4.1　任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念

4.1

任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念第四章課標(biāo)要求1.了解任意角的概念和弧度制,能進(jìn)行弧度與角度的互化,體會(huì)引入弧度制的必要性.2.借助單位圓理解三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.備考指導(dǎo)本節(jié)內(nèi)容是三角函數(shù)的基礎(chǔ),復(fù)習(xí)時(shí)要熟記三角函數(shù)的定義、各象限符號(hào)值特點(diǎn)以及特殊角的三角函數(shù)值,注意角度與弧度的互化.特別地,理解并掌握終邊相同的角的集合有助于記憶后面三角函數(shù)的性質(zhì).內(nèi)容索引010203第一環(huán)節(jié)必備知識(shí)落實(shí)第二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能力形成第三環(huán)節(jié)學(xué)科素養(yǎng)提升第一環(huán)節(jié)必備知識(shí)落實(shí)【知識(shí)篩查】

1.任意角(1)定義:角可以看成一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形.(2)分類:我們規(guī)定,一條射線繞其端點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫做正角,按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角.如果一條射線沒(méi)有做任何旋轉(zhuǎn),就稱它形成了一個(gè)零角.這樣,我們就把角的概念推廣到了任意角,包括正角、負(fù)角和零角.(3)終邊相同的角:所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個(gè)集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一與角α終邊相同的角,都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和.2.弧度制(1)定義:長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角,弧度單位用符號(hào)rad表示.(2)公式3.任意角的三角函數(shù)

溫馨提示1.各象限三角函數(shù)值符號(hào)的記憶口訣:一全正、二正弦、三正切、四余弦.即第一象限正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值和正切函數(shù)值均為正,第二象限正弦函數(shù)值為正,第三象限正切函數(shù)值為正,第四象限余弦函數(shù)值為正.2.利用角的終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)定義三角函數(shù):設(shè)點(diǎn)Q(x,y)是角α終邊上任一點(diǎn),則1.象限角

2.軸線角

4.特殊角的三角函數(shù)值

【知識(shí)鞏固】

1.下列說(shuō)法正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)小于90°的角是銳角.(

)(2)若sinα>0,則α是第一、第二象限的角.(

)(3)相等的角的終邊一定相同,終邊相同的角也一定相等.(

)(4)銳角是第一象限角,反之亦然.(

)(5)三角形的內(nèi)角必是第一、二象限角.(

)×××××DB4.(2021北京海淀二模)在平面直角坐標(biāo)系Oxy中,角θ以O(shè)x為始邊,終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-3,4),則cosθ=(

)C5.若角θ同時(shí)滿足sinθ<0,且tanθ<0,則角θ的終邊一定落在第

象限.

四

由sin

θ<0,可知θ的終邊可能位于第三或第四象限,也可能與y軸的非正半軸重合.由tan

θ<0,可知θ的終邊可能位于第二象限或第四象限,故θ的終邊只能位于第四象限.第二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能力形成能力形成點(diǎn)1角的表示及象限的判定(3)已知角α為第三象限角,則2α的終邊在

.

第一或第二象限或y軸的非負(fù)半軸

由α是第三象限角,得則2π+4kπ<2α<3π+4kπ(k∈Z).故角2α的終邊在第一或第二象限或y軸的非負(fù)半軸.拓展延伸例1(1)改為求“終邊在射線

”上的角α的集合.解題心得1.角的終邊在一條直線上比在一條射線上多一種情況.2.判斷角β所在的象限,先把β表示為β=2kπ+α,α∈[0,2π),k∈Z,再判斷角α所在的象限即可.CC二或第四

能力形成點(diǎn)2利用三角函數(shù)定義求三角函數(shù)值D(2)已知角α的終邊在直線3x+4y=0上,則5sinα+5cosα+4tanα=

.-2或-4解題心得用定義法求三角函數(shù)值的兩種情況:(1)已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo),則直接用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值;(2)已知角α的終邊所在的直線方程,注意角α的終邊位置有兩個(gè),對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值有兩組.B<能力形成點(diǎn)3扇形弧長(zhǎng)、面積公式的應(yīng)用例3

(1)(2021福建閩侯模擬)已知扇形的圓心角是,弧長(zhǎng)是πcm,則扇形的面積是

cm2.

(2)已知扇形的周長(zhǎng)為c,則當(dāng)扇形的圓心角α=

弧度時(shí),其面積最大,最大面積是

.

2解題心得求扇形面積的最值常用的思想方法是轉(zhuǎn)化法.一般從扇形面積公式出發(fā),在弧度制下先使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于α的函數(shù),再利用基本不等式或二次函數(shù)求最值.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)一個(gè)半徑為r的扇形,若它的周長(zhǎng)等于弧所在的半圓的弧長(zhǎng),則扇形的圓心角是

弧度,扇形的面積是

.

π-2設(shè)扇形的圓心角為θ,則扇形的周長(zhǎng)是2r+rθ.依題意,2r+rθ=πr,所以θ=π-2.故扇形的面積(2)已知在半徑為10的圓O中,弦AB的長(zhǎng)為10,則弦AB所對(duì)的圓心角α的大小為

,α所在的扇形弧長(zhǎng)l為

,弧所在的弓形的面積S為

.

第三環(huán)節(jié)學(xué)科素養(yǎng)提升審題線路圖——挖掘隱含條件尋找等量關(guān)系

典例

如圖,在平面直角坐標(biāo)系Oxy中,某單位圓的圓心的初始位置在點(diǎn)(0,1)處,此時(shí)圓上一點(diǎn)P的位置在點(diǎn)(0,0)處,圓在x軸上沿正向滾動(dòng),當(dāng)圓滾動(dòng)到圓心位于(2,1)時(shí),的坐標(biāo)為

.

審題要點(diǎn)1.已知條件:滾動(dòng)后的圓心坐標(biāo)為(2,1)和圓的半徑為1.2.隱含條件:點(diǎn)P轉(zhuǎn)動(dòng)的弧長(zhǎng)是2.3.等量關(guān)系:P轉(zhuǎn)動(dòng)的弧長(zhǎng)等于弧長(zhǎng)所對(duì)的圓心角.4.解題思路:求點(diǎn)P坐標(biāo)可借助已知的坐標(biāo)(2,1),通過(guò)構(gòu)造直角三角形,并在直角三角形中利用三角函數(shù)定義可求出.答案:(2-sin2,1-cos2)解析:如圖,作CQ∥x軸