2022學年高二數(shù)學上學期期中測試卷含答案解析（全國卷新高考地區(qū)）

全國卷新高考地區(qū)2021~2022學年高二上期中測試數(shù)學卷測試時間：120分鐘滿分：150分一、單項選擇題（本大題共8題，每小題5分，共計40分。每小題列出的四個選項中只有一項是最符合題目要求的）1．已知橢圓的焦距為8，且，則該橢圓的標準方程是（）A． B．或C． D．或【答案】B【解析】根據(jù)題意，，，即，，則．若橢圓的焦點在軸上，則其標準方程為；若橢圓的焦點在軸上，則其標準方程為．故橢圓的標準方程為或．故選B．2．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則（）．A． B． C． D．與相交【答案】B【解析】，，由已知可得，則，因此，.故選B.3．直線截圓所得的弦長是（）A．2 B． C． D．1【答案】C【解析】圓心（0,0）到直線的距離，因為圓的半徑為1，則弦長為.故選C.4．已知空間四點，，，，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得，，所以，，所以，故選A.5．已知圓與圓關于直線對稱，則圓的方程為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】設圓心關于直線直線的對稱點的坐標為，則線段C1C2的中點為，且.于是，易知圓的半徑長度不變，所以圓的方程為.故選D.6．如圖所示，過拋物線的焦點的直線交拋物線于，兩點，交其準線于點，若，且，則的值為（）A．1 B．2 C． D．3【答案】B【解析】過作準線的垂線，垂足為，則，由，得直線的傾斜角為45°．設，由，得，．又，，．故選B.7．在如圖所示的四棱錐中，，，，，，且，則直線與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】取的中點．則．因為且．所以四邊形是矩形，所以．因為且，所以平面．以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，所以，，．設平面的法向量為，則取，得.設直線與平面所成角為，則．故選A.8．過雙曲線的焦點作以焦點為圓心的圓的一條切線，切點為，的面積為，其中為半焦距，線段恰好被雙曲線的一條漸近線平分，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，可得圖像如圖：∵O為F1F2的中點，N為F1M的中點，∴，∴，∵焦點到漸近線的距離,∴，又∵|OF1|=c,，∴，∴，，∴，∴，∴，∴或，又∵，.二、多項選擇題（本大題共4題，每小題5分，共計20分。每小題列出的四個選項中有多項是符合題目要求的，多選或錯選不得分）9．已知雙曲線C：，下列對雙曲線C判斷正確的是（）A．實軸長是虛軸長的2倍 B．焦距為4C．離心率為 D．漸近線方程為【答案】BD【解析】∵雙曲線C：∴..∴∴.∴雙曲線的實軸長是，虛軸長是，A錯誤；焦距為.B正確；離心率為，C錯誤：漸近線方程為，D正確.故選BD.10．如圖，在正方體中，以為原點建立空間直角坐標系，為的中點，為的中點，則下列向量中，不能作為平面的法向量的是（）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】設正方體的棱長為2，則，，∴，設向量是平面的法向量，則取，得，則是平面的一個法向量，結合其他選項，檢驗可知只有B選項是平面的法向量，故選ACD．11．對于直線，下列說法正確的是（）A．直線恒過定點 B．直線斜率必定存在C．時直線的傾斜角為 D．時直線與兩坐標軸圍成的三角形面積為【答案】AD【解析】A：由直線方程知：恒過定點，正確；B：當時，直線斜率不存在，錯誤；C：時有，即則傾斜角為，錯誤；D：時，直線，則x、y軸交點分別為，所以直線與兩坐標軸圍成的三角形面積為，正確；故選AD.12．將正方形沿對角線折成直二面角，有如下四個結論：①；②是等邊三角形；③與平面所成的角為；④與所成的角為.其中正確的結論有（）A．① B．② C．③ D．④【答案】ABD【解析】取中點，由正方形的性質得：，所以為二面角的平面角，因為二面角是直二面角，所以如圖所示，建立空間直角坐標系Oxyz，設正方形的邊長為，則所以，，，，，因為=0，故，①正確.又，，，所以為等邊三角形，②正確.對于③，為平面的一個法向量，，.因為直線與平面所成的角的取值范圍是，所以與平面所成的角為，故③錯誤.又，因為異面直線所成的角為銳角或直角，所以與所成的角為，故④正確.故選ABD.三、填空題（每小題5分，共計20分）13．在四棱錐中，底面ABCD是正方形，E為PD中點，若=，=，=，則=_____.【答案】【解析】=(+)=+)=+=．故答案為：.14．過點且與直線平行的直線方程為_______.【答案】【解析】設與直線平行的直線為，因為點在直線上,所以，可得：，所以該直線方程為：，故答案為：.15．已知長方體中，，，，為的中點，則點到平面的距離為________．【答案】【解析】以為坐標原點，射線、、依次為、、軸，建立空間直角坐標系，則點，2，，，0，，，0，，，4，，從而，0，，，2，，，4，，設平面的法向量為，，，由可得，令，所以點到平面的距離為：．故答案為：．16．已知為坐標原點，拋物線：()的焦點為，為上一點，與軸垂直，為軸上一點，且，若，則的準線方程為______.【答案】【解析】拋物線：()的焦點,∵P為上一點，與軸垂直，所以P的橫坐標為，代入拋物線方程求得P的縱坐標為,不妨設,因為Q為軸上一點，且，所以Q在F的右側，又，因為，所以,，所以的準線方程為，故答案為：.四、解答題：共70分，解答題需寫出必要的解題過程或文字說明.17．（10分）已知直線；.（1）若，求的值；（2）若，且直線與直線之間的距離為，求、的值．【解析】（1）設直線的斜率分別為，則．若，則，，（2）若，則，∴可以化簡為，又直線與直線的距離，或，綜上：.18．（12分）已知動點到點的距離，與點到直線的距離相等.（1）求動點的軌跡方程；（2）若過點且斜率為的直線與動點的軌跡交于，兩點，求線段的長度.【解析】（1）由題意點的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線，，，所以軌跡方程是；（2）由已知直線方程是，設，由得，所以，．19．（12分）如圖，在四棱錐中中，底面，，，，，點為棱的中點.（1）證明：；（2）若為棱上一點，滿足，求線段的長.【解析】（1）底面ABCD，，∴以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，由題意，，，，，，，，.（2），，由點F在棱PC上，設，，，，，解得，即線段的長為.20．（12分）已知圓，點．（1）若點在圓外部，求實數(shù)的取值范圍；（2）當時，過點的直線交圓于，兩點，求面積的最大值及此時直線l的斜率．【解析】（1）根據(jù)題意，圓，即，若在圓外，則有，解得：，即的取值范圍為；（2）當時，圓的方程為，圓心為，半徑，設，則，當時，面積取得最大值，且其最大值為2，此時為等腰直角三角形，圓心到直線的距離，設直線的方程為，即，則有，解得，即直線的斜率．21．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，點M是棱PD上一點，且AB＝BC＝2，AD＝PA＝4．（1）若PM：MD＝1：2，求證：PB∥平面ACM；（2）求二面角A﹣CD﹣P的正弦值；（3）若直線AM與平面PCD所成角的正弦值為，求MD的長．【解析】（1）證明：∵在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，∴以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，∵點M是棱PD上一點，PM：MD＝1：2，AB＝BC＝2，AD＝PA＝4．∴P（0，0，4），A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），M（0，，），＝（2，0，﹣4），＝（2，2，0），＝（0，，），設平面ACM的法向量，則，取x＝2，得（2，﹣2，1），∵4﹣4＝0，PB?平面ACM，∴PB∥平面ACM．（2）D（0，4，0），＝（2，2，﹣4），＝（0，4，﹣4），設平面CDP的法向量（a，b，c），則，取b＝1，得（1，1，1），平面ACD的法向量（0，0，1），設二面角A﹣CD﹣P的平面角為θ，則|cosθ|＝＝，∴二面角A﹣CD﹣P的正弦值為＝．（3）設，（0≤λ≤1），則，∴，，平面CDP的法向量，∵直線AM與平面PCD所成角的正弦值為，∴||＝＝＝，解得λ＝，∴．22．（12分）已知橢圓的右焦點為，上頂點為，離心率為，且．（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓有唯一的公共點，與軸的正半軸交于點，過與垂直的直線交軸于點．