)a0

axa1

x2，1 x x20

1 1 1所以：A1 x1

x2111611 x x22 2

1 2 4f(x)0af(x)0af(x)0 1f(x)x0x1xx20x21x2111x0x1xx20x2x2034112114111112111476 34222221 f(x0

) x2 1 x0

x2 1 0 0

1 1 1

9 3a1 f(x) x2 1

x213

111621 11 f(x2

1 ) x2 1 x2

1x2 1 4 2

1 2 41 x f(x0 0

1 x x2 1 0 0

0 1

15 5a1 x2 1

f(x) 1 x1

x21131

111661 x f(x2 2

1 x x2 1 2 2

4 1 2 47所以f(x)的二次插值多項式為：P(x) 73

3 5x x22 6（2）用Lagrange插值基底l(x)

(xx)(xx1

)(x1)(x2)0 (xx)(xx) 0 1 0 2l(x)

(xx0

)(xx2

)(x1)(x2)1 (x1

x)(x0

x) (11)(12(xx)(xx) (x1)(xl(x)0 1 2 (x2

x)(x0

x) (21精品文檔精品文檔Lagrange插值多項式為：L(x)f(x)l(x)f(x)l(x)f(x)l

(x)2 00 11 225 3 01(x41(x6 35 3 x2 x6 2 37所以f(x)的二次插值多項式為：L(x) 7

3 5x x22 3 2 6(3)用Newton基底:均差表如下：xkf(xk)一階均差 二階均差10-1-33/2247/3 5/6Newton插值多項式為：N(x)f(x)f[x,x](xx)f[x,x,x](xx)(xx)2 0 0 1 0 0 1 2 0 103(x5(x2 65 3 7 x2 x6 2 37 3 5f(x)N(xxx22 3 2 6由以上計算可知，三種方法得到的多項式是相同的。6、在4x4f(xexex的近似10-6h應(yīng)取多少？解：以xi-1,xi,xi+1為插值節(jié)點多項式的截斷誤差，則有R(x)1f()(x

)(xx)(x

),(x ,x )2

i1

i1

i1式中x xx xi1 i11

3 3931 21 e43 393R(x) e4max(x

)(xx)(x

) e4 h3 h3x2 6xi1

xxi1

i1

i1 693令e493

h3106得h0.00658插值點個數(shù)

14(4)1216.81217N1是奇數(shù)，故實際可采用的函數(shù)值表步長4(4) 8h 0.006579N1 12168、f(x)x7x43x1，求f[20,21,,27]及f[20,21,,28]。解：由均差的性質(zhì)可知，均差與導(dǎo)數(shù)有如下關(guān)系：f[x0

,x,,x1

]f(n)(),[a,b]n!f[20,21,,27

f(7)()f(8)() 0f[20,21,,28] 15、證明兩點三次Hermite插值余項是R(x)f(4))(xx)2(xx )2/4!,(x,x )3 k k1 k k1并由此求出分段三次Hermite插值的誤差限。證明：利用[xk，xk+1]上兩點三次Hermite插值條件H(x3 k

)f(xk

),H3

(xk

)f(x

)kH(x3 k

)f(xk

),H(x3

k

)f(x

)k知R(x)f(x)H3

(xxk和k+1設(shè)。R3(x)k(x)(xxk)2(xxk1)2。確定函數(shù)k(x):xxkxk+1k(x)取任何有限值均可；當xxk,xk1時，x(xk,xk1)，構(gòu)造關(guān)于變量t的函數(shù)g(t)f(t)H3(t)k(x)(xxk)2(xxk1)2顯然有

g(x)0,g(x)0,g(xk

k

)0g(xk

)g(x

k

)01在[xk,x][x,xk+1]g(x)Rolle定理，存在1

(xk

,x)及2

(x,x

k

)使得g)0,g1 2

)0在(xk

,)，,1 1

)，

,x2 k

)上對g(x)使用Rolle定理，存在k1

(xk

,)，1 ,)和 ,x )使得k2 1 2 k2 kg(k1

)g(k2

)g(k3

)0再依次對g(t)和g(t)使用Rolle定理，知至少存在(x,x )使得k kg(4)()0而g(4)(t)f(4)(t)k(4)(t)4!，將代入，得到1k(t)

f(4)(),(xk,

x k1推導(dǎo)過程表明依賴于x,x 及xk k1綜合以上過程有：R(x)f(4))(xx)2(xx )2/3 k k1確定誤差限：I(x)為f(x)[a,b]上基于等距節(jié)點的分段三次Hermite插值函數(shù)。hbaxakh,(k,n),hk n在區(qū)間[xk，xk+1]上有1f(x)I(x)f(4))(xx)2(xx )2/maxf(4)(x)max(x

)2(xx )2h k k

a

xxx

k1k l1而最值max(xxxxx k

)2(xx

k

)2maxs2(s1)2h40s1

1h4,(xx16

sh)k l11進而得誤差估計：f(x)Ih

(x)

h4maxf(4)(x)384 axb16、求一個次數(shù)不高于4次的多項式p(x)p(0p(00，p(1)p(1)0，p(2)1。H3

(0)H(0)0,H3

(1)H(1)1的Hermite插值多項式為3(x0,x0 1H(x)3

1)[H(x)a3 j

(x)H(x)3 j

(x)]jj012x1x02(1)x02 1010 x 102x2x3設(shè)P(x)H3于是

(x)Ax2(x1)2，令P(2)1得A141 1P(x)2x2x3

x2(x2 x2(x3)24 4第3章曲線擬合的最小二乘法16、觀測物體的直線運動，得出以下數(shù)據(jù)：i012345時間t/s00.91.93.03.95.0距離s/m010305080110求運動方程。tssab,spa,t，計算離散內(nèi)積有：526，,t5

t00.91.93.03.95.014.7jj0t,t5j0

j0t2020.921.923.023.925.0253.63j,s5j0t,s5

s010305080110280jts000.9101.9303.0503.9805.01101078jjj0求解方程組得：6 14.7a 280 14.7 53.63 a7.855048，b22.253761運動方程為：s7.85504822.253761t2

5j0

ss(tj

2) 17、已知實驗數(shù)據(jù)如下：i01234Xi1925313844Yi19.032.349.073.397.8用最小二乘法求形如yabx2的經(jīng)驗公式，并計算均方差。 解：span1,x2，計算離散內(nèi)積有：425，,x2

x21922523123824425327jj0x2,x24j0

j0x41942543143844447277699j,y4yjj0

19.032.349.073.397.8271.4x2,y4j0

x2yj

19219.025232.331249.038273.344297.8369321.5求解方程組得： 5 5327a 271.4 5327 7277699 a0.972579，b0.05035所求公式為：y0.9725790.05035x214 221j均方誤差：y(xjj0

)yj

0.1226第4章數(shù)值積分與數(shù)值微分1度盡量高，并指明所構(gòu)造出的求積公式所具有的代數(shù)精度：（1）hh

f(x)dxA1

f(h)A0

f(0)Af(h)；1精品文檔精品文檔（2）2h2h

f(x)dxA1

f(h)A0

f(0)Af(h)；1（3）1f(xdx[f(1)2f(x)3f(x)]/3；1 1 2（4）hf(xdx[f(0)f(h)]/2ah2[f(0)f(h)]。0（1）hh

f(x)dxA1

f(h)A0

f(0)Af(h)；1將f(x)1,x,x2分別代入公式兩端并令其左右相等，得 AAAhdx2h

0 1 hh hA

0AhA

xdx0

0 1 h解得2次代數(shù)精確度。又由于h2AA0h2Ahx2dx2解得2次代數(shù)精確度。又由于 1 0 1 h 3故hh

f(x)dxhf(h)4hf(0)hf(h)具有3次代數(shù)精確度。3 3 32）2h2h

f(x)dxA1

f(h)A0

f(0)Af(h)1f(x)1,x,x2分別代入公式兩端并令其左右相等，得 AAA2hdx4h

0 1 2h hA0AhA2hxdx0 1 0 2h

2h1

2h 16(h)2AA0h2A

x2dx

x3 h3 1 0

2h 3

32h

A8h,

4h1 1 3 0 32h 8h 令f(x)x3，得 x3dx0 (h)3 h32h 8h 2h 3 3令f(x)x4，得

x52h2hx4dx

64h5 8h 8h (

16h52h

5

2h

5 3 3 3故求積分公式具有3次精確度。精品文檔精品文檔3）1f(xdx[f(1)2f(x)3f(x)]/31 1 2當f(x)1時，易知有1f(xdx[f(1)2f(x)3f(x)]/31 1 2令求積分公式對f(x)x,x2準確成立，即31xdx012x331 1 21 2 12x23x2x2dx 1 21 3x0.2898979 x0.6898979則解得

或1x0.5265986 x0.12659862 2將f(x)x3代入已確定的積分公式，則1f(xdx[f(1)2f(x)3f(x)]/31 1 2故所求積分式具有2次代數(shù)精確度。4）hf(xdx[f(0)f(h)]/2ah2[f(0)f(h)]0當f(x)1,x時，有hdx[11]/2ah2[00]0hxdx[0h]/2ah2[11]0故令f(x)x2時求積公式準確成立，即hx2dx[0h2]/2ah2[02h]0解得a1。12將f(x)x3,x4代入上述確定的求積分公式，有x4h 1hx3dx [0h3]/2 h2[0h2]0 4 120x5h 1hx4dx [0h4]/2 h2[04h4]0 5 120故所求積公式具有3次代數(shù)精確度。2、分別用梯形公式和辛普森公式計算下列積分：（1）1 x04x2

dx,n8;（2）91（3）0

xdx,n4;4sin2d,n6解（1）復(fù)化梯形公式，h182Thf(0)2728k

f(x)fk

(1)0.1114024復(fù)化辛普森公式，h186Shf(0)4768k

f(x1k12

)47k

f(x)fk

(1)0.11157182）h2，Thf(1

f(x)f(9)17.30600054 2

kk1Shf(1

f(x

)

f(x)f(9)16.72375054 6

k0 k2

kk11（3）h，T136 6

hf(0)252k12

f(x)fk

(6) 1.03568416Shf(0)466k

f(x1k12

)45k

f(x)fk

()1.035763965、推導(dǎo)下列三種矩形求積公式：bf(bf(x)dx(ba)f(a) (ba)2；a 2bf(bf(x)dx(ba)f(a) (ba)2；a 2b ab f)f(x)dx(ba)f( (ba)3。a 2 241）f(x)a處展開，得f(x)f(a)f()(xa),(a,x)兩邊在[a,b]上積分，得bf(xdxbf(adxbf)(xa)dxa a aba)f(a)bf)(xa)dxa精品文檔精品文檔由于x-a在[a,b]上不變號，故由積分第二中值定理，有(a,b)bf(xdxba)f(a)f)b(xa)dxa a從而有bf(xdxba)f(a)1f)ba)2,(a,b)a 2右矩形公式，同（1（x）b點處展開并積分，得bf(xdxba)f(a)1f)ba)2,(a,b)a 2f(xab處展開，得2 ab ab a f(x)f( )f( )(x )f()(x )2,(a,2 2 2 2兩邊積分并用積分中值定理，得b ab ab b ab 1b abf(x)f( )(ba)f)(x f)(x )2dxa 2 2 a 2 2a 2f(ab)(ba)f()b(xab)2dx2 a 2ab 1f(

)(ba) fa)3,(a,b)2 246、若分別使用復(fù)合梯形公式和復(fù)合辛普森公式計算積分I1exdx，問區(qū)間0,101應(yīng)分多少等份才能使截斷誤差不超過 105。12解：由于f(x)exf(x)f(4)(x),ba1由復(fù)合梯形公式的余項有： ba

112 1R f h2f) e 10512 12n 2n 解得n212.85可取n213由辛普森公公式的余項有： Rfbah4f(4)) 1 (1)4 1105 n 2880 2880n 2解得n3.707可取n48、用龍貝格求積方法計算下列積分，使誤差不超過105（1）

210

exdx；精品文檔精品文檔2xsinxdx；03x1x2dx。0 h

n1 n2f(x)f(x)2 f(x),k0n1）T(k)

0 n ii1k 4kT 2n

(k1)T(k1)n

,k1,2,3,kT(knTkT(knT(k)0T(k1T(k)2T(k30T(0)hn2 n1f(x)f(x)2f(x)0ni1i1T(1) 2nn4T(0)T(0)41n2T(2)n42T(1)T(1)2n421n3T(3)n43T(2)T(2)2n431n0.77174330.72806990.71351210.71698280.71328700.71327200.71420020.71327260.71327170.7132717(2)k

T(k) T(k)0 10 3.4513132*10-61(3)

8.6282830*10-7 -4.4469230*10-2118f(xxfxf(x)

1(1x)2

在x1.0,1.1,1.2處的導(dǎo)數(shù)值，并估計誤差。的1.01.11.20.25000.22680.2066解：三點求導(dǎo)公式為f(x)1f(x)4f(x)f(x)h2f)0 2h 0 1 2 3 0f(x)1f(x)f(x)h2f)1 2h 0 1 6 1f(x)1f(x)4f(x)3f(x)h2

f()2 2h

1 2 3

(x,x),i0,1,2i 0 2取表中x1.0,1.1,1.2，分別將有關(guān)數(shù)值代入上面三式，即可得導(dǎo)數(shù)近似值。由于f)max f(x)

4!0.75i 1.0x1.2

1.0x1.2 254!14!1x5X1.01.11.2三點公式-0.247-0.217-0.187誤差0.00250.001250.0025理論解-0.25-0.2159594-0.1878287數(shù)值積分法,令(xf(xf(x

)f(x)k1(x)dx對積分采用梯形公式，得

kk xkf(x

)f(x)xkxk(x)(x

)(xk1xk)3(),

(x,x )kk 2令k=0,1,得

k k12

k k

k1(x)(x)2f(x)f(x)0 1 h 1 0(x)(x)2f(x)f(x)1 2 h 同樣對有

1f(xk1

)f(xk1

)k1(x)dxxk1xf(x

)f(x

)xkxk

)(x

)(xkxk)3

),

(x ,x )k1從而有

k2

k1

k12

k k k

k1精品文檔精品文檔(x)(x)1f(x)f(x)0 2 h 2 0代入數(shù)值，解方程，即得(xk

),k0,1,2如下X1.01.11.2三點公式-0.247-0.217-0.187誤差-0.25-0.2159594-0.1878287理論解-0.25-0.2159594-0.1878287第5章解線性方程的直接方法7、用列主元消去法解線性方程組12x3x3x

1518132 315 x x x 1 2 3xxx61 2 3并求出系數(shù)矩陣A的行列式的值。 12 3 3

18 3 1 15 18 3 1 15A b

18 3 1

0 1

5

6 18 607617 3107617 310 018622 667 77 22A18 6 7

66x3,x3 2

2,x118、用直接三角分解求線性方程組的解。1x1x1x941 52 631 1 11x x x831 42 5312x

x2x812 31解：由公式u

a(i1,2, ,n),l

a/ui1 11

,i2,3, ,nuari ri

r1lurkkik1

,ir,r1, ,n;精品文檔精品文檔l(air r1luikkrk1

)/urr

,ir1,

,n;rn知11434215161601-364513151 1 114ALU

0 04 5 611 111 00 3 60 452 36 120 0

131 0 0

154 bLY3229

1 0Y8 1 1Y4 1541 4

16 9 1 1 13 UX0 XY13 600 0

45 154x227.08,x1

15476.92,x3

177.690.1 0.312、設(shè)A0.6 0.