“統(tǒng)計與概率”教材及其教學研究

“統(tǒng)計與概率〞教材及其教學研究(ppt58頁)

“統(tǒng)計與概率〞

教材與教學研究

新世紀小學數(shù)學教材編委題一統(tǒng)計

統(tǒng)計觀念主要表現(xiàn)

能從統(tǒng)計的角度思考與數(shù)據(jù)信息有關的問題。能通過收集數(shù)據(jù)、描述數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)的過程作出合理的決策，認識到統(tǒng)計對決策的作用。

能對數(shù)據(jù)的來源、處理的方法，以及由此得到的結果進行合理的質(zhì)疑。

“統(tǒng)計〞的編寫特點將統(tǒng)計思想作為教材的主線之一。在解決實際問題中，體會統(tǒng)計的必要性。經(jīng)歷數(shù)據(jù)收集、整理、描述、分析的過程，逐步豐富統(tǒng)計方法，建立統(tǒng)計觀念。注重統(tǒng)計內(nèi)容與學生現(xiàn)實生活的聯(lián)系。在數(shù)據(jù)統(tǒng)計活動中學習統(tǒng)計的知識和方法。統(tǒng)計活動收集數(shù)據(jù)整理并描述數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)作出決策調(diào)查統(tǒng)計表統(tǒng)計圖象形統(tǒng)計圖變化情況與趨勢平均數(shù)統(tǒng)計量條形統(tǒng)計圖分類實驗查找資料中位數(shù)眾數(shù)折線統(tǒng)計圖扇形統(tǒng)計圖培養(yǎng)統(tǒng)計觀念經(jīng)歷統(tǒng)計的全過程統(tǒng)計活動收集數(shù)據(jù)整理并描述數(shù)據(jù)最多、最少、比較數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)作出決策調(diào)查統(tǒng)計表統(tǒng)計圖象形統(tǒng)計圖統(tǒng)計量條形統(tǒng)計圖分類實驗查找資料統(tǒng)計活動收集數(shù)據(jù)整理并描述數(shù)據(jù)冊別必要性收集數(shù)據(jù)整理、描述數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)一上：整理房間、整理書包最喜歡的水果體會按一定標準進行分類。初步體會統(tǒng)計的必要性。認識象形統(tǒng)計圖與簡單的統(tǒng)計表。最多、最少、數(shù)據(jù)的比較一下：組織比賽進一步體會統(tǒng)計的必要性。小調(diào)查活動認識1格表示1個單位的條形統(tǒng)計圖。最多、最少、數(shù)據(jù)的比較、合計二上：生日買書體會統(tǒng)計的作用：數(shù)據(jù)提供信息。討論收集數(shù)據(jù)的方法進一步認識1格表示1個單位的條形統(tǒng)計圖。最多、最少、數(shù)據(jù)的比較、合計、作出推斷二下：讀統(tǒng)計圖體會統(tǒng)計的作用：數(shù)據(jù)提供信息。小調(diào)查進一步認識1格表示1個單位的條形統(tǒng)計圖。盡可能多地獲取數(shù)據(jù)中蘊涵的信息。三下：比一比體會求平均數(shù)的必要性。在理解算理的基礎上學習平均數(shù)的計算。根據(jù)平均數(shù)，作出推斷。教材第一學段統(tǒng)計內(nèi)容的安排經(jīng)歷分類活動，感受分類的必要性

聯(lián)系生活實際，說一說怎樣整理房間。交流整理房間的方法。體會要按一定標準進行分類。注意到同一次分類活動中，分類的標準是不變的。一上：分類分類是數(shù)據(jù)整理的根底經(jīng)歷分類活動，感受分類的必要性通過實際分類活動，使學生體會到對于同一對象可以用不同的分類標準得到不同的分類結果。嘗試制定不同的分類標準。一上一上：分類提供問題情境，體會到統(tǒng)計的必要性。經(jīng)歷統(tǒng)計的全過程。整理數(shù)據(jù)：認識象形統(tǒng)計圖和簡單統(tǒng)計表。分析數(shù)據(jù)：最多、最少、數(shù)據(jù)的比較，能夠答復提出的數(shù)學問題。一上一上：象形統(tǒng)計圖的認識進一步體會統(tǒng)計的必要性。收集數(shù)據(jù)：小調(diào)查活動。整理數(shù)據(jù)：認識1格表示1個單位的條形統(tǒng)計圖。分析數(shù)據(jù)：最多、最少、數(shù)據(jù)的比較、合計。一下一下：條形統(tǒng)計圖的認識體會統(tǒng)計的作用：數(shù)據(jù)提供信息。收集數(shù)據(jù)：討論收集數(shù)據(jù)的方法。整理數(shù)據(jù)：進一步認識1格表示1個單位的條形統(tǒng)計圖。分析數(shù)據(jù)：最多、最少、數(shù)據(jù)的比較、合計、作出推斷。二上：條形統(tǒng)計圖收集數(shù)據(jù)的方法

體會統(tǒng)計的作用：數(shù)據(jù)提供信息。收集數(shù)據(jù)：小調(diào)查。整理數(shù)據(jù)：進一步認識1格表示1個單位的條形統(tǒng)計圖。分析數(shù)據(jù)：盡可能多地獲取數(shù)據(jù)中蘊涵的信息。二下：從統(tǒng)計圖中獲取信息三下

分析數(shù)據(jù)：哪組實力強？體會平均數(shù)的意義及學習平均數(shù)的必要性。探索求平均數(shù)的方法，用平均數(shù)解決一些實際問題。平均數(shù)用來表示一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，它的缺點是容易受極端數(shù)據(jù)的影響。三下：認識平均數(shù)視頻案例片斷及研討1：組織比賽

湖南長沙張文婷〔第四屆研討會研究課〕案例片斷案例研討教師在統(tǒng)計教學中設計讓學生通過小組活動討論如何收集數(shù)據(jù)的活動有什么作用？－－通過充分的交流和討論，利于學生主動獲得收集數(shù)據(jù)的方法，為后面的活動奠定了根底，利于提高學生收集數(shù)據(jù)的效率，開展學生解決問題的能力。案例研討教學中注重用列表的方式來記錄數(shù)據(jù)的作用是什么？－－統(tǒng)計表是整理數(shù)據(jù)的一種重要的常用方法，它將數(shù)據(jù)結構化，清晰、明確，便于制作統(tǒng)計圖。案例研討怎么聯(lián)系學生已有知識經(jīng)驗，使學生體會到從象形統(tǒng)計圖向條形統(tǒng)計圖過度過程中，更直觀、有效地表示統(tǒng)計量？－－教師可以利用“畫象形統(tǒng)計圖的不便〞，使學生認識到可以用方格代表不同的統(tǒng)計量。－－這里不需要讓學生獨立地畫方格統(tǒng)計圖，而是通過學生在方格中涂色，感受統(tǒng)計圖的結構和意義。－－在涂色過程中，教師充分關注了操作中的細節(jié)，利于學生正確地完成統(tǒng)計圖。案例片斷師：“我們搞一次拍球比賽，在規(guī)定的時間內(nèi)哪個隊拍球的總數(shù)最多，哪個隊就為勝利隊。〞老師在征求大家的意見后，與學生共同商量每隊選出3名代表比賽。比賽開始，每隊各派3名代表參加拍球比賽，每人拍5秒鐘，請學生當小裁判，老師把各隊拍球的數(shù)量板書在黑板上。乙隊分別拍了：8個、13個、14個，甲隊分別拍了：11個、14個、16個。老師要求同學以最快的速度口算或用計算器計算每隊的結果。結果算出來，老師〔熱情洋溢地〕宣布：“通過比總數(shù)，甲隊拍了47個，乙隊拍了35個，甲隊勝了。〞老師面對獲勝方〔深情地〕表示祝賀。案例片斷與研討2:比一比這時老師請求參加乙隊，現(xiàn)場拍球5秒種，使乙隊拍球數(shù)增加了12個。老師又一次重新宣布乙隊為獲勝隊。乙隊歡呼，甲隊那么沒有反響。老師耐心等待問：“你們真的沒有什么想法？〞〔有的同學皺著眉思考著〕一個同學〔勇敢地〕舉起了手，〔急迫地〕說：“我們隊3個人拍球，乙隊4個人拍球，這樣比賽不公平。〞〔老師的耐心等待終于使學生自悟了〕“哎呀，看來人數(shù)不相等，用比總數(shù)的方法來決定勝負不公平。難道就沒有更好的方法來比較這兩隊總體拍球水平的上下嗎？〞老師把這個富有挑戰(zhàn)性的問題拋向了學生。怎樣計算每個隊拍球的平均數(shù)呢？這個問題的提出又一次促使學生進一步地思考與探索。在老師的引導下，學生提出了計算的方法：〔8+13+14+12〕÷4和〔11+14+16〕÷3。在掌握了計算方法的根底上，同學們有的用筆算方法計算結果，有的使用計算器計算結果?！餐瑢W們開始議論紛紛〕老師邊巡視邊說：“出現(xiàn)問題了是嗎？有的同學的結果有余數(shù)，〔11……3，13……2〕有的同學的結果是小數(shù)〔11.75和13.666666……〕。沒關系，我們一起看，11.75更接近哪個整數(shù)？〞“接近12。〞學生答復。“我們就說計算結果大約是12，用約等于號表示?！怖蠋熯呎f邊板書〕誰來說一說〔11+14+16〕÷3的結果是多少？〞同學用同樣的方法得出：13.66666……接近14，約等于14。以乙隊的平均數(shù)為例追問：12表示什么？生：表示乙隊拍球的平均數(shù)。你怎么認識理解12這個數(shù)？生1：我拍了13個，把多的一個給其他隊員了。生2：我拍了14個，把多的2個給了拍8個的同學。生3：我很快樂，本來我拍了8個，他們又給我增加了4個。師：你們的意思是說，把多的給少的，這樣就——〔生接：平均了?！匙尯⒆觽兏鶕?jù)自己的體會描述對平均數(shù)意義的理解。在這個根底上老師進行了總結：12是8、13、14、12這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，它較好地表示了這一組數(shù)據(jù)的總體水平。

師：當人數(shù)不相等時，比總數(shù)不公平。這時誰在課堂上幫助我們解決了問題？生：平均數(shù)。師：〔感慨地說〕此時此刻，你不想對平均數(shù)發(fā)自內(nèi)心地說兩句話嗎？〔生自由發(fā)言〕生1：平均數(shù)，你很公平。生2：平均數(shù)，你使不公平的事變公平了。〔真可謂發(fā)自內(nèi)心〕

說明:本案例中出現(xiàn)了循環(huán)小數(shù)，學生還沒學過。教師在實際教學中可選用更好的素材。案例討論

1.本案例讓學生很自然地感受到平均數(shù)產(chǎn)生的必要性，您認為這個教學設計中哪些地方值得借鑒？

——創(chuàng)設“拍球比賽〞的具體情境，讓學生經(jīng)歷一個數(shù)學化的過程，即從解決如何判定比賽勝負的現(xiàn)實問題中，抽象出平均數(shù)概念〔數(shù)學模型〕的過程，從中感受平均數(shù)產(chǎn)生的必要性。數(shù)學作為一種活動，主要特征是數(shù)學化。這個教學過程的設計有三個特點：〔1〕數(shù)學化的對象是學生經(jīng)歷的現(xiàn)實：課堂拍球比賽的勝負情況。問題情境是在課堂中動態(tài)生成的，特別能激發(fā)學生學習的興趣與參與意識?！?〕兩隊先進行每隊3人的拍球比賽。學生已有的經(jīng)驗，能夠解決在人數(shù)相等的比賽中決定勝負的問題，即統(tǒng)計各隊拍球的總次數(shù)，多者勝出。

(3)乙隊由于老師的參加，而“轉敗為勝〞，引發(fā)學生的認知沖突：在兩隊人數(shù)不相等的情況下，沿襲用拍球總次數(shù)定勝負的方法是不公平的。由此，才提出用各隊拍球的平均數(shù)來定勝負的方法。

經(jīng)歷上述過程，學生理解當兩隊人數(shù)不等時，僅統(tǒng)計拍球總數(shù)是不能決定比賽勝負的，需要用平均數(shù)來定勝負。這里，還可以進一步讓學生意識到，不管人數(shù)相等還是不等，求平均數(shù)都能定出勝負，從而了解用平均數(shù)定勝負的方法具有普遍性。2.老師怎樣引導學生理解平均數(shù)的意義？懂得了怎么求平均數(shù)是否就能理解平均數(shù)的意義呢？你在教學中是否說明了及怎樣說明平均數(shù)作為刻畫一組數(shù)據(jù)特征的統(tǒng)計量的意義的？——理解平均數(shù)的意義應該包含兩個內(nèi)容：一是平均數(shù)怎么求，二是平均數(shù)的統(tǒng)計意義。后者，在教學中往往被無視。平均數(shù)的統(tǒng)計意義，要結合具體情境進行解釋。如案例中老師總結的：“12是8、13、14、12這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，它較好地表示了這一組數(shù)據(jù)的總體水平。〞還可以進一步讓學生了解：一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，它一定比組中最大的數(shù)據(jù)小，同時比組中最小的數(shù)據(jù)大；也就是說，這組數(shù)據(jù)中一定有些數(shù)據(jù)比平均數(shù)大，另一些數(shù)據(jù)比平均數(shù)小。因此，平均數(shù)可以刻畫一組數(shù)據(jù)的集中趨勢,是一個反映一組數(shù)據(jù)特征的重要的統(tǒng)計量。

專題二概率“概率〞的編寫特點結合具體活動，體驗簡單事件發(fā)生的不確定性。在猜測、實驗中，體驗簡單事件發(fā)生的可能性有大有小及簡單事件所有可能發(fā)生的結果。概率的內(nèi)容結構不確定現(xiàn)象〔二上〕可能性有大小〔二下、三下〕等可能性〔游戲公平性〕用分數(shù)表示可能性的大小確定現(xiàn)象不可能事件必然事件概率為1概率為0概率概率是研究隨機現(xiàn)象的科學隨機現(xiàn)象是指這樣一種現(xiàn)象：在相同的條件下重復同樣的試驗，其試驗結果不確定，以至于在試驗之前無法預料哪一個結果會出現(xiàn)。隨機現(xiàn)象外表看無規(guī)律可循，出現(xiàn)哪一個結果事先無法預料，但當我們大量重復實驗時，實驗的每一個結果都會呈現(xiàn)出其頻率的穩(wěn)定性。隨機：數(shù)據(jù)+時機。計算〔古典概型、幾何概型〕理論概率實驗〔頻率估計概率、模擬〕實驗概率

二上：拋硬幣在猜測、實驗中，體驗簡單事件發(fā)生的不確定性用“一定、不可能、可能”描述事件發(fā)生的可能性二下：三上：摸球游戲在猜測、實驗中，體驗簡單事件發(fā)生的可能性有大有小

用“一定、經(jīng)常、偶爾、不可能”描述事件發(fā)生的可能性三下：猜一猜在猜測、實驗中，進一步體驗簡單事件發(fā)生的可能性有大有小

能列出簡單事件所有可能發(fā)生的結果

在猜測、實驗中，體驗簡單事件發(fā)生的不確定性。用“一定、不可能、可能〞描述事件發(fā)生的可能性。二上：感受不確定現(xiàn)象猜測、實驗－－一定、可能、不可能在猜測、實驗中，體驗簡單事件發(fā)生的可能性有大有小。用“一定、經(jīng)常、偶爾、不可能〞描述事件發(fā)生的可能性。三上三上：體驗可能性有大有小

在猜測、實驗中，進一步體驗簡單事件發(fā)生的可能性有大有小。能列出簡單事件所有可能發(fā)生的結果。三下：進一步體驗可能性有大有小

統(tǒng)計與概率的應用實例〔1〕工程系統(tǒng)設計〔2〕博彩業(yè)的監(jiān)督〔3〕勞動保護〔4〕社情分析：讀圖時代、民意測驗〔5〕工業(yè)質(zhì)量控制〔6〕犯罪學：檢查足跡〔7〕數(shù)理語言學〔8〕金融學〔9〕文學著作權〔10〕天王星光環(huán)的發(fā)現(xiàn)

〔11〕醫(yī)學：荷爾蒙血樣的分析、新藥療效〔12〕耶穌的裹尸布之謎〔13〕挑戰(zhàn)者號的爆炸〔14〕生物資源的測定〔15〕體育：新的方法確實比舊方法好嗎、足球比賽開始的拋幣游戲〔16〕天氣預報降水概率〔17〕求職策略〔18〕敏感性問題的調(diào)查

統(tǒng)計與概率的應用實例案例片斷與研討3：拋硬幣案例片斷老師拿起一個圓柱形的盒子，說道：“每個小組的桌面上都有一個這樣的盒子，盒子外面寫著什么呀？〞“三個白球，三個黃球。〞學生齊聲答道?！笆堑?。每個盒子里面都放著三個白球和三個黃球。〞老師繼續(xù)說道，“如何摸球呢？看，老師把手伸進盒子，攪一攪，摸到了一個球。你們猜猜是什么顏色的球？〞“白球。〞“黃球。〞學生猜著。老師拿出一看，“是黃球。〞“哇！〞猜中的學生興高采烈?！暗谝淮蚊近S球，就在表格的‘黃球’欄目上打1個‘√’。〞老師一邊展示表格一邊強調(diào)對摸球結果進行統(tǒng)計的要求。老師把摸出的黃球放回盒后，又做了一次摸球示范，摸出的是一個白球，她強調(diào)；“這一次要在表格的‘白球’欄目上打1個游戲結束后，老師在實物展示臺上記錄各組摸球統(tǒng)計的結果：“你們看，從摸球的結果能看到什么呢？〞老師在啟發(fā)學生發(fā)言?！暗?小組與第3小組摸到黃球與白球的次數(shù)，剛好相反。〞“每組都摸了8次。〞顯然，學生沒有說出教師希望的結論。老師進一步啟發(fā)道：“是不是摸到的都是白球？是不是一定摸到黃球？〞“不是。〞黃球白球第1小組

4

4第2小組

2

6第3小組

6

2第4小組

5

3第5小組

4

4第6小組

4

4‘√’。每人都有兩次摸球的時機，組長要做好每一次摸球的記錄。〞學生分組玩起了摸球游戲，我摸你猜，你摸我猜，玩得很快樂，很開心?！澳窃撛趺凑f摸球的結果呢？〞一個學生答道：“可能摸到白球，也可能摸到黃球。〞“說得好。〞老師表揚了她，接著又問道：“可能摸到黑球嗎？〞“不可能。因為盒子外面沒有寫有黑球。〞一個女生說道?！澳强赡苊郊t球嗎？〞老師追問。“不可能。因為盒子外面里也沒有寫紅球。〞這時，一個男生提出質(zhì)疑：“如果有一個老師把盒子外面的字寫錯了，那怎么辦？〞“你的意思是不能相信盒子外面寫的字，要查看盒子里放的是什么顏色的球，是嗎？〞老師幫助學生把意思表達清楚。這時，一個女生站起來說道：“剛剛我看了盒子里面的球，真的沒有紅球，所以不可能摸到紅球。〞老師在盒子里放入一個綠球，問道：“現(xiàn)在可能摸到綠球嗎？〞“可能。〞學生異口同聲?！艾F(xiàn)在摸球的可能性有幾種？〞老師追問。“有三種。可能是白球，可能是黃球，也可能是綠球。〞學生深信不疑。“摸到不同顏色的球的可能性有幾種，與盒子里放幾種顏色的球有關；放入的球的顏色越多，摸到不同顏色的球的可能性也越多。〞老師對這次摸球游戲做了總結。案例討論本案例中，為什么會出現(xiàn)那個男生質(zhì)疑“如果有一個老師把盒子外面的字寫錯了，那怎么辦？〞的現(xiàn)象？問題出在哪個環(huán)節(jié)？——剛一開始，教師是這樣引導學生觀察盒子里裝球其情況的：……盒子外面寫著什么呀？〞如此就給學生一種誤導：盒子里裝什么球要看盒子外面的包裝。其實，讓學生討論從盒子里摸球的可能性，關鍵是看盒子里裝球情況，假設這個老師從一開始不是強調(diào)讓學生看盒子“外面寫著什么呀？〞，而是告訴學生盒子里都裝的什么球，然后開展活動，就會防止這個問題。案例中，教師在引導學生說出“可能摸到白球，也可能摸到黃球〞時，學生的答復并不是教師想要的，出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是什么？——教師設計了讓學生統(tǒng)計摸球情況的活動，并且把結果填在表格中，統(tǒng)計完后緊接著教師提出問題：“……從摸球的結果能看到什么呢？〞這其實是在誤導學生，讓學生根據(jù)統(tǒng)計結果答復以下問題，自然，學生就會把答復的重心轉移到表格中的數(shù)據(jù)特征上來，出現(xiàn)了：“第2小組與第3小組摸到黃球與白球的次數(shù)，剛好相反。〞、“每組都摸了8次。〞的答復，而不是關注本節(jié)課的核心：從摸球出現(xiàn)的結果來感受不確定現(xiàn)象，設計統(tǒng)計活動反而會讓學生關注統(tǒng)計出的數(shù)據(jù)。

案例片斷與研討4：有必要做概率實驗嗎？問題：不用做實驗學生就知道概率的大小，概率實驗的價值是什么？實驗概率與理論概率的關系？先驗的？后驗的？

不做或少做概率實驗的原因：——相信學生的經(jīng)驗和理性分析能力。——實驗反而容易造成混亂?！怕适墙y(tǒng)計的理論根底，“本質(zhì)上是數(shù)學〞。

重視概率實驗的原因：美標準〔1989〕：結合帶有數(shù)據(jù)分析的概率研究；P90。美標準〔2000〕：P49

概率實驗的價值：實驗是獲取概率的更一般的方法?！坝嬎悒暤姆椒ㄖ荒芴幚砉诺涓判汀菜懈窘Y果是有限且等可能的〕，大量事件發(fā)生的概率是不能依靠計算得出的〔如圖釘釘尖著地的概率〕。概率實驗的價值：對于不那么顯然的計算結果，尤其是與學生經(jīng)驗不符的結果，學生不能信服。案例：擲兩個均勻的硬幣，兩面都是正、兩面都是反、一反一正的概率各為1/3？案例：好一個三局兩勝。案例片斷：好一個三局兩勝

“今天數(shù)學課上，老師說擲兩粒骰子，朝上面的點數(shù)相加等于7的可能性最大。但是擲10次不一定，擲50次可能，擲的次數(shù)越多，可能性越大。我有點不大相信，為什么擲兩粒骰子，朝上面的點數(shù)相加等于7的可能性最大，而不是6，不是8呢？難道真那么準嗎？我又沒試過，怎么能證明呢？中午回家我找了兩粒骰子準備試驗一下，但我馬上想到，如果我試驗的結果和老師不一樣，人家還以為我胡編亂造呢，不如我把骰子拿到學校去，叫同學和我一起做，這樣既省時間，又有人作證。吃過中飯，我早早來到學校，叫同學Q幫助。我讓他先在紙上寫好“2～12〞這11個數(shù)，我擲骰子，我擲出什么數(shù)，他就在那個數(shù)下面劃‘正’字。沒多久，Q就厭煩了。我和他換了一下，由他擲，我來記‘正’字，50次，100次，150次，200次，老師不是說，擲次數(shù)越多越正確嗎？最后得出結果果然是7，可我還是不大相信，我和另一個同學G又試了200次，這次結果是8，1比1。我決定再試一次，最后一次，如果是7，那么我就相信概率是正確的。我又叫同學Z幫助，我們又擲了200次，結果是8，哪里是7呀