二項(xiàng)式定理教師

二項(xiàng)式定理教師二項(xiàng)式定理教師二項(xiàng)式定理教師V:1.0精細(xì)整理，僅供參考二項(xiàng)式定理教師日期：20xx年X月二項(xiàng)式定理【2013年高考會(huì)這樣考】1.二項(xiàng)式定理是高考重點(diǎn)考查內(nèi)容之一．分值一般為5～9分．考查比較穩(wěn)定，試題難度起伏不大；題目一般為選擇、填空題.2.高考主要考查二項(xiàng)展開式和通項(xiàng)的應(yīng)用，具體會(huì)涉及到求特定的項(xiàng)或系數(shù)，以及二項(xiàng)式系數(shù)等問題，是高考的必考點(diǎn)之一?！緩?fù)習(xí)指導(dǎo)】二項(xiàng)式定理的核心是其展開式的通項(xiàng)公式，復(fù)習(xí)時(shí)要熟練掌握這個(gè)公式，注意二項(xiàng)式定理在解決有關(guān)組合數(shù)問題中的應(yīng)用．基礎(chǔ)梳理1．二項(xiàng)式定理(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(r,n)an－rbr＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)這個(gè)公式所表示的定理叫二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫(a＋b)n的．其中的系數(shù)Ceq\o\al(r,n)(r＝0,1，…，n)叫系數(shù)．式中的Ceq\o\al(r,n)an－rbr叫二項(xiàng)展開式的，用Tr＋1表示，即通項(xiàng)Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)an－rbr.2．二項(xiàng)展開式形式上的特點(diǎn)(1)項(xiàng)數(shù)為.(2)各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為_______(3)字母a按排列，從第一項(xiàng)開始，次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到零；字母b按排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到n.(4)二項(xiàng)式的系數(shù)從Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，一直到Ceq\o\al(n－1,n)，Ceq\o\al(n,n).3．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)對(duì)稱性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)．即Ceq\o\al(r,n)＝Ceq\o\al(n－r,n).(2)增減性與最大值：二項(xiàng)式系數(shù)Ceq\o\al(k,n)，當(dāng)k＜eq\f(n＋1,2)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)逐漸．由對(duì)稱性知它的后半部分是逐漸減小的；當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)T二項(xiàng)式系數(shù)取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大。(3)各二項(xiàng)式系數(shù)和：Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(r,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n；Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.雙基自測(cè)1．(2011·福建)(1＋2x)5的展開式中，x2的系數(shù)等于()．A．80B．40C．20D．10解析Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(2x)r＝2rCeq\o\al(r,5)xr，當(dāng)r＝2時(shí)，T3＝40x2.答案B2．若(1＋eq\r(2))5＝a＋beq\r(2)(a，b為有理數(shù))，則a＋b＝()．A．45B．55C．70D．80解析(1＋eq\r(2))5＝1＋5eq\r(2)＋10(eq\r(2))2＋10(eq\r(2))3＋5(eq\r(2))4＋(eq\r(2))5＝41＋29eq\r(2)由已知條件a＝41，b＝29，則a＋b＝70.答案C3．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則a0＋a2＋a4的值為()．A．9B．8C．7D．6解析令x＝1，則a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0令x＝－1，則a0－a1＋a2－a3＋a4＝16∴a0＋a2＋a4＝8.答案B4．(2011·重慶)(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展開式中x5與x6的系數(shù)相等，則n＝()．A．6B．7C．8D．9解析Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)(3x)r＝3rCeq\o\al(r,n)xr由已知條件35Ceq\o\al(5,n)＝36Ceq\o\al(6,n)即Ceq\o\al(5,n)＝3Ceq\o\al(6,n)eq\f(n！,5！n－5！)＝3eq\f(n！,6！n－6！)整理得n＝7答案B5．(2011·安徽)設(shè)(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，則a10＋a11＝________.解析Tr＋1＝Ceq\o\al(r,21)x21－r(－1)r＝(－1)rCeq\o\al(r,21)x21－r由題意知a10，a11分別是含x10和x11項(xiàng)的系數(shù)，所以a10＝－Ceq\o\al(11,21)，a11＝Ceq\o\al(10,21)，∴a10＋a11＝Ceq\o\al(10,21)－Ceq\o\al(11,21)＝0.答案0題型精煉考向一二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)【例1】已知在的展開式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)．(1)求n；(2)求含x2的項(xiàng)的系數(shù)；(3)求展開式中所有的有理項(xiàng)．解通項(xiàng)公式為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)xeq\f(n－r,3)(－3)rx－eq\f(r,3)＝(－3)rCeq\o\al(r,n)xeq\f(n－2r,3).(1)∵第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，∴r＝5時(shí)，有eq\f(n－2r,3)＝0，解得n＝10.(2)令eq\f(n－2r,3)＝2，得r＝eq\f(1,2)(n－6)＝2，∴x2的項(xiàng)的系數(shù)為Ceq\o\al(2,10)(－3)2＝405.(3)由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(10－2r,3)∈Z，,0≤r≤10，,r∈Z.))令eq\f(10－2r,3)＝k(k∈Z)，則10－2r＝3k，即r＝5－eq\f(3,2)k，∵r∈Z，∴k應(yīng)為偶數(shù)，∴k＝2,0，－2，即r＝2,5,8.∴第3項(xiàng)，第6項(xiàng)，第9項(xiàng)為有理項(xiàng)，它們分別為405x2，－61236,295245x－2.方法總結(jié)：式中的指定項(xiàng)，一般是利用通項(xiàng)公式進(jìn)行，化簡(jiǎn)通項(xiàng)公式后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為零；求有理項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項(xiàng)數(shù)k＋1，代回通項(xiàng)公式即可．【訓(xùn)練1】(2011·山東)若展開式的常數(shù)項(xiàng)為60，則常數(shù)a的值為________．答案：4考向二二項(xiàng)式定理中的賦值【例2】二項(xiàng)式(2x－3y)9的展開式中，求：(1)二項(xiàng)式系數(shù)之和；(2)各項(xiàng)系數(shù)之和；(3)所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和．[審題視點(diǎn)]此類問題要仔細(xì)觀察，對(duì)二項(xiàng)式中的變量正確賦值．解設(shè)(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.(1)二項(xiàng)式系數(shù)之和為Ceq\o\al(0,9)＋C19＋Ceq\o\al(2,9)＋…＋Ceq\o\al(9,9)＝29.(2)各項(xiàng)系數(shù)之和為a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1(3)由(2)知a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，令x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－…－a9＝59，將兩式相加，得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝eq\f(59－1,2)，即為所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和．方法總結(jié)：給出的是一個(gè)恒等式，對(duì)a，b賦予一些特定的值，是解決二項(xiàng)式問題的一種重要思想方法．賦值法是從函數(shù)的角度來應(yīng)用二項(xiàng)式定理，即函數(shù)f(a，b)＝(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(r,n)an－rbr＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn.對(duì)a，b賦予一定的值，就能得到一個(gè)等式．【訓(xùn)練2】已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.解令x＝1，則a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①令x＝－1，則a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②(1)∵a0＝Ceq\o\al(0,7)＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝eq\f(－1－37,2)＝－1094.(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝eq\f(－1＋37,2)＝1093.(4)∵(1－2x)7展開式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1093－(－1094)＝2187.考向三二項(xiàng)式的和與積【例3】?(1＋2x)3(1－x)4展開式中x項(xiàng)的系數(shù)為________．答案：2[審題視點(diǎn)]對(duì)于求多個(gè)二項(xiàng)式的和或積的展開式中某項(xiàng)的系數(shù)問題，要注意排列、組合知識(shí)的運(yùn)用，還要注意有關(guān)指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．二項(xiàng)式定理研究?jī)身?xiàng)和的展開式，對(duì)于三項(xiàng)式問題，可通過排列組合知識(shí)去求解．變式3：求展開式中的系數(shù)。方法總結(jié)1．二項(xiàng)式定理及通項(xiàng)公式的應(yīng)用(1)對(duì)于二項(xiàng)式定理，不僅要掌握其正向運(yùn)用，而且應(yīng)學(xué)會(huì)逆向運(yùn)用與變形運(yùn)用．有時(shí)先作適當(dāng)變形后再展開較為簡(jiǎn)便，有時(shí)需適當(dāng)配湊后逆用二項(xiàng)式定理．(2)運(yùn)用二項(xiàng)式定理一定要牢記通項(xiàng)Tk＋1＝，注意(a＋b)n與(b＋a)n雖然相同，但用二項(xiàng)式定理展開后，具體到它們展開式的某一項(xiàng)時(shí)是不相同的，一定要注意順序問題．(3)在通項(xiàng)公式Tk＋1＝(n∈N*)中，要注意有n∈N*，k∈N，k≤n，即k＝0,1,2，…，n.2．項(xiàng)的系數(shù)與項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)別利用通項(xiàng)公式求二項(xiàng)展開式中指定的項(xiàng)(如常數(shù)項(xiàng)、系數(shù)最大項(xiàng)、有理項(xiàng)等)或某些項(xiàng)的系數(shù)是本節(jié)重點(diǎn)內(nèi)容，解題時(shí)，要正確區(qū)分展開式中的“項(xiàng)”、“項(xiàng)的系數(shù)”、“項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)”等概念的異同．如(1＋2x)5的展開式中的第3項(xiàng)為T3＝，其中該項(xiàng)的系數(shù)為，而該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為＝10.當(dāng)堂達(dá)標(biāo)1.求的展開式的常數(shù)項(xiàng)。2．展開式中的系數(shù)是；3.若，則的值為(A)A.1B.-1C.0D.24.已知的展開式的常數(shù)項(xiàng)是第七項(xiàng)，則正整數(shù)的值為(B