C幾何-C2平面幾何計算

C幾何——C2平面幾何計算C2-001設P是正方形/188內(nèi)的一點,滿足以:尸8：PC=1：2：3,求/4PB.【題說】1979年內(nèi)蒙古區(qū)賽二試題4.【解】作點。,使C0=R1,BQ=PB.再連P0,顯然/VIPB纟△8QC,故NAPB=NBQCNABP=NCBQZPBQ=—因而△尸80是等腰直角三角形.ZPQB=~且尸び=尸ダ=8Rf,因此尸で=9%2=尸び+C0于是△CP。是直角三角形,故NAPB=NBQC=NCQP+NPQBC2-002設N是正九邊形，。為其外接圓圓心,P。和。7?是N的兩個鄰邊.ス為P。的中點，8為垂直于。H的半徑的中點.試求イ。與48的夾角.【題說】1992年澳大利亞數(shù)學奧林匹克題1.【解】設C為垂直于。R的半徑與外接圓的交點,則△POC為等邊三角形，從而尸8丄OC；又因口丄0ん所以Z＜、B、0、P四點共圓.故/O/18=NO尸8=30°.C2-003如圖，在等腰△4BC中.AC=BC,4cB=40°.在三角形的外部取一點M,使=20°,NMB4=40°,求/MC8.【題說】1992年友誼杯國際數(shù)學競賽八年級題3.TOC\o"1-5"\h\z【解】不妨設スc=8C=1,則由余弦定理知48=2si〃20°.再由正弦定理知 c4 1800-40° AAM=~j=sin200sin40°.NMAC=ZMAB+N8力C=20°+ =90° /A4 ホ所以 tanZACM=tan(40°-ZMCB)=^in200sin400 1\4 3所以/MC8=400-arctan(r^sin20°sin400) MC2-004銳角△力BC的外心為。.線段。ガ,8c的中點分別為M、N.NABC=4NOMN,NACB=6/OMN.求/〇MN. A【題說】1995年日本數(shù)學奧林匹克預選賽題3. /^~A\【解】如圖,設立OMN=。,則ノ力8c=4",/力CB=6，， / /k\ヽ、\ZBJC=180°-109, /0/\ZNOC=^ZBOC=ZBAC=180°-100,NMOC=2NABC=86.從而NMON=8。+(180°—10の=180〇-20NONAf=180°—(NMON+/OA/7V)=0-ZOMN所以ノ0為等腰三角形.從而。V=OA/=Jo4=JoC.故/NOC=60°=180〇-10〇,〇=12°.C2-005一直線與正六邊形メ8C0Eド相交,截出ー個其中Z!K+/N=/8.試求NKAN+NKBN+ZKCN+NKDN+NKEN+NKFN等于多少度?【題說】第五十八屆（1995年）莫斯科數(shù)學奧林匹克八年級題6.【解】不妨設點N位于邊スB上.點K位于邊スド上，由于スK+4N=Z8.aFK=AN.分別在邊8C、CD、DE、E尸上取點尸、R、S、ア.使得尸K=ZN=B尸=CR=Z）S=￡T（見圖）.于是NKBN=NTAK4KCN=NS4TNKDN=ZRASNKEN=ZPARNKFN=NNAP所以/KAN+ZKBN+ZKCN+NKDN+ZKEN+NKFN=NKANヤZTAK+NS/7+ZRAS+ZR4R+NNAP=ZKAN+ZKAN=2X120°=240°C2-006銳角△48C的高ス4、88和CG的中點分別是ス、昆和C,求/8必G、/CB出與N4C8之和.【題說】第二十一屆（1995年）全俄數(shù)學奧林匹克九年級題6.【解】設M是ズ8邊的中點.線段和朋以分別是△448和的中位線，山此得NA2MBユ=NACB設H為△/BC的垂心，則NH4M=ZHBiM=90°,所以M、ス、H、Be、G都在以//M為直徑的圓上,所以Z4c星=ZA2MB產(chǎn)/ACB同理 /B4c產(chǎn)/BACZCBH?尸ZCBA所以所求的三個角之和等于△/8C三內(nèi)角之和,即180°.C2-007設△NBC是ー個等腰三角形，其中ス8=/C.假如Z8平分線交スC于ハ，BC=BD+AD.求Zス度數(shù).【題說】第二十八屆（1996年）加拿大數(shù)學奧林匹克題4.【解】在BC上取BE=BD.則EC=AD.由分角線定理,有:ABADECBCDCDC又/C公用,故△ZBCs/xeoc.設NABD=NCBD=a,貝リZCDE=ZDCE=2aNBDE=NBED=4a從而9a=180°,a=20°N/=NCEO=5a=100°C2-009作三邊長為〇、6、c的三角形48C的內(nèi)切圓.又作三條分別平行于這三角形各邊的圓的切線.這三條切線從三角形ス8c中截得三個新的三角形,再在每個新的三角形中作內(nèi)切圓，計算這四個圓的面積和.【題說】第六屆（1964年）國際數(shù)學奧林匹克題3.本題由南斯拉夫提供.【解】考慮ー個截得的三角形;比如△ZP。.（如圖）因△ス尸0s△スら0所以ha-2ryaha~r其中ん為△ス尸。的內(nèi)切圓半徑.因此,所求面積和為nr"+nr'￡)2A2A="(l+Z(-^玄—ジ）=—(l+Zロ)2)=^(a2+b2+c2)=3(s—a)(s~h)(s—c)(ど+ガ+ピ)（4,s分別為△/BC的面積與半周長）C2-010凸四邊形ス88的邊スO和8C延長相交于E.設〃和6分別是BD和AC的中點.求AEHG的面積対四邊形ABCD面積的比.【題說】第十屆（1978年）加拿大數(shù)學奧林匹克題4.【解】連かZ、CH,有SaeGH—S&ECH—S4GCH-34EGC11=5s△￡8ーデAHCE因此S&EHG?^ABCD=1,4.C2-011A.B、。三點共線并且3在ス與C之間,在スc的同一?側(cè)分別以ス8、8C、スC為直徑作半圓,前兩個半圓的外公切線的切點分別為U、V,而過點B的公切線與第三個半圓相交于E點,令れ=か8,ね\ 、ホ中 業(yè)ーメル△Eun的面積~2BC,項用れ、唸表不比值:△"（r的面積【題說】1980年五國國際數(shù)學競賽題2.本題由盧森堡提供.【解】設及1、EC分別交前兩個半圓于び、V.則四邊形Eび8片是矩形,ノゾUB=NEBU=NEAB,Nl/ゾB=NECB,びノ是兩個半圓的公切線,び即U,片即匕Saeuド一W即ABXAC れれSaeac4cスピAC2='（八+ね）2C2-012一金工車間的切割工具呈有缺口的圓形,如圖所示，圓的半徑是洞厘米，長為2厘米.NABC為直角,求8點到圓心的距離（以厘米為單位）的平方.【題說】第一屆（1983年）美國數(shù)學邀請賽題4.2,sin/LBAC'——"產(chǎn)A/4設スC中點為ハ,連Oス、OD,則/OD4=90°,cos/Oイ。由三角知識易知cosNOAB=cos（NOAD-NBAC）=す在△0AB中，OB2=OA2+AB'-2XOAXABXcosZOAB=26C2-013如圖,在△力8c內(nèi)選取一點尸，過P作三條分別平行于各邊的直線，這樣所得到的三個三角形ハ、ム、ん的面積，分別是4、9、49.求△XBC的面積,【題說】第二屆（1984年）美國數(shù)學邀請賽題3.【解】厶，ム，ん的對應邊的比:PE：PF：GH=y[\：乖:^49=2：3：7即BH：AG：GH=2：3：7所以AB：GH=12：7S4ABe?Sa/>gh=12?:7"Saw=144C2-014如圖所示,將△48C的三個頂點與同一個內(nèi)點連接起來,所得三條連線把△4BC分成6個小三角形，其中4個小三角形的面積已在圖上標出.試求△/BC面積.TOC\o"1-5"\h\z【題說】第三屆(1885年)美國數(shù)學邀請賽題6. C【解】設Sac。ア=x,S^AEP=y,則有 A84+40+y40 /\x+35+30=30 ⑴40+30+35=35y+84+xx ⑷ ド p B由⑴、(2)解得x=70,y=56,故Sル8c=315.C2-015ー個梯形被兩條對角線分成四個三角形，若用/、8分別表示以梯形上、下底為底邊且有公共頂點的兩個三角形的面積,求此梯形的面積.【題說】1988年新加坡數(shù)學奧林匹克(イ組)題8.原題為選擇題.【解】如圖所示，過三角形ス、8的公共頂點引髙，分別記為x、y,記另兩個三角形的面積為C、D.容易證得:C_x_A_Abyロc 7/由此得C=<48=C Xd所以梯形的面積=/+8+C+O ゝB、、=A+B+2y[AB=(端+乖)2C2-016A/BC是面積為1的直角三角形.イ、B‘、C’分別是ス、B、C關于各自對邊的反射(對稱)點.求△イダC’的面積.TOC\o"1-5"\h\z【題說】第二十一屆(1989年)加拿大數(shù)學奧林匹克題2. A【解】如圖，設びC交ス8于ハ,延長交イガ于ハ’，則易知ごハ’丄イガ, ヽAB=A'B'. \/C'。'=3C。，故 \/1S“8P=Jc'。’?イ。’3 汐=-CZ)?AB uW2 A'=3Sahbc=3C2-017。、E為△4BC邊ス8、スC上的點,BE、C。交于尸.AADE、△8尸。、/XCEP的面積分別是5、8、3,求△/8C的面積.【題說】1994年日本數(shù)學奧林匹克預選賽題5.【解】如圖,設へPDE、△尸BC的面積分別為X、ア,則 人(5+x+3)：(8+y)=AD：DB \=5：G+8)即 x2+16x+24=5y (1) /シ辛気

又 8：y=DP：PC=x：3即 ヮ=24 (2)由(1)、(2)解得x=2,y—12.從而△48c的面積為30.C2-018凸五邊形スBCQE中,BE分別交スC、ス。于S、R,8。分別交。、CE于T、P,AD交CE于0.且△ZSH、ABTS.ACPT.△00尸、△歐0的面積均為1.(1)求五邊形尸。RSア的面積;(2)求五邊形ABCDE的面積.【題說】1995年日本數(shù)學奧林匹克題3.【解】(1)設五邊形P0RS7的面積為X.山區(qū)857=5/\45?得底877?=5/\477?,從而BA〃7R.所以ミュstdTDRDgsrdS^SBTBTARS&SARU訴 x+1從而S^STD=^^SRD=一~x+1 -同理:Sapq=S?bpq=-2—‘所以BA〃PQtU|JBA//CE同理可得5C〃スO,CD//BE,DE//AC,EA//BD.SふASD4sESS4STESadstSTSBSasbtx+1x+11+52即丄1=丁?TOC\o"1-5"\h\zx-r1 12整理得 x2=5故 x=ホ(2)由ス?！ǖ肧aaRE—SaaRE—Sasrd-m+12同理:S^ABS=S^BCT=S^CDP=S^DEQ= 2從而s…=1x5+4+サX5=3普C2-019設イ、8‘、C'、ハ‘、E',ダ分別是六邊形ル8CZ)Eド的六邊ス8、BC、CD、DE、EF、用的中點.試利用△ABけ、△BC。’、△COE’、ふDEド、△￡7ズ、△見ダ的面積表示六邊形48c￡>￡7;"的面積.【題說】1996年城市數(shù)學聯(lián)賽高年級高水平題3.【解】A,是ス8的中點,故ABB'2sA“オ=S^efa+Saefb

ABB'2s△凡ターS△曰8+0△凡c2sへABC=S"8c+SaabD2s色BCD=Sd8Co+S〉BCE2S^CDE—S^CDE'S&CDF2S2def-S*def+Sj\dEA另一方面Sabcde=S&efa+S△月bd+S〉bcd=S&mb+S^efb'S^bce'S/^cde=Sa/8c+Sz\￡<c+S△8ド+S&DEF因此六邊形ABCDEF的面積恰為所給六個三角形面積和的§C2-020在ー個邊長為1的正六邊形內(nèi)部有一點尸，已知P到某兩個頂點F的距離分別為話及逐,求尸到其余四個頂點的距離.【題說】1963年北京市賽高二ニ試題3.ffi訪謝靴B6EF愉長對所以2的對觸提2或屁它們都大于枠言=1.5,所以與雨距為渋*的繭個）皿,BT&髄部的,設13由L得由L得/ABE是直角,故P點同角鄴?上,所以PD=BD-PB=おー卷,再利版APDE.RtAPQC.BiZkPQ^t蝴12169-607312C2-021偵察機沿以力為圓心、半徑為10公里的圓周飛行,速度為每小時1000公里.某時刻從A點發(fā)射一枚與飛機具有相同速度的火箭,無論何時火箭總在連結(jié)圓心與飛機的直線上,問火箭發(fā)射后,什么時間可以追上飛機?【題說】1965年全俄數(shù)學奧林匹克十年級題5.

【解】設火箭發(fā)射時,飛機在。點,半徑ス8丄ス0（如圖）,以ス8為直徑作半圓.對半圓上任一【解】設火箭發(fā)射時,飛機在。點,半徑ス8丄ス0（如圖）,以ス8為直徑作半圓.對半圓上任一點Z?,延長ス/?交。ス于P,連7?8,rtZQAR=ZABR,?的度數(shù)是蠢的1/2.但〇詞半徑是華?的倍,所以?的長與私相等,即5在時,火器在R.從而飛機沿■<?飛稗,火腐在判?上?帝,相遇3鈿.在?射后兀ノ200（=wx竿ハ〇〇〇）小時火雷追上飛機.C2-022給定三個單位圓,兩兩相切,求切于所有三個圓的圓的半徑.【題說】第四屆（1972年）加拿大數(shù)學奧林匹克題1.【解】設三單位圓心為ス、B、C.則△Z8C為邊長為2的正ヨ觀腳物溝aMao^aaboS^/3,恥心ノ3.物打ヨ!福、（2^/3）-b （2^/3）+1.BC2-023ー個矩形桌子長和寬如圖所示.ー小球從P撞擊到。,反射到/?,又從/?反射到S,從S反射回原處尸,入射角與反射角相等（例如/尸。ス=//?。8等等）,試求小球所走的路徑的長.【題說】1979年廣東省賽二試題4.【解】易知四邊形尸。7?S是平行四邊形.由ふOBR經(jīng)ASDP及△尸。S纟ふRCS,得所以因而小球所走路徑長為172（SP4-PQ）=IOX—=34［別解］利用軸對稱可發(fā)現(xiàn)PQ4-QR=DB=415?+艘=17所以2（尸。+。Z?）=34.C2-024設スハ為△48C的高線，求一切△4BC使スB+4C=2cm,

3AD+BC=5/Scm.【題說】1979年英國數(shù)學奧林匹克題1.【解】設x=8O,y=DC,且z=4￡>,諸線段均指有向線段,使得x+y>0且z>0,則TOC\o"1-5"\h\zJi*/+6’ -2 （I）i+-y+-s=n^ Q）由（x?と）ッ0,將x2+z2^（2x+z）75即 Jメザ>g+ぬノ? ⑶當且僅當x=2z時,等號成立.同電 む2r2>（2k+司/6 （4）當且僅當ヅ=2z時,等號成立.由⑶與⑷得J——-* *t2>2（1+プ取由 （5）由（1）與（2）,（5）中等號成立，因此x=y=2z,*=y=2/6z=\/j5故適合這問題的唯一的三角形的邊為:BC=4/-^cm.CA=AB=1cmC2-025AC.CE是正六邊形ス8cハE尸的兩條對角線,點M、、分別內(nèi)分スC、CE使スM：AC=CN：CE=r,如果8、M、N三點共線,試求r的值.【題說】第二十三屆（1982年）國際數(shù)學奧林匹克題5.【解】連結(jié)80、ND,將繞外接圓的圓心。逆時針旋轉(zhuǎn)120°,則市合于△%￡）￡,故知/BN￡）=120°.以8o為ー邊向N點另ー側(cè)作等邊三角形8DG,則MB、G、0四點共圓且C為此圓的圓心.從而CN=CB.ヽZ5所以/"=CN：CE=CB:以=看【別解】因5、M、N共線，由梅涅勞斯定理得CNEBXMNEBXMC1其中X是/C與8E的交點.設正六邊形的邊長是1.則

AC=CE=小EB2 4 ■ ■—BX1/2IXMAM-AX_AM/AC-AX/AC^r-1/2MC-AC-AM1-AM/ACl-rr4 r-1/2l-rI1-rC2-026在ー個面積為1的正方形中構(gòu)作一個如下的小正方形:將單位正方形的每條邊作〃等分，然后將每個頂點和它相對的頂點最接近的分點連接起來.如果小正方形（圖中陰影部分）的面積恰為1/1985,求〃的值.【題說】第三屆（1985年）美國數(shù)學邀請賽題4.【解】作所丄48,則用△BEFsRf△瓦切ロ EFAD導 EB=DE而1從即1-n

E￥￡AC=CE=小EB2 4 ■ ■—BX1/2IXMAM-AX_AM/AC-AX/AC^r-1/2MC-AC-AM1-AM/ACl-rr4 r-1/2l-rI1-rC2-026在ー個面積為1的正方形中構(gòu)作一個如下的小正方形:將單位正方形的每條邊作〃等分，然后將每個頂點和它相對的頂點最接近的分點連接起來.如果小正方形（圖中陰影部分）的面積恰為1/1985,求〃的值.【題說】第三屆（1985年）美國數(shù)學邀請賽題4.【解】作所丄48,則用△BEFsRf△瓦切ロ EFAD導 EB=DE而1從即1-n

E￥￡B整理得 2ガー2〃+1=1985或 2（〃ー32）（"+31）=0.解得 〃=32（負根舍棄）【題說】1986年北京市賽高ー題2（7）.【解】由已知條件知。、E、ド三點共線，且Eド為小圈直徑.連スE交小圓于K,連五K,易證AEKFs/\4CE.所以A 0 BEK:AC=EF：AE

A 0 Bwek_AC*EFAC(OF-QE) 2氏2?廊一aeVac2*ae2訴避)2，(點ジ272(2一向2(2Y)■—■屈 a/5■JSe AT=jAE?AK?店+4ア?2+或而 3.41<2+^<3.42故 34.l<10/<34.2E|J[10/]=34.C2-028如圖所示,S和￡是直角三角形/18c的兩個內(nèi)接正方形,若S的面積為441,S的面積為440,求/C+C8的值.【題說】第五屆(1987年)美國數(shù)學邀請賽題15.【解】令方、刀、T、、〃2、ス表示圖c、d中直角三角形面積，S^BC=S.則出1441ララ440S=ズ「+T'z+A+440440=近（%+與+441）+Tj因此AB"440X441,AB=2W44〇.又設萬、ん分別△/BC及北斜邊上高,則キ將F…1+兩蹄 ト嶋麗而于是 (a+by=a!+b2+2ahch=ab=2S=ca+2ch=4WX441+2X—X440ch=ab=2S=2laX22a所以a+i=21X22=462.【別解】設S、，的邊長分別為のb,NB=夕.則a+actg6=BC=bco?6所以a'(l+2si〃0cos^)=h(sin0cos0+2sin0cos0+l)記i=sin9cos3,將d=441,ど=440代入上式并整理得440r-2r-1=0所以t=±(at>o).從而AC+BC=(a+atgの+(a+actgの=a|21--r-^ IsmQc<m6=462C2-029令尸是△NBC的ー個內(nèi)點,延長ス尸、8尸、CP與對邊相交,如圖,八b、c、1表示各相應線段的長.已知?+b+c=43,d=3,求abc=?【題說】第六屆(1988年)美國數(shù)學邀請賽題12.利用三角形面枳比.【解】saapc_d cSAABCd+a /RSabmdムd”Saifcd abSawd'b三式相加,得ddd.d*ad+bd*c整理后,得 24+(a+6+c)(/—abc=Q由是知 ahc=2Xガ+43X33=441C2-030設圓內(nèi)兩弦/&CO交于圓內(nèi)一點￡在直線段E8的內(nèi)部取一點M,然后過點り、氏”作圓，再過E作此圓的切線分別交直線BC、AC于點F、G,若豐=t,試用t表示出提Ad Er【題說】第三十一屆(1990年)國際數(shù)學奧林匹克題1.本題由印度提供.【解】如圖所示,連D4、DM及DB.顯然有/CEF=NDEG=NEMD；NECF=NMAD于是△CEFs/\AMD,從而CE?MD=AM?EF.

c另一方面,又有NECG=NMBD,于是cZCGE=Z.CEF—NECG=ZEMD-NMBD=NBDM故XCGEsWDM,從而GE?MB=CE?MD于是GE?MB=AM?EF,故GEAMtAB _t_EF-MBO-OAB-l+C2-031十二只完全相同的圓盤放置在半徑為1的圓周上,使得這十二只圓盤覆蓋這圓周,但沒有兩只圓盤重登，所以這十二只圓盤的每ー個與它兩旁的兩只圓盤相切.圓盤的排列如圖所示.這十二只圓盤的面積之和能寫成ア（。一班）的形式，其中。、氏c是正整數(shù)，且c不能被任ー素數(shù)的平方整除.求a+b+c.【題說】第九屆（1991年）美國數(shù)學邀請賽題11.【解】設小圓半徑為r,大圓半徑H=l.TOC\o"1-5"\h\ze 丸現(xiàn) …五L .兀a-bVc-12tg*—皿2一也二12江下-12(2-拘2-84-48^a+6+c=84+48+3=135C2-032梯形ス88的邊ス8=92,8c=50,8=19,ス。=70,且ス8〃CZ）.一圓的圓心P在イ8上,且與BC和スO相切，設ス尸=m/〃，其中加和〃是互素的正整數(shù)，求加+〃.【題說】第十屆（199年）美國數(shù)學邀請賽題9.【解】延長]。和BC交于點。.因為點P到ス0和8。之距離 9儲,?在/AQB姉物讓,故有黑?誤?黎[ /"TAZj L k[6] APBXHAP+PB=92,所01Ap=亍,fen+Q=l64.C2-033在正△ZBC的邊8C、CA、ス8上有內(nèi)分點ハ、E、F將邊分成3：（〃ー6）（〃>6）?線段スハ、BE、Cド相交所成的三角形面積是正三角形面積的4/49時，求〃的值.【題說】1992年日本數(shù)學奧林匹克預選賽題6.所以奈?辭言S所以奈?辭言SAABP堂一mくMnf+933【解】如圖,由梅內(nèi)勞斯定理知APxDBvCE.PDBCEAMnfマ3G?11(11-3*9 /3.キーのsMu-3).933同理可得Sa同理可得Sa11rq=Sy11t3加一刀n(a-3)+9所以4 4?1f49 h（q-^*9整理得 5ガー64〃+192=0即 （5"—24）（〃-8）=0由于〃>6,所以所求的值為8.C2-034圖中ス8C。為正方形,U、“分別為邊ス8、C。內(nèi)部的點.確定使四邊形PU2fZ面積為最大時,U、『的所有可能情況.【題說】 第二十四屆（1992年）加拿大數(shù)學奧林匹克題3.【解】不妨設8U2C匕顯然，AVQCsgQU,所以。ひ20c并且タ到。C的距離WB到ひ0的距離.在。U上取E,使0E=QC,貝リSdBUEチS&VUE，Savqc一SavQE k 又由8び〃CT易知Sa%c=S領”,所以 「、ビ^^SaU80+StxVQC=S^bue-\-SaB°e+Savqe uk"Y、、、及Savue+S4bqc+Sgvqe=2S&uqv 二れ從而 L」、ヽ4?BCVU同理

S^dptくySwumr相加得SioyrくデSioyrくデABCD當且僅當BU=Cタ時等號成立.因此,在BU=C/時,四邊形尸U0r面積最大.C2-035宜線ム與/2當且僅當BU=Cタ時等號成立.因此,在BU=C/時,四邊形尸U0r面積最大.C2-035宜線ム與/2分別切圓周于點ス和點8.在宜線ん與/2上分別取1993個點4,出，…，4頰與ス,B”…，8的,使ス4=(i+1)88,6=1,2,-,1993),并且4瓦的延長線與ス8的延長線相交于點MG=1,2,-,1993).試問:A|B[.A科AkbqMiot【題說】1993年第十六屆哈爾濱市高中數(shù)學競賽二試題1.【解】過點5作イ4的平行線交于點5',顯然△8四’8是等腰三角形，從而B,,4<=(i+l)8,'B],又由瓦’修〃44,知ABiAMAAiA^Bi.Ak8aBemA卜93MlsmI22 3I22 31

1993*11993

19931-11994C2-036設ハ是銳角三角形ズ8c內(nèi)部的ー個點，使得ZADB=ZACB+90°并有AC?BD=AD?BCQ)計算比值黎譯.(2)求證△4C。的外接圓和△8C"的外接圓在C點的切線互相垂直.【題說】第三十四屆(1993年)國際數(shù)學奧林匹克題2.

【解】（1）如圖a,以8c為邊向△NBC外作△CBEs△0ハ,則急卷?由?號黑，的BD=BE.5?ZDBE=ZDBC+ZCBE=DEr-NDBC+NCAD=NADB一/ACB=90°.所以△QBE是等腰直角三角形,而=マ2CDDE由△CBEcnACAD,另知ACABsAcde,所以スマ=Tズ.從而CAABAB*CD8ABDEDEAC-BD=CADEDB-DB（2）證明:如圖6,設CK是△/C。的外接圓的切線,Cル是△BC。的外接圓的切線.則ムLCK=ZLCD+NKCD=NCBD+ZCJD=90°即CLA.CK.C2-037ー個三角形的3條邊長及一條高是4個相繼的正整數(shù),且這條髙將三角形分成的兩個直角三角形的邊長均為整數(shù).求這三角形的三邊長,并證明這是唯一的.【題說】第二十五屆（1993）加拿大數(shù)學奧林匹克題1.【解】設△Z8C中三邊及高/I。為正整數(shù)〃,〃+1,〃+2,〃+3.不妨設ス8>/C,貝リスB>/C>イ。，故ル。=〃或〃+1.(1)若ス。=〃+1,則ス8=〃+3,AC=n+2,BC=n.從而BD=VABa-ADa?m+2DC=^V3其申2jn+2,*a+3是正超配且2m+2*V2q+3-a由n2-4<n2=(2711+24-^53)<(2石較+ヵi+4)2=(2+75)2(q+2)加11-2<（2+75）しQ<U但ん7!是對配收n=2的,而此時岳+3.小或病都不是整數(shù).因此滿足要求的三角形不存在.（2）若AD=%JSBD<&+ザニ了=癡而,CD<辰+ザ-戶=2石+1從而 n+<BC<癡而+27iTH<痂”=>na-23n-24=（n+D（n-24）<0nn<24①若8c="+1,則スC="+2,/8="+3.這時BD=7Srb9,CD=27rn但使癡而?GTMM晩?24）不存在.②若8C=〃+2,則スC="+1,AB=n,這時BD=-i/6n*9,CD=<72n+l小于34且使メ0+9.表前I都是超B的!！,只有一個,n=12.從而4c=13,BC=14,48=15◎MBC=n+3.MaC=n-Fl,AB=n+2.這時BD=2/k+l,CD=V2n+l.15小于24且使イn+1,石1n都是整疊An不存在.綜上所述,滿足要求的三角形スBC,只有一?解,其邊長分別為13、14、15.C2-038在△48C中，C〃為高,R、S分別為ル4由和△8C7y的內(nèi)切 C圓與C”的切點.若ス8=1995,4C=1994,8c=1993,貝リRS /\\可以防成ざ,其中皿建互質(zhì)的正整數(shù),癡+n=，/OvA【題說】第十一屆（1993年）美國數(shù)學邀請賽題15. ATH'B【解】1997.如圖，令XABC的三邊8C、AC.AB分別為a、b、c,CH=h,AH=x,BH=y,兩內(nèi)切圓的半徑分別為ハ、な.于是,RS=\RH-SH\=.r-r2\.?*h-by*h-aw? q"-J-，q-―J—->7 k+h-bワ+1I一I所以RS=^qーう冃---I=^|(<-y)+(a-b)I(b+aj)(b-?(b+aj)(b-?將⑵代入將⑵代入（1）,得RS=*(a-b>(1994-1993)

2?1995RS=*(a-b>(1994-1993)

2?1995(1993*1994-19955332665所以ル+"=332+665=997.C2-039設ス8為圓的直徑.點尸不在直線ス8上.直線以、尸8分別交圓于ひ、V.設PU=sPA,PV=tPB,s、t為非負實數(shù).用s、t表出cosNAPB.【題說】第二十六屆（1994年）加拿大數(shù)學奧林匹克題4.cosZAPB若尸在圓上（如圖中,則【解】 若/5在圓外（如圖。、cosZAPB若尸在圓上（如圖中,則cosZAPB=co?90*=0=J*若尸在圓內(nèi)(如圖e),則PVcosZAPB=-cosZAPV=PB

cos/APB=-cosZBPU=C8/APB=マ位?而ー不C2-040如圖,尸。=10,以P。為直徑的圓與一個以20為半徑的圓相切于點尸,正方形ス8co的頂點ス、8在大圓上，小圓在正方形的外部且與6句于點Q.若AB=m+石.其中,m.康整數(shù).求m+n.【題說】第十二屆(1994年)美國數(shù)學邀請賽題2.【解】如圖,設大圓圓心為〇,則直線尸。過。,設這直線交ス8于t?,AB=x,那么RO=R0-OQ=x-10,由勾股定理=84-7304.所以m+〃=8+304=312C2-041在中，NC為直角，C。為“8邊上的高，D為垂足.AABC名邊長都是整數(shù).flBD=293.COaB=-.m.遙瓦質(zhì)的正整數(shù),求/w+n.【題說】第十二屆(1994年)美國數(shù)學邀請賽題10.【解】如圖，我們用。、6、c分別表示8C、スC、ス8的長度.設p=29,「、ゼ則8￡>=p. アユ熟知有a=pc /因為p是素數(shù),所以,存在自然數(shù)x,使“=p:x,c=px2,從而 14 b2=c2—a2=p'x—p'x2=pV(x2—p1)從而，存在正整數(shù)ツ,使x2—p2=ッ2,故p2=x2—yl=(x—y)(x+y)因為p是素數(shù),且x—yVx+y,則有xーッ=1和x+尸ゴ,即p2*1p2-1z—*y--z-OA3X3+6X6C2-043△48C為等腰三角形，AB=AC,ftWJA/=ll.設在スM上有一點ハ，使得OA3X3+6X6C2-043△48C為等腰三角形，AB=AC,ftWJA/=ll.設在スM上有一點ハ，使得45=10,NBDC=3NBAC,△/BC的周長可寫成a十候J意式,其中蠢b為幽配求a+b.【題說】第十三屆（1995年）美國數(shù)學邀請賽題9.（解】設/8ZM=a,則/BOM=3a.一BM AM：..tan3Q=-X ―1ItmqDMAMAM-AD設a=x,由倍角公式易得3-r

匚皆?11所以C<mB=-- -2P,cpcp*12因此,/m+m=450.C2-042半徑為3和6的兩圓互相外切,并內(nèi)切于ー半徑為9的圓.半徑為9的圓有一條弦是另兩圓的公切線.求這弦的長度的平方.【題說】第十三屆（1995年）美國數(shù)學邀請賽題4.【解】如圖,設三圓圓心分別為。、0、〇:,它們在已知弦8c上的射影分別為4、A,出?由相切關系易知。、0、〇ユ共線，并且001=9-6=3OO2=9-3=6又易知。4、OXz是兩圓的半徑,所以。4=6,0メ尸3.由定比分點公式8cli=4(〇ざ一〇スコ)=4(92-52)=4義4X14=152-1=224從而”3.R>bm=^.所以a*5/b=2 *1卩=114-^05

q+6=ll+605=616C2-044在ー個半徑為42的圓中，兩條長為78的弦相交，交點與圓心的距離為18.兩條弦將圓的內(nèi)部分成四個區(qū)域，其中兩個區(qū)域由兩條長度不相等的線段圍成.這兩個區(qū)域中任一個的面積能唯一地表成めr=n網(wǎng)的形式，其中m,n和d為正整數(shù)，d不能為任一素數(shù)的平方整除.求加+"+グ.【題說】第十三屆（1995年）美國數(shù)學邀請賽題14.【解】如圖，兩弦イB,C。長均為78,所以它們關于過交點P的直徑環(huán)對稱.設圓心為〇,4B中點為M,則/OM4=90°,OM=40A2-AMr=^Wr-39a? 從而RtACMP中,Z0PMZDPO=ZOPM=—,NCPM=兀一丁一丁?丁.3 3 3 3XX￥在4X

J54

K-3絞;含角為チ,所以弓彩AC物卻XX￥在4X

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K-3m+〃+d=294+81+3=378C2-046在已知圓內(nèi)求作內(nèi)接等腰三角形,使這個等腰三角形的底與其底上的高的和為極大.【題說】1956年上海市賽決賽題5.【解】如圖,任作一圓內(nèi)接等腰三角形ス8C,并作髙ハ,延長イハ至E,使DE=BC,則AE為底與底上的高的和.連結(jié)EC,由DC:0E=1：2知EC的方向確定.在與EC平行的各直線中,能使スE最大,且與圓有公共點時應為 ...圓的切線. E，''因此，作與EC平行的切線切圓于”.連ス，并在圓上取/使ス/=ス〃，則△イ/〃即為所求.C2-047由密度均勻的金屬細絲繃成一個三角形框架，求這個三角形框架重心的位置.

【題說】1962年成都市賽高三二試題3.【解】邊BC、。、スB的重心即各自的中點ハ、E、ド.問題化為在ハ、E、ド處分別放有質(zhì)量"、b、C?求ハ、E、ド的重心.3國中?國啲粉助DP,。黑器?と哈因此「P是E、尸的重心.從而。、E、ド的重心在。尸上.同理這重心在』。針的平分線上.因此。、E、ド的重心即△。な'的內(nèi)心G.G也是金屬框架的中心.C2-048正〃邊形（〃>5）的最長對角線與最短對角線的差等于邊長,求〃.【題說】第二屆（1968年）全蘇數(shù)學奧林匹克九年級題1.TOC\o"1-5"\h\z【解】設?！笔沁叀??！焙蚫”是最長的和最短的對 ? C角線, %，スへ555、^當〃=6和〃=7時,由三角形兩邊之差小于第三 A 、ノ Z即得?！耙?5 ん、 プヾ y當〃=8時（如圖が,從最短對角線8。的端點向、.， 、ノ最長的對角線スE作垂線8K和。Z..N4BK=900 圖さ 曲一/84K=22.5°<30°.所以,AB=a?>2AK=D?—du.當〃=9時（如圖6）,同理有乙48K=30°,所以4B=a,=2AK=D,-d,.當〃>9時，考慮半徑為1的圓的內(nèi)接正〃邊形.顯然，。“。。"d“<4,a“<ユ.因此，D?—d">Ds—ds=ch>an.綜上所述，〃=9.C2-049ー個戰(zhàn)士想要查遍ー個正三角形（包括邊）區(qū)域內(nèi)或邊界上有無地雷,他的探測器的有效度等于正三角形高的一半.這個戰(zhàn)士從三角形的ー個頂點開始探測.問他循怎樣的探測路線才能使查遍整個區(qū)域的路程最短.【題說】第十五屆（1973年）國際數(shù)學奧林匹克題4.本題由南斯拉夫提供.【解】設戰(zhàn)士從頂點ス出發(fā)探測正三角形區(qū)域ス8C,AABC的高為2d.以8為圓心，d為半徑作圓與ス8、BC分別交于“、N；C為圓心，［為半徑作圓與スC,BC分別交于尸、Q.由閽ft,戰(zhàn)士到達MK上和PQ上都至歩ー次.不妨設他先例而上的D，點,后胃這崗上的E，A.設Dカ?慚中點.連結(jié)AD.CD、CD’分別與斑文于E.E?.え不明f出戰(zhàn)士走過的（路不短于ス?！?D'E'カメ?！?D'E"NAD+DE,后一個不等式是由于ス。+。。<4。‘+

D'C.同時由于。與スC的距離為グ,可見戰(zhàn)士沿路線スOE就可以完成搜索任務,因此スOE就是最短路徑.還自一條帆?徑是先到崗后到金?豪地?徑的長度不?算出力C2-050已知兩個半徑分別為R和r的圓,作出ー些不同的梯形ABCD,使得每個圓與梯形的兩條腰及一條底邊相切.求出腰AB可取的最小長度.【題說】第八屆（1974年）全蘇數(shù)學奧林匹克九年級題2.【解】當。0X7?）與。a⑺外離或外切或相交時,オ有符合題意的梯形存在.不妨設兩圓外切于ア點,梯形/BC。的一腰ス8分別切。。?與。。,于E與ド，如圖，過ア點作這兩圓的公切線交所于2點，延長梯形的兩腰交于〇點.貝リ△OiPEs△尸qデ及△。メド,于是,PE?PF=Rr及BE?AF=Rr.PT=PE=PF=BE+AF>"E■AF=2底所以，梯形的腰長AB=BE+PE4-PF4-AF>4Jr7可見當且僅當BE=AF=底（即?位于ユ戲間）時,梯形的喩量小長度カ應.但如果AF>CF（即?位于。點及F0的延長線上）,也岷后神?裏?,恥》聞刪不料E.即し胡兩縣WR-r還要2?<3r這ー附加條件，這樣,就不難畫出符合題意的梯形ス8co.C2-051E是某圓直徑スC上的定點.經(jīng)過點E,求作弦8￡）,使四邊形ABCD的面積為最大.【題說】第十四屆（1980年）全蘇數(shù)學奧林匹克九、十年級題2.【解】設。為圓心，/?為圓的半徑，OE=a,則Soed-SjtcD=a：27?Soeb:S“Bc=a-27?-/S1Ko所以 /民1 K從而,問題轉(zhuǎn)?化為求s&D=4Rン岬（其中.=ZBOD）的最大值（??y）-積記烈.因粧馬，M?D赳斷內(nèi),所以給く言〈訣積記烈.因粧馬，M?D赳斷內(nèi),所以給く言〈訣餌!）R/6味 垢CRノ應時,3BD應與直徑ス。垂直.C2-052已知△48C的面積為1,設4、8和G分別是邊8。、。和ス8的中點,如果K、L和M分別位于線段ス5、C4和8G上,那么和△也"的公共部分的最小面積是多少?【題說】第八屆（1974年）全蘇數(shù)學奧林匹克十年級題6.【解】設△48G的三邊與的三邊的交點為ハ、D、E、E、、ド、",如圖所示,且它們的公共部分的面于是401WOO,因此，Sm\d\fWS〉d\df同理,Sab'E'D&S^E'EDSへqF'EゝSf'FE所以S△*810—SWSad、df+S^eied+Srfe=S-S-defWS即2S^5AAi1yl=ア方叩S>..當點MfDCI重合,點しfDQ邕合>點硬的,sJMHWtg.C2-053在一個面積為32cM的平面凸四邊形中，兩條對邊和一條對角線的長度之和為16cm,試確定另一條對角線的所有可能長度.【題說】第十八屆（1976年）國際數(shù)學奧林匹克題1.本題由捷克斯洛伐克提供.【解】設凸四邊形ス8CZX圖〇）的面積為32cM.AB+BD+CD=\<ocm32=3ムイ亜+S^bcd■；(AM>CN)BDく;(AB+6)?BD/IfAB+CD+BDl2 \故式中應取等號，從而?（8+8=08=8,則ス8丄。8,Cハ丄ハ8（圖か.因此,對角線AC=1/(AB+DC)2*DBa-7128-8^cmC2-054最大值.【題說】【解】設三角形三C2-054最大值.【題說】【解】設三角形三邊長為3、4、5,P為這三角形內(nèi)一點,求尸到這三角形三邊距離乘積的1979年陜西省賽二試題7.如圖，設BC=3,CA=4,AB=5.點P到ス8、BC、。的距離分別為X、ッ、z,因5x+3y+4z=12所以當5"方=4z=￡=48t,剩?5x?3y?4z=64為最大.C2-055【題說】【解】故封z為最大.C2-055【題說】【解】在已知銳角△/8C中作內(nèi)接正方形,試求其血積最大者.1979年云南省賽二試題7.如圖,內(nèi)接正方形MMP。有兩個頂點在8c上.邊長為兒,面積為S0,則へa+hx其中a=BC,ha=AH.設△ZBC中,c》b>a,熟知。+んユ6+瓦ユc+ha所以在銳知△4BC三邊上的三個內(nèi)接正方形中，最小邊上的內(nèi)接正方形的面積最大.C2-056已知兩個等腰直角三角形，將一個的三個頂點分別放在另ー個三角形的三條邊上，問這兩個三角形的面積之比最小值是多少?【題說】第十三屆（1979年）全蘇數(shù)學奧林匹克八、九年級題1.KWJメ較小三角形的直角頂點位置有兩種情況:（1）當放在較大三角形的斜邊上時,（如圖。）兩個三角形直角邊的比小于1/2,它們的面積之比不小于1/4.（2）當放在較大三角形的直角邊上時（如圖か，ピ+ゴ=a2t且

b=2?+Kヰ^官f］的面枳比不小于;.C2-057已知邊長為4的正三角形48C,ハ、E、尸分別是8C、CA?AB上的點,且（AE|=|BF|=|CD|=L連換AD.BE,CF.戲ARQS,P點在△RQS內(nèi)及其邊上移動,P點到△ABC三邊的距離分別記作x、ソ、z.i.求證:當尸點在aRos的頂點位置時,乘積孫z有極小值.2.求上述乘積的極小值.【題說】1982年全國聯(lián)賽題4.【解】如圖m第一步,先固定x,考慮ア最小值.即過尸作直線/〃8C,當尸在/上變化時，ア何時最小?第二步，證兩個引理:引理1：z+y+z=定值，這個定值就是△/8C的高.引理2:設yc［a,ワレ遇二次SHRッ（aーツ）苞a,§駒一個端點處取得最小值.這兩個引理很容易證明.由此不難得到結(jié)論:如果尸‘、P’為/上兩點,那么當尸在區(qū)間ア’，P"］上變動時,xyz在端點P‘或產(chǎn)"處取得最小值.第三步,擴大尸點的變化區(qū)域:根據(jù)上面所述,當尸點在/上變動時，斗的值在尸‘或尸"處為最小，這里尸’、P"是/與△RQS的邊界的交點.但△RQS的邊不與△48C的邊平行，因而在P移到△RQS的邊界后,不能搬用上述方法再將P‘或產(chǎn)"調(diào)整為△HQS的頂點.但是我們可以把P點變化區(qū)域山擴大為圖6所示的六邊形7?/?'QQ'SS',其中Z?/?’//Q'S//CA,R'Q//SS'//BC,QQ'//RS'//AB,也就是說：R’與??關于，/8C的平分線為對稱.S'與/?關于的平分線為對稱，等等.過P作平行于的直線/，將尸調(diào)整為/與六邊形/?/?'QQ'SS/的邊界的交點尸'（或P'）,再將/3’調(diào)整為頂點Z?或S',每一次調(diào)整都使kz的值減小.由于對稱,xyz在六個頂點Z?、Z?'、。、。'、S、S,處的值顯然相等,因而命題成立.2.由題易知，△イ8E絲△8Cド纟△。ハ，從而△ス歐式△8尸0絲△CDS,ZXHOS是正三角形.由1，我們只考慮S點x,y,z的取值.由于ム蟲￡6ム96ttlARj：|RE|=4：I.由于△AFScdAABD,故陷:鼠!=4：3.所叫ABJ:四:|SD|=4：8：L又由于ム他洲都?〃,故可求得I. 9. 3,K■ Q.V—-h.X'—h13713, 13

1 9種?行?萬?百?眄-M&/1/2197C2-058在正方形ス8C。的邊ス8、8c上分別取點尸、Q,連接。P、DQ、PQ,分別記△ハ尸。、△0ス尸、△ハ0C和△PB。的面枳カSp3rSTS4f冃點P,枷何選取時,銳+因+$小值?【題說】第二屆（1987年）東北三省數(shù)學邀請賽題5.【解】不妨設正方形邊長為1.如圖建立坐標系.設尸（0,か與。（",〇）,于是,■ -a■ -a+l)(ba-b?躁,a",b?!時,Q)右?耿艮小值9/32.flPP.8刖選カ線段AB.BCK中點吋，S；+鋁?苗+す寧用景小值9,32.C2—059邊長為5的菱形，它的?條対角線的長不大于6,另一條不小于6,求這個菱形兩條對角線長度之和的最大值.【題說】1987年全國聯(lián)賽一試題1（2）.原題為選擇題.【解】設菱形的兩條対角線長分別為x及y,則由已知

100（ヌ>6j<6考慮平行直線族x+y=c.當直線過點（8,6）時,得x+ブ的最大值14.C2-060在邊長為10的正三角形ス8C中,以如圖所示的方式內(nèi)接兩個正方形（甲、乙兩個正方形有一邊相重迭,都有一邊落在8C上，甲有一頂點在ス8上,乙有一頂點在ルC上）.求這樣內(nèi)接的兩個正方形面積和的最小值.【題說】1988年北京市賽高ー題3.【解】設甲、乙兩正方形的邊長分別為X、ツ易知8c邊上的四條線段之和為:卜，3?ト和T。記I+李?k肪?や-エ記甲、乙兩正方形面積之和為S,則有當L3-1**3.範-同?刑0i嶺30i嶺3-可ピ（3+閭ユC2-061考慮所有底48固定,C點引出的高為常數(shù)的△Z8C,什么時候它的高的乘枳為最大?【題說】1990年亞太地區(qū)數(shù)學奧林匹克題3.№1h.a=hbb=hc,得欲使んん/J最大,只要"最小.當。=6時，A/BC為等腰三角形.記這時的C為C。（如圖），且不妨設C0與C在48同側(cè)，由CG確定的直線/〃ス8,兩者距離為ん顯然C點的軌跡為直線/,這時△ABC的外接圓。在C。處的切線即為/,而C點在。0外,因此,NACBVNACB于是chゝch

即當C與Co重合時,の最小,此時三條高乘積最大.C2-062在ふ/BC中，18=9,BC：CA=40：41,這個三角形可能有的最大面積是多少?【題說】第十屆（1992年）美國數(shù)學邀請賽題13.【解】設スB=c,AC=rb,BC=ra,（a＜b,廠＞0）/8上按{ApolloniusRI）?因此,當該圓半徑為へABC的高時,若?證?鉉為9X1640/9因此,mazS［別解］設{ApolloniusRI）?因此,當該圓半徑為へABC的高時,若?證?鉉為9X1640/9因此,mazS［別解］設8c=40%,AC=41k.48=9,則它有最大面積.S-"481k*9）（81k-9）（9.“9+k）ぐ河プ?成87）?；扣廿-%產(chǎn)べ戶）＜キ?^（81ka-l*81a-81ka）-^（8la-1）-820圖b當ん=1時，達到最大值.圖bC2-063如圖，邊長為1的正方形X8CZ）的一組對邊AB、CD上各取一點M、N,AN、DM交于E,BN、CM交于ド.試求四邊形目W7W的最大面積,并指出M,N在何位置時可取此最大值.【題說】1993年河北省高中數(shù)學聯(lián)賽二試題2.本題由第24屆加拿大數(shù)學奧林匹克題3改編而來（見C2-034）.【解】首先考察圖中直角梯形"ZU,其上、下底分別為機、〃，直角腰長為1.顯然△燈。與UZO等積.令其面積為f,過。的高長為ん這高將?X分為長為。、6的兩段，則—-b,--a,所以と—-b,--a,所以と---1f從而!! mn2(m4-n),現(xiàn)在令スM=x,CN=y,則A西=1-x,DN=l-y,根據(jù)對直角梯形的林喃AMEE二鼎.AMFH喃=堪捻?曬顏加曲時=盡キ+弟言因^（l-ア）Kl（*一〇2〇G+y-1）a>02（1-乂2（1-乂?--））7>即酬彩MFNE面積的最大值カ］4 4這最大值當x+y=l時（即M,N連線平行于正方形的底邊時）達到.C2-065在平面上有三個不同的點ス、B、C.構(gòu)造一條過C點的直線陰,使得ん8兩點到a的距離的積最大.對于每組點ズ、B、C,這樣的m是否唯一?【題說】1995年城市數(shù)學聯(lián)賽高年級普通水平題4.【解】設BC=。,AC=b,NBCA=a.若ス、8在直線ワ的同側(cè),令タ是加與Cス的夾角,則m與CB的夾角是萬一。ー，.イ、B兩點到m的距離之積為abaaOsin（K-G-0）"-（co?G-c?a*2。ル東大值力き（㈤。4-1）,在8=七れ,8Pm是ズACB的外角平分線時取得最大值.同理,若ス、8兩點分居ル兩儡??事大值ヵき（coia.0j這時あ/acb的平分線.因カ所以,若。是銳角，則m是N/C8的外角平分線:若。是鈍角，則か是/ZC8的平分線;若。是直角，則ワ是ノ4CB的平分線或外角平分線，此時山不唯一.C2-066在平行四邊形ル8C。中,設。是對角線スC與80的交點.NCAB與/DBC毎?個都是/DB4的兩倍，NACB是ノZ。8的r倍.求不超過!OOOr的最大整數(shù).【題說】第十四屆（1996年）美國數(shù)學邀請賽題15.【解】設/DBA=a.由于N。8=NCBO=2。，所以△CABsMOB i_夕CBa=COXCA=-CA2 Jシ在△/8C中，由正弦定理 N△/sin3aAC広 <2?q2aBC即3-4A-a-2?81a

所以4co?ユ-1-0解得dE+ノ5c8a■—--4a-is,2480=180°-3X15°=135°Z/4CB=135°-2X15°=105°所以1057f■ ———1359,一ア000宀フlOOOr 7779 9答案為777.C2-067在給定線段ス8上任取一點C,以スC、C8為底向同一側(cè)作正三角形スCO及C8E,連/E和8O相交于2點,求P點的軌跡.【題說】1958年武漢市賽高三初賽題3.【解】在△ZCE與△OCB中,AC=DC,CE=CBNACE=ZDC5=120°所以 MCE纟ふDCB從而 /EAC=NBDCス、C、P、ハ四點共圓ZO/M=Z/CO=60°ZAPB=180°-60°=120°所以P點軌跡是以/18為弦,圓周角為120°的圓弧.C2-068設在線段AB上有一點M,并在線段AB的同一側(cè)以線段AM,MB為ー邊分別作正方形AMCD和MBEF.這兩個正方形的外接圓（分別以尸、Q為圓心）除點M外還交于點N.（。）求證:Aド、8c通過N點;（6）證明:直線MN總是過ー定點;（c）當〃在メ、8之間變動時,求線段尸0中點的軌跡.【題說】第一屆（1959年）國際數(shù)學奧林匹克題5.本題由羅馬尼亞提供.【解】如圖,Q）連線段スMNF、BC和CN,貝リN4NM=NADM=45°ZMVr=180°—ZM8尸=135°所以 /ANF=NANM+ZMNF=45°+135°=180°N位于AF上.因線段スC是直徑,Z/NC=90°;又/ANB=NANM+/MNB=45°+45°=90°.因此C位于BN上,即力ド和8c交于M（か因Z4NM=ZMN8=45°,直線MW平分Z⑷VB.所以，Mン的延長線通過直徑為ス8的下

半圓周的中點s.（c）設PP',QQ,和??/?’分別是過P,。和線段P。的中點Z?到ス8的垂線,則cレー，…ハIAM+MBABrr，--（pp/+QQ#）-- -即??到スB的距離是常值.當M=ス時,P'=A,AQ'=AB/2,AR'=AB/A,當M=8時,Q'=B.P'B=AB/2.R'B=AB/4.于是R的軌跡是長為スB/2的線段，平行于線段/8且與ス8的距離為イB/4.C2—069在平面上給定一個圓S及過圓心0的直線/.過。任作一圓心在/上的圓S'.求S與S’的公切線與S相切的切點"的集合.【題說】1962年全俄數(shù)學奧林匹克八年級題2.【解】設S的圓心為〇’,/交。0于Z（、B,MN是S、S,公切線，則有NNOM=NOMON(ON〃0'A/)但又有 ク0'OM=ZOMO'(O'0=0'M)于是 ZNOM=ZO'OM而有 △NOA/纟△80A/因此 /MBO=NMNO=90°即 MBLI反之,若M是過8而垂直，的直線上一點,過M作切。。于M選ON.又作用。'//NO,交/于。',則易證。'M=O,〇,且。'MLNM.故以?！癁閳A心、。?！癁榘霃降膱AS'切MN于M.即M是SS'公切線與S'的切點.因此軌跡是/的分別過ス、8的兩條垂線.C2—070如果ス、8是已知圓上的固定點，與圓心不共線，X7為變直徑.求P點（AX與BY交點）的軌跡.【題說】第五屆（1973年）加拿大數(shù)學奧林匹克題6.第五屆（1976年）美國數(shù)學奧林匹克題2.【解】尸點可以在圓外（圖°）,也可以在圓內(nèi)（圖6）.在圖。的情形,乙4切為定角。，NHy=90°,因 較「、 人けf、BTOC\o"1-5"\h\z而/APB為定角90°ー。,所以尸點的軌跡為對 あ張角為90。ーa的弓形弧侖（優(yōu)?。?ヤ メーp 10）在圖6的情形，ZAPB=ZAYB+ZXAY=a+90° 、二?“圖a 圖b亦為定角.所以P點的軌跡為對AB張角為90°+a的弓形弧俞（劣?。┮蚨咚鶎ο谣?相同,且張角互補,故合成一圓.因此,P點軌跡為以ス8為弦的圓.其半徑容易算得為R=AB/2s加（9?！悌`。）.C2-071以點。為中心的正〃邊形（〃N5）的兩個相鄰頂點記為ス、B.△型與△。ス8全等.最初令△工yz重合于△。ス8,然后在平面上移動△孫z,使點シ和z都沿著多邊形的周界移動,周,

而點X保持在多邊形內(nèi)移動,求點X的軌跡.【題說】第二十七屆（1986年）國際數(shù)學奧林匹克題4.本題由冰島提供.【解】因△りz纟△0ス8,所以Zyxz=180°-2/480=180°一/yBz故x、ヅ、B、z四點共圓.從而NyBx=Z.yzx=ZyBO可知以與8。重合,即x在8。延長線上.由正弦定理知Bx=xy,sinZ.xyB/sinZ.yBx. （n-2）直=iy? /an— 由于ノ0啲變化顏是,回答（兀-包普.所以/Q /d點X到中心。的最大距離是r.(n ( 兀］.2nd=zy/nal- -Il-OB=all-co?—I/an 其中〃為正〃邊形ー邊的邊長.可見,當點ヅ在ス8上變化時,點x恰好在8。延長線上由。點出發(fā)描繪了長度為［的線段兩次.所以,x的軌跡是由正〃邊形的中心背向每ー頂點的長度為メ的線段所組成的“星形”.C2—072考慮在同一平面上半徑為Z?與/"（/?>r）的兩個同心圓.設P是小圓周上的ー個定點，B是大圓周上的ー個動點,直線8尸與大圓周相交于另外一點C.過點尸且與垂直的直線，與小圓周相交于另一點A（如果/與小圓相切于P,則ス=尸）.（z）求表達式8ピ+Cイ+イざ所取值的集合; イー、（防）求線段AB的中點的軌跡. c'Z-A^Ab'【題說】第二十九屆（1988年）國際數(shù)學奧林匹克題1.本題由盧森堡提供.cLA^_JLJb【解】S設兩圓圓心為。，過。作。M與BC垂直,且交BC 、ッ于M.鈿P=2t,0〇M=gAP?t.于是BC.2BM.2g-P8尸+C尸=（BM-PM）2+（8A/+MP）2=2（8財+戶財）即 8尸+び=2（そーガ+2（ザーづ）=2（尸+カー4ヂ于是 BCe+CA2+AB1=BC+（尸ピ+處り+（B尸+ぬう=8ぴ+B產(chǎn)+C尸+2以ユ=4（戸一/）+2（戸+カー4，+2af=6パ+2，ー8メ+2（2か=6&+2/故8ピ+。ユ+スざ的值集為｛6店+円.

（"）過ス作直線平行于C8,交大圓周于C’及タ兩點,易見尸8タス為ー矩形,因此線段スB的中點G也就是線段/3タ的中點.當8在大圓周上變動一周時，タ也在大圓周上變動ー周.因此，以尸為位似中心,1/2為相似比作位似變換，則大圓周就變成G點的軌跡，即G點軌跡是以線段。尸的中點為圓心,以/;/2為半徑的圓周.C2—073給定圓。及內(nèi)部一定點M考慮所有矩形MK7P,其頂點K、P在給的圓周上，求點T的軌跡.【題說】第十六屆（1990年）全俄數(shù)學奧林匹克十年級題8.【解】設。0半徑為R,OM=I,則T點的軌跡是以〇為圓心，も=（2Ra-尸）ラカ?!^^S.事實上,設MK7P是符合條件的ー個矩形，過。分別引OE丄MK于瓦,0%丄PT于』,。由勾般定理6a+Otf2=O氏2+OP3=OE?*EtMa*OE^*E^,2,因f01=畑ユ-『（若M=0,Ml=0,上式也成立）BPT上式也成立）BPTS上.反之,對S上任意一點ア,設尸是給定圓周與以MT為直徑的半圓的交點，作符合題設的矩形MPTK,由于T、北均在內(nèi)部，且。ハ=。7=凡,故T=T、.綜上所述,S是所求的軌跡.C2-074設ハ是已知三角形ス8C的邊ス8上任一點，E是△/Cハ、△BC。內(nèi)切圓的外公切線與8的交點（在△/18C內(nèi)部），證明點E的軌跡是一段圓弧.【題說】第二十屆（1989年）美國數(shù)學奧林匹克題5.【證】如圖,設イ8分別切二圓于，、/,Cの分別切二圓于ド、G, 人二圓另一公切線為尸。,尸、。分別是切點.于是 中^aPQ=PE+EQ=EF+EG=2EF+FG. /F]V同理,HI=2DG+FG. AhdIB因為 PQ=H1所以 EF=DG又因為—AC*CD-ADCF 一CD+BD-BC所以CE=CF-EF=CF-DG=（AC+BC-AB）/2故E點軌跡是以C為圓心，（AC+BC-AB）/2為半徑的在△ABC內(nèi)部的一段圓弧.C2-075正方形尸0?S的頂點。、R、S分別在邊長為2的正三角形』BC的邊スB、BC、C4上滑動,求尸點的軌跡.【題說】第一屆（1990年）希望杯高ニニ試題3（3）.【解】設/SRC=RS=x,P至I]BC距離PH=h,貝リ 大

h=PRan(45*+6)=^an(45*4-0)(〇在△HSC和△QRB中用正弦定理,有K*SU1(6O*

an60**0)BR「s4n(6K*SU1(6O*

an60**0)BR「s4n(6〇.-(90*?〇)

?60*=RC相加得>(u(60*+9)+?nCIS*-6)l=2ad50*=#即J2m(64-45*)=3-/由（I）.（2）給=3-?.這就是說,P點距,カ定值3-43.設8C邊的高為イ0.當7?由B向C移動時,尸由スO上一點向相反方向沿8c的平行線移動,直至QR±BC,此時P點的軌跡是平行于B（訥繞段,在與BC相距カ3ー赤,其長度カ2,且與BC種成T0亂［評注］由（2）有(0*<0<45*)3-43廠ム心+4ヂJ2ー冬-閭,?2(0*<0<45*)因比,正方那面枳,當。=0?時,有最大值6（2ーの,當0=45?吋,有最小值3（2-#）.C2-076在ー個平面中，直線/是圓。的一條切線，M為/上一點，試求出具有如下性質(zhì)的所有點尸的集合:在直線，上存在兩個點。和/?,使得M是線段。7?的中點，且圓。是三角形尸。Z?的內(nèi)切圓.【題說】第三十三屆（1992年）國際數(shù)學奧林匹克題4.本題由法國提供.【解】設圓〇與直線/的切點為7,點T關于點0的對稱點為S,顯然 F點S也在圓。之上.任取ー個滿足條件的點尸，過尸作圓。的兩條切線,設它們與/的交點分別為。、R. Q圖;入1過S作/的平行線，設其與P。、刊?相交于ス、B,于是圓。是△ぬ8 ス京、〈在/18邊上的旁切圓，且在該邊上的切點為S. / \再作△尸。??在。Z?邊上的旁切圓?！?，它與。/?切于點N. /由于/18〃。R所以△以8與△2。Z?關于點P位似.在此位似變換下，。。變到。。’，S與。分別變?yōu)镹和。’.這表明,點尸必在直線NS上,且

(0TR-^(PR+QR-PQ)-QN(0又由已知加。="及，從而有NM=MT亦即N點是ア關于"的對稱點.綜上所述，尸點必位于直線NS之上，其中N是點ア關于點M的對稱點，S是點ア關于點。的對稱點;且P點與N點位于點S的不同側(cè).反之，在直線NS任取一與N位于S的不同側(cè)的點尸，過尸作圓。的二切線，設它們分別與/相交于點。和R,則重復上述作旁切圓的推導過程，仍得(1)式.又因點N滿足(2)式，因而。M=M?.可見點P確實滿足所有條件.總之,所求P點的集合，即為直線SN上以S為端點、與SN方向相反的射線，S點不包括其內(nèi).C2—077給定等邊△N8C,對于形內(nèi)任意一點尸，直線ス尸與BC交于點/',直線CP與Bス交于點C'.試求點/5的幾何位置.使得線段ス/'與CC’相等.【題說】第五十八屆(1995年)莫斯科數(shù)學奧林匹克九年級題8.與CC",其中8C，=BA',AC"

易知,這高的每一點都符合要求.【解】在BC上任取一點T,并連線段44'.易知，ー個端點為C,另ー個端點在邊ス8上的所有線段中,只有兩條與ス4’相等,這就是圖。中CC'=BA'.線段ん與CC",其中8C，=BA',AC"

易知,這高的每一點都符合要求.NBPC、ユCPD、NDPA的平分線分別設44'與CC"的交點為尸.因為△/CC"冬ふBAA',所以/APC=180A-NBPC、ユCPD、NDPA的平分線分別=180°-(ZPAC+ZRAC")=180°-NC4B=12O°這表明點尸在弧r上，弧r是由ZI、C及△/8C的垂心所決定的圓在△Z8C內(nèi)的部分.反之,弧/?上的點均符合要求.綜上所述，點P的集合是高8”及弧r,如圖，所示.C2—078戶是凸四邊形?18C。所在平面上一點，NAPB、交AB、BC、CD、DA于點K、L、M、N..尋找一點尸，使得KLM?V是平行四邊形..求所有這樣P點的軌跡.【題說】1995年城市數(shù)學聯(lián)賽高年級高水平題1.【解】1.設尸是スC,80的垂直平分線的交點，則ル=尸C,PB=PD.因為尸K平分/イ尸8,PL平分/BPC,所以,AKPAPCCL5■-施?麗?瓦?広其‘ん。同理,MN//AC.故KU/MN.同理,LM//NK,故KLMV是平行四邊形.2.設KZM?V是平行四邊形,由角平分線性質(zhì)可得TOC\o"1-5"\h\zAKBLCMDNPAPBPCPD ハ、KBLCMDNAPBBCPDPA假設K、與8O交于點。,在△48O中應用梅涅勞斯定理,有DN AK BQ\o"CurrentDocument"NA ,KB QD結(jié)合(1)得BL CM DOLC MD QB在△BC￡?中應用梅涅勞斯定理的逆定理得0、M、ム三點共線，從而KN與LM交于點、Q,矛盾.故KN//BD//LM.因此，PAAKANPAPBKBNDPD從而PB=PD.圖b同理乃1=PC.所以,尸點一定是スC,8。的垂直平分線 C圖b的交點. AnC2-079已知「是△4BC內(nèi)部一點，在△/BC的周界上 //^\求一點。,使折線スP0平分△/BC的面積.【題說】1954年?1955年波蘭數(shù)學奧林匹克二試題1. A^F-B【解】設BC、C4、ん8的中點分別為ハ、E、ド，直線ル尸圖a交BC于K.不妨設K在線段8O內(nèi).若K=D,取。=ハ即可.若K#D,又有兩種情況:(DP不在△ハド8內(nèi)(圖a).連尸ハ,過ス作尸。的平行線交C。于。，貝リSAAD+SDQK-SAAQ*SAHK*SAU?"SA1DB"^SA1K所以。即為所求.(2)P在△。尸B內(nèi)(圖b).設加5交。ド于S,連尸C.作S。〃尸C交スC于。，則SaAPQ-Sajjq.S^jqp-所以。即為所求.今要把水溝的兩岸變成直線,而每塊水田的面圖a圖bC2-080如圖,兩塊水田間有一條曲折的水今要把水溝的兩岸變成直線,而每塊水田的面圖a圖b.如果ス、A,兩點不變,則水溝應如何配置?.如果ス點不變,而要求水溝兩岸平行,則水溝又應如何配置?各說明其方法.【題說】1956年上海市賽復賽題3.關鍵是等

積變換.【解】!.它的要求是把多邊形變成邊數(shù)少1的等積多邊形,且イ、A,兩點不變.作法:聯(lián)作CK〃ズ8,聯(lián)スK,仿此作出HK'（圖6）.2.它的要求可從圖6中所得的四邊形んI'KK1變成一等積的梯形/KNM,使NM〃AK,如圖c中MN為所求的線.（1）當D4不平行于“K’時,延長ス'D與K'H交于T.作ス'R//AK?球:?3=s2-SーパSab。-tr：tk，所以TN-^TR?TK所以TN-^TR?TK7因此,只要作出※及7X’的比例中項，定出N點，并作〃ルT,則MN即為所求水溝的ー邊.（證明略）（2）當DA'//HK',則只須求A'K,的中點3過ム作MN//4K（圖M由△丄NK’纟厶LMA',所以MN即為所求的水溝ー邊.C2-081已知等邊三角形ス8C,求作它的外接等邊三角形DEF,使其面積為極大.【題說】1957年上海市賽髙ニ復賽題4.【解】如圖，ZADC=60°為定角,故。點在以｛C為弦，含角為60。的（△ABC外側(cè)的）弓形弧上，顯然D為祕的中點P時,ADAC面積極大,此時△4PC也為等邊三角形,從而AP〃BC,因此有下面作法:過等邊△/8C各頂點ス、8、C分別作平行于對邊的直線，兩兩相交于尸、Q、R,則△尸。Z?即為所求的三角形（證明略）.以ー082在一已知半徑為7?的圓內(nèi)，試作七個全等的正六邊形，它們的位置如下:ー個在中間,它的中心和圓心重合:另外六個各有一邊和中間ー個的ー邊重合，且每ー個還有一邊是圓的弦.【題說