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文檔簡介
2022年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設(shè),,則的值為()A. B.C. D.2.已知四棱錐中,平面,底面是邊長為2的正方形,,為的中點,則異面直線與所成角的余弦值為()A. B. C. D.3.在中,為邊上的中線,為的中點,且,,則()A. B. C. D.4.已知拋物線的焦點為,為拋物線上一點,,當(dāng)周長最小時,所在直線的斜率為()A. B. C. D.5.記為等差數(shù)列的前項和.若,,則()A.5 B.3 C.-12 D.-136.如圖,四面體中,面和面都是等腰直角三角形,,,且二面角的大小為,若四面體的頂點都在球上,則球的表面積為()A. B. C. D.7.設(shè)a=log73,,c=30.7,則a,b,c的大小關(guān)系是()A. B. C. D.8.己知全集為實數(shù)集R,集合A={x|x2+2x-8>0},B={x|log2x<1},則等于()A.[4,2] B.[4,2) C.(4,2) D.(0,2)9.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限10.甲、乙、丙三人參加某公司的面試,最終只有一人能夠被該公司錄用,得到面試結(jié)果以后甲說:丙被錄用了;乙說:甲被錄用了;丙說:我沒被錄用.若這三人中僅有一人說法錯誤,則下列結(jié)論正確的是()A.丙被錄用了 B.乙被錄用了 C.甲被錄用了 D.無法確定誰被錄用了11.如圖,在平行四邊形中,為對角線的交點,點為平行四邊形外一點,且,,則()A. B.C. D.12.如圖,正方體中,,,,分別為棱、、、的中點,則下列各直線中,不與平面平行的是()A.直線 B.直線 C.直線 D.直線二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,準(zhǔn)線為l,P為C上一點,PQ垂直l于點Q,M,N分別為PQ,PF的中點,MN與x軸相交于點R,若∠NRF=60°,則|FR|等于_____.14.已知點是拋物線的焦點,,是該拋物線上的兩點,若,則線段中點的縱坐標(biāo)為__________.15.設(shè)常數(shù),如果的二項展開式中項的系數(shù)為-80,那么______.16.設(shè)實數(shù),滿足,則的最大值是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)若函數(shù),試討論的單調(diào)性;(2)若,,求的取值范圍.18.(12分)如圖,在直三棱柱中,分別是中點,且,.求證:平面;求點到平面的距離.19.(12分)已知直線過橢圓的右焦點,且交橢圓于A,B兩點,線段AB的中點是,(1)求橢圓的方程;(2)過原點的直線l與線段AB相交(不含端點)且交橢圓于C,D兩點,求四邊形面積的最大值.20.(12分)某校為了解校園安全教育系列活動的成效,對全校學(xué)生進(jìn)行一次安全意識測試,根據(jù)測試成績評定“合格”、“不合格”兩個等級,同時對相應(yīng)等級進(jìn)行量化:“合格”記分,“不合格”記分.現(xiàn)隨機(jī)抽取部分學(xué)生的成績,統(tǒng)計結(jié)果及對應(yīng)的頻率分布直方圖如下所示:等級不合格合格得分頻數(shù)624(Ⅰ)若測試的同學(xué)中,分?jǐn)?shù)段內(nèi)女生的人數(shù)分別為,完成列聯(lián)表,并判斷:是否有以上的把握認(rèn)為性別與安全意識有關(guān)?是否合格性別不合格合格總計男生女生總計(Ⅱ)用分層抽樣的方法,從評定等級為“合格”和“不合格”的學(xué)生中,共選取人進(jìn)行座談,現(xiàn)再從這人中任選人,記所選人的量化總分為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望;(Ⅲ)某評估機(jī)構(gòu)以指標(biāo)(,其中表示的方差)來評估該校安全教育活動的成效,若,則認(rèn)定教育活動是有效的;否則認(rèn)定教育活動無效,應(yīng)調(diào)整安全教育方案.在(Ⅱ)的條件下,判斷該校是否應(yīng)調(diào)整安全教育方案?附表及公式:,其中.21.(12分)已知橢圓:的兩個焦點是,,在橢圓上,且,為坐標(biāo)原點,直線與直線平行,且與橢圓交于,兩點.連接、與軸交于點,.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)求證:為定值.22.(10分)已知函數(shù).(Ⅰ)當(dāng)時,求函數(shù)在上的值域;(Ⅱ)若函數(shù)在上單調(diào)遞減,求實數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【解析】
利用倍角公式求得的值,利用誘導(dǎo)公式求得的值,利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求得的值,進(jìn)而求得的值,最后利用正切差角公式求得結(jié)果.【詳解】,,,,,,,,故選:D.【點睛】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)求值問題,涉及到的知識點有誘導(dǎo)公式,正切倍角公式,同角三角函數(shù)關(guān)系式,正切差角公式,屬于基礎(chǔ)題目.2.B【解析】
由題意建立空間直角坐標(biāo)系,表示出各點坐標(biāo)后,利用即可得解.【詳解】平面,底面是邊長為2的正方形,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,由題意:,,,,,為的中點,.,,,異面直線與所成角的余弦值為即為.故選:B.【點睛】本題考查了空間向量的應(yīng)用,考查了空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題.3.A【解析】
根據(jù)向量的線性運算可得,利用及,計算即可.【詳解】因為,所以,所以,故選:A【點睛】本題主要考查了向量的線性運算,向量數(shù)量積的運算,向量數(shù)量積的性質(zhì),屬于中檔題.4.A【解析】
本道題繪圖發(fā)現(xiàn)三角形周長最小時A,P位于同一水平線上,計算點P的坐標(biāo),計算斜率,即可.【詳解】結(jié)合題意,繪制圖像要計算三角形PAF周長最小值,即計算PA+PF最小值,結(jié)合拋物線性質(zhì)可知,PF=PN,所以,故當(dāng)點P運動到M點處,三角形周長最小,故此時M的坐標(biāo)為,所以斜率為,故選A.【點睛】本道題考查了拋物線的基本性質(zhì),難度中等.5.B【解析】
由題得,,解得,,計算可得.【詳解】,,,,解得,,.故選:B【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式,前項和公式,考查了學(xué)生運算求解能力.6.B【解析】
分別取、的中點、,連接、、,利用二面角的定義轉(zhuǎn)化二面角的平面角為,然后分別過點作平面的垂線與過點作平面的垂線交于點,在中計算出,再利用勾股定理計算出,即可得出球的半徑,最后利用球體的表面積公式可得出答案.【詳解】如下圖所示,分別取、的中點、,連接、、,由于是以為直角等腰直角三角形,為的中點,,,且、分別為、的中點,所以,,所以,,所以二面角的平面角為,,則,且,所以,,,是以為直角的等腰直角三角形,所以,的外心為點,同理可知,的外心為點,分別過點作平面的垂線與過點作平面的垂線交于點,則點在平面內(nèi),如下圖所示,由圖形可知,,在中,,,所以,,所以,球的半徑為,因此,球的表面積為.故選:B.【點睛】本題考查球體的表面積,考查二面角的定義,解決本題的關(guān)鍵在于找出球心的位置,同時考查了計算能力,屬于中等題.7.D【解析】
,,得解.【詳解】,,,所以,故選D【點睛】比較不同數(shù)的大小,找中間量作比較是一種常見的方法.8.D【解析】
求解一元二次不等式化簡A,求解對數(shù)不等式化簡B,然后利用補集與交集的運算得答案.【詳解】解:由x2+2x-8>0,得x<-4或x>2,
∴A={x|x2+2x-8>0}={x|x<-4或x>2},
由log2x<1,x>0,得0<x<2,
∴B={x|log2x<1}={x|0<x<2},
則,
∴.
故選:D.【點睛】本題考查了交、并、補集的混合運算,考查了對數(shù)不等式,二次不等式的求法,是基礎(chǔ)題.9.C【解析】
化簡復(fù)數(shù)為、的形式,可以確定對應(yīng)的點位于的象限.【詳解】解:復(fù)數(shù)故復(fù)數(shù)對應(yīng)的坐標(biāo)為位于第三象限故選:.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算,復(fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)點的對應(yīng)關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.10.C【解析】
假設(shè)若甲被錄用了,若乙被錄用了,若丙被錄用了,再逐一判斷即可.【詳解】解:若甲被錄用了,則甲的說法錯誤,乙,丙的說法正確,滿足題意,若乙被錄用了,則甲、乙的說法錯誤,丙的說法正確,不符合題意,若丙被錄用了,則乙、丙的說法錯誤,甲的說法正確,不符合題意,綜上可得甲被錄用了,故選:C.【點睛】本題考查了邏輯推理能力,屬基礎(chǔ)題.11.D【解析】
連接,根據(jù)題目,證明出四邊形為平行四邊形,然后,利用向量的線性運算即可求出答案【詳解】連接,由,知,四邊形為平行四邊形,可得四邊形為平行四邊形,所以.【點睛】本題考查向量的線性運算問題,屬于基礎(chǔ)題12.C【解析】
充分利用正方體的幾何特征,利用線面平行的判定定理,根據(jù)判斷A的正誤.根據(jù),判斷B的正誤.根據(jù)與相交,判斷C的正誤.根據(jù),判斷D的正誤.【詳解】在正方體中,因為,所以平面,故A正確.因為,所以,所以平面故B正確.因為,所以平面,故D正確.因為與相交,所以與平面相交,故C錯誤.故選:C【點睛】本題主要考查正方體的幾何特征,線面平行的判定定理,還考查了推理論證的能力,屬中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.2【解析】
由題意知:,,,.由∠NRF=60°,可得為等邊三角形,MF⊥PQ,可得F為HR的中點,即求.【詳解】不妨設(shè)點P在第一象限,如圖所示,連接MF,QF.∵拋物線C:y2=4x的焦點為F,準(zhǔn)線為l,P為C上一點∴,.∵M(jìn),N分別為PQ,PF的中點,∴,∵PQ垂直l于點Q,∴PQ//OR,∵,∠NRF=60°,∴為等邊三角形,∴MF⊥PQ,易知四邊形和四邊形都是平行四邊形,∴F為HR的中點,∴,故答案為:2.【點睛】本題主要考查拋物線的定義,屬于基礎(chǔ)題.14.2【解析】
運用拋物線的定義將拋物線上的點到焦點距離等于到準(zhǔn)線距離,然后求解結(jié)果.【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:,則拋物線的準(zhǔn)線方程為,設(shè),,則,所以,則線段中點的縱坐標(biāo)為.故答案為:【點睛】本題考查了拋物線的定義,由拋物線定義將點到焦點距離轉(zhuǎn)化為點到準(zhǔn)線距離,需要熟練掌握定義,并能靈活運用,本題較為基礎(chǔ).15.【解析】
利用二項式定理的通項公式即可得出.【詳解】的二項展開式的通項公式:,令,解得.∴,解得.故答案為:-2.【點睛】本小題主要考查根據(jù)二項式展開式的系數(shù)求參數(shù),屬于基礎(chǔ)題.16.1【解析】
根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的解析式形式,分析目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,然后判斷求出目標(biāo)函數(shù)取得最優(yōu)解的點的坐標(biāo),即可求解.【詳解】作出實數(shù),滿足表示的平面區(qū)域,如圖所示:由可得,則表示直線在軸上的截距,截距越小,越大.由可得,此時最大為1,故答案為:1.【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃知識的運用,考查學(xué)生的計算能力,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)答案不唯一,具體見解析(2)【解析】
(1)由于函數(shù),得出,分類討論當(dāng)和時,的正負(fù),進(jìn)而得出的單調(diào)性;(2)求出,令,得,設(shè),通過導(dǎo)函數(shù),可得出在上的單調(diào)性和值域,再分類討論和時,的單調(diào)性,再結(jié)合,恒成立,即可求出的取值范圍.【詳解】解:(1)因為,所以,①當(dāng)時,,在上單調(diào)遞減.②當(dāng)時,令,則;令,則,所以在單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.綜上所述,當(dāng)時,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.(2)因為,可知,,令,得.設(shè),則.當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增,所以在上的值域是,即.當(dāng)時,沒有實根,且,在上單調(diào)遞減,,符合題意.當(dāng)時,,所以有唯一實根,當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增,,不符合題意.綜上,,即的取值范圍為.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和根據(jù)恒成立問題求參數(shù)范圍,還運用了構(gòu)造函數(shù)法,還考查分類討論思想和計算能力,屬于難題.18.(1)詳見解析;(2).【解析】
(1)利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理即可證明;(2)取中點為,則,證得平面,利用等體積法求解即可.【詳解】(1)因為,,,是的中點,,為直三棱柱,所以平面,因為為中點,所以平面,,又,平面(2),又分別是中點,.由(1)知,,又平面,取中點為,連接如圖,則,平面,設(shè)點到平面的距離為,由,得,即,解得,點到平面的距離為.【點睛】本題考查線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理、等體積法求點到面的距離;考查邏輯推理能力和運算求解能力;熟練掌握線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.19.(1)(2)【解析】
(1)由直線可得橢圓右焦點的坐標(biāo)為,由中點可得,且由斜率公式可得,由點在橢圓上,則,二者作差,進(jìn)而代入整理可得,即可求解;(2)設(shè)直線,點到直線的距離為,則四邊形的面積為,將代入橢圓方程,再利用弦長公式求得,利用點到直線距離求得,根據(jù)直線l與線段AB(不含端點)相交,可得,即,進(jìn)而整理換元,由二次函數(shù)性質(zhì)求解最值即可.【詳解】(1)直線與x軸交于點,所以橢圓右焦點的坐標(biāo)為,故,因為線段AB的中點是,設(shè),則,且,又,作差可得,則,得又,所以,因此橢圓的方程為.(2)由(1)聯(lián)立,解得或,不妨令,易知直線l的斜率存在,設(shè)直線,代入,得,解得或,設(shè),則,則,因為到直線的距離分別是,由于直線l與線段AB(不含端點)相交,所以,即,所以,四邊形的面積,令,,則,所以,當(dāng),即時,,因此四邊形面積的最大值為.【點睛】本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查橢圓中的四邊形面積問題,考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查運算能力.20.(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)詳見解析;(Ⅲ)不需要調(diào)整安全教育方案.【解析】
(I)根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)填寫好列聯(lián)表,計算出的值,由此判斷出在犯錯誤概率不超過的前提下,不能認(rèn)為性別與安全測試是否合格有關(guān).(II)利用超幾何分布的計算公式,計算出的分布列并求得數(shù)學(xué)期望.(III)由(II)中數(shù)據(jù),計算出,進(jìn)而求得的值,從而得出該校的安全教育活動是有效的,不需要調(diào)整安全教育方案.【詳解】解:(Ⅰ)由頻率分布直方圖可知,得分在的頻率為,故抽取的學(xué)生答卷總數(shù)為,.性別與合格情況的列聯(lián)表為:是否合格性別不合格合格小計男生女生小計即在犯錯誤概率不超過的前提下,不能認(rèn)為性別與安全測試是否合格有關(guān).(Ⅱ)“不合格”和“合格”的人數(shù)比例
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