材料力學(xué)：第四章 彎曲內(nèi)力

材料力學(xué)第四章彎曲內(nèi)力2022年11月8日§4-1

基本概念及工程實(shí)例§4-4剪力方程和彎矩方程·剪力圖和彎矩圖§4-3

梁的剪力和彎矩§4-6

平面剛架和曲桿的內(nèi)力圖

§4-5

剪力、彎矩與分布荷載集度間的關(guān)系第四章彎曲內(nèi)力§4-2

受彎桿件的簡(jiǎn)化一.工程實(shí)例§4-1基本概念及工程實(shí)例工廠廠房的天車(chē)大梁：FF4.1

彎曲概念和實(shí)例火車(chē)的輪軸：FFFF4.1

彎曲概念和實(shí)例樓房的橫梁：陽(yáng)臺(tái)的挑梁：4.1

彎曲概念和實(shí)例2.平面彎曲：幾何特點(diǎn)：梁有一個(gè)縱向?qū)ΨQ面受力特點(diǎn)：外力作用在對(duì)稱面內(nèi)變形特點(diǎn)：梁的軸線變形后成為對(duì)稱面內(nèi)的平面曲線

二、梁的基本概念1、梁以彎曲變形為主的桿件4.1

彎曲概念和實(shí)例AB對(duì)稱軸縱向?qū)ΨQ面梁變形后的軸線與外力在同一平面內(nèi)梁的軸線RAF1F2RB4.1

彎曲概念和實(shí)例3.支座的簡(jiǎn)化1.梁的簡(jiǎn)化通常取梁的軸線來(lái)代替梁。2.載荷的簡(jiǎn)化集中力集中力偶分布載荷

可動(dòng)鉸支座FAAAAA4.2

受桿件的簡(jiǎn)化§4-2受彎桿件的簡(jiǎn)化固定鉸支座固定端支座AAAFAyAFAxFyFxM4.2

受桿件的簡(jiǎn)化懸臂梁簡(jiǎn)支梁外伸梁4.靜定梁的基本形式4.2

受桿件的簡(jiǎn)化一、內(nèi)力計(jì)算引例已知如圖，F(xiàn)，a，l.

求距A端x處截面上內(nèi)力.解:求支座反力BAalFRAXARBABF§4-3梁的剪力和彎矩求內(nèi)力——截面法彎曲構(gòu)件內(nèi)力剪力彎矩MRAXARBABFmmxRAFSCFRBFSCM4.3

剪力和彎矩FSdxmmFS+1、剪力符號(hào)使dx

微段有左端向上而右端向下的相對(duì)錯(cuò)動(dòng)時(shí),橫截面m-m

上的剪力為正?；蚴筪x微段有順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)的剪力為正.二、內(nèi)力的符號(hào)規(guī)定使dx微段有左端向下而右端向上的相對(duì)錯(cuò)動(dòng)時(shí)，橫截面m-m上的剪力為負(fù).或使dx微段有逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)的剪力為負(fù).dxmmFSFS-4.3

剪力和彎矩

當(dāng)dx

微段的彎曲下凸（即該段的下半部受拉）時(shí)，橫截面m-m上的彎矩為正；2、彎矩符號(hào)mm+（受拉）MM

當(dāng)dx

微段的彎曲上凸（即該段的下半部受拉壓）時(shí)，橫截面m-m

上的彎矩為負(fù)mm（受壓）MM-4.3

剪力和彎矩解(1)求梁的支反力RA

和RB例題1圖示梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖。已知F1、F2，且F2>F1

，

尺寸a、b、c和l亦均為已知.試求梁在E

點(diǎn)處橫截面處

的剪力和彎矩.RBBEDAabclCF1F2RA4.3

剪力和彎矩記E

截面處的剪力為FSE

和彎矩

ME，且假設(shè)FSE

和彎矩ME

的指向和轉(zhuǎn)向均為正值.解得RBBEDAabclCF1F2RAMEAECFSERAF1a4.3

剪力和彎矩取右段為研究對(duì)象解得RBBEDAabclCF1F2RARBb-cDl-cBEFSEF2ME4.3

剪力和彎矩左上右下剪力為正三、計(jì)算規(guī)律1、剪力左順右逆彎矩為正。2、彎矩4.3

剪力和彎矩1.2kN/m0.8kNAB1.5m1.5m3m2m1.5m1122例2.梁1-1、2-2截面處的內(nèi)力。解：確定支座反力RARB1-1截面左段右側(cè)截面：2--2截面右段左側(cè)截面：4.3

剪力和彎矩解例題3求圖示梁中指定截面上的剪力和彎矩.(1）求支座反力RA=4kNRB=-4kNC12m(2）求1-1截面的內(nèi)力(3）求2-2截面的內(nèi)力B1m2.5m10kN.mAC12RARB4.3

剪力和彎矩FS=FS(x)M=M(x)一、剪力方程和彎矩方程

用函數(shù)關(guān)系表示沿梁軸線各橫截面上剪力和彎矩的變化規(guī)律，分別稱作剪力方程和彎矩方程.1、剪力方程2、彎矩方程§4-4

剪力方程和彎矩方程·剪力圖和彎矩圖彎矩圖為正值畫(huà)在x軸上側(cè)，負(fù)值畫(huà)在x軸下側(cè)二、剪力圖和彎矩圖剪力圖為正值畫(huà)在x軸上側(cè)，負(fù)值畫(huà)在x軸下側(cè)

以平行于梁軸的橫坐標(biāo)x表示橫截面的位置，以縱坐標(biāo)表示相應(yīng)截面上的剪力和彎矩.這種圖線分別稱為剪力圖和彎矩圖xFs(x)Fs圖的坐標(biāo)系OM

圖的坐標(biāo)系xOM(x)4.4

剪力圖和彎矩圖例題4如圖所示的懸臂梁在自由端受集中荷載F作用,試作此梁的剪力圖和彎矩圖.BAFlx解

坐標(biāo)如圖，梁的剪力方程和彎矩方程為FSxFFlxM4.4

剪力圖和彎矩圖4.4

剪力圖和彎矩圖lqRARBABx(2）列剪力方程和彎矩方程.例題5圖示的簡(jiǎn)支梁,在全梁上受集度為q的均布荷載用.試作此梁的的剪力圖和彎矩圖.解(1)求支反力+ql/2ql/2BlqRAAxRB+l/2剪力為零處彎矩值最大,受力對(duì)稱，剪力圖反對(duì)稱，彎矩圖正對(duì)稱。4.4

剪力圖和彎矩圖解(1)求梁的支反力例題6圖示的簡(jiǎn)支梁在C點(diǎn)處受集中荷載

P作用.試作此梁的剪力圖和彎矩圖.lFABCabRARB因?yàn)锳C段和CB段的內(nèi)力方程不同，所以必須分段寫(xiě)剪力方程和彎矩方程.將坐標(biāo)原點(diǎn)取在梁的左端4.4

剪力圖和彎矩圖集中力作用處，剪力值(圖)有突變

.突變

值等于集中力F，彎矩圖形成尖角，該處彎矩值最大.xxlFABCabRARB++4.4

剪力圖和彎矩圖思考：移動(dòng)荷載F

移動(dòng)到什么位置，梁有最大彎矩？ABFlx4.4

剪力圖和彎矩圖解

求梁的支反力例題7圖示的簡(jiǎn)支梁在C點(diǎn)處受矩為m的集中力偶作用.試作此梁的的剪力圖和彎矩圖.將坐標(biāo)原點(diǎn)取在梁的左端，列出剪力方程和彎矩方程：RBlABCabRAm4.4

剪力圖和彎矩圖AC段CB段彎矩方程RBxxlABCabRAm(2)剪力方程(3)FS+M梁上集中力偶作用處的彎矩值(圖)發(fā)生突變，其突變值等于集中力偶矩的數(shù)值.此處剪力圖沒(méi)有變化.4.4

剪力圖和彎矩圖ABC平面剛架是由在同一平面內(nèi)，不同取向的桿件，通過(guò)桿端相互剛性連結(jié)而組成的結(jié)構(gòu).☆平面剛架的內(nèi)力圖彎矩圖畫(huà)在各桿的受壓側(cè)，不注明正，負(fù)號(hào).剪力圖及軸力圖可畫(huà)在剛架軸線的任一側(cè)(通常正值畫(huà)在

剛架的外側(cè)).注明正，負(fù)號(hào).2、內(nèi)力圖符號(hào)的規(guī)定1、平面剛架的內(nèi)力剪力；彎矩；軸力。4.6

平面曲桿的彎曲內(nèi)力例題8圖示為下端固定的剛架.在其軸線平面內(nèi)受集中力F1

和F2

作用，作此剛架的彎矩圖和軸力圖.alF1F2ABC解：將剛架分為CB，AB

兩段CB

段FN(x)=0M(x)=-F1x(0x

a)FS(x)=F1(+)(0<x

<a)M(x)FN(x)FS(x)CxF1xalF1F2ABCFS(x)CBaF1F2FN(x)M(x)xBA

段FN(x)=F1（—）

(0x

l)M(x)=-F1a=-F2

x

(0x

l)FS(x)=F2(+)(0<x<l)CB段FN(x)=0

BA段FN(x)=F1（—）FN圖F1|CalF1F2ABCB段BA段FS(x)=F2(+)FS(x)=F1(+)Fs圖F1+F2+CalF1F2ABM圖F1aF1aF1a+F2lCB段

M(x)=F1x(0x

a)BA段

M(x)=-F1a=-F2

x

(0x

l)水平段的畫(huà)法同直梁相同，豎直段只需順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)90o就與直梁相同。Ca1.5aFFABxyFaFa0.5Fa例4.9

作圖示剛架的彎矩圖。解：彎矩圖如圖所示。設(shè)梁上作用有任意分布荷載其集度一、彎矩、剪力與分布荷載集度間的微分關(guān)系q=q(x)規(guī)定

q(x)向上為正.將x軸的坐標(biāo)原點(diǎn)取在梁的左端.xyq(x)Fm§4-5

剪力、彎矩與分布荷載集度間的關(guān)系xyq(x)FmFs(x)M(x)Fs(x)+dFs(x)M(x)+dM(x)假想地用坐標(biāo)為x

和x+dx的兩橫截面m-m和n-n從梁中取出dx

一段.mmnnq(x)Cx+dx

截面處則分別為

FS(x)+dFS(x),M(x)+dM(x).由于dx很小，略去q(x)

沿dx的變化.m-m截面上內(nèi)力為FS(x),M(x)xmmnn

dx4.5

q、Q、M

的關(guān)系Fs(x)M(x)Fs(x)+dFs(x)M(x)+dM(x)mmnnq(x)C寫(xiě)出平衡方程得到

略去二階無(wú)窮小量即得4.5

q、Q、M

的關(guān)系討論：1、梁上無(wú)荷載區(qū)段，即

q(x)=0剪力圖為一條水平直線.彎矩圖為一斜直線.xFs(x)OxOM(x)OM(x)x4.5

q、Q、M

的關(guān)系M(x)圖為二次拋物線.FS(x)圖為斜直線.2、q(x)=C（常數(shù)）xOM(x)q(x)<0q(x)>0xOM(x)盾對(duì)著矛4.5

q、Q、M

的關(guān)系3、梁上最大彎矩Mmax可能發(fā)生在FS(x)=0的截面上;或發(fā)生在集中力所在的截面上；或集中力偶作用處；最大剪力可能發(fā)生在集中力所在的截面上；或分布載荷發(fā)生變化的區(qū)段上.4、在集中力作用處剪力圖有突變，其突變值等于集中力的值.彎矩圖有轉(zhuǎn)折.5、在集中力偶作用處彎矩圖有突變，其突變值等于集中力偶的值，但剪力圖無(wú)變化.4.5

q、Q、M

的關(guān)系二、分布荷載集度、剪力和彎矩之間的積分關(guān)系若在a和b

兩個(gè)橫截面之間無(wú)集中力，則abq(x)4.5

q、Q、M

的關(guān)系若橫截面A,B

間無(wú)集中力偶作用則得abq(x)4.5

q、Q、M

的關(guān)系三、快速作圖法微分關(guān)系定性積分關(guān)系定量輔以突變規(guī)律4.5

q、Q、M

的關(guān)系例題9一簡(jiǎn)支梁受兩個(gè)力F作用，如圖所示。有關(guān)尺寸如圖所示.試用本節(jié)所述關(guān)系作此梁的剪力圖和彎矩圖.解求梁的支反力畫(huà)剪力圖和彎矩圖FFaaCDAB+F.aM+FFFS4.5

q、Q、M

的關(guān)系例題10一簡(jiǎn)支梁受均布荷載作用，其集度q=100kN/m,如圖

所示。試用簡(jiǎn)易法作此梁的剪力圖和彎矩圖。

解梁的支反力RARBEqABCD0.21.612+80kN80kNFSkN.m+161648M畫(huà)剪力圖和彎矩圖4.5

q、Q、M

的關(guān)系FFaaCDABaRARB例題11一簡(jiǎn)支梁受力如圖

所示，試用簡(jiǎn)易法作此梁的剪力圖和彎矩圖.

解：支反力為

-+++-結(jié)構(gòu)對(duì)稱、受力反對(duì)稱，則剪力圖正對(duì)稱，彎矩圖反對(duì)稱。

4.5

q、Q、M

的關(guān)系A(chǔ)B2/3qa21/3qa2CD1/3qa2++-ABqaaaaCDqa22/3qa1/3qaAB+2/3qa1/3qaCD-例12：利用微分關(guān)系畫(huà)剪力彎矩圖4.5

q、Q、M

的關(guān)系A(chǔ)Ba/2--+qaCqaAB5/4qa2qa2qa2C

-例13：利用微分關(guān)系快速畫(huà)剪力彎矩圖qaqa22qaaACBqa4.5

q、Q、M

的關(guān)系1.41例14：外伸梁AB承受荷載如圖所示，作該梁的FS—M圖。解：1、求支反力2、判斷各段