概率論和數(shù)理統(tǒng)計試題和

概率論和數(shù)理統(tǒng)計試題和概率論和數(shù)理統(tǒng)計試題和概率論和數(shù)理統(tǒng)計試題和..概率論和數(shù)理統(tǒng)計試題及答案一、填空題:1、設(shè)A與B互相獨(dú)立，P(A)=1,P(B)=1,則P(B-A)=.32解：P(BA)P(B)[1P(A)]1(11)12332、設(shè)X~U[1,3]（均勻分布），則E(X2)，D(2X)．E(5X2)，解：E(X)2;D(X)1/3E(X2)D(X)E(X)213/3D(2X)4D(X)4/3E(5X2)5E(X)210283、設(shè)隨機(jī)變量X遵從指數(shù)分布，即X~E(2),定義隨機(jī)變量2,X3Y1,X3則Y的分布列為。1,X3解：FY(Y)P(Yy)P(Y1)P(X3)32e2xdxe2x31e6200FY(Y)P(Yy)P(1Y1)P(X3)3e2x31e62e2xdx00FY(Y)P(Yy)P(1Y2)P(X3)此中是與y沒關(guān)的量32e2xdxe2x31e62004、設(shè)X~B(200,0.1)Y~P(3),Z~N(3,22)，且X，Y,Z互相獨(dú)立,則E(2X3YZ5),D(2X3YZ5)解：E(2X3YZ5)2E(X)3E(Y)E(Z)522000.1333533D(2X3YZ5)4D(X)9D(Y)D(Z)72274103.......5、設(shè)整體X~N(,2)，x1,x2,x3為來自X的樣本，?0.5x10.1x2ax3是未知參數(shù)的無偏預(yù)計，則a。解：因為是無偏預(yù)計因此?E(0.5x10.1x2ax3)0.5E(x1)0.1E(x2)aE(x3)E( )(0.50.1a)E(X)(0.50.1a)(0.50.1a)1a0.46、設(shè)X~N(1,12)，Y~N(2,22),X與Y互相獨(dú)立，且X與Y分別為X,Y的樣本均值，樣本容量分別為n1,n2。若12,22已知，則檢驗假設(shè)：H0:12；H1:12的檢驗統(tǒng)計量為。解：(XY)2212n1n27、設(shè)隨機(jī)變量X遵從正態(tài)分布N(,1),對于的兩者必居其一的假設(shè)為H0:0;H1:1,且假設(shè)的拒絕域取為W:xc(0c1),此中x是容量為n的樣本均值，則以W為拒絕域的檢驗法犯第II類錯誤的概率＝。解：因為(x)/(n)遵從于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布P( )P(x/(/n)c/(/n)u0)P(cnxcn)2(cn)1二、單項選擇題（每題3分，共15分）1、設(shè)A、B、C是三個事件，則以下事件中必與A互斥的是【C】A、ABCB、AUBUCC、AUBUCD、ABUAC1,x12、設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)x3,0x1，則E(X)【C】0,x0.......A、1B、3C4解：f(x)dF(X)0x1=2x20x10x0E(x)xf(x)dx131x4112xdx20203、設(shè)X遵從參數(shù)0.5的指數(shù)分布，則0.5e0.5yy0A、fY(y)y00ey2y0C、fY(y)y00解：fY(y)fx(y)d(y)2210.5y0.5e2y02=0y0

、1D、124Y2X的概率密度函數(shù)是【B】0.25e0.25yy0B、fY(y)00yeyy0D、fY(y)y004、一個螺絲釘?shù)馁|(zhì)量是一個隨機(jī)變量，均值為50g，標(biāo)準(zhǔn)差為5g，應(yīng)用獨(dú)立同分布的中心極限制理，則一盒（100個）螺絲釘?shù)馁|(zhì)量超出5100g的概率p【C】A、1(1)B、(1)C、1(2)D、(2)n解：P(xi5100)i1.......nxin510010050)1p(i1n10051p(z2)1(2)、設(shè)x1,x2,，x9是正態(tài)整體N(0，2)的樣本，則在以下各式中，正確的選項是】A、19xi2~2(9)B、19xi2~2(8)8i19i1C、19xi2~2(9)D、19xi2~2(8)9i18i1解：選C6、設(shè)E(X)11,D(X)9，用雪比曉夫不等式預(yù)計概率pP{2X20}是【】A、1B、1、8、8ppCpDp9999解：P{2X20}P(X119)981992選C設(shè)2(5),且X與Y互相獨(dú)立，則以下分布錯誤的選項是【】7、X~N(0,1),Y~A、X2Y~2(6)B、X2~F(1,5)YC、X2~F(1,5)D、X~t(5)Y/5Y/5解：選D8、設(shè)H0表示假設(shè)H0真,H0表示假設(shè)H0假,拒絕域為A，則犯第二類錯誤的概率為【】A、P(AH0)B、P(AH0)C、P(AH0)D、P(AH0)解：選D三、解答題1、設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為：X-112p0.30.50.2.......求：（1）=2的分布列；(2)ZcosX3E(XDX)22、設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布列為XY123．（）求常數(shù)a；（）求0a2/152/15(X,Y)1212/154/154/15的邊沿分布列；（3）鑒識X與Y能否獨(dú)立解：a11411515X/Y123FY(X)01/152/152/15FY(0)1/312/154/154/15FY(1)2/3FX(Y)FX(1)1/5FX(2)2/5FX(3)2/5由表得F(X,Y)FY(X)FX(Y)即：F(0,1)FY(0)FX(1)1113515F(0,2)FY(0)FX(2)1223515F(0,2)FY(0)FX(3)1223515F(1,1)FY(1)FX(1)2123515F(1,2)FY(1)FX(2)2243515F(1,3)FY(1)FX(3)2243515因此互相獨(dú)立3、設(shè)電源電壓X~N(220,252)，且某種電子元件在以下三種狀況下?lián)p壞的概率分別是0.1，0.001和0.2：（a）X不超出200伏；（b）X在200~240伏之間；（c）X超出240伏。求：（1）電子元件損壞的概率(設(shè)：(0.8)0.8)；（2）某儀器裝置有50個這類電子元件，它們的工作狀態(tài)互相獨(dú)立，假如電壓X超過240時，求這50個電子元件中最少10個損壞的概率（要求：只列式，不計算）。解：1p(元件損壞)0.1p(x200)0.001p(200x240)0.2p(x240)0.1p(x2200)0.001p(0x220240220)0.2p(x240220)252525250.1(0)0.001[(0.8)(0)]0.2(0.8)0.10.50.001[0.80.5]0.20.80.21032p1p(原件損壞x240)0.2p(x240)0.16.......9p1p(xk)k091c50kp1k[1p1]50kk04、已知隨機(jī)變量X的分布密度k(2xx2),x(0,2)，求：（1）系數(shù)；其余0,P{1X3}；（3）E(X)解：1F()f(x)dxk(2xx2)dxk(x21x3)24k20303k343233122p(1x3)(2xx2(x2x3)f(x)dx4)dx311413E(X)(x)f(x)dx322)dx14(2xx05、設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度

112Axy2,0yx,0x1f(x,y)0,其余求：（1）A的值；（2）X和Y的邊沿概率密度，并鑒識X和Y能否互相獨(dú)立？（3）P{(X,Y)D}，此中D{(x,y)xy1}解：1因為F(,1x1)Axy2dydx00因此1Ax4101即：A332fy(X)3xy2dyxx43xy2dy0fx(y)3xy2dx13y2x21y3y2(1y2)3xy2dxy22f(x,y)fx(y)fy(X)不獨(dú)立3.......yY=-x+1Y=xA(1/2,1/2)xx=1P{(X,Y)D;D{(x,y)xy1}}1y121/2322y12dxdyy[x]dy0y3xy02y3123141312(2y1)dy(y220y223y)03(11)31123224296646、有一大量糖果．現(xiàn)從中隨機(jī)抽取6袋，稱得重量（以克計）以下：214，210，213，216，212，213設(shè)袋裝糖果的重量分布為正態(tài)的．（1）若已知21，求整體均值的置信度為0.95的置信區(qū)間；（2）若2未知，求整體均值的置信度為0.95的置信區(qū)間.16213)2解：x213;s(xi251i11(xz0.025/6,xz0.025/6)(2131.961/6,2131.961/6)(212.2,213.8)2(xt0.025(5)S/6,xt0.025(5)S/6)(2130.982/6,2130.982/6)(212.198,213.816)7、設(shè)整體X~N(,2)的樣本的一組觀察值為：10，8，12，10。（１）求方差2的置信度為0.95的置信區(qū)間；.......（２）能否據(jù)此樣本以為該整體的數(shù)學(xué)希望為11（0.05）?解(1)因為未知，取統(tǒng)計量(n1)S2~2(n1)）22(n1)S2(n1)S2)相應(yīng)地，的置信區(qū)間為(2(n,21)1(n1)22由已知n=4，10.950.05，查表：2(n1)2(3)0.216,，2(n1)2(3)9.348,10.9750.02522以及x1(1081210)10，S214(xix)843i13于是(n1)S280.86,(n1)S2837.042(n1)9.3482(n1)0.216212所求2的置信區(qū)間為(0.86,37.04)（2）檢驗假設(shè)：H0：011;H1:0檢驗統(tǒng)計量（2未知，采納t檢驗）：tx0~t(n1)s/n明顯性水平為0.05的拒絕域為：x0t(n1)t0.025(3)s/n2查表：t0.025(3)3.1824x01011，于是1.22473.1824s/n8/43故接受H0，即以為11。8．某地地震臺依據(jù)對地應(yīng)力（電感）丈量資料計算出最大壓應(yīng)力值x（公斤/厘米2），發(fā)現(xiàn)其與地震震級y（M）有關(guān)系。試由以下觀察數(shù)據(jù)：x:1.22344.8y:2.833.23.74.3求y對x的經(jīng)驗回歸方程。解：xy0.966.......可以假設(shè)線性回歸方程為yx由最小二乘法可得

0.4009;2.19Y0.4009X2.19將兩信息分別編碼為A和B傳達(dá)出來，接收站收到時，A被誤收作B的概率為0.02，而B被誤收作A的概率為0.01.信息A與B傳達(dá)的屢次程度為2∶1.若接收站收到的信息是A，試問原發(fā)信息是A的概率是多少？【解】設(shè)A={原發(fā)信息是A}，則={原發(fā)信息是B}C收到信息是A，則={收到信息是B={}}由貝葉斯公式，得P(AC)P(A)P(CA)P(A)P(CA)P(A)P(CA)2/30.980.994922/30.981/30.0110.（1）設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為kP{X=k}=a，k!此中k=0，1，2，，λ＞0為常數(shù)，試確立常數(shù)a.（2）設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為P{X=k}=a/N，k=1，2，，N，試確立常數(shù)a.【解】（1）由分布律的性質(zhì)知k1P(Xk)aagek0k0k!故ae由分布律的性質(zhì)知NN1P(Xk)k1k1即

aaN某教科書第一版了2000冊，因裝訂等原由造成錯誤的概率為0.001，試求在這2000冊書中恰有5冊錯誤的概率.【解】令X為2000冊書中錯誤的冊數(shù)，則X~b利用泊松近似計算,(2000,0.001).np20000.0012得P(X5)e2250.00185!12.有2500名同一年齡和同社會階層的人參加了保險公司的人壽保險.在一年中每個人死亡的概率為0.002，每個參加保險的人在1月1日須交12元保險費(fèi)，而在死亡時家屬可.......從保險公司領(lǐng)取2000元賠償金.求：（1）保險公司虧本的概率;（2）保險公司盈利分別許多于10000元、20000元的概率.【解】以“年”為單位來考慮.（1）在1月1日，保險公司總收入為2500×12=30000元.設(shè)1年中死亡人數(shù)為X，則X~b(2500,0.002)，則所求概率為P(2000X30000)P(X15)1P(X14)因為n很大，p很小，λ=np=5，故用泊松近似，有14e55kP(X15)10.000069k0k!P(保險公司盈利許多于10000)P(300002000X10000)P(X10)10e55k0.986305k0k!即保險公司盈利許多于10000元的概率在98%以上P（保險公司盈利許多于20000）P(300002000X20000