高考總復(fù)習(xí)走向清北課件30數(shù)學(xué)數(shù)列求和

第三十講數(shù)列求和回歸課本n(n1)

n(a1

an)a1(1qn)1.公式法對于等差數(shù)列和等比數(shù)列,在求和時可直接套用它們的前n項

和公式:①等差數(shù)列前n項和公式:Sn=na1+②等比數(shù)列前n項和公式:Sn=.

d

2

2,

q

1,q

1.na1,

1q另外,還有一些常見的求和公式:(1)1+2+3+?+n=(2)1+3+5+?+(2n-1)=n2,(3)12+22+32+?+n2=,n(n1)

2.n(n1)(2n1)

62.倒序相加法一個數(shù)列如果距首末兩項等距離的兩項和相等,那么求這個

數(shù)列的前n項和可用倒序相加法.如等差數(shù)列前n項和公式

的推導(dǎo).3.錯位相減法如果當(dāng)數(shù)列的每一項可分解為兩個因式的乘積,各項的第一

個因子成公差為d的等差數(shù)列,第二個因子成公比為q的等

比數(shù)列,可將此數(shù)列前n項的和乘以公比q,然后錯項相減從而求出Sn.4.拆項分組法把不能直接求和的數(shù)列分解成幾個可以求和的數(shù)列,分別求和.

5.裂項相消法把數(shù)列的每一項變?yōu)閮蓴?shù)之差,以便大部分項能“正”?“負(fù)”

相消,只剩下有限的幾項.裂項時可直接從通項入手,并且要

判斷清楚消項后余下哪些項,常用的裂項公式為:(1)

1

1

1n(n1)

n

n1

1

1

1

1

(2)3n

n!n

1!n!6.并項轉(zhuǎn)化法有時候把兩項并成一項考慮,也可以實現(xiàn)我們的轉(zhuǎn)化目的.通常適用于數(shù)列中各項的符號是正負(fù)間隔的情況.考點陪練1.設(shè)函數(shù)fx

x

ax的導(dǎo)函數(shù)fx

2x1,則數(shù)列n1n1

m)

1f

(n)A.n

n2

B.nN*的前n項和是(

1

1

1

1f

(n)

n(n1)

n

n1

nn1fx

xx1,

n

n1C.

D.

n解析:fx

mxm1

a

2x1,a

1,m

2,,用裂項法求和得Sn

.故選A.答案:A(n∈N*),記數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則使2.已知an=Sn>0的n的最小值為()A.10C.12B.11D.13

32n11

3

11

,0

故f1f2f10

0,即S10

0.

當(dāng)n≥11時,fn

0,a11

f11

0,S11

0.故選B.答案:B3.首項為2,公比為3的等比數(shù)列,從第n項到第N項的和為720,則n,N的值分別為()A.2,6

B.2,7C.3,6

D.3,7解析:由題意知SN-Sn-1=720,

N

n1代入得

13

13解得n=3,N=6,故選C.答案:C4.數(shù)列an

n

n

5等于(的前n項和為S

,若a

,則S

56)A.1B.C.1

1

D.6

30

1n(n1),

1

1

1n(n1)

n

n1解析:

an

1

11

11

15

2

2

3

5

6

6

6答案:B5.(2010·黃岡中學(xué)月考題)化簡Sn=n+(n-1)×2+(n-2)×22+?+2×2n-2+2n-1的結(jié)果是()A.2n+1+n-2C.2n-n-2B.2n+1-n+2D.2n+1-n-2n+(2+22+23+?+2n-1)+2n=-n+

+2n,∴Sn=-

2(1

2

)

1

2

解析:將Sn兩邊同時乘以2,可以得到:2Sn=2n+(n-1)×22+(n-2)×23+?+2×2n-1+2n,與Sn=n+(n-1)×2+(n-2)×22+?+2×2n-2+2n-1兩邊同時相減可得到2Sn-Sn=-n+2n-2+2n=2n+1-n-2.故選D.答案:Dn1類型一公式法求和解題準(zhǔn)備:如果數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列等特殊數(shù)列時,直

接應(yīng)用求和公式求解.

n

n

1

a

n

【典例

】已知數(shù)列,

a

通項6n52(n為奇數(shù)),(n為偶數(shù)),求其前n項和Sn.(16n5)4(14

)

(n1)(3n2)

4(2n1

1)(16n5)4(14

)

n(3n2)

4(2n

1)

[解]當(dāng)n為奇數(shù)時,奇數(shù)項組成以a1=1為首項,公差為12的等差數(shù)列,偶數(shù)項組成

以a2=4為首項,公比為4的等比數(shù)列.;.n2n1

2

n1

2

2

14

2

3

n

2

2

14

2

3Sn

nSn

2類型二分組轉(zhuǎn)化法求和解題準(zhǔn)備:1.有一類數(shù)列,既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列,但

若把數(shù)列的每一項分成多個項或把數(shù)列的項重新組合,就

能轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列.從而可以利用等差、等比

數(shù)列的求和公式解決.這種求和方法叫分組轉(zhuǎn)化法.2.此類問題求解的關(guān)鍵是要分析研究數(shù)列的通項公式.

2

n1

,1

1

1a

a

a

an

1a

a

1

1

a

a

1

a[解]前n項和為

1

1

1

a

a

a

1

1

1

a

a

a

設(shè)S1

1(3n1)n

(3n1)n當(dāng)a

1時,Sn

1

2

n

n1

S

S.;.(3n1)n

2

2

2S2

1473n2

an

1

(3n1)na

a

2當(dāng)a

1時Sn

S1

S2

n[反思感悟]有一類數(shù)列,既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列.若

將這類數(shù)列適當(dāng)拆開,可分為幾個等差?等比或常見的數(shù)列,

即能分別求和,然后再合并.類型三裂項相消法求和解題準(zhǔn)備:1.裂項相消法是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具

體應(yīng)用,其實質(zhì)是將數(shù)列中的某些項分解,然后重新組合,使

之能消去一些項,最終達(dá)到求和的目的.使用的前提,一般地,形如(其中{an}是等差數(shù)列)的2.數(shù)列中的每一項均能分裂成一正一負(fù)兩項,這是裂項相消法數(shù)列可嘗試采用此法.常用的裂項技巧有:1an1an

n(nk)n

nkk

;1

1

1

1

n(n1)

(n1)(n2).(1)(2)(3)(4)1

1

1

1

;(

nk

n);

1

1nk

n

k

1

1

1

1

(2n1)(2n1)

2

2n1

2n1

n(n1)(n2)

2

【典例3】數(shù)列1,1

,1

,1

,,1

1121232

3

3

4

4

4

12008

2

2007

,2008

20081寫出它的通項an,并說明數(shù)列an是等差數(shù)列;

1

an

an2

[分析]準(zhǔn)確寫出an的表達(dá)式,然后用裂項相消法.

n

[

]

1

a

1

1

解,

n

a

1,

.

所以數(shù)列

是首項為

公差為

的等差數(shù)列

n

2

,

2

b

因為

2

n

n1

3

n

n

2

2

.

.n1

2

12

n112(n1)

n

n

n

n

n2

n11因為an1

an

2

2

2

1

2

1

4

1

1

an

an2

(n1)(n3)

n1

n3

所以數(shù)列bn的前n項和為

1111111

1

1

1

2

4

3

5

4

6

11

1

1

2

3

n2

n3類型四錯位相減法求和解題準(zhǔn)備:錯位相減法是推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式時所用

的方法,也是數(shù)列求和中經(jīng)常用到的一種方法.【典例4】已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且a1=2,a1+a2+a3=12.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)令bn=anxn(x∈R).求數(shù)列{bn}的前n項和公式.[分析]用錯位相減法解(2).2x(1

x

)

2nxn1(1

x)

1

x

[解](1)設(shè)數(shù)列{an}公差為d,則a1+a2+a3=3a1+3d=12,∵a1=2,∴d=2,∴an=2n.(2)令Sn=b1+b2+?+bn,則由bn=anxn=2nxn,得Sn=2x+4x2+?+(2n-2)xn-1+2nxn.①xSn=2x2+4x3+?+(2n-2)xn+2nxn+1.②當(dāng)x≠1時,①減去②,得(1-x)Sn=2(x+x2+?+xn)-2nxn+1=.

2x(1

xn)-2nxn+1,

1

x

n∴Sn=

21

n

2

(1

)

2

S

n

n

x

x

nx

綜上可得,

1.

(1

)

1

x

x

x

n(n1),x

1,2

當(dāng)x

1時,Sn

242n

nn

1.【典例1】求數(shù)列1,

2

3

,,

n1

,

n錯源一思維定勢,數(shù)錯項數(shù)

3

4

,2

2

n

n12

2的前n項和Sn.2

2

2

2

21

n

n1n22

2

1

n1

Sn

312

21,.

22nn1

n2

3

n1

n

2

2

2

2

n

n1

2

2

2

2

2

21

1

[錯解]所給數(shù)列的通項公式為an

則Sn

①[剖析]本題的錯誤原因在于乘公比錯位相減后,中間是n-1項

求和,錯當(dāng)成了n項和,對相減后的結(jié)構(gòu)認(rèn)識不清楚或認(rèn)識

模糊.2

2

2

2

22,.n1

n2

3

n1

n

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

2

1

2

2

2

2Sn

3n3

n[正解]所給數(shù)列的通項公式為an

則Sn

①錯源二忽略基本“特征”【典例2】已知兩個等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項和為Sn和Tn,

,

Tn

2n7

b9

.

[錯解]設(shè)Sn=(5n+3)k,Tn=(2n+7)k,則a9=S9-S8=(5×9+3)k-(5×8+3)k=5k.b9=T9-T8=(2×9+7)k-(2×8+7)k=2k.因此[剖析]錯解忽略了等差數(shù)列前n項和公式的基本“特征”.其

實,等差數(shù)列的前n項和是關(guān)于n的二次函數(shù),且常數(shù)項為零.a9b95k

52k

2

[正解]設(shè)Sn=(5n+3)nk,Tn=(2n+7)nk,那么,a9=S9-S8=(5×9+3)×9k-(5×8+3)×8k=88k,b9=T9-T8=(2×9+7)×9k-(2×8+7)×8k=41k,因此.88

41a9b988k41k技法一分類討論思想【典例1】定義“等和數(shù)列”:在一個數(shù)列中,如果每一項與它

的后一項的和都為同一個常數(shù),那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)

列,這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和.已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列,且a1=2,公和為5,那么a18的值為