傳熱學(xué)教案 第五章 對 流 換 熱

第五章對流換熱1.重點(diǎn)內(nèi)容：

（1）對流換熱及其影響因素；

（2）牛頓冷卻公式；

（3）用分析方法求解對流換熱問題的實(shí)質(zhì)；

（4）邊界層概念及其應(yīng)用；

（5）相似原理；

（6）無相變換熱的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)及換熱量的計(jì)算。2.掌握內(nèi)容：對流換熱及其影響因素；用分析方法求解對流換熱問題的實(shí)質(zhì)。3.了解內(nèi)容：邊界層積分方程的近似解法。在緒論中已經(jīng)指出，對流換熱是發(fā)生在流體和與之接觸的固體壁面之間的熱量傳遞過程，是發(fā)生在流體中的熱量傳遞過程的特例。對流換熱以牛頓冷卻公式為其基本計(jì)算式，即：（5-1a）或?qū)τ诿娣e為的接觸面：（5-1b）其中為換熱面積上的平均溫差。約定及總是取正值，因此及也總是取正值。ol牛頓冷卻公式只是表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)的一個(gè)定義式，沒有揭示出表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)與影響它的有關(guān)物理量之間的內(nèi)在聯(lián)系。研究對流換熱的任務(wù)就是要揭示這種內(nèi)在的聯(lián)系，確定計(jì)算表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)的具體表達(dá)式。由于流體系統(tǒng)中流體的運(yùn)動(dòng)，熱量將主要以熱傳導(dǎo)和熱對流的方式進(jìn)行，這必然使熱量傳遞過程比單純的導(dǎo)熱過程要復(fù)雜得多。本章將在對換熱過程進(jìn)行一般性討論的基礎(chǔ)上，將質(zhì)量守恒、動(dòng)量守恒和能量守恒的基本定律應(yīng)用于流體系統(tǒng)，導(dǎo)出支配流體速度場和溫度場的場方程－對流換熱微分方程組。由于該方程組的復(fù)雜性，除少數(shù)簡單的對流換熱問題可以通過分析求解微分方程而得出相應(yīng)的速度分布和溫度分布之外，大多數(shù)對流換熱問題的分析求解是十分困難的。因此，在對流換熱的研究中常常采用實(shí)驗(yàn)研究的方法來解決復(fù)雜的對流換熱問題。在這一章，將通過方程的無量綱化和實(shí)驗(yàn)研究方法的介紹而得到常用的準(zhǔn)則及準(zhǔn)則關(guān)系式。討論的重點(diǎn)放在工程上常用的管內(nèi)流動(dòng)、平行流過平板以及繞流圓管的受迫對流換熱，大空間和受限空間的自然對流換熱。5-1對流換熱概述一.對流換熱過程的影響因素影響對流換熱的因素不外是影響流動(dòng)的因素及影響流體中熱量傳遞的因素。具體為：1.流體流動(dòng)的起因由于流動(dòng)起因的不同，對流換熱可以區(qū)別為強(qiáng)制對流換熱與自然對流換熱兩大類。（1）強(qiáng)制對流換熱：有泵、風(fēng)機(jī)或其他外部動(dòng)力源的驅(qū)動(dòng)。（2）自然對流換熱：通常是由流體內(nèi)部的密度差所引起。兩種流動(dòng)的成因不同，流體中的速度場也有差別，所以換熱規(guī)律不一樣。2.流體有無相變在流體沒有相變時(shí)對流換熱中的熱量交換是由于流體顯熱的變化而實(shí)現(xiàn)，而在有相變的換熱過程中(如沸騰或凝結(jié))，流體相變熱(潛熱)的釋放或吸收常常起主要作用，因而換熱規(guī)律與無相變時(shí)不同。3.流體的流動(dòng)狀態(tài)流體力學(xué)的研究已經(jīng)查明，粘性流體存在著兩種不同的流態(tài)——層流及湍流。層流時(shí)流體微團(tuán)沿著主流方向作有規(guī)則的分層流動(dòng)，而湍流時(shí)流體各部分之間發(fā)生劇烈的混合，因而在其他條件相同時(shí)湍流換熱的強(qiáng)度自然要較層流強(qiáng)烈。4.換熱表面的幾何因素這里的幾何因素指的是換熱表面的形狀、大小、換熱表面與流體運(yùn)動(dòng)方向的相對位置以及換熱表面的狀態(tài)(光滑或粗糙)。例如，圖5-1（a）所示的管內(nèi)強(qiáng)制對流流動(dòng)與流體橫掠圓管的強(qiáng)制對流流動(dòng)是截然不同的。前一種是管內(nèi)流動(dòng)，屬于所謂內(nèi)部流動(dòng)的范圍；后—種是外掠物體流動(dòng)，屬于所謂外部流動(dòng)的范圍。這兩種不同流動(dòng)條件下的換熱規(guī)律必然是不相同的。在自然對流領(lǐng)域里，不僅幾何形狀，幾何布置對流動(dòng)亦有決定性影響，例如圖5-1（b）所示的水平壁，熱面朝上散熱的流動(dòng)與熱面朝下散熱的流動(dòng)就截然不同，它們的換熱規(guī)律也是不一樣的。5.流體的物理性質(zhì)流體的熱物理性質(zhì)對于對流換熱有很大的影響。以無相變的強(qiáng)制對流換熱為例，流體的密度、動(dòng)力粘度、導(dǎo)熱系數(shù)以及比定壓熱容等都會(huì)影響流體中速度的分布及熱量的傳遞，因而影響對流換熱。內(nèi)冷發(fā)電機(jī)的冷卻介質(zhì)從空氣改成水可以提高發(fā)電機(jī)的出力，就是利用了水的熱物理性質(zhì)有利于強(qiáng)化對流換熱這一事實(shí)。由上述討論可見，影響對流換熱的因素很多，由于流動(dòng)動(dòng)力的不同、流動(dòng)狀態(tài)的區(qū)別、流體有否相變及換熱表面幾何形狀的差別構(gòu)成了多種類型的對流換熱現(xiàn)象，因而表征對流換熱強(qiáng)弱的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)是取決于多種因素的復(fù)雜函數(shù)；以單相強(qiáng)制對流換熱為例，在把高速流動(dòng)排除在外時(shí)，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)可表示為：(5－2)式中是換熱表而的一個(gè)特征長度。二.對流換熱過程的分類

由于對流換熱是發(fā)生在流體和固體界面上的熱交換過程，流體的流動(dòng)和固體壁面的幾何形狀以及相互接觸的方式都會(huì)不同程度影響對流熱交換的效果，由此也構(gòu)成了許許多多復(fù)雜的對流換熱過程。因此，為了研究問題的條理性和系統(tǒng)性，以及更便于把握對流換熱過程的實(shí)質(zhì)，按不同的方式將對流換熱過程進(jìn)行分類。然后再分門別類地進(jìn)行分析處理。

在傳熱學(xué)中對流換熱過程的習(xí)慣性分類方式是:

按流體運(yùn)動(dòng)的起因，可分為自然對流換熱和受迫對流換熱；

按流體與固體壁面的接觸方式，可分為內(nèi)部流動(dòng)換熱和外部流動(dòng)換熱；

按流體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，可分為層流流動(dòng)換熱和紊流流動(dòng)換熱；

按流體在換熱中是否發(fā)生相變或存在多相的情況，可分為單相流體對流換熱和多相流體對流換熱。

紊流流動(dòng)極為普遍，從自然現(xiàn)象看，收獲季節(jié)的麥浪滾滾，旗幟在微風(fēng)中輕輕飄揚(yáng)，都是由空氣的紊流引起的。紊流的運(yùn)動(dòng)服從某種統(tǒng)計(jì)規(guī)律，而不是雜亂無章。香煙的煙在靜止的空氣中上升，可以看到從層流到紊流的轉(zhuǎn)化。紊流會(huì)消耗能量（同摩擦力消耗能量一樣），沒有紊流的世界是不可想象的。如果沒有紊流，把醬油倒進(jìn)湯里，花半小時(shí)醬油才能和湯混合，用湯匙一攪，依靠紊流幾秒鐘它們就混合在一起了。如果沒有紊流的摻混，煙囪濃煙中的有害物質(zhì)將長期積聚，危害人類環(huán)境。

對于實(shí)際的對流換熱過程的，按照上述的分類，總是可以將其歸入相應(yīng)的類型之中。例如，在外力推動(dòng)下流體的管內(nèi)流動(dòng)換熱是屬于受迫內(nèi)部流動(dòng)換熱，可以為層流亦可為紊流，也可以有相變發(fā)生，使之從單相流動(dòng)變?yōu)槎嘞嗔鲃?dòng)；再如，豎直的熱平板在空氣中的冷卻過程是屬于外部自然對流換熱（或稱大空間自然對流換熱），可以為層流亦可為紊流，在空氣中冷卻不可能有相變，應(yīng)為單相流體換熱；但是如果是在飽和水中則會(huì)發(fā)生沸騰換熱，這就是帶有相變的多相換熱過程。

在本章中，將按照上述分類對一些典型的對流換熱過程進(jìn)行分析。具體步驟為，先討論單相流體受迫對流換熱，其中分層流和紊流、管內(nèi)流動(dòng)和掠過平板或管子的外部流動(dòng)，之后討論大空間自然對流換熱。三.對流換熱的研究方法研究對流換熱的方法，即獲得表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)的表達(dá)式的方法，大致有以下四種：(1)分析法；（2)實(shí)驗(yàn)法；(3)比擬法；(4)數(shù)值法。1.分析法：主要是指對描寫某一類對流換熱問題的偏微分方程及相應(yīng)的定解條件進(jìn)行數(shù)學(xué)求解，從而獲得速度場和溫度場的分析解的方法。由于數(shù)學(xué)上的困難，雖然目前只能得到個(gè)別簡單的對流換熱問題的分析解，但分析解能深刻揭示各個(gè)物理量對表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)的依變關(guān)系，而且是評(píng)價(jià)其他方法所得結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)與依據(jù)，因而本書將作適當(dāng)介紹。2.實(shí)驗(yàn)法：通過實(shí)驗(yàn)獲得的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)的計(jì)算式仍是目前工程設(shè)計(jì)的主要依據(jù)，因此是初學(xué)者必須掌握的內(nèi)容。為了減少實(shí)驗(yàn)次數(shù)，提高實(shí)驗(yàn)測定結(jié)果的通用性，傳熱學(xué)的實(shí)驗(yàn)測定應(yīng)當(dāng)在相似原理指導(dǎo)下進(jìn)行?？梢哉f，在相似原理指導(dǎo)下的實(shí)驗(yàn)研究是目前獲得表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)關(guān)系式的主要途徑，也是本章的討論重點(diǎn)。3.比擬法：是指通過研究功量傳遞及熱量傳遞的共性或類似特性，以建立起表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)與阻力系數(shù)間的相互關(guān)系的方法。應(yīng)用比擬法，可通過比較容易用實(shí)驗(yàn)測定的阻力系數(shù)來獲得相應(yīng)的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)的計(jì)算公式。在傳熱學(xué)發(fā)展的早期，這一方法曾廣泛用來獲得湍流換熱的計(jì)算公式。隨著實(shí)驗(yàn)測試技術(shù)及計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展，近年來這—方法已較少應(yīng)用。但是，這一方法所依據(jù)的動(dòng)量傳遞與熱量傳遞在機(jī)理上的類似性，對理解與分析對流換熱過程很有幫助，因而本章仍將作一定介紹。4.數(shù)值法：對流換熱的數(shù)值求解方法在近20年內(nèi)得到了迅速發(fā)展，井將會(huì)日益顯示出其重要的作用。與導(dǎo)熱問題的數(shù)值求解方法相比，對流換熱的數(shù)值求解增加了兩個(gè)難點(diǎn)，即對流項(xiàng)的離散及動(dòng)量方程中的壓力梯度項(xiàng)的數(shù)值處理。這兩個(gè)難點(diǎn)的解決要涉及到很多專門的數(shù)值方法，因而本章將不作介紹，有興趣的讀者可參考有關(guān)文獻(xiàn)。但是對流換熱中的一種常見情況——平直等截面管道中層流充分發(fā)展的對流換熱，因其控制方程為導(dǎo)熱型的方程，已可用讀者現(xiàn)有的知識(shí)求解，所以將在本章的練習(xí)中有所涉及。四.對流換熱微分方程式在分析解法及數(shù)值解法中，求解所得到的直接結(jié)果是流體中的溫度分布。那么，如何從流體中的溫度分布來進(jìn)—步得到表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)呢?下面我們來揭示表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)與流體溫度場之間的關(guān)系。圖5-3壁面附近速度分布示意圖當(dāng)粘性流體在壁面上流動(dòng)時(shí)，由于粘性的作用，在靠近壁面的地方流速逐漸減小，而在貼壁處流體將被滯止而處于無滑移狀態(tài)。換句話說，在貼壁處流體沒有相對于壁面的流動(dòng)，流體力學(xué)中稱為貼壁處的無滑移邊界條件。圖5－3示意性地表示了這種近壁面處流速的變化。貼壁處這—極薄的流體層相對于壁面是不流動(dòng)的，壁面與流體間的熱量傳遞必須穿過這個(gè)流體層，而穿過不流動(dòng)的流體層的熱量傳遞方式只能是導(dǎo)熱。因此，對流換熱量就等于貼壁流體層的導(dǎo)熱量。將傅里葉定律應(yīng)用于貼壁流體層，可得：圖5-3壁面附近速度分布示意圖（5-3）式中：為貼壁處壁面法線方向上的流體溫度變化率；為流體的導(dǎo)熱系數(shù)；為換熱面積。從過程的熱平衡可知，這些通過壁面流體層傳導(dǎo)的熱流量最終是以對流換熱的方式傳遞到流體中去的，將牛頓冷卻公式（5-1a）與上式聯(lián)立，即得以下關(guān)系式：（5-4）式（5-4）稱為換熱微分方程式，它給出了計(jì)算對流換熱壁面上熱流密度的公式，也確定了對流換熱系數(shù)與流體溫度場之間的關(guān)系。它清晰地告訴我們，要求解一個(gè)對流換熱問題，獲得該問題的對流換熱系數(shù)或交換的熱流量，就必須首先獲得流場的溫度分布，即溫度場，然后確定壁面上的溫度梯度，最后計(jì)算出在參考溫差下的對流換熱系數(shù)。所以換熱系數(shù)與流場的溫度分布有關(guān)，因此，它與流速、流態(tài)、流動(dòng)起因、換熱面的幾何因素、流體物性均有關(guān)。所以換熱系數(shù)不是物性參數(shù)。對流換熱問題猶如導(dǎo)熱問題一樣，尋找流體系統(tǒng)的溫度場的支配方程，并力圖求解方程而獲得溫度場是處理對流換熱問題的主要工作。由于流體系統(tǒng)中流體的運(yùn)動(dòng)影響著流場的溫度分布，因而流體系統(tǒng)的速度分布（速度場）也是要同時(shí)確定的，這也就是說，速度場的場方程也必須找出，并加以求解。不幸的是，對于較為復(fù)雜的對流換熱問題，在建立了流場場方程之后，分析求解幾乎是不可能的。此時(shí)，實(shí)驗(yàn)求解和數(shù)值求解是常常被采用的。盡管如此，實(shí)驗(yàn)關(guān)系式的形式及準(zhǔn)則的確定還是建立在場方程的基礎(chǔ)上的，數(shù)值求解的代數(shù)方程組也是從場方程或守恒定律推導(dǎo)得出的。5-2對流換熱問題的數(shù)學(xué)描寫對流換熱問題完整的數(shù)學(xué)描寫包括對流換熱微分方程組及定解條件，前者包括質(zhì)量守恒、動(dòng)量守恒及能量守恒這三大守恒定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式。為了簡化分析，對于影響常見對流換熱問題的主要因素，推導(dǎo)時(shí)作下列簡化假設(shè)：(1)流動(dòng)是二維的；(2)流體為不可壓縮的牛頓型流體；(3)流體物性為常數(shù)、無內(nèi)熱源；(4)粘性耗散產(chǎn)生的耗散熱可以忽略不計(jì)。除高速的氣體流動(dòng)及一部分化工用流體的對流換熱外，對工程中常見的對流換熱問題大都可以作上述假定。二維的假設(shè)僅是為了書寫的簡潔，從二維推廣到三維是很方便的。一.連續(xù)性方程由質(zhì)量守恒定律導(dǎo)出，對于不可壓縮流體，從各方向流入、流出微元體的質(zhì)流量的差值的總和應(yīng)等于零。因?yàn)槭嵌S問題，可以撇開方向，而只考慮圖4-5所示的兩個(gè)方向上的質(zhì)流量的差值。如右圖所示。方向流入的質(zhì)量流量：方向流出的質(zhì)量流量：方向流入的質(zhì)量流量：方向流出的質(zhì)量流量：根據(jù)質(zhì)量守恒，各方向質(zhì)流量差值的總和等于零。于是得：考慮到常物性，上式化為：這就是二維常物性不可壓縮流體的連續(xù)性方程。二.動(dòng)量微分方程由動(dòng)量定理導(dǎo)出，對于如下圖所示流動(dòng)流體的微元體，動(dòng)量守恒可表示如下：作用于微元體表面和內(nèi)部的所有外力的總和，等于微元體中流體動(dòng)量的變化率。也即：質(zhì)量×加速度＝作用力。1.微元體的質(zhì)量×加速度微元體的質(zhì)量×加速度為：方向：方向：2.微元體所受的外力微元體所受的外力，可分為體積力和表面力兩類，令、分別表示單位體積的體積力在、方向的分量，則、方向的體積力為：方向：方向：表面力有垂直于表面的法向應(yīng)力，以及速度變化時(shí)由粘性引起的切向應(yīng)力，如右圖所示，微元體在和方向的表面力為：微元體的表面力用、、等表示時(shí)有以下形式：3.動(dòng)量微分方程和方向上動(dòng)量定理的表達(dá)式可表示為：三.能量微分方程是描述流動(dòng)流體的溫度與有關(guān)物理量的聯(lián)系。在解得速度場后，它是求取流體溫度場的基本微分方程，是根據(jù)能量守恒定律得出的。以右圖所示微元體為研究對象，對于二維問題，根據(jù)熱力學(xué)第一定律，有：由導(dǎo)熱進(jìn)入微元體的熱量＋由對流進(jìn)入微元體的熱量＝微元體中流體的焓增。由導(dǎo)熱微分方程的推導(dǎo)可知，由對流進(jìn)入微元體的熱量的分析可參看右圖，在時(shí)間內(nèi)，由處的截面進(jìn)入微元體的熱量為：由處的截面流出微元體的熱量為：則方向流入微元體的凈熱量為：同理，方向流入微元體的凈熱量為：所以由對流進(jìn)入微元體的熱量為：

在時(shí)間內(nèi)，微元體中流體溫度改變了，其焓增為：將、及代入能量守恒方程得：上式即為對流換熱能量方程，可以指出，流體不流動(dòng)時(shí)，，上式退化為無內(nèi)熱源的導(dǎo)熱微分方程。能量方程中包括對流項(xiàng)，這對于理解對流換熱是對流與導(dǎo)熱兩種基本熱量傳遞方式的聯(lián)合作用是有意義的。流動(dòng)著的流體，除了有導(dǎo)熱的本領(lǐng)之外，還依靠流體的宏觀位移來傳遞熱量。四.對流換熱微分方程組1.對流換熱微分方程組至此，可以把描寫對流換熱的完整微分方程組作一匯總。對于不可壓縮、常物性、無內(nèi)熱源的二維問題，這一微分方程組為：質(zhì)量守恒方程：（5-7）動(dòng)量守恒方程：（5-8）（5-9）能量守恒方程：（5-10）其中、是體積力在、方向的分量。動(dòng)量守恒方程式（5-8）、（5-9）又稱納維－斯托克斯方程，質(zhì)量守恒方程式（5-7）又稱連續(xù)性方程，它們是描寫粘性流體流動(dòng)過程的控制方程，對于不可壓縮粘性流體的層流及湍流流動(dòng)都適用。用于湍流時(shí)，式中的速度、壓力等均為脈動(dòng)物理量的瞬時(shí)值。2.對流換熱的定解條件作為對流換熱問題完整的數(shù)學(xué)描寫還應(yīng)該對定解條件作出規(guī)定，包括初始時(shí)刻的條件及邊界上與速度、壓力及溫度等有關(guān)的條件。以能量守恒方程為例，可以規(guī)定邊界上流體的溫度分布(第一類邊界條件)，或給定邊界上加熱或冷卻流體的熱流密度(第二類邊界條件)。由于獲得表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)是求解對流換熱問題的最終目的，因此一般地說求解對流換熱問題時(shí)沒有第三類邊界條件。但是，如果流體通過一層薄壁與另—種流體發(fā)生熱交換，則另一種流體的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)可以出現(xiàn)在所求解問題的邊界條件中。對流換熱問題的定解條件的數(shù)學(xué)表達(dá)比較復(fù)，這里不再深入討論。但對于對流換熱問題的—種簡化情形—外掠平板的邊界層流動(dòng)，將給出其定解條件的表達(dá)式作為示例。3.對流換熱微分方程組的求解式(5－7)～(5－10)共4個(gè)方程，其中包含了4個(gè)未知數(shù)。雖然方程組是封閉的，原則上可以求解，然而由于納維—斯托克斯方程的復(fù)雜性和非線性的特點(diǎn)，要針對實(shí)際問題在整個(gè)流場內(nèi)數(shù)學(xué)上求解上述方程組卻是非常困難的。這種局面直到1904年德國科學(xué)家普朗特)提出著名的邊界層概念，并用它對納維—斯托克期方程進(jìn)行了實(shí)質(zhì)性的簡化后才有突破，使數(shù)學(xué)分析解得到很大發(fā)展。后來，波爾豪森又把邊界層概念推廣應(yīng)用于對流換熱問題，提出了熱邊界層的概念，使對流換熱問題的分析求解也得到了很大發(fā)展。下—節(jié)首先復(fù)習(xí)邊界層的概念，并把它應(yīng)用于能量微分方程，從而導(dǎo)出邊界層問題的對流換熱微分方程組。5-3對流換熱的邊界層微分方程組一、邊界層的概念邊界層的概念是1914年普朗特提出的。1.速度邊界層（1）定義流體流過固體壁面時(shí)，由于壁面層流體分子的不滑移特性，在流體粘性力的作用下，近壁流體流速在垂直于壁面的方向上會(huì)從壁面處的零速度逐步變化到來流速度，如圖5－5所示。流體流速變化的劇烈程度，即該方向上的速度梯度，與流體的粘性力和速度的大小密切相關(guān)。普朗特通過觀察發(fā)現(xiàn)，對于低粘度的流體，如水和空氣等，在以較大的流速流過固體壁面時(shí)，在壁面上流體速度發(fā)生顯著變化的流體層是非常薄的。因而把在垂直于壁面的方向上流體流速發(fā)生顯著變化的流體薄層定義為速度邊界層，而把邊界層外流體速度變化比較小的流體流場視為勢流流動(dòng)區(qū)域。這樣，引入邊界層的概念之后，流體流過固體壁面的流場就人為地分成兩個(gè)不同的區(qū)域，其一是邊界層流動(dòng)區(qū)，這里流體的粘性力與流體的慣性力共同作用，引起流體速度發(fā)生顯著變化；其二是勢流區(qū)，這里流體粘性力的作用非常微弱，可視為無粘性的理想流體流動(dòng)，也就是勢流流動(dòng)。（2）邊界層厚度邊界層是壁面上方流速發(fā)生顯著變化的薄層，但其邊緣所在的位置是模糊圖5-5邊界層示意圖的。在實(shí)際分析邊界層問題時(shí)通常約定，當(dāng)速度變化達(dá)到主流速度99％的空間位置為速度邊界層的外邊緣，那么從這一點(diǎn)到壁面的距離就是邊界層的厚度，記為。隨著流體流動(dòng)沿方向（主流方向）向前推進(jìn)，邊界層的厚度會(huì)逐步增大。流動(dòng)邊界層薄到什么程度呢？以溫度為20℃的空氣沿平板的流動(dòng)為例，在不同來流速度下，沿平板長度的變化示于圖5-6。由圖可見，相對于平板長度，是一個(gè)比小一個(gè)數(shù)量級(jí)以上的小量。而在這樣小的薄層內(nèi)，流體的速度要從0變化到接近于主流流速，所以流體在垂直于主流方向上的速度變化是十分劇烈的。圖5-5邊界層示意圖圖5-6空氣沿平板流動(dòng)時(shí)邊界層增厚的情況從此式我們不難發(fā)現(xiàn)，要使邊界層的厚度遠(yuǎn)小于流動(dòng)方向上的尺度（即），也就是所說的邊界層是一個(gè)薄層，這就要求雷諾數(shù)必須足夠的大（）。因此，對于流體流過平板，滿足邊界層假設(shè)的條件就是雷諾數(shù)足夠大。由此也就知道，當(dāng)速度很小、黏性很大時(shí)或在平板的前沿，邊界層是難以滿足薄層性條件。圖5-6空氣沿平板流動(dòng)時(shí)邊界層增厚的情況（3）流體外掠平板邊界層的形成和發(fā)展在5-1節(jié)中已指出，流體的流動(dòng)可區(qū)別為層流和湍流兩類。流動(dòng)邊界層在壁面上的發(fā)展過程也顯示出，在邊界層內(nèi)也會(huì)出現(xiàn)層流和湍流兩類狀態(tài)不同的流動(dòng)。圖5-7示出了流體掠過平板時(shí)邊界層的發(fā)展過程。流體以的流速沿平板流動(dòng)。在平板的起始段，很薄。隨著的增加，由于壁面粘滯力的影響逐漸向流體內(nèi)部傳遞，邊界層逐漸增厚，但在某一距離以前會(huì)一直保持層流的性質(zhì)。此時(shí)流體作有秩序的分層流動(dòng)，各層互不干擾。這時(shí)的邊界層稱層流邊界層。沿流動(dòng)方向隨著邊界層厚度的增加，邊界層內(nèi)部粘滯力和慣性力的對比向著慣性力相對強(qiáng)大的方向變化，促使邊界層內(nèi)的流動(dòng)變得不穩(wěn)定起來。自距前緣處起，流動(dòng)朝著湍流過渡，最終過渡為旺盛湍流。此時(shí)流體質(zhì)點(diǎn)在沿方向流動(dòng)的同時(shí)，又作著紊亂的不規(guī)則脈動(dòng)，故稱湍流邊界層。邊界層開始從層流向湍流過渡的距離由臨界雷諾數(shù)確定。對掠過平板的流動(dòng)，根據(jù)來流湍流度的不同而在到之間。來流擾動(dòng)強(qiáng)烈、壁面粗糙時(shí)，雷諾數(shù)甚至在低于下限值時(shí)即發(fā)生轉(zhuǎn)變。在一般情況下．可取。已經(jīng)查明，湍流邊界層的主體核心雖處于湍流流動(dòng)狀態(tài)，但緊靠壁面處粘滯力仍占主導(dǎo)地位，致使貼附于壁面的—極薄層內(nèi)仍保持層流的性質(zhì)。這個(gè)極薄層稱為湍流邊界層的層流底層(又稱粘性底層)。在湍流核心與層流底層之間存在著起過渡性質(zhì)的緩沖層(圖5－7只著重勾劃出層流底層)。圖5－7給出了邊界層內(nèi)的速度分布曲線，它們與流動(dòng)狀態(tài)相對應(yīng)。層流邊界層的速度分布為拋物線狀。在湍流邊界層中，層流底層的速度梯度較大，近于直線，而在湍流核心，質(zhì)點(diǎn)的脈動(dòng)強(qiáng)化了動(dòng)量傳遞，速度變化較為平緩。（4）邊界層理論的四個(gè)基本要點(diǎn)綜合以上討論，可以總結(jié)出邊界層理論的四個(gè)基本要點(diǎn)：=1\*GB3①當(dāng)粘性流體沿固體表面流動(dòng)時(shí)，流場可劃分為主流區(qū)和邊界層區(qū)。邊界層區(qū)域內(nèi)，流速在垂直于壁面的方向上發(fā)生劇烈的變化，而在主流區(qū)流體的速度梯度幾乎等于零。=2\*GB3②邊界層厚度與壁面尺寸相比是個(gè)很小的量，遠(yuǎn)不只小一個(gè)數(shù)量級(jí)。=3\*GB3③主流區(qū)的流動(dòng)可視為理想流體的流動(dòng)，用描述理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程求解。而在邊界層內(nèi)應(yīng)考慮粘性的影響，要用粘性流體的邊界層微分方程描述，其特點(diǎn)是主流方向流速的二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)略而不計(jì)。=4\*GB3④在邊界層內(nèi)流動(dòng)狀態(tài)分層流與湍流，而湍流邊界層內(nèi)緊靠壁面處仍有極薄層保持層流狀態(tài)，稱層流底層。這里應(yīng)指出，邊界層類型的流動(dòng)僅當(dāng)流體不脫離固體表面時(shí)才存在。對于圖5－5(b)所示的在圓柱后半周出現(xiàn)的脫體流動(dòng)(流體離開固體表面而形成旋渦)，邊界層的概念不再適用，應(yīng)當(dāng)采用完全的納維—斯托克斯方程來描述。2.熱（溫度）邊界層。（1）定義圖5-8四度邊界層與溫度邊界層當(dāng)流體流過平板而平板的溫度與來流流體的溫度不相等時(shí)，對于上述的低粘性流體，如果流體的熱擴(kuò)散系數(shù)也很小，在壁面上方也能形成溫度發(fā)生顯著變化的薄層，常稱為熱邊界層。圖5-8四度邊界層與溫度邊界層（2）熱邊界層厚度仿照速度邊界層的約定規(guī)則，當(dāng)壁面與流體之間的溫差達(dá)到壁面與來流流體之間的溫差的0.99倍時(shí)，此位置就是邊界層的外邊緣，而該點(diǎn)到壁面之間的距離則是熱邊界層厚度,記為。如果整個(gè)平板都保持溫度，那么，時(shí)，，且隨著值的增大逐步增厚。在同一位置上熱邊界層厚度與速度邊界層厚度的相對大小與流體的普朗特?cái)?shù)有關(guān)，也就是與流體的熱擴(kuò)散特性和動(dòng)量擴(kuò)散特性的相對大小有關(guān)。除液態(tài)金屬及高粘性的流體外，熱邊界層的厚度在數(shù)量級(jí)上是個(gè)與運(yùn)動(dòng)邊界層厚度相當(dāng)?shù)男×俊Ｓ谑菍α鲹Q熱問題的溫度場也可區(qū)分為兩個(gè)區(qū)域：熱邊界層區(qū)與主流區(qū)。在主流區(qū)，流體中的溫度變化率可視為零，這樣就可把要研究的熱量傳遞的區(qū)域集中到熱邊界層之內(nèi)。圖5－8示意性地面出了固體表面附近速度邊界層及溫度邊界層的大致情況。二、邊界層微分方程組利用上述的邊界層的概念，可以應(yīng)用數(shù)量級(jí)分析的方法對流體流過平板的對流換熱微分方程組進(jìn)行相應(yīng)的簡化。1.數(shù)量級(jí)分析法所謂數(shù)量級(jí)分析，是指通過比較方程式中各項(xiàng)數(shù)量級(jí)的相對大小，把數(shù)量級(jí)較大的項(xiàng)保留下來，而舍去數(shù)量級(jí)較小的項(xiàng)，實(shí)現(xiàn)方程式的合理簡化。數(shù)量級(jí)分析法在工程問題分析中具有廣泛的實(shí)用意義。至于怎樣確定各項(xiàng)的數(shù)量級(jí)，可視分析問題的性質(zhì)而不同。這里采用各量在作用區(qū)間的積分平均絕對值的確定方法。例如，在速度邊界層內(nèi)，從壁面到處，主流方向流速的積分平均絕對值顯然遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于垂直主流方向的流速的積分平均絕對值。因而，如果把邊界層內(nèi)的數(shù)量級(jí)定為1，則的數(shù)量級(jí)必定是個(gè)小量，用符號(hào)表示。采用這樣的方法可以對能量守恒方程中有關(guān)量的數(shù)量級(jí)作出如表5－1的分析。至于導(dǎo)數(shù)的數(shù)量級(jí)則可將因變量及自變量的數(shù)量級(jí)代入導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式而得出。例如的數(shù)量級(jí)為，而的數(shù)量級(jí)則為。于是邊界層中二維穩(wěn)態(tài)且忽略重力情況下方程組的各項(xiàng)數(shù)量級(jí)可分析如下：連續(xù)性方程：數(shù)量級(jí)：動(dòng)量守恒方程：方向：數(shù)量級(jí)：方向：數(shù)量級(jí)：能量守恒方程：數(shù)量級(jí)：2.邊界層換熱微分方程組從以上對連續(xù)性方程、動(dòng)量守恒方程及能量守恒方程的數(shù)量級(jí)分析可見，連續(xù)性方程中各項(xiàng)數(shù)量級(jí)相同，均保留；動(dòng)量守恒方程中方向的數(shù)量級(jí)較方向小得多，因此方向的動(dòng)量守恒方程在方程組中可去除，而方向的動(dòng)量守恒方程中可舍去；能量守恒方程中可舍去，因此可得二維、穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源的邊界層換熱微分方程組為：連續(xù)性方程：（5-14）動(dòng)量守恒方程：（5-15）能量守恒方程：（5-16）注意：式（5-15）中的是已知量，它可由邊界層外理想流體的伯努利方程確定。這樣，3個(gè)方程包括3個(gè)未知數(shù)、及，方程組是封閉的。3.邊界條件對上述微分方程組配上定解條件即可求解。對于主流場是均速、均溫，并給定恒壁溫，即時(shí)的問題，定解條件可表示為：時(shí)時(shí)4.流體外掠平板方程組的解對于平板，，而，則，分析求解上述方程組可得局部表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)的表達(dá)式如下：（5-17）三、速度邊界層厚度與熱邊界層厚的關(guān)系現(xiàn)在，來分析熱邊層厚度與流動(dòng)邊界層厚度之間的關(guān)系。為此，考慮一個(gè)掠過平板的強(qiáng)制對流換熱問題。在這類強(qiáng)制對流中，重力場可忽略不計(jì)，且壓力梯度為零，于是式（5－15）簡化為：（5－18）將此式與邊界層能量微分方程式（5－16）相比較，發(fā)現(xiàn)它們在形式上是完全類似的。只要，且與具有相同的邊界條件，例如時(shí)，（并不影響討論），及時(shí)，，則式（5－16）與式（5－18）有相同形式的無量綱形式的解，即與的分布完全相同。換句話說，當(dāng)時(shí)，如果熱邊界層的厚度的定義與流動(dòng)邊界層厚度的定義相同（例如均取來流值的99％的位置作為邊界層的外邊界），則有?？梢姳戎悼梢员碚鳠徇吔鐚优c流動(dòng)邊界層的相對厚度。稱為普朗特?cái)?shù)，記為，它反映了流體中動(dòng)量擴(kuò)散與熱擴(kuò)散能力的對比。除液態(tài)金屬的數(shù)為0.01的數(shù)量級(jí)外，常用流體的數(shù)在0.6～4000之間，例如各種氣體的數(shù)大致在0.6～0.7之間。流體的運(yùn)動(dòng)粘度反映了流體中由于分子運(yùn)動(dòng)而擴(kuò)散動(dòng)量的能力。這一能力越大，粘性的影響傳遞得越遠(yuǎn)，因面流動(dòng)邊界層越厚。可以對熱擴(kuò)散率作出類似的討論。因而與的比值，即數(shù)，反映了流動(dòng)邊界層與熱邊界層厚度的相對大小。在液態(tài)金屬中，流動(dòng)邊界層厚度遠(yuǎn)小于熱邊界層厚度；對空氣，兩者大致相等，如上圖所示；而對高數(shù)的油類（在102～103的量級(jí))，則速度邊界層的厚度遠(yuǎn)大于熱邊界層的厚度。最后，把式（5-17）改寫為：式中：是數(shù)；是以當(dāng)?shù)刈鴺?biāo)為特征長度的數(shù)，記為。它們都是無量綱量，因此也必為無量綱量，稱為努塞爾（Nusselt）數(shù)，記為,下標(biāo)表示以當(dāng)?shù)貛缀纬叨葹樘卣鏖L度。于是，外掠等溫平板的無內(nèi)熱源的層流對流換熱問題的分析解為:(5-19)這種以特征數(shù)形式表示的對流換熱計(jì)算式稱為特征數(shù)方程，習(xí)慣上稱準(zhǔn)則方程或關(guān)聯(lián)式。獲得不同換熱條件下的特征數(shù)方程是研究對流換熱的根本任務(wù)。下一節(jié)將簡要介紹通過求解邊界層積分方程組及應(yīng)用比擬理論獲得這種特征數(shù)方程的方法。5-4邊界層積分方程組及其求解邊界層微分方程組雖然已經(jīng)對完全的對流換熱微分方程組作了簡化，但在分析求解過程中仍然有不少數(shù)學(xué)上處理的復(fù)雜性。1921年，馮·卡門在邊界層微分方程的基礎(chǔ)上提出了求解流動(dòng)問題的邊界層動(dòng)量積分方程。1936年克魯齊林求解了邊界層能量積分方程，并形成了一套用邊界層積分方程求解對流換熱問題的方法。由于在這種解法中需要對邊界層中的速度分布及溫度分布作出假設(shè)，因此所得到的解稱為近似解，但其數(shù)學(xué)處理的方法要比邊界層微分方程的求解容易得多，因而具有一定的工程實(shí)用價(jià)值。下面，首先概括用邊界層積分方程求解對流換熱問題的基本思想，然后以流體外掠等溫平板的邊界層對流換熱為例，導(dǎo)出層流邊界層積分方程并結(jié)出求解的結(jié)果。用邊界層積分方程求解對流換熱問題的基本思想可歸納如下：(1)不要求守恒定律對邊界層中每一個(gè)微元體都成立，而只是對包括固體邊界及邊界層外邊界在內(nèi)的有限大小的控制客積建立起動(dòng)量守恒及能量守恒的表達(dá)式，即邊界層積分方程。(2)對邊界層中的速度分布及溫度分布的函數(shù)形式作出假設(shè)，在這些函數(shù)形式中應(yīng)包含有未知的、及一些待定常數(shù)。常用的函數(shù)形式為多項(xiàng)式。(3)利用邊界上的條件（即及或處的條件)確定待定常數(shù)，然后將所假設(shè)的分布代人積分方程，解出及的計(jì)算公式。(4)據(jù)已求得的速度分布及溫度分布計(jì)算固體邊界上的速度變化率及溫度變化率，然后按定義推出阻力系數(shù)及數(shù)的表達(dá)式。關(guān)于邊界層積分方程的推導(dǎo)，可以通過對有限大小的控制容積建立動(dòng)量或熱量的平衡，也可以通過對邊界層微分方程積分來進(jìn)行。教材中用積分方法來導(dǎo)出邊界層能量積分方程，在此用對有限大小控制容積建立動(dòng)量或熱量平衡的方法。一、邊界層動(dòng)量積分方程

邊界層動(dòng)量積分方程是把動(dòng)量定律應(yīng)用于一個(gè)控制容積導(dǎo)出的。取常物性、不可壓縮流體的二維穩(wěn)態(tài)強(qiáng)制對流為對象作分析。在流體中劃出一個(gè)如上圖所示的控制容積，它包括一段邊界層，而方向?yàn)閱挝婚L度?？刂迫莘e左側(cè)面為ab，右側(cè)面為cd，頂面為bd，底面為壁面的ac部分，即取ac為。在方向取微元。由于在邊界層內(nèi)方向上的流速很小，因此推導(dǎo)中只考慮方向上的動(dòng)量變化，不引入流速。上圖給出了速度的分布曲線。在距壁面處流速為，在處。先計(jì)算單位時(shí)間內(nèi)出入控制容積的動(dòng)量之差。為此計(jì)算以下各項(xiàng)：（1）穿過控制面ab進(jìn)入微元的質(zhì)量流量為：，進(jìn)入微元的動(dòng)量為，將進(jìn)入微元的動(dòng)量在區(qū)間進(jìn)行積分，則得穿過控制面ab進(jìn)入控制容積的動(dòng)量為：而同時(shí)穿過cd面流出的動(dòng)量為ab進(jìn)入動(dòng)量的基礎(chǔ)上加上微元增量，為：凈流出的動(dòng)量為：（a）（2）沒有流體穿過固體表面ac。但有流體質(zhì)點(diǎn)穿過bd面。根據(jù)質(zhì)量守恒，穿過bd面流入控制容積的質(zhì)量流量等于流出cd面與流入ab面的質(zhì)量流量之差。流入ab面的質(zhì)量流量為，流出cd面的質(zhì)量流量。于是穿過bd面流入控制容積的質(zhì)量流量為：相應(yīng)帶入控制體的動(dòng)量（略去沿變化引入的高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)）為：（b）根據(jù)動(dòng)量定律，在方向上的動(dòng)量變化必須等于方向上作用在控制體表面上外力的代數(shù)和。作用在控制體表面上方向上的外力，有作用于ac面上的切應(yīng)力以及ab和cd兩面壓力之差：于是動(dòng)量定律可表達(dá)為：（c）由于存在以下關(guān)系：（d）于是式（c）可改寫成為：重新組合可得：（e）由伯努利方程知：代入(e)式，得根據(jù)邊界層理論，在邊界層外的主流區(qū)。改寫上式積分上限得:（1）

這就是馮卡門在1921年導(dǎo)出的邊界層動(dòng)量積分方程。由積分方程求出的分析解稱為近似解，以區(qū)別于微分方程的精確解。二、邊界層能量積分方程把能量守恒定律應(yīng)用于控制容積可推導(dǎo)出邊界層能量積分方程。在方向上取微元，方向上大于流動(dòng)邊界層即熱邊界層厚度，而方向上為單位長度的一個(gè)控制容積，如右圖所示。在常物性、流速不致引起耗散熱的條件下，考察控制容積的能量守恒。在邊界層數(shù)量級(jí)分析中已經(jīng)得出結(jié)論：，故推導(dǎo)中僅考慮方向上的導(dǎo)熱。下面計(jì)算穿過控制容積各個(gè)面的熱量。單位時(shí)間內(nèi)穿過ab面進(jìn)入控制容積的熱量為：（f）單位時(shí)間內(nèi)穿過cd面帶出控制容積的熱量為：(g)單位時(shí)間內(nèi)穿過bd面進(jìn)入控制容積的質(zhì)量流量為由它帶入控制容積的熱量為：（h）穿過ac面，因貼壁流體層導(dǎo)熱帶出控制容積的熱量為(i)在穩(wěn)態(tài)條件下，根據(jù)能量守恒進(jìn)入與帶出控制容積的熱量相等，于是可得：整理后得：因?yàn)樵跓徇吔鐚右酝?，上式積分上限可改為，得（2）

這就是邊界層能量積分方程。它與邊界層動(dòng)量積分方程一起組成對流換熱邊界層積分方程組。1936年，克魯齊林用積分方程組求解對流換熱，得到了滿意的結(jié)果。三、邊界層積分方程組求解示例

作為邊界層積分方程組求解的示例，仍以穩(wěn)態(tài)、常物性流體強(qiáng)制掠過平板層流時(shí)的換熱作為討論對象。壁面具有定壁溫的邊界條件。在常物性條件下，動(dòng)量積分方程不受溫度場的影響，可先單獨(dú)求解，解出層流邊界層厚度及摩擦系數(shù)，然后求解能量積分方程，解出熱邊界層厚度及換熱系數(shù)。1.求解流動(dòng)邊界層厚度及摩擦系數(shù)在本問題中，為常數(shù)，動(dòng)量積分方程式（1）左邊的第二項(xiàng)為0。再引入，式（1）可改寫成為：（3）

為求解上式，還需補(bǔ)充邊界層速度分布函數(shù)。選用以下有4個(gè)任意常數(shù)的多項(xiàng)式作為速度分布的表達(dá)式：式中4個(gè)待定常數(shù)由邊界條件及邊界層特性的推論確定，即：時(shí)且時(shí)且由此求得4個(gè)待定常數(shù)為：于是速度分布表達(dá)式為：（4）從上式求得并代入切應(yīng)力的定義式得：（5）將式（4）（5）代入（3），積分得(j)分離變量，并注意到時(shí)，可得：積分，得：（6）其無量綱表達(dá)式為：（7）其中,其特性尺度為離平板前緣的距離。將式（6）代入式（5）可得在處的壁面局部切應(yīng)力：（8）在工程計(jì)算中常使用局部切應(yīng)力與流體動(dòng)壓頭之比，稱為摩擦系數(shù)，亦稱范寧摩擦系數(shù)，其表達(dá)式為：（9）

求解動(dòng)量微分方程可以獲得、的精確解：，?？梢姡c微分方程的精確解相比，由積分方程得到的、只在常數(shù)值上略有差別。2.求解熱邊界層厚度及換熱系數(shù)先求解熱邊界層厚度。為從式（2）求解熱邊界層厚度，除已由式（4）確定外，還需要補(bǔ)充熱邊界層內(nèi)的溫度分布函數(shù)。對此，亦選用帶4個(gè)常數(shù)的多項(xiàng)式：式中，4個(gè)待定常數(shù)由邊界條件及熱邊界層特性的推論確定，即：時(shí)且時(shí)且由此求得4個(gè)待定常數(shù)為：若用以為基準(zhǔn)點(diǎn)的過余溫度來表達(dá)，則溫度分布表達(dá)式為：（10）能量積分方程式（2）用過余溫度表示為：（11）

進(jìn)一步求解中，令熱邊界層厚度與流動(dòng)邊界層厚度之比，并假定。這個(gè)假定對的流體顯然是適用的。用速度分布式（3）及溫度分布式（10）分別求得式（11）左方積分部分及右方的如下：（k）(l)因?yàn)椋母叽畏巾?xiàng)相對于包含的項(xiàng)可略去不計(jì)。把上列關(guān)系式代入（11）整理后得：可改寫成：將式（5）的及式（j）的關(guān)系代入，整理后得：（m）令，上式可改寫成:此微分方程的通解為:(n)此處必須等于0，否則時(shí)成為不定值，不符合物理現(xiàn)實(shí)。于是得：(12)

以上結(jié)果是在的前提下推得的。氣體類流體的數(shù)略小于1。這類流體的數(shù)的最小值約為0.65，此時(shí)，式(k)中：

略去項(xiàng)引入的誤差不大。據(jù)此，式（12）對常用氣體亦可近似適用。液態(tài)金屬類流體的數(shù)的數(shù)量級(jí)是10-2，式（12）不能適用。其次求解局部換熱系數(shù)。將溫度分布式（10）代入換熱微分式，可得局部換熱系數(shù)為：將式（5）和（12）的、關(guān)系代入上式得：（13）其無量綱表達(dá)形式為：（14）式中，稱為局部努謝爾特?cái)?shù)，上兩式與波爾豪森所得的精確解相吻合。最后求解平均換熱系數(shù)。為了求得長一段平板的平均換熱系數(shù)，可求在0到范圍內(nèi)的積分平均值，即：（15）

式中代表式（13）右方除以外的其它量和常數(shù)。式（15）表明，平均換熱系數(shù)是處局部換熱系數(shù)的兩倍。于是平均換熱系數(shù)的表達(dá)式為：（16）式中，無量綱數(shù)、中的特征尺度為平板長度。計(jì)算物性參數(shù)用的定性溫度為邊界層平均溫度。四、邊界層積分方程組的了解1.積分方程的推導(dǎo)與微分方程推導(dǎo)的異同

微分方程是對微元控制容積推導(dǎo)的，要求微元體范圍內(nèi)每個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)都滿足守恒關(guān)系，而積分方程是對一個(gè)有限的容積來推導(dǎo)的，推導(dǎo)時(shí)，忽略方向上的參量變化，只注意方向上的參量變化；微分方程對兩個(gè)方向上的參量均考慮。共同點(diǎn)是運(yùn)用同樣的守恒定律。2.與微分方程相比，積分方程的近似性何在從推導(dǎo)過程來看，積分方程只要求控制體在進(jìn)出口截面處整體上滿足守恒關(guān)系，也就是說，只要求在進(jìn)出口截面上的積分平均只滿足守恒定律。微分方程要求微元體范圍內(nèi)每個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)都滿足守恒關(guān)系。舉例來說，積分方程推導(dǎo)中，平面ab的質(zhì)量流量為，只要相等，即如圖所示的兩根速度曲線與軸間的面積相等，即認(rèn)為兩者無差別。實(shí)際速度分布完全不同，這是它的解被稱為近似解的原因。5-5相似原理及量綱分析通過實(shí)驗(yàn)求取對流換熱的實(shí)用關(guān)聯(lián)式，仍然是傳熱研究中的—個(gè)重要而可靠的手段。然而，對于存在著許多影響因素的復(fù)雜物理現(xiàn)象，要找出眾多變量間的函數(shù)關(guān)系，實(shí)驗(yàn)的次數(shù)十分龐大，且各影響因素之間又是相互聯(lián)系的，某一個(gè)量的改變會(huì)引起其它量的變化。以圓管內(nèi)單相強(qiáng)制對流換熱為例，影響表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)的因素有平均流速、管子內(nèi)徑以及流體的物性。于是有：（5-43）如何來確定與這6個(gè)變量之間的變化關(guān)系呢？設(shè)想每個(gè)變量各變化10次，而其余5個(gè)保持不變，共需進(jìn)行106個(gè)實(shí)驗(yàn)。這樣大的實(shí)驗(yàn)工作量實(shí)際上是無法實(shí)現(xiàn)的。為了大大減少實(shí)驗(yàn)次數(shù)，而且又可得出具有一定通用性的結(jié)果，必須在相似原理的指導(dǎo)下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。一.相似原理的基本內(nèi)容相似原理所研究的是相似物理現(xiàn)象之間的關(guān)系。應(yīng)該指出，只有同類的物理現(xiàn)象之間才能談?wù)撓嗨茊栴}。圖5-12圓管內(nèi)層流充分發(fā)展流動(dòng)的速度分布1.同類現(xiàn)象：是指那些用相同形式并具有相同內(nèi)容的微分方程式所描寫的現(xiàn)象。描寫電場與導(dǎo)熱物體的溫度場的微分方程雖然形式相仿，但內(nèi)容不同，因此不是同類現(xiàn)象。電場與溫度場之間只有“類比”或者“比擬”，但不存在相似。同樣，微分方程式（5－33）與（5－34）雖然形式相同，但內(nèi)容不同，因此速度場和溫度場之間也只能比擬，不存在相似。圖5-12圓管內(nèi)層流充分發(fā)展流動(dòng)的速度分布圖5-13流體中的溫度分布2.相似現(xiàn)象：對于兩個(gè)同類的物理現(xiàn)象，如果在相應(yīng)的時(shí)刻與相應(yīng)的地點(diǎn)上，與現(xiàn)象有關(guān)的物理量一一對應(yīng)成比例，則稱此兩現(xiàn)象彼此相似。例如，對于兩個(gè)穩(wěn)態(tài)的對流換熱現(xiàn)象，如果彼此相似，則必有換熱面幾何形狀相似、溫度場分布相似、速度場分布相似及熱物性場相似等。凡是相似的物理現(xiàn)象，其物理量的場—定可以用—個(gè)統(tǒng)一的無量綱的場來表示。兩個(gè)圓管內(nèi)的層流充分發(fā)展的流動(dòng)是兩個(gè)相似的流動(dòng)現(xiàn)象。其截面上的速度分布可以用一個(gè)統(tǒng)一的無量綱場來表示，如圖5－12所示。圖5-13流體中的溫度分布3.相似現(xiàn)象的特性：凡是被此相似的現(xiàn)象，都有一個(gè)十分重要的特性，即描寫該現(xiàn)象的同名特征數(shù)（即準(zhǔn)則）對應(yīng)相等?，F(xiàn)在以流體與固體表面間的對流換熱現(xiàn)象來說明。如圖5－13所示，在固體壁面上按牛頓冷卻定律所定義的與流體中的溫度場有如下關(guān)系：[5－4]現(xiàn)在以作為溫度的標(biāo)尺，以換熱面的某一特征性尺寸作為長度標(biāo)尺把上式無量綱化，有按前述相似現(xiàn)象的定義，其無量綱的同名物理量的場是相同的，因而無量綱的梯度也相等。上式右端是無量綱溫度場在壁面上的梯度，因而對兩個(gè)相似的對流換熱現(xiàn)象1與2，應(yīng)有：（5-44）為努塞爾數(shù)，因而相似的對流換熱現(xiàn)象的努塞爾數(shù)相等，即。4.相似的條件判斷兩個(gè)同類現(xiàn)象相似的條件是：（1）同名的已定特征數(shù)相等；（2）單值性條件相似。已定特征數(shù)是由所研究問題的已知量組成的特征數(shù)。例如，在研究對流換熱現(xiàn)象時(shí)，數(shù)及數(shù)是已定特征數(shù)，而數(shù)為待定特征數(shù)，因?yàn)槠渲械谋砻鎮(zhèn)鳠嵯禂?shù)是需要求解的未知量。所謂單值件條件，是指使被研究的問題能被唯一地確定下來的條件，它包括：（1）初始條件：指非穩(wěn)態(tài)問題中初始時(shí)刻的物理量的分布。穩(wěn)態(tài)問題不需要這—條件。（2）邊界條件：所研究系統(tǒng)邊界上的溫度（或熱流密度）、速度分布等條件。（3）幾何條件：換熱表面的幾何形狀、位置以及表面的粗糙度等。（4）物理?xiàng)l件：物體的種類與物性。值得指出，實(shí)質(zhì)上，這里的單值性條件與分析解法中數(shù)學(xué)描寫的定解條件是一致的，只是在相似原理中，為了強(qiáng)調(diào)各個(gè)與現(xiàn)象有關(guān)的量之間的相似性。特別增加了幾何條件與物理?xiàng)l件兩項(xiàng)。而在數(shù)學(xué)求解的定解條件中，給定所求解問題的幾何條件與物理?xiàng)l件則被認(rèn)為是不言而喻的。5.相似特征數(shù)間的相互關(guān)系各物理現(xiàn)象中的各個(gè)物理量不是單個(gè)獨(dú)立地起作用的，而是與其他物理量之間相互影響、相互制約的。描寫該物理現(xiàn)象的微分方程組及定解條件就給出了這種相互影響與制約所應(yīng)滿足的基本關(guān)系。以一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題為例進(jìn)一步說明各無量綱數(shù)間的相互關(guān)系。以過余溫度為求解變量的常物性、無內(nèi)熱源、第三類邊界條件的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)學(xué)描寫為：（a）（b）（c）（d）今以為溫度的標(biāo)尺，以平板半厚作為長度標(biāo)尺，以作為時(shí)間的標(biāo)尺，將式（a）～（d）無量綱化，得（e）（f）（g）（h）注意，式（g）中無量綱數(shù)中的為固體的導(dǎo)熱系數(shù)，因而這一無量綱量是數(shù)。把無量綱過余溫度記為，而為傅里葉數(shù)，因而有（i）（j）（k）（l）由此可見，無量綱過余溫度的解必為、及的函數(shù)，即（5－45）式（5－45）表明，與一維無限大平板的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱有關(guān)的4個(gè)無量綱量以一定的函數(shù)形式聯(lián)系在一起，而且對兩個(gè)一維無限大平板的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題而言，只要單值性條件相似[表現(xiàn)為式（j）～（l）對兩個(gè)系統(tǒng)均成立]，、及之值對應(yīng)相等（即已定準(zhǔn)則相等），則兩個(gè)平板的值必相同，即非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱現(xiàn)象相似。如前所述，式（5－45）那樣的表示物理現(xiàn)象的解的無量綱量之間的函數(shù)關(guān)系式稱為特征數(shù)方程。為了通過實(shí)驗(yàn)獲得無量綱量間的具體函數(shù)形式，首先要查明與所研究現(xiàn)象有關(guān)的無量綱量是哪一些。二.導(dǎo)出相似特征數(shù)的常用方法為獲得與所研究現(xiàn)象有關(guān)的無量綱量可采用方程分析法及量綱分析法。方程分析法以所研究現(xiàn)象的微分方程及單值性條件為基礎(chǔ)，或者通過將它們無量綱化來獲得無量綱量，如上述得出式（5－45）的過程，或者采用相似分析的途徑來得出有關(guān)的無量綱量。1.相似分析法相似分析法根據(jù)相似現(xiàn)象的基本定義—各個(gè)物理量的場對應(yīng)成比例，對與過程有關(guān)的量引入兩個(gè)現(xiàn)象之間的一系列比例系數(shù)（稱相似倍數(shù)），然后應(yīng)用描述該過程的—些數(shù)學(xué)關(guān)系式，來導(dǎo)出制約這些相似倍數(shù)間的關(guān)系，從而得出相應(yīng)的相似準(zhǔn)則數(shù)。仍以圖5－13所示的兩個(gè)對流換熱現(xiàn)象1與2為例，對它們分別寫出式（5－4），有：現(xiàn)象1：（m）現(xiàn)象2：（n）與現(xiàn)象有關(guān)的各物理量場應(yīng)分別相似，即（o）將式（o）代入式（m），整理后得（p）比較式（p）和式（n），必然有以下關(guān)系：（q）式（q）表達(dá)了換熱現(xiàn)象相似時(shí)相似倍數(shù)間的制約關(guān)系，再將式（o）代入式（q），即得：（r）因?yàn)榱?xí)慣上用換熱表面的特征長度表示幾何量，且有，固上式可改寫為：即這就是式（5－44）所得到的結(jié)果。采用相似分析，從動(dòng)量微分方程式（5－15）可導(dǎo)出：即這說明，若兩流體的運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象相似，其雷諾數(shù)必定相等。同理，從能量微分方程式（5-16）可導(dǎo)出即這說明，如兩熱量傳遞現(xiàn)象相似，其貝克來數(shù)必定相等?？藖頂?shù)可分解為下列形式：即為普朗特?cái)?shù)。對于自然對流流動(dòng)，動(dòng)量微分方程式（5-15）右側(cè)需增加體積力項(xiàng)。體積力與壓力梯度合并成浮升力：式中：——液體的體脹系數(shù)，K－1；——重力加速度，m/s2；——過余溫度，℃。改寫后適用于自然對流的動(dòng)量微分方程為：（5-46）對此式進(jìn)行相似分析，可得出一個(gè)新的無量綱量：式中：稱為格拉曉夫數(shù)，。以上導(dǎo)得的、、、幾個(gè)無量綱量是研究穩(wěn)態(tài)無相變對流換熱問題所常用的特征數(shù)。這些特征數(shù)反映了物理量間的內(nèi)在聯(lián)系，都具有一定的物理意義。2.量綱分析法量綱分析是獲得無量綱量的又—種方法。它的長處是方法簡單，并對還列不出微分方程而只知道影響現(xiàn)象的有關(guān)物理量的問題，也可以求得結(jié)果。它的缺點(diǎn)是在有關(guān)物理量漏列或錯(cuò)列時(shí)不能得出正確的結(jié)果。就討論的對流換熱之類的問題而論，絕大多數(shù)情況都可列出微分方程式，漏列或錯(cuò)列有關(guān)物理量的情況并不存在。由于這種緣故，許多基礎(chǔ)傳熱學(xué)教材都采用量綱分析法來導(dǎo)出無量綱量。量綱間的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)在量綱分析的基本依據(jù)定理上。其內(nèi)容是：一個(gè)表示個(gè)物理量間關(guān)系的量綱一致的方程式，一定可以轉(zhuǎn)換成包含個(gè)獨(dú)立的無量綱物理量群間的關(guān)系式。指個(gè)物理里中所涉及到的基本量綱的數(shù)目。我們的著眼點(diǎn)在于學(xué)會(huì)應(yīng)用這條定理。應(yīng)用的核心在于確認(rèn)和的數(shù)目，用一定技巧把各個(gè)無量納物理量群（即無量綱量）的內(nèi)涵確定下來。下面以單相介質(zhì)管內(nèi)對流換熱問題為例，應(yīng)用量綱分析法來導(dǎo)出其有關(guān)的無量綱量。據(jù)式（5－43）有：