電路第4章定理

4.1疊加定理(Superposition

Theorem)替代定理(Substitution

Theorem)定理和 定理(Thevenin-Norton

Theorem)4.4

根定理(legen’s

Theorem)4.1疊加定理(Superposition

Theorem)圖示電路，求uab，i3uSR1R3+–iSi3ba解：ssus

usuab

=R1

R3+

i +

iRR11

1

1

R1

+

R3=+R1

R3

3

s1R1

+

R3

R=

uab=

u'ab+

u''33

i'3

i''33uu'

u''i =

ab=

ab

+

abR

R

R3

a原電路=uS1R1i3R3+–_ba+abu'R1i3R3_b+abu''+一、疊加定理:1、內(nèi)容性電阻電路中，任一支路電流(或支路電壓)都是電路中各個(gè)獨(dú)立電源單獨(dú)作用時(shí)，在該支路產(chǎn)生的電流(或電壓)的疊加。2、使用疊加定理應(yīng)注意以下幾點(diǎn):1）疊加定理只適用于線性電路。2）一個(gè)電源作用，其余電源置零電壓源為零—用短路替代電流源為零—用開路替代3）只有電壓、電流能疊加，功率不能疊加(因?yàn)楣β蕿殡妷汉碗娏鞯某朔e)。R3

3

3

3

3

3

3

33

3P

=

i

2

R

=

(i'

+

i'')2

R

i'2

R

i''2

R疊加時(shí)要注意各分量的方向（代數(shù)和）。含受控源(線性)電路亦可用疊加定理①單獨(dú)受控源對(duì)電路不起激勵(lì)②其大小和方向隨控制量的變化而改變例1.求圖中電壓u。解:(1)10V電壓源單獨(dú)

(2)4A電流源單獨(dú)作用，u'=4V

u"=

-42.4=

-9.6V疊加：u=u'+u"=4+(-9.6)=-5.6V–+10V作用，4A電流源開路6+–4u'10V電壓源短路66–+10V4A+–4u4A+–4u''例2.

求電壓Us。(1)10V電壓源單獨(dú)作用： (2)4A電流源單獨(dú)作用：解:s

1

1U

'=

-10

I

'+4

I

'=-101+4×1=

-6VsU

"=-10I

"+2.441=

-10

(-1.6)+9.6=25.6V疊加：'

"Us=

Us

+Us

=

-6+25.6=19.6V+–10VI1'

6+–Us'+

–1410I

'

I1''

610V+–6I14A+–Us+

10

I1

–44A+–Us''+

–110I

''4線性電路中，當(dāng)所有激勵(lì)(獨(dú)立源)都增大(或減小)同樣的K倍數(shù)，則電路中響應(yīng)(電壓或電流)也將增大(或減小)同樣的K倍數(shù)（K為實(shí)常數(shù)）。當(dāng)激勵(lì)只有一個(gè)時(shí)，則響應(yīng)與激勵(lì)成正比。二、齊性定理（homogeneity

property):e(t)

ke(t)r(t)

kr(t)對(duì)于多激勵(lì)e1(t)e2(t)r(t)ke1(t)ke2(t)kr(t)5A例3.

已知：RL=2，R1=1，R2=1，us=51V。解:采用倒推法：設(shè)i'=1A，推出此時(shí)us'=34V。則用齊性定理分析梯形電路特別有效。求電流i

。+2V–+

3V

–+

8V

–+

21V––su

'=34VR1

3AR1

21A

8A+

R2

13AR1R22A

RL–+usi

i'=1AR2×1

=

1.5A34su

51u'即

i=

s

i'

=uu'

s

=

si

i'本例計(jì)算是先從梯形電路最遠(yuǎn)離電源的一段開始，倒退至激勵(lì)處。這種計(jì)算方法稱為“倒推法”。AI3Us例4：如圖電路，A為有源網(wǎng)絡(luò)，當(dāng)US=4V時(shí)，I3=4A；當(dāng)US=6V時(shí)，I3=5A；求當(dāng)US=2V時(shí)，I3為多少？解：設(shè)有源網(wǎng)絡(luò)單獨(dú)作用下產(chǎn)生的分量為I0I3

=G×US+I0∴

4=4G+I0

5=6G+

I0解得

G=0.5S，I0=2A即

I3=0.5US+2∴

US=2V時(shí)，I3=3A4.2

替代定理

(Substitution

Theorem)A+–uk=ikA=A+–uk支路k定理內(nèi)容:對(duì)于給定的任意一個(gè)電路，其中第k條支路電壓uk和電流ik已知，那么這條支路就可以用一個(gè)具有電壓等于uk的獨(dú)立電壓源，或者用一個(gè)電流等于ik的獨(dú)立電流源來替代，替代后電路中全部電壓和電流均保持原有值(解答唯一)。ik替代定理所提到的第K條支路可以是電阻、電壓源和電阻的串聯(lián)組合或電流源和電阻的并聯(lián)組合。用電壓源替代證明：ARUIARU=RIIU=RIabAcI

Ua、b為自然等位點(diǎn)，短路后不影響其余電路的數(shù)值。用電流源替代證明：電流為零的支路斷開后不影響其余支路的電壓和電流。AR

UIARUIII支路電流為零ARIII注意：替代定理既適用于線性電路，也適用于非線性電路。第K條支路中有受控源時(shí)，則該支路不能被替代。∵受控源的電壓和電流隨控制量的變化而變化，不能用恒定的電壓源、電流源替代。解：用替代定理,把Rx支路用電流源替代。'U=U

+U"=(0.1-0.075)I=0.025I1.5

1U

'

2.5

2.5I

0.5

I

0.5

0.1I2.5

8U

''

1.5

1

I

1

0.075I+0.50.51–U''

+0.5I810.50.51–

U'

+I0.5+0.50.5–+10V31Rx

Ix–UI0.5例1：若要使Ix8

1

I

,x試求R

。0.50.51–

+UI0.581

Ixx=

U

=

0.025I

=

0.2ΩR1

II8例2：試求圖示電路在I=2A時(shí)，20V電壓源發(fā)出的功率。解：用2A電流源替代上圖電

路中的電阻Rx和單口網(wǎng)絡(luò)N2，得到右圖所示電路。4I1

22

20列出網(wǎng)孔方程求得I1

4A20V電壓源發(fā)出的功率為P

20

(4)

80W例3：

圖(a)電路中g(shù)=2S。試求電流I。解：先用分壓公式求受控源控制變量U

8

6VU

2

66用電流為gU=12A的電流源替代受控電流源，得到圖(b)電路，可以用疊加定理求得電流為4

812

7A4

4 4

4I

作業(yè)

P107

4-2，4-74.3

定理和

定理(Thevenin-Norton

Theorem)工程實(shí)際中，常常碰到只需研究某一支路的情況。這時(shí)，可以將除 需保留的支路外的其余部分的電路(通常為二端網(wǎng)絡(luò)或稱一端口網(wǎng)絡(luò))，等效變換為較簡單的含源支路(電壓源與電阻串聯(lián)或電流源與電阻并聯(lián)支路)，可大大方便

的分析和計(jì)算。定理和 定理正是給出了等效含源支路及其計(jì)算方法。R1

a

R3R5R4R2Rx

ib+us–概述：二端（單口、一端口）網(wǎng)絡(luò)及其等效電路(1)

無源二端網(wǎng)絡(luò)（無獨(dú)立源）Noabii(2)有源二端網(wǎng)絡(luò)iabaRiNSabibReqocU

+-abReqIsc定理定理一.

定理:對(duì)外電路來說，有源二端網(wǎng)絡(luò)可以等效成電壓源。電壓源的電壓=有源二端網(wǎng)絡(luò)的開路電壓Uoc，電壓源內(nèi)阻=有源二端網(wǎng)絡(luò)內(nèi)所有獨(dú)立電源置零后的輸入電阻Req

。NSabiiabReqUoc+-NSa+uocb

–bNoa

獨(dú)立電源置零Req=Rab5+–10V4AI10ab例：求IabReqUoc+-I10解：

①求Uoca–5+10V4AbUoc=Uab開=4×5＋10＝30V②求ReqeqeqR

＝5uoc

I

==

30

=

2V15R +

10ab10

4u =

5

=20V1

+

15

10

I

=

20

=

2V10驗(yàn)證證明:(對(duì)圖a)利用替代定理，將外部電路用電流源替代，此時(shí)u和i值不變。計(jì)算u值。=+電流源i為零 網(wǎng)絡(luò)NS中獨(dú)立源全部置零根據(jù)疊加定理，可得：i

a(a)bNSN'+–u(b)ioc+–uN'abU

+–ReqbNS+–u'u'=Uoc

(外電路開路時(shí)a

、b間開路電壓)u"=

Req

iu

=u'+u"=Uoc

-Req

i

此關(guān)系式恰與圖(b)電路相同。則abN0+

u''

iReq

–a

abiNS+

u–解題步驟：畫等效電路。求Uoc，等于將外電路斷開時(shí)的開路電壓；獨(dú)立源全部置零(電壓源短路,電流求Req，一端口網(wǎng)絡(luò)源開路)后的等效電阻。計(jì)算所求值。等效電阻的計(jì)算方法：當(dāng)網(wǎng)絡(luò)

不含有受控源時(shí)可采用電阻串并聯(lián)的方法計(jì)算；加壓求流法或加流求壓法開短路法2

3

方法更有一般性(含受控源）。UReqI（2）開短路法（開路電壓、短路電流法)：分別求出有源一端口網(wǎng)絡(luò)的開路電壓Uoc和短路電流Isc，則有源一端口網(wǎng)絡(luò)等效電阻為：eqSc

UocRI—N0＋UIReqab等效電阻除了串并聯(lián)公式計(jì)算外，還有以下兩種計(jì)算方法：（1）加壓求流法或加流求壓法（無源）：將有源二端網(wǎng)絡(luò)NS內(nèi)所有獨(dú)立電源均變?yōu)榱?，化為無源一端口網(wǎng)絡(luò)N0后，外加U，求端口處的電流I（外加電流I，求端口處的電壓U），則輸入電阻（等效電阻）為：bNSaISC注意這兩種計(jì)算式子中的電流的正方向是不同的。例1.計(jì)算Rx分別為1.2、5.2時(shí)的I。xb10V+

–R

I464

a

6解：(1)等效電路：IabUoc–Req+Rx(2)求開路電壓Uoc

=U1

+U2=

-104/(4+6)+10

6/(4+6)=-4+6=2Va+

–10V+U2

––+U1+Uoc-

b(3)求等效電阻ReqReq=4//6+6//4=4.8(4)

Rx

=1.2時(shí)，I=

Uoc

/(Req

+

Rx)

=2/6=0.333ARx

=5.2時(shí)，I=

Uoc

/(Req

+

Rx)

=2/10=0.2ARiab含受控源電路 定理的應(yīng)用求U0

。6I+–9V

3+3

U0––

6I

+

a例2.bUoc+–Req3

U0a+-解：(1)

等效電路ocU

=6I+3II=9/9=1AUoc=9VI+–9V

3+–Uocb(2)

求開路電壓Uoc

b6

–

6I

+

a(3)

求等效電阻ReqU=6I+3I=9II=Ia6/(6+3)=(2/3)IaU=9

(2/3)Ia=6IaReq

=

U

/Ia=6

3I–a+Ub方法1：加壓求流法6

–

6I

+Ia(Uoc=9V)3I=-6II=0I

=I

＝

9/6=1.5Asc

1Req

=

Uoc

/

Isc

=9/1.5=6

I+–9V

3Iscb方法2：開短路法6

–

6I

+

aI1(4)由等效電路3U0

6

3

9

3VabUoc+–Req3

U0-+例3.解：(1)等效電路abU+–+–UReqocR0.5k用定理求U

.–10V+

1k0.5Iaba、b開路，I=0，Uoc=10V求Req

：加壓求流法1k

+R0.5k–UI1k

1k0.5Iab+–U0II0

U0

=(I0-0.5

I0)103+

I0103

=1500I0Req

=

U0

/

I0

=1.5kIsc

=

-I，(I-0.5I)103

+I103+10=01500I=-10I=

-1/150

A即

Isc=1/150

A

Req

=Uoc

/Isc

=10

150=1500(4)由等效電路：–+

1k

1k10VU=Uoc

500/(1500+500)=2.5V方法二：A.利用開短路法求Req：Req

=Uoc

/IscUoc

=10V（已求出）求短路電流Isc

(將a、b短路)：0.5IabIIsc最大功率傳輸定理：任何一個(gè)復(fù)雜的含源一端口網(wǎng)絡(luò)都可以用一個(gè)等效電路來替代。ReqUOC＋—RLIL＋—UL當(dāng)RL＝Req時(shí)，負(fù)載RL才能獲得最大功率稱為最大功率傳輸定理。上，把這種工作狀態(tài)稱為負(fù)載與電源匹配。問題：在小功率電路中（電子線路），常需要負(fù)載和電源匹配，而在大功率的動(dòng)力系統(tǒng)中，是否需要匹配，為什么？匹配時(shí)，電源效率為50％，內(nèi)阻損耗＝負(fù)載損耗，效率低。大功率系統(tǒng)，電源電壓高，內(nèi)阻小，若匹配，則回路電流過大，易損壞電氣設(shè)備。iP4RU

2

OCLmax＋US1—R1ISR3Us2

R2＋—ab＋Uoc—②求UOC③求等效電阻ReqOCS2abU =

-U

+UR1

R3S23S1

3US1=

-U

+R

-R

+

R R1

+

R3I=

-5

+

24

6

-

3

6

1

=

9V3

+

6 3

+

6

6R1

R3Req

R2

由等效電路R1

R3

0.5Aeq

LUOCR

RLI

P

I

2

R

3WL

L

L④計(jì)算RL

及PLmax當(dāng)RL＝

Req＝6

時(shí)，負(fù)載可獲得最大功率。最大功率為：PeqU

2

924R

4

6

3.375W

OCLmax二、 定理：NSababGeq(Req)Isc對(duì)外電路來說，有源二端網(wǎng)絡(luò)可以等效成電流源。電流源的電流=有源二端網(wǎng)絡(luò)的短路電流ISC，電流源內(nèi)阻同

等效電路內(nèi)阻（有源二端網(wǎng)絡(luò)內(nèi)所有獨(dú)立電源置零后的輸入電阻Req

）。bNoa

獨(dú)立電源置零NSabIscR

=Req

abI4

ReqIs例.

求電流I。210+–24V4I+

–12V(2)求IscI1

=12/2=6A2I

=(24+12)/10=3.6AIsc=-I1-I2=-

3.6-6=-9.6A解：

(1)等效電路210+–24VIscI1I2+

12V

–(3)

求Req：串并聯(lián)Req

=102/(10+2)=1.67

I=-

Isc1.67/(4+1.67)=9.61.67/5.67=2.83AReq2b(4)由等效電路:10a4I1.67

-9.6A作業(yè)

P1104-12(b),(c)，4-17例:

電路如圖

(a)所示，其中g(shù)=3S。試求Rx為何值時(shí)電流I=2A，此時(shí)電壓U為何值?解：

為分析方便，

可將虛線所示的兩個(gè)單口網(wǎng)絡(luò)N

1

和N

2分別用 等效電路代替，

到圖(

b)

電路。單口N

1的開路電壓Uoc1可從圖(c)電路中求得，列出KVL方程22

2oc1Uoc1

1

gU

oc1

20

3U

10解得

5V2

10Uoc1

為求Ro1，將20V電壓源用短路代替，得到圖(d)電路，再用外加電流源I計(jì)算電壓U的方法求得Ro1。列出KVL方程U

1(

gU

I

)

2

2

I

3U

2I解得I2

2R

U

1o1再由圖(e)電路求出單口N2的開路電壓Uoc2和輸出電阻Ro23

+

6

3

+

3

6

1

=

3V3

63oc

2U

o23

6R

3

6

2Ω最后從圖(b)電路求得電流I

的表達(dá)式為I

3

(5)

Rx

1

2

Rx

1

RxRo1

Ro2Uoc

2

Uoc18令I(lǐng)=2A，求得Rx=3。此時(shí)電壓U

為U

Ro1

I

Uoc1

1

2

5

7V或U

(Rx

Ro2

)I

Uoc2

(3

2)

2

3

7V例：電路如下圖所示，已知US1＝24V，US2＝5V，電流源IS＝1A，R1＝3，R2＝4，R3＝6，計(jì)算：（1）當(dāng)負(fù)載電阻RL＝12時(shí)，RL中的電流和功率。（2）設(shè)RL可調(diào)，則RL為何值時(shí)才能獲得最大功率，其值為多少？Us2

R2RL＋US1—R1ISR3＋—RL＋UOC—解 ①等效電路ILReq4.

4根定理(legen’s

Theorem)根定理是電路理論中對(duì)集總電路普遍適用的基本定理，在這個(gè)意義上，它與

定理等價(jià)。

根定理有兩種

形式。對(duì)于一個(gè)具有n個(gè)結(jié)點(diǎn)和b條支路的電路，假設(shè)各支路電流和支路電壓取關(guān)聯(lián)參考方向，并令（i1

，i2

，…ib）、（u1，u2

，ub）分別為b條電路的電流和電壓，則對(duì)任何時(shí)間t，有1.

根定理1：b

uk

ik

0k

1此定理可通過右圖所示電路的圖證明如

un1、

un2、

un3分別表示結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)電壓，按KCL可得出各支路電壓與結(jié)點(diǎn)電壓的關(guān)系為3120123564u1=un1

；

u2=un1

-

un2

；

u3=un2

-

un3

；u4=

-

un1

+

un3

；

u5=un2

；

u6=un3對(duì)結(jié)點(diǎn)①、②、③應(yīng)用KCL，得i1+i2

–i4=0

；

–

i2+i3

+i5=0

；

–

i3+i4

+

i6=0而6uk

ik

=

u1i1

+

u2

i2

+

u3i3

+

u4

i4

+

u5

i5

+

u6

i6k=1把支路電壓用結(jié)點(diǎn)電壓表示后，代入上式并經(jīng)整理可得6uk

ik

=

un1i1

+

(un1

-

un2

)i2

+(un2

-

un3

)i3

+

(-un1

+

un3

)i4

+

un2i5

+

un3i6k=1上式中各括號(hào)內(nèi)的電流分別為結(jié)點(diǎn)①、②、③處電流的代數(shù)和，根據(jù)各結(jié)點(diǎn)的KCL方程，即有上述證明可推廣至任何具有n個(gè)結(jié)點(diǎn)和b條支路的電路，即有6ukik

=

un1

(i1

+

i2

-

i4

)

+

un2

(-i2

+

i3

+

i5

)

+

un3

(-i3

+

i4

+

i6

)k=16

uk

ik

0k

1b

uk

ik

0k

1注意在證明過程中，只根據(jù)電路的拓?fù)湫再|(zhì)應(yīng)用了集爾理，并不涉及電路的內(nèi)容，因此根定理對(duì)任何具有線性、非線性、時(shí)不變、時(shí)變?cè)募傠娐范歼m用。這個(gè)定理實(shí)質(zhì)上是功率守恒的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它表明任何一個(gè)電路的全部吸收的功率之和恒等于零。2.具有相同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)（特征）的電路兩個(gè)電路，支路數(shù)和結(jié)點(diǎn)數(shù)都相同，而且對(duì)應(yīng)支路與結(jié)點(diǎn)的聯(lián)接關(guān)系也相同。NNR4

R5R1R2

R3R6us1+

–1234R4'

R5'R1'R3'R6's6is2u

+–1243故兩個(gè)電路具有相同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，即它們的拓?fù)鋱D（圖）完全相同。左圖為上述兩個(gè)電路的拓?fù)鋱D。由于上述兩個(gè)電路的支路與結(jié)點(diǎn)聯(lián)接關(guān)系相同，因此它們的圖也相同。假設(shè)兩個(gè)電路中對(duì)應(yīng)支路電壓方向相同，支路電流均取和支路電壓相同的參考方向。465234231、13.根定理2：如果有兩個(gè)具有n個(gè)結(jié)點(diǎn)和b條支路的電路，它們具有相同的圖，但由內(nèi)容不同的支路構(gòu)成。假設(shè)兩個(gè)電路中對(duì)應(yīng)支路電壓方向相同，各支路電流和電壓都取關(guān)聯(lián)參考方向，并分別用（i1，2

b1

2

bi

，…，i

）、（u

，u

，…u

）和?

?

?1

2

b(i,

i

,

,

i

)(u?1

,u?2

,,u?b

)

表示兩個(gè)電路中b條支路 的電流和電壓，則在任何時(shí)間t，有b

b

uk

i

k

0

或

u?k

i

k

04651234231u1＝－un1

；

u2＝un1－un3

；電路1

u3＝un3

；

u4＝un1－un2

；u5＝un2

；

u6＝un2－un3k

1

k

1證明：設(shè)兩個(gè)電路的圖如下圖所示，取結(jié)點(diǎn)4為參考結(jié)點(diǎn)。對(duì)電路1，可列寫KVL方程,有:

i?

i?

i?4

5

6

i?

i?

i?

01

2

4

0

0

i?

i?

i?2

3

6電路2對(duì)電路2，可列寫KCL方程，有而6

65

54

46k

k

1

1

2

2 3

3???????

u

i

u

i

u

i

u

i

u

i

u

i

u

ik

1把電路1的KVL方程代入上式，整理可得把電路2的KCL方程代入上式，可知：6

0k

1k

k

u

i?此上述證明可推廣至任何具有n個(gè)結(jié)點(diǎn)和b條支路的電路，即有：同理可證明定理的第二部分，即有：

0bk

1k

k

u

i?

0bk

1

u?k

ik4.功率守恒定理：在任一瞬間，任一電路中的所有支路所吸收的瞬時(shí)功率的代數(shù)和為零，即將根定理1用于同一電路中各支路電流、電壓即可證得上述關(guān)系。值的注意的是，根定理2不能用功率守恒解釋，它僅僅是對(duì)兩個(gè)具有相同拓?fù)涞碾娐分?，一個(gè)電路的支路電壓和另一個(gè)支路電流，或者可以是同一電路在不同時(shí)刻的相應(yīng)支路電壓和電流必須遵守的數(shù)學(xué)關(guān)系。由于它仍具有功率之和的形式，所以有時(shí)又稱為“擬功率定理”。注意： 根定理適用于一切集 數(shù)電路。只要各支路u，i 滿足KCL、KCL即可。 根定理與KCL、KCL三者中取其兩個(gè)即可。b

bk

1

k

1

pk

uk

ik

0例1：R1=R2=2,

Us=8V時(shí),I1=2A,

U2

=2VR1=1.4

,R2=0.8,Us'=9V時(shí),I

'=3A,1求U2'。解：由已知條件(1)可得：U1=4V,I1=2A,

U2=2V,I2=U2/R2=1A

由已知條件(2)可得:

U1

4.8V,

I1

3A,

I

2

U

2

/R2

(5/4)U

2V

U1

(

I

1

)

U

2

I

2

U

1

(I1

)

U

2

I2(負(fù)號(hào)是因?yàn)閁1,I1的方向不同)

利用 根定理2可知：無源電阻網(wǎng)絡(luò)N0–+U1+–UsR1I1I2–+2R

U2例2.P–+U1–+U2I2I1P–+U

1–2+U

2I

1I

2

10V已知：U1=10V,I1=5A,

U2=0,

I2=1A

；U

2解：求U

1

.

U1

I1

U2

(

I

2

)

U1(

I1

)

U

2

I2

U1

2

I1U

1

1V.4.

5

互易定理

(Reciprocity

Theorem)第一種形式:電壓源激勵(lì)，電流響應(yīng)。給定任一僅由線性電阻構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)N0(見下圖)，設(shè)支路j中有唯一電壓源uj，其在支路k中產(chǎn)生的電流為ikj(圖a)；若支路k中有唯一電壓源uk，其在支路j中產(chǎn)生的電流為ijk(圖b)。cd線性電阻網(wǎng)絡(luò)

N0ijk+–ukab(b)ikj線性電阻網(wǎng)絡(luò)

N0–u

+ja

cbd(a)則兩個(gè)支路中電壓電流有如下關(guān)系：kju

uikj

i

jk或

uk

ikj

uji

jk當(dāng)

uk

=

uj

時(shí)，ikj

=

ijk

。用

根定理。證明:由

根定理2：bbuk

i

k

0

和

uk

i

k

0k

1 k

1(設(shè)a-b支路為支路1，c-d支路為支路2，其余支路為3~b)。圖(a)與圖(b)有相同拓?fù)涮卣?，圖(a)中用uk、ik表示支路電壓、電流，圖(b)中用u?k

、i?k

表示支路電壓、電流。

0

bk

3

u1

i

1

u2

i

2

Rk

ik

i

kbk

3bk

1

uk

i

k

u1

i

1

u2

i

2

uk

i

k即：

b

u1

i1

u2

i2

Rk

ik

i

k

0k

3b

bk

1

k

3

uk

ik

u1

i1

u2

i2

uk

ik兩式相減，得

u1

i1

u2

i

2

u1

i1

u2

i2將圖(a)與圖(b)中支路1，2的條件代入，即即：證畢！jk

1

j

2

2

k

1u

u

,

u

0

,

i

ikj

;

u1

0,

u2

u

,

i?

i當(dāng)

uk

=

uj

時(shí)，ikj

=

ijku

uuk

ikj

uji

jk

或kjikj

i

jk互易定理的第一種形式，即對(duì)一個(gè)僅含線性電阻的電路，在單一電壓源激勵(lì)而響應(yīng)為電流時(shí)，當(dāng)激勵(lì)和響應(yīng)互換位

置時(shí)，將不改變同一激勵(lì)所產(chǎn)生的響應(yīng)。

0

i

2

0

i1

uk

ikjuji

jk第二種形式: 電流源激勵(lì)，電壓響應(yīng)。在任一線性電阻網(wǎng)絡(luò)的一對(duì)節(jié)點(diǎn)j，j‘間接入唯一電流源ij，它在另一對(duì)節(jié)點(diǎn)k，k’之間將產(chǎn)生電壓ukj(見圖a)；若改在節(jié)點(diǎn)

k，k‘間接入唯一電流源ik

，它在節(jié)點(diǎn)j，j’之間將產(chǎn)生電壓

ujk(圖b)，則上述電壓、電流有如下關(guān)系：當(dāng)

ik

=

jj

時(shí)，ukj

=

ujk

。jk

jkj

kj

ki

iukj

ujk或

u

i

u

iijj'k'j

k(a)–

–ik+ujkj'k'+

j

kukj(b)證明：設(shè)j-j’支路為支路1，k-k’支路為支路2,其余支路為3~b)。圖(a)與圖(b)有相同拓?fù)涮卣?，圖(a)中用uk

、ik表示支路電壓、電流，圖(b)中用表示支路電壓、電流。u?k

、i?k即ukj

ik

ujk

i

j或ukj

ujki

j

ik證畢！當(dāng)

ik

=

jj

時(shí)，ukj

=

ujk