材料力學(xué)：第三章 扭轉(zhuǎn)

Tuesday,November8,2022材料力學(xué)第三章扭轉(zhuǎn)第三章扭轉(zhuǎn)

§3-1

扭轉(zhuǎn)的概念和實例

§3-2扭轉(zhuǎn)內(nèi)力的計算

§3-3薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)

§3-4圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力分析及強度條件§3-5

圓桿在扭轉(zhuǎn)時的變形·剛度條件§3-6密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形

§3-7非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)一、工程實例§3-1

扭轉(zhuǎn)的概念及實例1、螺絲刀桿工作時受扭。第三章扭轉(zhuǎn)3.1

扭轉(zhuǎn)概念與實例2、汽車方向盤的轉(zhuǎn)動軸工作時受扭。第三章扭轉(zhuǎn)3.1

扭轉(zhuǎn)概念與實例3、機器中的傳動軸工作時受扭。第三章扭轉(zhuǎn)3.1

扭轉(zhuǎn)概念與實例MeMe

二、受力特點

桿件的兩端作用兩個大小相等、方向相反、且作用平面垂直于桿件軸線的力偶.三、變形特點桿件的任意兩個橫截面都發(fā)生繞軸線的相對轉(zhuǎn)動.第三章扭轉(zhuǎn)3.1

扭轉(zhuǎn)概念與實例一、外力偶矩的計算已知傳動構(gòu)件的轉(zhuǎn)速與所傳遞的功率，計算軸所承受的扭力矩。電機聯(lián)軸器功率：力偶矩：角速度§3-2

扭轉(zhuǎn)的內(nèi)力計算第三章扭轉(zhuǎn)3.2

扭轉(zhuǎn)的內(nèi)力計算功率用馬力(PS)表示，則第三章扭轉(zhuǎn)3.2

扭轉(zhuǎn)的內(nèi)力計算Me在n–n截面處假想將軸截開取左側(cè)為研究對象二、內(nèi)力的計算1、求內(nèi)力截面法TMeMe第三章扭轉(zhuǎn)3.2

扭轉(zhuǎn)的內(nèi)力計算Mex??nnMeMe?xTMe?xT

采用右手螺旋法則,當力偶矩矢的指向背離截面時扭矩為正，反之為負.2、扭矩符號的規(guī)定3、扭矩圖Tx+_第三章扭轉(zhuǎn)3.2

扭轉(zhuǎn)的內(nèi)力計算Me4ABCDMe1Me2Me3n例題1一傳動軸如圖所示，其轉(zhuǎn)速n=300r/min，主動輪A輸入的功率為P1=36kW.若不計軸承摩擦所耗的功率，三個從動輪輸出的功率分別為P2=11kW、P3=11kW及P4=14kW.試做扭矩圖.第三章扭轉(zhuǎn)3.2

扭轉(zhuǎn)的內(nèi)力計算解:計算外力偶矩Me4ABCDMe1Me2Me3n第三章扭轉(zhuǎn)3.2

扭轉(zhuǎn)的內(nèi)力計算計算各段扭矩ABCD

Me1Me3Me222BCxMe2Me3T2Me4Me2x11Me4T333第三章扭轉(zhuǎn)3.2

扭轉(zhuǎn)的內(nèi)力計算ABCDMe4Me1Me3Me2作出扭矩圖350N·m700N·m446N·m+_從圖可見，最大扭矩在CA段內(nèi).第三章扭轉(zhuǎn)3.2

扭轉(zhuǎn)的內(nèi)力計算一、薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的切應(yīng)力dxx

Me

Me1.實驗現(xiàn)象①圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改變，只是繞軸線作了相對轉(zhuǎn)；②各縱向線均傾斜了同一微小角度；③所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形.§3-3

純剪切概念第三章扭轉(zhuǎn)3.3

純剪切概念2、推論橫截面上無正應(yīng)力，只有切應(yīng)力；切應(yīng)力方向垂直半徑或與圓周相切.dxt3）圓周各點處切應(yīng)力的方向于圓周相切，且數(shù)值相等，近似的認為沿壁厚方向各點處切應(yīng)力的數(shù)值無變化.MeMeABDC第三章扭轉(zhuǎn)3.3

純剪切概念此式為薄壁筒扭轉(zhuǎn)時橫截面上切應(yīng)力的計算公式.3、推導(dǎo)公式薄壁筒扭轉(zhuǎn)時橫截面上的切應(yīng)力均勻分布，與半徑垂直，指向與扭矩的轉(zhuǎn)向一致.Tττ第三章扭轉(zhuǎn)3.3

純剪切概念xdydzdxyz二、切應(yīng)力互等定理ττ

在單元體左、右面（桿的橫截面）上只有切應(yīng)力，其方向于y

軸平行.可知，兩側(cè)面的內(nèi)力元素

dy

dz

大小相等，方向相反，將組成一個力偶。由平衡方程第三章扭轉(zhuǎn)3.3

純剪切概念xydydzzdxττ要滿足平衡方程在單元體的上、下兩平面上必有大小相等，指向相反的一對內(nèi)力元素它們組成力偶，與其平衡?？傻玫谌屡まD(zhuǎn)3.3

純剪切概念單元體兩個相互垂直平面上的切應(yīng)力同時存在，且大小相等，都指相（或背離）兩平面的交線.單元體平面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力，則稱為純剪切單元體.MeMel式中，r

為薄壁圓筒的外半經(jīng).三、剪切胡克定律由圖所示的幾何關(guān)系得到薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)試驗發(fā)現(xiàn)，當外力偶Me

在某一范圍內(nèi)時，與Me

（在數(shù)值上等于

T

）成正比.第三章扭轉(zhuǎn)3.3

純剪切概念彈性模量E，剪切彈性模量G與泊松比μ的關(guān)系TO從T與

之間的線性關(guān)系，可推出與

間的線性關(guān)系.該式稱為材料的剪切胡克律.G–剪切彈性模量O第三章扭轉(zhuǎn)3.3

純剪切概念四、剪切應(yīng)變能對處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)的單元體(圖a)，為計算其上的外力所作功dW可設(shè)左側(cè)面不動，此時的切應(yīng)力t僅發(fā)生在豎直平面內(nèi)而只有右側(cè)面上的外力tdydz在相應(yīng)的位移gdx上作功。第三章扭轉(zhuǎn)3.3

純剪切概念于是，當材料在線彈性范圍內(nèi)工作時(t≤tp，見圖b)，有第三章扭轉(zhuǎn)3.3

純剪切概念純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度為由剪切胡克定律t=Gg，該應(yīng)變能密度的表達式可寫為第三章扭轉(zhuǎn)3.3

純剪切概念1、變形現(xiàn)象

1)軸向線仍為直線，且長度不變；

2)橫截面仍為平面且與軸線垂直；一、變形幾何關(guān)系

3)徑向線保持為直線，只是繞軸線旋轉(zhuǎn).2、平面假設(shè)變形前為平面的橫截面，變形后仍保持為平面.§3-4

圓桿扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力分析·強度條件第三章扭轉(zhuǎn)3.4

圓桿的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強度條件4、幾何關(guān)系Raa'd第三章扭轉(zhuǎn)3.4

圓桿的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強度條件3、推論：橫截面上只有切應(yīng)力，切應(yīng)力方向垂直于半徑.同一圓周上各點剪應(yīng)力

均相同，且其值與成正比，

與半徑垂直.二、物理關(guān)系由剪切胡克定律第三章扭轉(zhuǎn)3.4

圓桿的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強度條件rOdAdAρρT三、靜力關(guān)系結(jié)論ρρ代入物理關(guān)系中得到式中：T—橫截面上的扭矩

—求應(yīng)力的點到圓心的距離IP—為橫截面對圓心的極慣性矩第三章扭轉(zhuǎn)3.4

圓桿的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強度條件Wt

稱作抗扭截面系數(shù)，單位為mm3或m3.的計算rOTdAdAρρρmax第三章扭轉(zhuǎn)3.4

圓桿的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強度條件（1）實心圓截面dO極慣性矩和抗扭截面系數(shù)的計算ρdρODdρdρ（2）空心圓截面其中第三章扭轉(zhuǎn)3.4

圓桿的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強度條件1、數(shù)學(xué)表達式四、強度條件2、強度條件的應(yīng)用①強度校核②設(shè)計截面③確定許可核載荷第三章扭轉(zhuǎn)3.4

圓桿的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強度條件ABC解：作軸的扭矩圖MAMBMC22kN·m14kN·m+_分別校核兩段軸的強度例題2

圖示階梯圓軸，AB段的直徑d1=120mm，BC段的直徑

d2=100mm.扭轉(zhuǎn)力偶矩為MA=22kN·m，MB=36kN·m

，MC=14kN·m.已知材料的許用切應(yīng)力[]=80MPa，試校核該軸的強度.因此，該軸滿足強度要求.第三章扭轉(zhuǎn)3.4

圓桿的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強度條件例3已知：傳動軸為無縫鋼管，D=90mm，t=2.5mm，Tmax=1.5kN·m,[t]=60MPa。求：校核軸的強度。解：

計算Wt

切應(yīng)力第三章扭轉(zhuǎn)3.4

圓桿的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強度條件例4已知：同上例。將空心軸改為實心軸。要求與空心軸有相同的強度。Tmax=1.5kN·m。求：實心軸的直徑。解：

比較空心軸與實心軸實心軸截面積1第三章扭轉(zhuǎn)3.4

圓桿的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強度條件

比較空心軸與實心軸實心軸截面積空心軸截面積空心軸與實心軸截面積比1第三章扭轉(zhuǎn)3.4

圓桿的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強度條件1、單位長度扭轉(zhuǎn)角一、扭轉(zhuǎn)變形長為

l

的一段桿兩端面間的相對扭轉(zhuǎn)角BA§3-5

圓桿扭轉(zhuǎn)時的變形·剛度條件第三章扭轉(zhuǎn)3.5

圓桿的扭轉(zhuǎn)變形剛度條件

2、剛度條件—扭轉(zhuǎn)角GIP

稱作抗扭剛度

(o/m)

稱作許可單位長度扭轉(zhuǎn)角第三章扭轉(zhuǎn)3.5

圓桿的扭轉(zhuǎn)變形剛度條件例題5圖示等直桿，已知直徑d=40mm，a=400mm，材料的剪切彈性模量G=80GPa，DB=1°.試求：（1）AD桿的最大切應(yīng)力；（2）扭轉(zhuǎn)角

CA.aa2aM2M3MABCD+M2M3M解：畫扭矩圖計算外力偶矩MDB=CB+DC=1°Tmax=3Me第三章扭轉(zhuǎn)3.5

圓桿的扭轉(zhuǎn)變形剛度條件（1）AD桿的最大切應(yīng)力（2）扭轉(zhuǎn)角

CAaa2aM2M3MABCD+M2M3M第三章扭轉(zhuǎn)3.5

圓桿的扭轉(zhuǎn)變形剛度條件例題6某汽車的主傳動軸是用40號鋼的電焊鋼管制成，鋼管外徑D=76mm，壁厚t=2.5mm，軸傳遞的轉(zhuǎn)矩M=1.98kN·m,材料的許用剪應(yīng)力

[]=100MPa，剪變模量為G=80GPa，軸的許可扭角[′]=2/m.試校核軸的強度和剛度.DdtMM第三章扭轉(zhuǎn)3.5

圓桿的扭轉(zhuǎn)變形剛度條件解：軸的扭矩等于軸傳遞的轉(zhuǎn)矩軸的內(nèi)，外徑之比由強度條件

由剛度條件DdtMM第三章扭轉(zhuǎn)3.5

圓桿的扭轉(zhuǎn)變形剛度條件例題7兩端固定的圓截面桿AB，在截面C處受一個扭轉(zhuǎn)力偶矩M

的作用，如圖所示。已知桿的抗扭剛度

GIP，試求桿兩端的支反力偶矩.CMabABl第三章扭轉(zhuǎn)3.5

圓桿的扭轉(zhuǎn)變形剛度條件解：去掉約束，代之以支反力偶矩這是一次超靜定問題，須建立一個補充方程.ACBMMAMBC截面相對于兩固定端A和B的相對扭轉(zhuǎn)角相等.桿的變形相容條件是CMabABl第三章扭轉(zhuǎn)3.5

圓桿的扭轉(zhuǎn)變形剛度條件CMabABl（1）變形幾何方程（2）由物理關(guān)系建立補充方程解得ACBMMAMB?AC=BC聯(lián)解上述方程第三章扭轉(zhuǎn)3.5

圓桿的扭轉(zhuǎn)變形剛度條件例題8圖

示一長為

l的組合桿，由不同材料的實心圓截面桿和空心圓截面桿組成，內(nèi)外兩桿均在線彈性范圍內(nèi)工作，其抗扭剛度GaIPa

、GbIPb

.當此組合桿的兩端各自固定在剛性板上，并在剛性板處受一對矩為

M

的扭轉(zhuǎn)力偶的作用試求分別作用于內(nèi)、外桿上的扭轉(zhuǎn)偶矩.MMlAB第三章扭轉(zhuǎn)3.5

圓桿的扭轉(zhuǎn)變形剛度條件解：列平衡方程這是一次超靜定問題.變形相容條件是，內(nèi)、外桿的扭轉(zhuǎn)變形應(yīng)相同.變形幾何方程是物理關(guān)系是MMMlABMaMb第三章扭轉(zhuǎn)3.5

圓桿的扭轉(zhuǎn)變形剛度條件聯(lián)解上述方程，得：MbMaMMMlAB第三章扭轉(zhuǎn)3.5

圓桿的扭轉(zhuǎn)變形剛度條件例9(書例3.5)

已知：把軸預(yù)加力偶矩m后與筒焊接，然后解除m。軸和筒的抗扭剛度分別為G1IP1和G2IP2

。解：求：軸和筒的扭矩。設(shè)外力偶矩m撤銷后，軸內(nèi)的扭矩和筒內(nèi)的扭矩為T

。第三章扭轉(zhuǎn)3.5

圓桿的扭轉(zhuǎn)變形剛度條件解出T1T2第三章扭轉(zhuǎn)3.5

圓桿的扭轉(zhuǎn)變形剛度條件彈簧的螺旋角5°,且D>>d,這樣的彈簧稱為密圈螺旋彈簧.推導(dǎo)這種彈簧的應(yīng)力與變形的計算公式.一、彈簧絲橫截面上的應(yīng)力F§3-6

密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形第三章扭轉(zhuǎn)3.6

圓密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形FSTFPF作為近似計算，通常可略去與剪力FS相應(yīng)的

，且D/d

很大時，還可略去簧圈曲率的影響，所以簧桿橫截面上最大切應(yīng)力為2、應(yīng)力的計算為便于分析，將桿的斜度視為0o.1、內(nèi)力的計算第三章扭轉(zhuǎn)3.6

圓密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形FSTFPF第三章扭轉(zhuǎn)3.6

圓密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形當

時，

與1相比，顯然可以省略不計，從而可得：第三章扭轉(zhuǎn)3.6

圓密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形3.修正公式公式修正的原因：（1)當D/d較小,會引起很大的誤差；

（2)假定剪切引起的切應(yīng)力是均勻分布的.式中c為彈簧指數(shù),k為曲度系數(shù),可查教材中的表3.14、強度條件第三章扭轉(zhuǎn)3.6

圓密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形若只考慮簧桿扭轉(zhuǎn)的影響，可得簧桿內(nèi)的應(yīng)變能為二、彈簧的變形

1、直桿扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能第三章扭轉(zhuǎn)3.6

圓密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形3、功能原理Vε=W當彈簧的變形為λ

時，外力所做的功為FFOλλ2、外力做的功c—彈簧剛度第三章扭轉(zhuǎn)3.6

圓密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形例題10某柴油機的氣閥彈簧，簧圈平均半經(jīng)R=59.5mm，簧絲橫截面直徑d=14mm，有效圈數(shù)n=5.材料的[]=350MPa

，G=80GPa彈簧工作是總壓縮變形（包括預(yù)壓變形）為λ=55mm

試校核彈簧的強度.解：求出彈簧所受的壓力F為由R及d求出查表3.1查處彈簧的曲度系數(shù)k=1.17彈簧滿足強度要求.第三章扭轉(zhuǎn)3.6

圓密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形非圓桿，如矩形截面桿扭轉(zhuǎn)后橫截面將發(fā)生翹曲(warping)

而不再是平面.§3-7

非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)第三章扭轉(zhuǎn)3.7

非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的研究方法：彈性力學(xué)的方法研究非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的分類：1、自由扭轉(zhuǎn)（純扭轉(zhuǎn)），2、約束扭轉(zhuǎn)。自由扭轉(zhuǎn)：各橫截面翹曲程度不受任何約束（可自由凹凸），任意兩相鄰截面翹曲程度相同。約束扭轉(zhuǎn)：由于約束條件或受力限制，造成桿各橫截面翹曲程度不同。第三章扭轉(zhuǎn)3.7

非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)1、

橫截面上角點處，切應(yīng)力為零2、

橫截面邊緣各點處，切應(yīng)力//截面周邊3、

橫截面周邊長邊中點處，切應(yīng)力最大矩形截面桿自由扭轉(zhuǎn)時應(yīng)力分布特點bhT第三章扭轉(zhuǎn)3.7

非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)（彈性力學(xué)解）系數(shù)a,b,g與h/b有關(guān)，見教材之表3.2長邊中點t最大矩形截面桿自由扭轉(zhuǎn)時應(yīng)力計算第三章扭轉(zhuǎn)3.7

非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)表3.2矩形截面桿在純扭轉(zhuǎn)時的系數(shù)αβνh/b