高考總復(fù)習(xí)走向清北課件26數(shù)學(xué)平面向量的應(yīng)用

第二十六講平面向量的應(yīng)用回歸課本1.向量應(yīng)用的常用結(jié)論(1)兩個向量垂直的充要條件符號表示:a⊥b?a·b=0.坐標(biāo)表示:設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a⊥b?x1x2+y1y2=0.或x1

y

x1

2-x

2y

x2

1=0.y1

y2|a|2

x2

y

(a=(x,y)).

(2)兩個向量平行的充要條件符號表示:若a∥b,b≠0,則a=λb.(x1,y1)=λ(x2,y2),即(3)夾角公式cosθ=(4)模長公式|a|=(5)數(shù)量積性質(zhì)|a?b|≤|a|?|b|.坐標(biāo)表示:設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b

,

ab|a||b

(0

|

°≤θ≤180°).

22.向量應(yīng)用的分類概述(1)應(yīng)用平面向量解決函數(shù)與不等式的問題,是以函數(shù)和不等

式為背景的一種向量描述,它需要掌握向量的概念及基本

運算,并能根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造合適的向量,利用向量的“數(shù)”

?“形”兩重性解決問題.

(2)平面向量與三角函數(shù)的整合,仍然是以三角題型為背景的

一種向量描述,它需要根據(jù)向量的運算性質(zhì)將向量問題轉(zhuǎn)

化為三角函數(shù)的相關(guān)知識來解答,三角知識是考查的主體.(3)平面向量在解析幾何中的應(yīng)用,是以解析幾何中的坐標(biāo)為

背景的一種向量描述,它主要強調(diào)向量的坐標(biāo)運算,將向量

問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)問題,進(jìn)而利用直線和圓錐曲線的位置關(guān)

系的相關(guān)知識來解答,坐標(biāo)的運算是考查的主體.(4)平面向量在平面幾何中的應(yīng)用,是以平面幾何中的基本圖

形(三角形?平行四邊形?菱形等)為背景,重點考查平面向量

的幾何運算(三角形法則?平行四邊形法則)和幾何圖形的

基本性質(zhì).(5)平面向量在物理力學(xué)等實際問題中的應(yīng)用,是以實際問題為背景,考查學(xué)科知識的綜合及向量的方法.注意:(1)在解決三角形形狀問題時,回答要全面?準(zhǔn)確,處理四

邊形問題時,要根據(jù)平行四邊形或矩形?菱形?正方形及梯

形的性質(zhì)處理.(2)用向量處理物理問題時,一般情況下應(yīng)畫出幾何圖形,結(jié)合向量運算與物理實際進(jìn)行解決.考點陪練

(AB

AC),AB

AC

3AM,m

3,選B.)1.(2010

湖北)已知

ABC和點M滿足MAMBMC

0.若存在實數(shù)m使得AB

AC

mAM成立,則m

(A.2

B.3C.4

D.5解析:由MAMBMC

0得點M是

ABC的重心,AM

1

3

答案:B)

32

33A.2

3B.C.D.

32.(2010

天津)如圖,在

ABC中,AD

AB,BC

3BD,|

AD|1,則AC

AD

(解析:因為AC

BC

BA

3BDBA,所以AC

AD

(

3BDBA)

AD

3BD

ADBA

AD,又AD

AB,所以BA

AD

0,所以AC

AD

3BD

AD,又BD

AD

AB,所以AC

AD

3BD

AD

3(AD

AB)

AD

3AD2

AB

AD

3.答案:D3.

y

2cos

.

,

將

平移

則x

.

2

2

A

y

cos

x

.

2

2

B

y

cos

x

.

2

2

C

y

cos

x

.

2

2

D

y

cos

x

3

6

4

3

4

3

4

3

12

3

12

的圖象按向量a

,2平移后所得圖象的解析式為(

)2

:

y

cos

解析

函數(shù)

平x

2

2

y

cos

移后所得圖象解析式為1

4

6

2

2,

A.

cos

所以選1

3

6

4

x3

x3

4

的圖象按向量a

,2答案:A4.若直線2x-y+c=0按向量a=(1,-1)平移后與圓x2+y2=5相切,則c的值為()A.8或-2C.4或-6B.6或-4D.2或-8解析:直線2x-y+c=0,按a=(1,-1)平移后得直線2(x-1)-(y+1)+c=0,即2x-y-3+c=0,由d=r,得答案:A|c3|

5

5,

得c=8或-2.5.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若B?A.1005C.2010B.1010D.2015解析:由題意知A?B?C三點共線,則a2+a2009=1.=1005×1=1005.故選A.∴S2010=答案:AOB

a

2OA+a2009,且A?OC

三點共線(該直線不過點O),則S2010等于(

)2010(a1

a2010)

2類型一利用向量解決平面幾何問題解題準(zhǔn)備:一般情況下,用向量解決平面幾何問題,要用不共線

的向量表示題目所涉及的所有向量,再通過向量的運算法

則和性質(zhì)解決問題.用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”:①建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題;②通過運算,研究幾何元素之間的關(guān)系,如距離、夾角等問題;③把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.【典例1】如圖,正方形OABC兩邊AB?BC的中點分別為D和E,求∠DOE的余弦值.[分析]把∠DOE轉(zhuǎn)化為向量夾角.OC

CE

OC

CB.AB)

(OC

CB)OA

OC

(AB

OC

OA

CB)12112

2112

4AB,OEAB

CB.OD

OE

(OA[解]解法一:OD

OA

AD

OA

1

2|

|

,

|

|

,

AB

OC

AB

AB

OA

CB

OA

OA

222

|

|

,

|

|

|

|

OD

OE

AB

OD

OA

又

2

2

|

|

AD

|

|

|

|

AB

AB

|

|

,|

|

|

|2.

AB

OE

OD

ODoOE|

|

|

|

4

AB

AB55|

||

|

|

|

OD

OE

OD2

22AB

OC,OA

CB,OAOC,AB

CB,OA

OC

0,AB

CB

0.2

222

1

2

5

2

24

44|

AB|2cosDOE

.解法二:如圖建立直角坐標(biāo)系,設(shè)A(2,0),C(0,2),則D(2,1),E(1,2).

.

4

4(

5)2

5

ODoOE|OD||OE

|OD

OE

2112

4.|OD||OE

|

5.故cosDOE

[反思感悟]利用向量解幾何題,關(guān)鍵是將有關(guān)線段設(shè)為向量,

不同的設(shè)法可出現(xiàn)不同的解法;或者建立平面直角坐標(biāo)系,

用坐標(biāo)法解之.利用向量解平面幾何有時特別方便,但要注

意一點,不宜搞得過難,因為高考在這方面要求不高.類型二向量在解析幾何的應(yīng)用解題準(zhǔn)備:向量與解析幾何結(jié)合的綜合題是高考命題的熱點,

解題的關(guān)鍵是正確把握向量與坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)化和條件的運

用.常見技巧有兩個:一是以向量的運算為切入口;二是結(jié)合

向量的幾何意義及曲線的有關(guān)定義作轉(zhuǎn)化.【典例2】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點P到兩點

的距離之和等于4,設(shè)點P的軌跡為C,直線y=kx+1與C交于

A,B兩點.(1)寫出C的方程;(2)若(3)若點A在第一象限,證明:當(dāng)k>0時,恒有(0,

3),(0,

3)OAOB,求k的值;|OA||OB|.[分析](1)由點P滿足的條件列出等式,化簡可得C的方程;(2)由這是解題的突破口;OAOBOA

OB

0,(3)證明的關(guān)鍵是寫出

|OA|2

|OB|

,

2再結(jié)合題的條件即可求證.它的短半軸故曲線C的方程為x2+[解](1)設(shè)P(x,y),由橢圓定義可知,點P的軌跡C是以

(0,

3),(0,

3)為焦點,長半軸為2的橢圓.b

22

(

3)2

1,y2

41.

2

y22設(shè)Ax1

1

2

2,其坐標(biāo)滿足,y

,Bx

,y整理,得k

4x

2kx3

0,故x1

2

2xx1

2

2k

4

2

2

2所以k

.x3.

x

1,

4

y

kx1,2

2

2k

k

4

3

3k2

2k2k

4

k

4

k

4

1

2消去y并

,若OAOB,則x1x2

y1y2

0.

21

0,化簡得4k2

1

0,3證明:|OA||OB|

(x

y

)(x

y

)k

42

2

2

2

21

1

2

22

2

22.

3x1

x2x1

x2

6k(x1

x2)

2

A在第一象限,故x1

0.

3

k

4

又k

0,故|OA|2

|OB|2

0.即在題設(shè)條件下,恒有|OA||OB|.類型三向量在物理中的應(yīng)用解題準(zhǔn)備:用向量知識研究物理問題的基本思想和方法是:(1)

認(rèn)真分析物理現(xiàn)象,深刻把握物理量之間的相互關(guān)系;(2)通

過抽象?概括,把物理現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為與之相關(guān)的向量問題;(3)

利用向量知識解決這個向量問題,并獲得這個向量的解;(4)

利用這個結(jié)果,對原物理現(xiàn)象作出合理解釋.即用向量知識

圓滿解決物理問題.【典例3】一條河的兩岸平行,河寬為d

km,一艘船從A處出發(fā)航行到對岸,已知船航行的速度為|v1|

km/h,水流速度為|v2|km/h.要使船抵達(dá)B的上游C處且BC=d

km,若取|v1|=10,|v2|=4,d=2,則用時多少?[解]作出位移平行四邊形AGCF,如圖所示,則CF=AG=|tv2|,在Rt△ABF中,d2+(d+t|v2|)2=t2|v1|2,即(|v1|2-|v2|2)t2-2d|v2|t-2d2=0,把d=2,|v1|=10,|v2|=4代入上式,得84t2-16t-8=0,解得t≈0.418(h).類型四向量在三角形中的應(yīng)用解題準(zhǔn)備:平面向量與解三角形的綜合題是高考中的一個熱

點.其解題的基本思路是:(1)在這些問題中,平面向量實際上主要呈現(xiàn)為敘述問題的一

種語言或者工具,其考查要求并不高,解題時要綜合利用平

面向量的幾何意義等將題中的條件翻譯成簡單的數(shù)學(xué)問題

.(2)在解題時,既要考慮三角形中的邊角關(guān)系性質(zhì)的應(yīng)用;又要

考慮向量的工具性作用,如利用向量的模與數(shù)量積轉(zhuǎn)化邊

長與夾角問題;還要注意三角形中邊角的向量關(guān)系式的表

示形式.【典例4】已知

ABC的面積S滿足

3≤S≤3,且AB

BC

6,

設(shè)AB與BC的夾角為.

1求的取值范圍;2求函數(shù)f

sin2

2sincos

3cos2的最小值.

≤≤

..12

33

6cos|

AB||

BC

|

sin

3tan,AB

BC

6,|

AB|

|

BC

|

cos

6,|

AB|

|

BC

|[解]1又

S

3≤3tan≤3,即

6

4≤tan≤1,又

(0,),,

,

時,fmin

3.

3

4

42

7

3

4

12

4

2

2

,

,得2

,

4

6

4

3

2當(dāng)2

[反思感悟]三角形的三邊可與三個向量對應(yīng),這樣就可以利用

向量的知識來解三角形了,解決此類問題要注意內(nèi)角與向

量的夾角之間的聯(lián)系與區(qū)別,還要注意向量的數(shù)量積與三

角形面積公式之間關(guān)系的應(yīng)用.類型五向量在函數(shù)不等式中的應(yīng)用解題準(zhǔn)備:借助向量的坐標(biāo)表示,將已知條件實數(shù)化并轉(zhuǎn)化為

函數(shù)問題,利用函數(shù)的性質(zhì)解之.向量主要是通過模與不等

式聯(lián)系起來,常用的工具有均值不等式及|a·b|≤|a|·|b|.【典例5】設(shè)0<|a|≤2且函數(shù)f(x)=cos2x-|a|sinx-|b|的最大值為0,最小值為-4,且a與b的夾角為45°,求|a+b|.[分析]由于已知<a,b>=45°,故可求出|a|、|b|后再求|a+b|.時,

a

b

1

0;|a|1

2

2

4

22

2

40

a

≤2,當(dāng)sinx

當(dāng)sinx

1時,

a

b

4.

1由4

|b|

2.

2[反思感悟]由于已知f(x)的最值,故可結(jié)合二次函數(shù)的最值確

定|a|與|b|的大小,再結(jié)合<a,b>=45°,可求出|a+b|.本題充

分體現(xiàn)了函數(shù)與不等式思想在向量中的應(yīng)用.錯源一錯誤地認(rèn)為|a?b|=|a||b|【典例1】已知向量a,b,試比較|a?b|與|a||b|的大小.[錯解]|a?b|=|a||b|.[剖析]設(shè)向量a與b的夾角為θ.則a?b=|a||b|cosθ.(1)當(dāng)a⊥b時,θ=90°,a?b=0,所以|a?b|=0,但|a||b|>0,故有|a?b|<|a||b|;(2)當(dāng)a與b同向或反向時,cos0°=1,cos180°=-1,有|a?b|=|a||b|;(3)當(dāng)夾角θ為銳角或鈍角時,|a?b|=||a||b|cosθ|,|cosθ|<1,故有|a?b|<|a||b|.[正解]綜合上述可知,|a?b|≤|a||b|.錯源二“共線”運用出錯【典例2】如圖,半圓的直徑AB=2,O為圓心,C是半圓上不同于A,B的任意一點,若P為半徑C上的動點,則最小值是________.)(PAPB

的PC12|

PO||

PC

|AB

1,[錯解]

點O是AB的中點,PA

PB

2PO,

設(shè)|

PC

|

x0≤x≤1,則2PO

PC

2

11

2

2當(dāng)x

0或x

1時,上式有最小值0.[剖析]本題的錯誤在于忽視向量的方向,導(dǎo)致了計算上的失誤一定要看清方向..向量

PO,PC

雖然共線,但其方向相反,所以向量運算時,

[正解]

點O是AB的中點,PA

PB

2PO,

設(shè)|

PC

|

x,則|

PO|1x0≤x≤1,(PA

PB)

PC

2PO

PC

2

1

2

2

11

2

212[答案]技法一整體思想【典例1】如圖所示,在Rt

ABC中,已知BC

a,若長為2a的線

段PQ以點A為中點,問PQ與BC的夾角取何值時,BP

CQ的

值最大?并求出這個最大值.[解題切入點]解答本題的關(guān)鍵是要結(jié)合圖形,利用向量的三角

形法則找出向量之間的關(guān)系;或建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,利用向

量的坐標(biāo)形式來解答.[解]以直角頂點A為坐標(biāo)原點,兩直角邊所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)B(b,0),C(0,c),所以b2+c2=a2,設(shè)P點坐標(biāo)為(x,y),則Q點坐標(biāo)為(-x,-y),且x2+y2=a2,(

,

),

(

2a

cos

2bx

2cy

2

,

,

2

),

BC

b

c

PQ

x

y

BC

PQ