工程彈塑性力學教學課件第三章應(yīng)變狀態(tài)理論

第三三章章應(yīng)應(yīng)變變狀狀態(tài)態(tài)理理論論3.1位移移分分量量和和應(yīng)應(yīng)變變分分量量兩兩者者的的關(guān)關(guān)系系3.2相對對位位移移張張量量轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動分分量量3.3轉(zhuǎn)軸軸時時應(yīng)應(yīng)變變分分量量的的變變換換3.4主應(yīng)應(yīng)變變應(yīng)應(yīng)變變張張量量不不變變量量＊3.5應(yīng)變變二二次次曲曲面面3.6體應(yīng)應(yīng)變變3.7應(yīng)變變協(xié)協(xié)調(diào)調(diào)方方程程＊3.8有限限變變形形的的幾幾何何淺淺析析第三三章章應(yīng)應(yīng)變變狀狀態(tài)態(tài)理理論論由于于我我們們只只是是從從幾幾何何學學觀觀點點出出發(fā)發(fā)分分析析研研究究物物體體的的變變形形本本身身，，而而并并不不涉涉及及到到產(chǎn)產(chǎn)生生變變形形的的原原因因和和物物體體的的物物理理性性能能，，所所以以本本章章所所得得的的結(jié)結(jié)果果對對一一切切連連續(xù)續(xù)介介質(zhì)質(zhì)都都是是適適用用的的。。任務(wù)務(wù)(1)分析一點點的應(yīng)變變狀態(tài)(2)建立幾何何方程和和應(yīng)變協(xié)協(xié)調(diào)方程程§3-1位移分量量和應(yīng)變變分量兩兩者者的關(guān)系系設(shè)原來占占據(jù)空間間某一位位置D的物體，，在外力力或溫度度變化的的作用下下占據(jù)空空間另一一位置D1（如圖））。在這過程程中，物物體可能能同時發(fā)發(fā)生兩種種變化：：一種是是位置的的變化（（這部分分相當于于剛體運運動），，另一種種是形狀狀的變化化。由物體的的連續(xù)性性假設(shè)，，要求在在變形前前連續(xù)的的物體變變形以后后仍保持持為連續(xù)續(xù)體。這一物理理的要求求，反映映在數(shù)學學上，則則要求區(qū)區(qū)域D內(nèi)每一點點，連續(xù)續(xù)變化到到區(qū)域D1內(nèi)的相應(yīng)應(yīng)點，而而且兩者者成一一一對應(yīng)的的關(guān)系。。具體地說說，如果果P點為D內(nèi)的任意意一點，，在物體體變形后后，它經(jīng)經(jīng)過一個個位移而而變到D1中的一點點P1；若分別別用（x,y,z）和（x1,y1,z1）表示P點和P1點的坐標標，則根根據(jù)上述述要求，，這里的的x1,y1,z1必須是x,y,z的單值連連續(xù)函數(shù)數(shù)。稱為位移矢量投影于坐坐標軸位移分量量位移分量棱邊的相對伸長和縮短為稱正應(yīng)變用來表示棱邊間所夾直角的改變量稱為剪應(yīng)變用來表示應(yīng)變分量3.2相對位移移張量轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動分量3.3轉(zhuǎn)軸時應(yīng)應(yīng)變分量量的變換換應(yīng)應(yīng)變張張量1.轉(zhuǎn)軸時應(yīng)應(yīng)變分量量的變換換老坐標系應(yīng)變分量新坐標系應(yīng)變分量設(shè)為3個新坐標對老坐標軸的方向余弦（1）轉(zhuǎn)軸時位位移分量量的變換換新坐標軸單位矢量（2）轉(zhuǎn)軸時應(yīng)應(yīng)變分量量的變換換利用方向向?qū)?shù)公公式于是新坐坐標系中中的應(yīng)變變分量為為代入幾何方程程，可得應(yīng)變分量量的變換公公式：上式可以以寫成2.應(yīng)變張量量物體內(nèi)某某一點沿沿任意方方向微分分線段的的相對伸伸長率l,m,為該微分分線段的的方向余余弦3.4主應(yīng)變應(yīng)應(yīng)變變張量不不變量對任一確確定點M，可找到到一個坐坐標系，，在這個個坐標系系下，只只有正應(yīng)應(yīng)變分量量，而所所有的切切應(yīng)變分分量為零零。即過過點可找找到這樣樣3個相互垂垂直的方方向，使使沿這3個方向的的微分線線段在物物體變形形后只是是各自地地改變了了長度，，而其夾夾角仍保保持為直直角。但但要注意意的是在在變形以以后，主主方向的的微分線線段由于于單元體體的剛性性轉(zhuǎn)動而而轉(zhuǎn)動了了一個角角度。1、應(yīng)變主方方向與主主應(yīng)變同樣，主應(yīng)變方向余弦有非零解的條件為展開后得得以上稱為為應(yīng)變張量量不變量量（依次稱稱為第一一、第二二和第三三不變量量）。不不變含義義同應(yīng)力力張量其中三次方程程有3個實根，，代入入方程，，并利用用，，可可以求出出3個主應(yīng)變變，并當當總之，過過物體體內(nèi)的一一點至少少可以找找到3個互相垂垂直的方方向，沿沿這3個方向的的微分線線段在物物體變形形后仍保保持垂直直（1）3個主應(yīng)變互相垂直（2），同時垂直，而方向任意（3）則任意方向均為主方向3.6體應(yīng)變3.7應(yīng)變協(xié)調(diào)調(diào)方程AB從數(shù)學的的角度看看：幾何方程中的6個應(yīng)變分量是通過3個位移分量表示的，顯然6個應(yīng)變分量之間應(yīng)滿足一定的關(guān)系從幾何的的角度看看：Ac1.應(yīng)變協(xié)調(diào)調(diào)方程幾何方程程左列第一式和第二式分別對和求二階偏導數(shù)，相加，再利用右列第三式把幾何方程的右列第一、第二、和第三式分別對和求一階偏導數(shù)，得把后兩式式相加再再減去它它們的前前一式，，則有應(yīng)變協(xié)調(diào)調(diào)方程又稱圣維南方方程輪換這樣總共得到6個關(guān)系式，現(xiàn)綜合如下：2.討論（1）應(yīng)變分分量滿足足應(yīng)變協(xié)協(xié)調(diào)方程程，是保保證物體體連續(xù)的的一個必必要條件件。（2）如果物物體是單單連通的的，應(yīng)變變分量滿滿足應(yīng)變變協(xié)調(diào)方方程是物物體連續(xù)續(xù)的充分分條件。。如位移分分量可以以通過對對其一階階偏導數(shù)數(shù)積分求求解：其中

不能直接應(yīng)用應(yīng)變分量表示出來，它們對求一階偏導數(shù)，便