概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件-方差分析

6-2第一節(jié)方差分析的基本問題一、方差分析問題的提出問題：消費(fèi)者與供應(yīng)廠商間經(jīng)常出現(xiàn)糾紛。糾紛發(fā)生后，消費(fèi)者經(jīng)常會(huì)向消費(fèi)者

投訴。消協(xié)對(duì)以下幾個(gè)行業(yè)分別抽取幾家企業(yè)，統(tǒng)計(jì)最近一年中

次數(shù)，以確定這幾個(gè)行業(yè)的服務(wù)質(zhì)量是否有顯著的差異。結(jié)果如下表：觀測值行業(yè)零售業(yè)旅游業(yè)航空業(yè)家電制造業(yè)15768314426639495134929216544045347753456405865351744行業(yè)平均49483559總平均47.96-3ysis地不全等。二、概念：方差分析簡稱ANOV（of

Variance），該統(tǒng)計(jì)分析方法能

檢驗(yàn)多個(gè)總體均值是否存在顯著差異。H0：1

2

rH1：1,

2

, ,

r6-4（一）因素。因素又稱因子，是在實(shí)驗(yàn)中或在抽樣時(shí)發(fā)生變化的“量”，通常用A、B、C、…表示。方差分析的目的就是分析因子對(duì)實(shí)驗(yàn)或抽樣的結(jié)果有無顯著影響。如果在實(shí)驗(yàn)中變化的因素只有一個(gè)，這時(shí)的方差分析稱為單因素方差分析；在實(shí)驗(yàn)中變化的因素不只一個(gè)時(shí)，就稱多因素方差分析。雙因素方差分析是多因素方差分析的最簡單情形。6-5（二）水平。因子在實(shí)驗(yàn)中的不同狀態(tài)稱作水平。如果因子A有r個(gè)不同狀態(tài)，就稱它有

r個(gè)水平，可用表示。

都針對(duì)因素的不同水平或水平的組合，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)或抽取樣本，以便了解因子的影響。6-6（三）交互影響。當(dāng)方差分析的影響因子不唯一時(shí)，必要注意這些因子間的相互影響。如果因子間存在相互影響，稱之為“交互影響”；如果因子間是相互獨(dú)立的，則稱為無交互影響。交互影響有時(shí)也稱為交互作用，是對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生作用的一個(gè)新因素，分析過程中，有必要將它的影響作用也單獨(dú)分離開來。6-7差分析的原理（一）方差的分解。樣本數(shù)據(jù)波動(dòng)就有二個(gè)來源：一個(gè)是隨機(jī)波動(dòng)，一個(gè)是因子影響。樣本數(shù)據(jù)的波動(dòng)，可通過離差平方和來反映，這個(gè)離差平方和可分解為組間方差與組內(nèi)方差兩部分。組間方差反映出不同的因子對(duì)樣本波動(dòng)的影響；組內(nèi)方差則是不考慮組間方差的純隨機(jī)影響。6-8離差平方和的分解是

進(jìn)入方差分析的“切入點(diǎn)”，這種方差的構(gòu)成形式為

分析現(xiàn)象變化提供了重要的信息。如果組間方差明顯高于組內(nèi)方差，說明樣本數(shù)據(jù)波動(dòng)的主要來源是組間方差，因子是引起波動(dòng)的主要原因，可以認(rèn)為因子對(duì)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果存在顯著的影響；反之，如果波動(dòng)的主要部分來自組內(nèi)方差，則因子的影響就不明顯，沒有充足理由認(rèn)為因子對(duì)實(shí)驗(yàn)或抽樣結(jié)果有顯著作用。6-9（二）均方差與

度因素或因素間“交互作用”對(duì)觀測結(jié)果的影

響是否顯著，關(guān)鍵要看組間方差與組內(nèi)方差

的比較結(jié)果。當(dāng)然，產(chǎn)生方差的獨(dú)立變量的

個(gè)數(shù)對(duì)方差大小也有影響，獨(dú)立變量個(gè)數(shù)越

多，方差就有可能越大；獨(dú)立變量個(gè)數(shù)越少，方差就有可能越小。為了消除獨(dú)立變量個(gè)數(shù)

對(duì)方差大小的影響，

用方差除以獨(dú)立變

量個(gè)數(shù)，得到“均方差（Mean

Square）”，作為不同來源方差比較的基礎(chǔ)。引起方差的

獨(dú)立變量的個(gè)數(shù)，稱作“

度”。6-10檢驗(yàn)因子影響是否顯著的統(tǒng)計(jì)量是一個(gè)F統(tǒng)計(jì)量：F

組間均方差組內(nèi)均方差F統(tǒng)計(jì)量越大，越說明組間方差是主要方差來源，因子影響越顯著；F越小，越說明隨機(jī)方差是主要的方差來源，因子的影響越不顯著。6-11第二節(jié)單因素方差分析一、單因素條件下離差平方和的分解數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)如下：樣本因素水平12……n合計(jì)均值A(chǔ)1X

11X

12……X

1nX

1.X

1.A2X

21X

22……X

2

nX

2.X

2.……ArX

r1X

r

2……X

rnX

r.X

r.合計(jì)X

..X6-12總離差平方和SST=SSE+SSA

X

)2SST

(

X

ijSSA

(

X

i.

X

)2

n(

X

i.

X

)2SSE

(

X

ij

X

i.

)26-13二、因素作用顯著性的檢驗(yàn)度的確定：SST是由于的波動(dòng)引起的方差，但是，這里所有的nr個(gè)變量并不獨(dú)立，它們滿足一個(gè)約束條件，真正獨(dú)立的變量只有nr-1個(gè)， 度是

nr-1。SSA是因子在不同水平上的均值變化而產(chǎn)生的方差。但是，r個(gè)均值并不是獨(dú)立的，它們滿足一個(gè)約束條件，因此也丟失一個(gè)

度，它的

度是r-1。SSE是由所有的在各因素水平上的圍繞均值波動(dòng)產(chǎn)生，它們滿足的約束條件一共r個(gè)，失去了r個(gè)

度，所以SSE的

度是nr-r。SST、SSA和

SSE的

度滿足如下關(guān)系：nr-1=(r-1)+(nr-r)6-14檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是:MSE6-15F

MSA

~

F

(r

1,

nr

r)r

1nr

rMSE

SSE式中:

SSA

MSA

F值越大，越說明總的方差波動(dòng)中，組間方差是主要部分，有利于

原假設(shè)接受備選假設(shè)；反之，F(xiàn)值越小，越說明隨機(jī)方差是主要的方差來源，有利于接受原假設(shè)，有充分證據(jù)說明待檢驗(yàn)的因素對(duì)總體波動(dòng)有顯著影響。因此，檢驗(yàn)的

域安排在右側(cè)。6-16Fα接受域域6-17方差分析：單因素方差分析SUMMARY組計(jì)數(shù)求和平均方差列

1734349116.67列

2628848184.8列

3517535108.5列

4529559162.5方差分析差異源SSdfMSFP-valueF

crit組間1456.63485.543.40660.03883.1274組內(nèi)270819142.53總計(jì)4164.622問題的解6-18第三節(jié)雙因素方差分析（一）無交互影響：因素B均值B1B2……Bn因素AA1X

11X

12……X

1nX

1.A2X

21X

22……X

2

nX

2.……ArX

r1……X

rnXr.均值X

.1X

.2……X

.nX6-19數(shù)據(jù)的離差平方和分解形式為：SST=SSA+SSB+SSESST

(

X

ij

X

)2SSA

(

X

i.

X

)2

n(

X

i.

X

)2SSB

(

X

j

X

)2

r(

X

.

j

X

)2(

..ji

SSE

ij

6-20SSA表示的是因素A的組間方差總和，SSB是因素B的組間方差總和，都是各因素在不同水平下各自均值差異引起的；SSE仍是組內(nèi)方差部分，由隨機(jī)誤差產(chǎn)生。各個(gè)方差的度是：SST的

度為nr-1，SSA的度度為r-1，SSB的

度為n-1，SSE的為nr-r-n-1=（r-1）(n-1)。6-21各個(gè)方差對(duì)應(yīng)的均方差是：對(duì)因素A而言：對(duì)因素B而言：對(duì)隨機(jī)誤差項(xiàng)而言：r

1MSA

SSAn

1MSB

SSBnr

r

n

16-22SSEMSE

得到檢驗(yàn)因素A與B影響是否顯著的統(tǒng)計(jì)量分別是：MSEF

MSA

~

F[r

1,

(r

1)(n

1)]AF

n

r

11)(,[n(~

1)]MSE

MSBFB6-23（二）有交互影響6-24因素BB1B

2……Bn因素AA1X

111X

112X

11mX

121X

122X

12m……X

1n1X

1n

2X

1nmA2X

211X

212X

21mX

221X

222X

22m……X

2

n1X

2

n

2X

2

nm……ArX

r11X

r12X

r1mX

r

21X

r

22X

r

2

m……X

rn1X

rn

2X

rnm離差平方和分解形式：SST=SSA+SSB+SSAB+SSEm

X

ijlm

l

1X

ij.

1

n

mijlXX

nm

j1l

1i..1r

m

X

ijlrm

i1

l

1X

.

j.

1ijl6-25

XrnmX

1上式中SST

(

X

ijl

X

)2SSA

nm(X

i

X

)2

X

)2

X

)2.

j.

X

ij.)2SSB

rm(

X

.

j.SSAB

m(SSE

(X

ijl6-26離差平方和SST、SSA、SSB、SSAB和SSE的

度分別是rnm-1、r-1、n-1、(r-1)(n-1)和rn(m-1)。6-27相應(yīng)的均方差是r

1MSA

SSAn

1MSB

SSB(r

1)(n

1)SSABMSAB

rn(m