小學奧數(shù)知識點歸納和總結(jié)

小學奧數(shù)知識點歸納和總結(jié)小學奧數(shù)知識點歸納和總結(jié)小學奧數(shù)知識點歸納和總結(jié)資料僅供參考文件編號：2022年4月小學奧數(shù)知識點歸納和總結(jié)版本號：A修改號：1頁次：1.0審核：批準:發(fā)布日期：小學奧數(shù)知識點歸納和總結(jié)二年級奧數(shù)知識點分類：一、運算符號類二、規(guī)律填數(shù)類三、規(guī)律畫圖類四、年齡問題類五、間隔問題類（含植樹問題及智力計數(shù)）六、周期問題類七、有序思考類八、時鐘問題類九、推理及思維訓練類（包含算式類）十、和差問題類十一、和倍問題類十二、差倍問題類十三、一筆畫類十四、移動變換類十五、智力趣味類（包含巧切西瓜）十六、雞兔同籠類十七、盈虧問題類十八、應用類（含數(shù)量關系、重疊問題、）三年級奧數(shù)知識點分類：一、計算類

計算是數(shù)學學習的基本知識，也是學好奧數(shù)的基礎。能否又快又準的算出答案，是歷年數(shù)學競賽考察的一個基本點。三年級的計算包括：速算與巧算、數(shù)列規(guī)律、數(shù)列求和、等差數(shù)列的和等。

二、應用題類

從三年級起，大量的奧數(shù)專題知識都是所有年級所有競賽考試中必考的重點知識。學生們一定要在各個應用題專題學習的初期打下良好的基礎。

(1)和倍、差倍問題：

用線段標識等方法揭示這兩類問題中各種數(shù)量關系，

和倍問題：小數(shù)=和÷(倍數(shù)+1)。

三、

差倍問題：小數(shù)=差÷(倍數(shù)-1)

(2)年齡問題：

教授解決年齡問題的主要方法：和倍、差倍方法;畫圖線段標示法。

(3)盈虧問題：

介紹盈虧問題的主要形式

(雙盈、雙虧、一盈一虧)

分配總?cè)藬?shù)=盈虧總額÷兩次分配數(shù)之差。

(4)植樹問題：

總長、株距、棵樹三要素之間的數(shù)量關系：

總長=株距×段數(shù)，

封閉圖形：棵數(shù)=段數(shù)

不封閉圖形：

兩頭都栽：棵數(shù)=段數(shù)+1

兩頭都不栽：棵數(shù)=段數(shù)-1

一頭栽一頭不栽：棵數(shù)=段數(shù)

(5)雞兔同籠問題：

介紹雞兔同籠問題的由來和主要形式，

揭示雞兔同籠問題中的數(shù)量關系，

假設法

(6)行程問題：

相遇問題、追及問題等，

相遇時間=總路程÷速度和，

追及時間=距離÷速度差。

(7)周期問題

(8)還原問題

(9)歸一問題

(10)體育比賽中的數(shù)學、趣題巧解

幾何類

三年級學校的學習中就會涉及到一些簡單的圖形求周長和面積了，那么在奧數(shù)中圖形問題涉及到的是巧求周長、巧求矩形面積

數(shù)論類

現(xiàn)在三年級也開始涉及到了數(shù)論了，是比較簡單的能被2、3、5整除的性質(zhì)、奇數(shù)和偶數(shù)、余數(shù)與周期問題。四年級奧數(shù)知識點分類：1.圓周率常取數(shù)據(jù)3.14×1＝3.143.14×2＝6.283.14×3＝9.423.14×4＝12.563.14×5＝15.73.15×6＝18.843.14×7＝21.983.14×8＝25.123.14×9＝28.262.常用特殊數(shù)的乘積125×8＝100025×4＝100125×3＝375625×16＝100007×11×13＝100125×8＝200125×4＝50037×3=1113.100內(nèi)質(zhì)數(shù)：23571113171923293137414347535961677173798389974.單位換算：1米=3尺=3.2808英尺=1.0926碼1公里=1000米=2里1碼=3英尺=36英寸1海里=1852米=3.704里=1.15英里1平方公里=1000000平方米=100公頃=4平方里=0.3861平方英里1平方米=100平方分米=10000平方厘米1公頃=100公畝=15畝=2.4711英畝1立方米=1000立方分米=1000000立方厘米1立方米=27立方尺=1.308立方碼=35.3147立方英尺1噸=1000公斤=1000千克1公斤=1000克=2斤（市制）=2.2046磅5.加減法運算性質(zhì)：同級運算時，如果交換數(shù)的位置，應注意符號搬家。加、去括號時要注意以下幾點：括號前面是加號，去掉括號不變號；加號后面添括號，括號里面不變號；括號前面是減號，去掉括號要變號；減號后面添括號，括號里面要變號。6.乘除法運算性質(zhì)乘法中性質(zhì)：（1）乘法交換律（2）乘法結(jié)合律（3）乘法分配律（4）乘法性質(zhì)（5）積的變化規(guī)律：一擴一縮法。除法中性質(zhì)：當被除數(shù)為幾個數(shù)字之和或者差時才可以用除法分配律積的變化規(guī)律：同擴同縮法。同級運算時，如果有交換數(shù)的位置，應該注意符號搬家。加、去括號時注意以下幾點：括號前面是乘號，去掉或加上括號不變號；括號前面是除號，去掉或加上括號要變號；7.等差數(shù)列數(shù)列是指按一定規(guī)律順序排列成一列數(shù)。如果一個數(shù)列中從第二個數(shù)開始，相鄰兩個數(shù)的差都相等，我們就把這樣的一列數(shù)叫做等差數(shù)列，等差數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做項，第一個數(shù)叫第一項，通常也叫“首項”，第二個數(shù)叫第二項，第三個數(shù)叫第三項……最后一項叫做“末項”。等差數(shù)列中相鄰兩項的差叫做“公差”，等差數(shù)列中項的個數(shù)叫做“項數(shù)”。公式：和=（首項+末項）×項數(shù)÷2項數(shù)=（末項-首項）÷公差+1第n項=首項+（n-1）×公差8.和倍問題己知幾個數(shù)的和及這幾個數(shù)之間的倍數(shù)關系，求這幾個數(shù)的應用題叫和倍問題。解答和倍問題，一般是先確定較小的數(shù)為標準數(shù)（或稱一倍數(shù)），再根據(jù)其他幾個數(shù)與較小數(shù)的倍數(shù)關系，確定總和相當于標準數(shù)的多少倍，然后用除法求出標準數(shù)，再求出其他各數(shù)，最好采用畫線段圖的方法。和倍公式：和÷（倍數(shù)＋1）=小數(shù)9.差倍問題己知兩個數(shù)的差及它們之間的倍數(shù)關系，求這兩個數(shù)的應用題叫差倍問題。解答差倍問題，一般以較小數(shù)作為標準數(shù)（一倍數(shù)），再根據(jù)大小兩數(shù)之間的倍數(shù)關系，確定差是標準數(shù)的多少倍，然后用除法先求出較小數(shù)，再求出較大數(shù)。解答這類問題，先畫線段圖，幫助分析數(shù)量關系。差倍公式：差÷（倍數(shù)－1）=小數(shù)10.和差問題和差問題是根據(jù)大小兩個數(shù)的和與兩個數(shù)的差求大小兩個數(shù)各是多少的應用題。解答和差問題的基本公式是：（和－差）÷2=較小數(shù)（和＋差）÷2=較大數(shù)九、11.年齡問題己知兩個人或幾個人的年齡，求他們年齡之間的某種數(shù)量關系；或己知某些人年齡之間的數(shù)量關系，求他們的年齡等，這種題稱為年齡問題。年齡問題的特點是：一般用和差或者和倍問題的方法解答。（1）兩人的年齡之差是不變的，稱為定差。（2）兩個人的年齡同時都增加同樣的數(shù)量。（3）兩個年齡之間的倍數(shù)關系，隨著年齡的增長，也在發(fā)生變化。年齡問題的解題方法是：幾年后=大小年齡之差÷倍數(shù)差－小年齡幾年前=小年齡－大小年齡差÷倍數(shù)差12.平均數(shù)求平均數(shù)必須知道總數(shù)和份數(shù)，常用公式：平均數(shù)=總數(shù)÷份數(shù)總數(shù)=平均數(shù)×份數(shù)份數(shù)=總數(shù)÷平均數(shù)相遇問題行程問題又分為相遇問題、13.相遇與追及問題路程=速度×時間

時間=路程÷速度

速度=路程÷時間。相遇問題它的特點是兩個運動物體或人，同時或不同時從兩地相向而行，或同時同地相背而行，要解答相遇問題，掌握以下數(shù)量關系：速度和×相遇時間=路程

路程÷速度和=相遇時間

速度÷相遇時間=速度和

追及問題運動的物體或人同向而不同時出發(fā)，后出發(fā)的速度快，經(jīng)過一段時間追上先出發(fā)的，這樣的問題叫做追及問題，解答追及問題的基本條件是“追及路程”和“速度差”。追及問題的基本數(shù)量關系是：追及時間=追及路程÷速度差

追及路程=速度差×追及時間

速度差=追及路程÷追及時間14.行船問題

船在江河里航行，前進的速度與水流動的速度有關系。船在流水中行

程問題，叫做行船問題（也叫流水問題），船順流而下的速度和逆流而上的速度與船速、水速的關系是：順水速度=船速＋水速逆水速度=船速－水速由于順水速度

是船速與水速的和，逆水速度是船速與水速的差，因此行船問題就是和差問題，所以解答行船問題有時需要駝用和差問題的數(shù)量關系。船速=（順水速度＋逆水速

度）÷2

水速=（順水速度－逆水速度）÷2

因為行船問題也是行程問題，所以在行船問題中也反映了行程問題的路程、速度與時間的關系。順水路程=順水速度×時間逆水路程=逆水速

度×時間

15.過橋問題

過橋問題的一般數(shù)量關系是：路程=橋長＋車長車速=（橋長＋車

長）÷通過時間通過時間=（橋長＋車長）÷車速車長=車速×通過時間－橋長橋長=車速×通過時間－車長

16.植樹問題

在首尾不相接的路線上植樹，段數(shù)與棵數(shù)關系可分為三類：（1）兩

端都種樹

段數(shù)=棵數(shù)－1

（2）一端種一端不種

段數(shù)=棵數(shù)（3）兩端都不種段數(shù)=棵數(shù)＋1（4）

在首尾相接的路線上種樹（如圓、正方形、閉合曲線等）段數(shù)=棵數(shù)

17.還原問題

還原問題又叫逆推問題。己知一個數(shù)的結(jié)果，再經(jīng)過逆運算反求原

數(shù)，叫做還原問題。解決這類題要從結(jié)果出發(fā)，逐步向前一步一步推理，每一步運算都是原來運算的逆運算（即變加為減，變減為加，變乘為除，變除為乘）。

18.方陣問題

很多的人或物按一定條件排成正方形（簡稱方陣），再根據(jù)己知條件

求總?cè)藬?shù)，這類題叫方陣問題。在解決方陣問題時，要搞清方陣中一些量（如層數(shù)，最外層人數(shù)，最里層人數(shù)，總?cè)藬?shù)）之間的關系。方陣問題的基本特點是：

（1）方陣不管在哪一層，每邊的人數(shù)都相同，每向里面一層，每邊上的人數(shù)減少2，每一層就少8。（2）每層人數(shù)=（每邊人數(shù)－1）×4

（3）每邊人數(shù)=每層人數(shù)÷4＋1

（4）實心方陣人數(shù)=每邊人數(shù)×每邊人數(shù)

19.幻方與數(shù)陣

幻方的特點：一個幻方每行、每列、每條對角線上的幾個數(shù)的和都相

等。這相相等的和叫“幻和”。兩種方法：奇階：1、九子排列法2、羅伯法，3、巴舍法。偶階：1、對稱交換法2、圓心方陣法。數(shù)陣有三種基本類型：（1）

封閉型，（2）輻射型（3）綜合型解數(shù)陣問題一般思路是從和相等入手，確定重處長使用的中心數(shù)，是解答解數(shù)陣類型題的解題關鍵。一般答案不唯一。

20.奇數(shù)與偶數(shù)

加法：偶數(shù)＋偶數(shù)=偶數(shù)奇數(shù)＋奇數(shù)=偶數(shù)偶數(shù)＋奇數(shù)=奇數(shù)減法：偶數(shù)－偶數(shù)=偶數(shù)奇數(shù)－奇數(shù)=偶數(shù)偶數(shù)－奇數(shù)=奇數(shù)乘法：偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)偶數(shù)×奇數(shù)=偶數(shù)盈虧問題解

21.盈虧問題

通常是比較法和對應法結(jié)合使用。公式是：（同盈同虧用減法，一虧

一盈用加法）即：兩次分配結(jié)果差÷兩次分配數(shù)差=人數(shù)

22.牛吃草問題

牛吃草問題涉及三種數(shù)量：A.原有的草。B.新長出的草。C.牛

吃掉的草。牛吃草問題解法一般分為三步：一、求每天新生的草量；二、求原有草量；三、求出最終的問題。（類似于行程問題中的追及問題）

23.還原問題

解題關鍵：在從后往前推算的過程中，每一步都是做同原來相反的運

算，原來加的，運算時用減；原來減的，運算時用加；原來乘的，運算時用除；原來除的，運算時用乘。

24.假設問題

假設法是解答應用題時經(jīng)常用到的一種方法。所謂“假設法”就是依

據(jù)題目中的己知條件或結(jié)論作出某種設想，然后按照己知條件進行推算，根據(jù)數(shù)量上出現(xiàn)的矛盾，再適當調(diào)整，從而找到正確答案。

25.余數(shù)問題

一個帶余數(shù)除法算式包含4個數(shù)：被除數(shù)÷除數(shù)=商??余數(shù)。它們

的關系也可表示為：被除數(shù)=除數(shù)×商＋余數(shù)，或（被除數(shù)－余數(shù)）÷除數(shù)=商。

26.一筆畫和多筆畫

（1）凡是由偶點組成的連通圖，一定可以一筆畫成；畫時可以任一

偶點為起點，最后能以這個點為終點畫完此圖。

（2）凡是只有兩個奇點（其余均為偶點）的連通圖，一定可以一筆畫完；畫時必須以一個奇點為起點，另

一個奇點為終點。

（3）多

筆畫定理

有2n（n＞1）個奇點的連通圖形，可以用n筆畫完（彼此無公共線），而且至少要n次畫完.

27.抽屜原理

抽屜原則一：把n+1（或更多）個蘋果放到n個抽屜里，那么至少

有一個抽屜里有兩個或兩個以上的蘋果。

抽屜原則二：把（m×n+1）個（或更多個）蘋果放進n個抽屜里，必須一個抽屜里有（m+1）個（或

更多的）蘋果。

說明：應用

抽屜原則解題，要從最壞的情況去思考28.分解因式把一個合數(shù)寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式，叫做分解質(zhì)因數(shù)。一個自然數(shù)

的約數(shù)的個數(shù)，恰為各個質(zhì)因數(shù)的指數(shù)加1后的乘積。一個數(shù)的完全平方數(shù)，各個質(zhì)因數(shù)的個數(shù)，恰好是平方前這個數(shù)各個質(zhì)因數(shù)個數(shù)的2倍。一個完全平方數(shù)各個

質(zhì)因數(shù)的個數(shù)都是偶數(shù)。

29.最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)

求兩個數(shù)的最大公約數(shù)一般有三種方法：（1）分解質(zhì)因數(shù)法（2）

短除法（3）輾轉(zhuǎn)相除法

30.分數(shù)的比較

分母相同的分數(shù)比較大小，分子大的分數(shù)比較大。分子相同的分數(shù)比

較大小，分母大的分數(shù)反而小。分子和分母都不相同的分數(shù)比較大小，可以把它們轉(zhuǎn)化成分母相同的分數(shù)比較大??；也可以把它們轉(zhuǎn)化成分子相同的分數(shù)比較大小。

性質(zhì)：

1.一個真分數(shù)的分子和分母都加上同一個自然數(shù)，所得的新分數(shù)比原分數(shù)大。

2.一個真分數(shù)的分子、分母都減去同一個自然數(shù)（這個自然數(shù)小于真分數(shù)的分子），所得的新分數(shù)比原分數(shù)小。

3.一個假分數(shù)的分子、分母都減去同一個自然數(shù)（這個自然數(shù)小于假分數(shù)分母），所得的新分數(shù)比原分數(shù)大。

4.一個假分數(shù)的分子、分母都加上同一個自然數(shù)，所得的新分數(shù)比原分數(shù)小。

31.剪紙問題

公式：2對折后剪的次數(shù)+1=段數(shù)。

32.最大最小

1、解答最大最小的問題，可以進行枚舉比較。在有限的情況下，通過計算，將所有情況的結(jié)果列舉出來，

然后比較出最大值或最小值。

2、運用規(guī)律。（1）兩個數(shù)的和一定，則它們的差越接近，乘積越大；當它們相等（差為0）時，乘積最大。

3、考慮極

端情況。如“連接兩點間的線段最短”、“作對稱點”、“聯(lián)系實際考慮問題”等。

33.比較大小

估算最常用的技巧是“放大縮小”，即先對某個數(shù)或算式進行適當?shù)?/p>

“放大”或“縮小”，確定它的取值范圍，再根據(jù)其他條件得出結(jié)果，調(diào)整放縮幅度的方法有兩條：一是分組（分段），并盡可能使每組所對應的標準相同；另一種

方法是按近似數(shù)乘除法計算法則，比要求的精確度多保留一位，進行計算。

34.鐘表問題

解答鐘表問題，我們首先想辦法把有些能轉(zhuǎn)化成相遇或追及問題的轉(zhuǎn)

化為相遇或追及問題來解答。需記住以下常用數(shù)據(jù)：鐘表上有12大格，60小格，每大格30度，每小格6度。，分針每分鐘走：6度；時針每分鐘走：0.5

度；速度差：5.5度

2解答鐘表上的時間快慢問題，關鍵是抓住單位時間內(nèi)的誤差，然后根據(jù)某一時間段內(nèi)含多少個單位時間，就可以求出這一時間段內(nèi)的誤差。

35.分數(shù)應用題的計算

解答較復雜的分數(shù)應用題，一定要找準單位“1”，如果單位“1”

的量是變化的，就要從題目中找出不變的量，把不變的量看作單位“1”，將己知條件進行轉(zhuǎn)化，找出所求數(shù)量相當于單位“1”的幾分之幾，再列式解答。

2還可以借助線段圖來幫助理解題意，列式解答。

3對較復雜的分數(shù)應用題，還可以列方程來解答。

36.利潤問題

解答利潤問題你必須理解以下的關系式。

（1）利潤=賣價－成本

（2）利潤的百分數(shù)=（賣價－成本）÷成本×100﹪

（3）賣價=成本×（1＋利潤率）

（4）成本=賣價÷（1＋利潤率）

（5）折扣＝實際售價÷原售價×100%(折扣＜1)

（6）

利息＝本金×利率×時間

（7）

稅后利息＝本金×利率×時間×(1－20%)

37.濃度問題

溶質(zhì)的重量＋溶劑的重量＝溶液的重量

溶質(zhì)的重量÷溶液的重量

×100%＝濃度

溶液的重量×濃度＝溶質(zhì)的重量

五年級奧數(shù)知識點分類：1.和差倍問題和差問題和倍問題差倍問題已知條件：幾個數(shù)的和與差幾個數(shù)的和與倍數(shù)幾個數(shù)的差與倍數(shù)公式適用范圍：已知兩個數(shù)的和，差，倍數(shù)關系公式：①（和-差）÷2=較小數(shù)較小數(shù)+差=較大數(shù)和-較小數(shù)=較大數(shù)②（和+差）÷2=較大數(shù)較大數(shù)-差=較小數(shù)和-較大數(shù)=較小數(shù)和÷（倍數(shù)+1）=小數(shù)小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù)和-小數(shù)=大數(shù)差÷（倍數(shù)-1）=小數(shù)小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù)小數(shù)+差=大數(shù)關鍵問題：求出同一條件下的和與差和與倍數(shù)差與倍數(shù)2.年齡問題的三個基本特征：①兩個人的年齡差是不變的;②兩個人的年齡是同時增加或者同時減少的;③兩個人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的;3.歸一問題的基本特點：問題中有一個不變的量，一般是那個“單一量”，題目一般用“照這樣的速度”……等詞語來表示。關鍵問題：根據(jù)題目中的條件確定并求出單一量;4.植樹問題基本類型：在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都植樹在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都不植樹在直線或者不封閉的曲線上植樹，只有一端植樹封閉曲線上植樹基本公式：棵數(shù)=段數(shù)+1棵距×段數(shù)=總長棵數(shù)=段數(shù)-1棵距×段數(shù)=總長棵數(shù)=段數(shù)棵距×段數(shù)=總長關鍵問題：確定所屬類型，從而確定棵數(shù)與段數(shù)的關系5.雞兔同籠問題基本概念：雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設問題，就是把假設錯的那部分置換出來;基本思路：①假設，即假設某種現(xiàn)象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）：②假設后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個差是多少;③每個事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個差的原因;④再根據(jù)這兩個差作適當?shù)恼{(diào)整，消去出現(xiàn)的差。基本公式：①把所有雞假設成兔子：雞數(shù)=（兔腳數(shù)×總頭數(shù)-總腳數(shù)）÷（兔腳數(shù)-雞腳數(shù)）②把所有兔子假設成雞：兔數(shù)=（總腳數(shù)一雞腳數(shù)×總頭數(shù)）÷（兔腳數(shù)一雞腳數(shù)）關鍵問題：找出總量的差與單位量的差。6.盈虧問題基本概念：一定量的對象，按照某種標準分組，產(chǎn)生一種結(jié)果：按照另一種標準分組，又產(chǎn)生一種結(jié)果，由于分組的標準不同，造成結(jié)果的差異，由它們的關系求對象分組的組數(shù)或?qū)ο蟮目偭?。基本思路：先將兩種分配方案進行比較，分析由于標準的差異造成結(jié)果的變化，根據(jù)這個關系求出參加分配的總份數(shù)，然后根據(jù)題意求出對象的總量。基本題型：①一次有余數(shù)，另一次不足;基本公式：總份數(shù)=（余數(shù)+不足數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差②當兩次都有余數(shù);基本公式：總份數(shù)=（較大余數(shù)一較小余數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差③當兩次都不足;基本公式：總份數(shù)=（較大不足數(shù)一較小不足數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差基本特點：對象總量和總的組數(shù)是不變的。關鍵問題：確定對象總量和總的組數(shù)。7.牛吃草問題基本思路：假設每頭牛吃草的速度為“1”份，根據(jù)兩次不同的吃法，求出其中的總草量的差;再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長速度和總草量?；咎攸c：原草量和新草生長速度是不變的;關鍵問題：確定兩個不變的量?；竟剑荷L量=（較長時間×長時間牛頭數(shù)-較短時間×短時間牛頭數(shù)）÷（長時間-短時間）;總草量=較長時間×長時間牛頭數(shù)-較長時間×生長量;8.周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律周期現(xiàn)象：事物在運動變化的過程中，某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)。周期：我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過的時間叫周期。關鍵問題：確定循環(huán)周期。閏年：一年有366天;①年份能被4整除;②如果年份能被100整除，則年份必須能被400整除;平年：一年有365天。①年份不能被4整除;②如果年份能被100整除，但不能被400整除;基本公式：①平均數(shù)=總數(shù)量÷總份數(shù)總數(shù)量=平均數(shù)×總份數(shù)總份數(shù)=總數(shù)量÷平均數(shù)②平均數(shù)=基準數(shù)+每一個數(shù)與基準數(shù)差的和÷總份數(shù)基本算法：①求出總數(shù)量以及總份數(shù)，利用基本公式①進行計算。②基準數(shù)法：根據(jù)給出的數(shù)之間的關系，確定一個基準數(shù);一般選與所有數(shù)比較接近的數(shù)或者中間數(shù)為基準數(shù);以基準數(shù)為標準，求所有給出數(shù)與基準數(shù)的差;再求出所有差的和;再求出這些差的平均數(shù);最后求這個差的平均數(shù)和基準數(shù)的和，就是所求的平均數(shù)，具體關系見基本公式②。10.抽屜原理抽屜原則一：如果把（n+1）個物體放在n個抽屜里，那么必有一個抽屜中至少放有2個物體。例：把4個物體放在3個抽屜里，也就是把4分解成三個整數(shù)的和，那么就有以下四種情況：4=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0④4=2+1+1觀察上面四種放物體的方式，我們會發(fā)現(xiàn)一個共同特點：總有那么一個抽屜里有2個或多于2個物體，也就是說必有一個抽屜中至少放有2個物體。抽屜原則二：如果把n個物體放在m個抽屜里，其中n》m，那么必有一個抽屜至少有：①k=［n/m］+1個物體：當n不能被m整除時。②k=n/m個物體：當n能被m整除時。理解知識點：［X］表示不超過X的最大整數(shù)。例［4.351］=4;［0.321］=0;［2.9999］=2;關鍵問題：構(gòu)造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據(jù)抽屜原則進行運算11.定義新運算基本概念：定義一種新的運算符號，這個新的運算符號包含有多種基本（混合）運算。基本思路：嚴格按照新定義的運算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運算，然后按照基本運算過程、規(guī)律進行運算。關鍵問題：正確理解定義的運算符號的意義。注意事項：①新的運算不一定符合運算規(guī)律，特別注意運算順序。個新定義的運算符號只能在本題中使用。12.等差數(shù)列：在一列數(shù)中，任意相鄰兩個數(shù)的差是一定的，這樣的一列數(shù)，就叫做等差數(shù)列?；靖拍睿菏醉棧旱炔顢?shù)列的第一個數(shù)，一般用a1表示;項數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個數(shù)，一般用n表示;公差：數(shù)列中任意相鄰兩個數(shù)的差，一般用d表示;通項：表示數(shù)列中每一個數(shù)的公式，一般用an表示;數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用Sn表示?；舅悸罚旱炔顢?shù)列中涉及五個量：a1，an，d，n，sn，，通項公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可求出第四個;求和公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可以求這第四個。基本公式：通項公式：an=a1+（n-1）d;通項=首項+（項數(shù)一1）×公差;數(shù)列和公式：sn，=（a1+an）×n÷2;數(shù)列和=（首項+末項）×項數(shù)÷2;項數(shù)公式：n=（an+a1）÷d+1;項數(shù)=（末項-首項）÷公差+1;公差公式：d=（an-a1））÷（n-1）;公差=（末項-首項）÷（項數(shù)-1）;關鍵問題：確定已知量和未知量，確定使用的公式;13.二進制及其應用十進制：用0～9十個數(shù)字表示，逢10進1;不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義，十位上的2表示20，百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2×102+3×10+4。=An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-5+An-6×10n-7+……+A3×102+A2×101+A1×100注意：N0=1;N1=N（其中N是任意自然數(shù)）二進制：用0～1兩個數(shù)字表示，逢2進1;不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義。（2）=An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-4×2n-5+An-6×2n-7+……+A3×22+A2×21+A1×20注意：An不是0就是1。十進制化成二進制：①根據(jù)二進制滿2進1的特點，用2連續(xù)去除這個數(shù)，直到商為0，然后把每次所得的余數(shù)按自下而上依次寫出即可。②先找出不大于該數(shù)的2的n次方，再求它們的差，再找不大于這個差的2的n次方，依此方法一直找到差為0，按照二進制展開式特點即可寫出。14.加法乘法原理和幾何計數(shù)加法原理：如果完成一件任務有n類方法，在第一類方法中有m1種不同方法，在第二類方法中有m2種不同方法……，在第n類方法中有mn種不同方法，那么完成這件任務共有：m1+m2.。..。..+mn種不同的方法。關鍵問題：確定工作的分類方法。基本特征：每一種方法都可完成任務。乘法原理：如果完成一件任務需要分成n個步驟進行，做第1步有m1種方法，不管第1步用哪一種方法，第2步總有m2種方法……不管前面n-1步用哪種方法，第n步總有mn種方法，那么完成這件任務共有：m1×m2.。..。..×mn種不同的方法。關鍵問題：確定工作的完成步驟?；咎卣鳎好恳徊街荒芡瓿扇蝿盏囊徊糠?。直線：一點在直線或空間沿一定方向或相反方向運動，形成的軌跡。直線特點：沒有端點，沒有長度。線段：直線上任意兩點間的距離。這兩點叫端點。線段特點：有兩個端點，有長度。射線：把直線的一端無限延長。射線特點：只有一個端點;沒有長度。①數(shù)線段規(guī)律：總數(shù)=1+2+3+…+（點數(shù)一1）;②數(shù)角規(guī)律=1+2+3+…+（射線數(shù)一1）;③數(shù)長方形規(guī)律：個數(shù)=長的線段數(shù)×寬的線段數(shù)：④數(shù)長方形規(guī)律：個數(shù)=1×1+2×2+3×3+…+行數(shù)×列數(shù)15.質(zhì)數(shù)與合數(shù)質(zhì)數(shù)：一個數(shù)除了1和它本身之外，沒有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，也叫做素數(shù)。合數(shù)：一個數(shù)除了1和它本身之外，還有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做合數(shù)。質(zhì)因數(shù)：如果某個質(zhì)數(shù)是某個數(shù)的約數(shù)，那么這個質(zhì)數(shù)叫做這個數(shù)的質(zhì)因數(shù)。分解質(zhì)因數(shù)：把一個數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。通常用短除法分解質(zhì)因數(shù)。任何一個合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是唯一的。分解質(zhì)因數(shù)的標準表示形式：N=，其中a1、a2、a3……an都是合數(shù)N的質(zhì)因數(shù)，且a1《……《p》求約數(shù)個數(shù)的公式：P=（r1+1）×（r2+1）×（r3+1）×……×（rn+1）互質(zhì)數(shù)：如果兩個數(shù)的最大公約數(shù)是1，這兩個數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。16.約數(shù)與倍數(shù)約數(shù)和倍數(shù)：若整數(shù)a能夠被b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。公約數(shù)：幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù);其中最大的一個，叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù)。最大公約數(shù)的性質(zhì)：1、幾個數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個商是互質(zhì)數(shù)。2、幾個數(shù)的最大公約數(shù)都是這幾個數(shù)的約數(shù)。3、幾個數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)。4、幾個數(shù)都乘以一個自然數(shù)m，所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個數(shù)的最大公約數(shù)乘以m。例如：12的約數(shù)有1、2、3、4、6、12;18的約數(shù)有：1、2、3、6、9、18;那么12和18的公約數(shù)有：1、2、3、6;那么12和18最大的公約數(shù)是：6，記作（12，18）=6;求最大公約數(shù)基本方法：1、分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來。2、短除法：先找公有的約數(shù)，然后相乘。3、輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù)。公倍數(shù)：幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù);其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。12的倍數(shù)有：12、24、36、48……;18的倍數(shù)有：18、36、54、72……;那么12和18的公倍數(shù)有：36、72、108……;那么12和18最小的公倍數(shù)是36，記作［12，18］=36;最小公倍數(shù)的性質(zhì)：1、兩個數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。2、兩個數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的乘積。求最小公倍數(shù)基本方法：1、短除法求最小公倍數(shù);2、分解質(zhì)因數(shù)的方法17.數(shù)的整除一、基本概念和符號：1、整除：如果一個整數(shù)a，除以一個自然數(shù)b，得到一個整數(shù)商c，而且沒有余數(shù)，那么叫做a能被b整除或b能整除a，記作b|a。2、常用符號：整除符號“|”，不能整除符號“”;因為符號“∵”，所以的符號“∴”;二、整除判斷方法：1.能被2、5整除：末位上的數(shù)字能被2、5整除。2.能被4、25整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被4、25整除。3.能被8、125整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被8、125整除。4.能被3、9整除：各個數(shù)位上數(shù)字的和能被3、9整除。5.能被7整除：①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被7整除。②逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的2倍后能被7整除。6.能被11整除：①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被11整除。②奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11整除。③逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11整除。7.能被13整除：①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被13整除。②逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的9倍后能被13整除。三、整除的性質(zhì)：1.如果a、b能被c整除，那么（a+b）與（a-b）也能被c整除。2.如果a能被b整除，c是整數(shù)，那么a乘以c也能被b整除。3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數(shù)整除。18.余數(shù)及其應用基本概念：對任意自然數(shù)a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0《p》余數(shù)的性質(zhì)：①余數(shù)小于除數(shù)。②若a、b除以c的余數(shù)相同，則c|a-b或c|b-a。③a與b的和除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)加上b除以c的余數(shù)的和除以c的余數(shù)。④a與b的積除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)與b除以c的余數(shù)的積除以c的余數(shù)。19.余數(shù)、同余與周期一、同余的定義：①若兩個整數(shù)a、b除以m的余數(shù)相同，則稱a、b對于模m同余。②已知三個整數(shù)a、b、m，如果m|a-b，就稱a、b對于模m同余，記作a≡b（modm），讀作a同余于b模m。二、同余的性質(zhì)：①自身性：a≡a（modm）;②對稱性：若a≡b（modm），則b≡a（modm）;③傳遞性：若a≡b（modm），b≡c（modm），則a≡c（modm）;④和差性：若a≡b（modm），c≡d（modm），則a+c≡b+d（modm），a-c≡b-d（modm）;⑤相乘性：若a≡b（modm），c≡d（modm），則a×c≡b×d（modm）;⑥乘方性：若a≡b（modm），則an≡bn（modm）;⑦同倍性：若a≡b（modm），整數(shù)c，則a×c≡b×c（modm×c）;三、關于乘方的預備知識：①若A=a×b，則MA=Ma×b=（Ma）b②若B=c+d則MB=Mc+d=Mc×Md四、被3、9、11除后的余數(shù)特征：①一個自然數(shù)M，n表示M的各個數(shù)位上數(shù)字的和，則M≡n（mod9）或（mod3）;②一個自然數(shù)M，X表示M的各個奇數(shù)位上數(shù)字的和，Y表示M的各個偶數(shù)數(shù)位上數(shù)字的和，則M≡Y-X或M≡11-（X-Y）（mod11）;五、費爾馬小定理：如果p是質(zhì)數(shù)（素數(shù)），a是自然數(shù)，且a不能被p整除，則ap-1≡1（modp）。20.分數(shù)與百分數(shù)的應用基本概念與性質(zhì)：分數(shù)：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)。分數(shù)的性質(zhì)：分數(shù)的分子和分母同時乘以或除以相同的數(shù)（0除外），分數(shù)的大小不變。分數(shù)單位：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣一份的數(shù)。百分數(shù)：表示一個數(shù)是另一個數(shù)百分之幾的數(shù)。常用方法：①逆向思維方法：從題目提供條件的反方向（或結(jié)果）進行思考。②對應思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對應關系。③轉(zhuǎn)化思維方法：把一類應用題轉(zhuǎn)化成另一類應用題進行解答。最常見的是轉(zhuǎn)換成比例和轉(zhuǎn)換成倍數(shù)關系;把不同的標準（在分數(shù)中一般指的是一倍量）下的分率轉(zhuǎn)化成同一條件下的分率。常見的處理方法是確定不同的標準為一倍量。④假設思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設成相等或者假設某種情況成立，計算出相應的結(jié)果，然后再進行調(diào)整，求出最后結(jié)果。⑤量不變思維方法：在變化的各個量當中，總有一個量是不變的，不論其他量如何變化，而這個量是始終固定不變的。有以下三種情況：A、分量發(fā)生變化，總量不變。B、總量發(fā)生變化，但其中有的分量不變。C、總量和分量都發(fā)生變化，但分量之間的差量不變化。⑥替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數(shù)量關系單一化、量率關系明朗化。⑦同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規(guī)律進行處理。⑧濃度配比法：一般應用于總量和分量都發(fā)生變化的狀況。21.分數(shù)大小的比較基本方法：①通分分子法：使所有分數(shù)的分子相同，根據(jù)同分子分數(shù)大小和分母的關系比較。②通分分母法：使所有分數(shù)的分母相同，根據(jù)同分母分數(shù)大小和分子的關系比較。③基準數(shù)法：確定一個標準，使所有的分數(shù)都和它進行比較。④分子和分母大小比較法：當分子和分母的差一定時，分子或分母越大的分數(shù)值越大。⑤倍率比較法：當比較兩個分子或分母同時變化時分數(shù)的大小，除了運用以上方法外，可以用同倍率的變化關系比較分數(shù)的大小。（具體運用見同倍率變化規(guī)律）⑥轉(zhuǎn)化比較方法：把所有分數(shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)（求出分數(shù)的值）后進行比較。⑦倍數(shù)比較法：用一個數(shù)除以另一個數(shù)，結(jié)果得數(shù)和1進行比較。⑧大小比較法：用一個分數(shù)減去另一個分數(shù)，得出的數(shù)和0比較。⑨倒數(shù)比較法：利用倒數(shù)比較大小，然后確定原數(shù)的大小。⑩基準數(shù)比較法：確定一個基準數(shù)，每一個數(shù)與基準數(shù)比較。22.分數(shù)拆分一、將一個分數(shù)單位分解成兩個分數(shù)之和的公式：①=+;②=+（d為自然數(shù)）;23.完全平方數(shù)完全平方數(shù)特征：1.末位數(shù)字只能是：0、1、4、5、6、9;反之不成立。2.除以3余0或余1;反之不成立。3.除以4余0或余1;反之不成立。4.約數(shù)個數(shù)為奇數(shù);反之成立。5.奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù);反之不成立。6.奇數(shù)平方個位數(shù)字是奇數(shù);偶數(shù)平方個位數(shù)字是偶數(shù)。7.兩個相臨整數(shù)的平方之間不可能再有平方數(shù)。平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y224.比和比例比：兩個數(shù)相除又叫兩個數(shù)的比。比號前面的數(shù)叫比的前項，比號后面的數(shù)叫比的后項。比值：比的前項除以后項的商，叫做比值。比的性質(zhì)：比的前項和后項同時乘以或除以相同的數(shù)（零除外），比值不變。比例：表示兩個比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或比例的性質(zhì)：兩個外項積等于兩個內(nèi)項積（交叉相乘），ad=bc。正比例：若A擴大或縮小幾倍，B也擴大或縮小幾倍（AB的商不變時），則A與B成正比。反比例：若A擴大或縮小幾倍，B也縮小或擴大幾倍（AB的積不變時），則A與B成反比。比例尺：圖上距離與實際距離的比叫做比例尺。按比例分配：把幾個數(shù)按一定比例分成幾份，叫按比例分配。25.綜合行程基本概念：行程問題是研究物體運動的，它研究的是物體速度、時間、路程三者之間的關系。基本公式：路程=速度×時間;路程÷時間=速度;路程÷速度=時間關鍵問題：確定運動過程中的位置和方向。相遇問題：速度和×相遇時間=相遇路程（請寫出其他公式）追及問題：追及時間=路程差÷速度差（寫出其他公式）流水問題：順水行程=（船速+水速）×順水時間逆水行程=（船速-水速）×逆水時間順水速度=船速+水速逆水速度=船速-水速靜水速度=（順水速度+逆水速度）÷2水速=（順水速度-逆水速度）÷2流水問題：關鍵是確定物體所運動的速度，參照以上公式。過橋問題：關鍵是確定物體所運動的路程，參照以上公式。主要方法：畫線段圖法基本題型：已知路程（相遇路程、追及路程）、時間（相遇時間、追及時間）、速度（速度和、速度差）中任意兩個量，求第三個量。26.工程問題基本公式：①工作總量=工作效率×工作時間②工作效率=工作總量÷工作時間③工作時間=工作總量÷工作效率基本思路：①假設工作總量為“1”（和總工作量無關）;②假設一個方便的數(shù)為工作總量（一般是它們完成工作總量所用時間的最小公倍數(shù)），利用上述三個基本關系，可以簡單地表示出工作效率及工作時間。關鍵問題：確定工作量、工作時間、工作效率間的兩兩對應關系。經(jīng)驗簡評：合久必分，分久必合。27.邏輯推理基本方法簡介：①條件分析—假設法：假設可能情況中的一種成立，然后按照這個假設去判斷，如果有與題設條件矛盾的情況，說明該假設情況是不成立的，那么與他的相反情況是成立的。例如，假設a是偶數(shù)成立，在判斷過程中出現(xiàn)了矛盾，那么a一定是奇數(shù)。②條件分析—列表法：當題設條件比較多，需要多次假設才能完成時，就需要進行列表來輔助分析。列表法就是把題設的條件全部表示在一個長方形表格中，表格的行、列分別表示不同的對象與情況，觀察表格內(nèi)的題設情況，運用邏輯規(guī)律進行判斷。③條件分析——圖表法：當兩個對象之間只有兩種關系時，就可用連線表示兩個對象之間的關系，有連線則表示“是，有”等肯定的狀態(tài)，沒有連線則表示否定的狀態(tài)。例如A和B兩人之間有認識或不認識兩種狀態(tài)，有連線表示認識，沒有表示不認識。④邏輯計算：在推理的過程中除了要進行條件分析的推理之外，還要進行相應的計算，根據(jù)計算的結(jié)果為推理提供一個新的判斷篩選條件。⑤簡單歸納與推理：根據(jù)題目提供的特征和數(shù)據(jù)，分析其中存在的規(guī)律和方法，并從特殊情況推廣到一般情況，并遞推出相關的關系式，從而得到問題的解決。28.幾何面積基本思路：在一些面積的計算上，不能直接運用公式的情況下，一般需要對圖形進行割補，平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、分解、變形、重疊等，使不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則的圖形進行計算;另外需要掌握和記憶一些常規(guī)的面積規(guī)律。常用方法：1.連輔助線方法2.利用等底等高的兩個三角形面積相等。3.大膽假設（有些點的設置題目中說的是任意點，解題時可把任意點設置在特殊位置上）。4.利用特殊規(guī)律①等腰直角三角形，已知任意一條邊都可求出面積。（斜邊的平方除以4等于等腰直角三角形的面積）②梯形對角線連線后，兩腰部分面積相等。③圓的面積占外接正方形面積的78.5%。29.立體圖形名稱圖形特征表面積體積長方體8個頂點;6個面;相對的面相等;12條棱;相對的棱相等;S=2（ab+ah+bh）V=abh=Sh正方體8個頂點;6個面;所有面相等;12條棱;所有棱相等;S=6a2V=a3圓柱體上下兩底是平行且相等的圓;側(cè)面展開后是長方形;S=S側(cè)+2S底S側(cè)=ChV=Sh圓錐體下底是圓;只有一個頂點;l：母線，頂點到底圓周上任意一點的距離;S=S側(cè)+S底S側(cè)=rlV=Sh球體圓心到圓周上任意一點的距離是球的半徑。S=4r2V=r330.時鐘問題—快慢表問題基本思路：1、按照行程問題中的思維方法解題;2、不同的表當成速度不同的運動物體;3、路程的單位是分格（表一周為60分格）;4、時間是標準表所經(jīng)過的時間;合理利用行程問題中的比例關系;六年級奧數(shù)知識點分類：1.不定方程

一次不定方程：含有兩個未知數(shù)的一個方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程；

常規(guī)方法：觀察法、試驗法、枚舉法；

多元不定方程：含有三個未知數(shù)的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一；

多元不定方程解法：根據(jù)已知條件確定一個未知數(shù)的值，或者消去一個未知數(shù)，這樣就把三元一次方程變成二元