數(shù)學相關(guān)-高等數(shù)學舊版課件

1,函數(shù)0,

x3

y3, (

x,

y)

(0,0)(

x,

y)

(0,0)f

(

x,

y)

2

2x

y在(0,0)處的連續(xù)性．3,

函數(shù)f

(x,y)0,

y2

0

y2

0,x

2x

22x

y2xy,求

f

x y

的偏導數(shù)(.),x

y

(0()0,x

y

(()0,,0設(shè)

f x

(y),

22x

yxy2,偏導數(shù)的本質(zhì)(

x0

,

y0

)

x

x0f

(x,

y)

|

df

(x,

y0

)

|x

dx,zy0z

f

(

x,

y)x

Mzx

lim

f

(

x0

x,

y0

)

f

(

x0

,

y0

)x0x

Mz由一元函數(shù)導數(shù)的幾何意義：z=

f

(x,y)0

y

yL：z

f

(

x,

y)L=

tanx.y

=y0(

x

,

y

)

?Myz同理，.MTx固定

y

=y0得曲線偏導數(shù)的幾何意義Mz

f

(

x,

y)Mzyyyf

(

x

,

y

y)

f

(

x

,

y

)

limz=

f

(x,y)L(

x

,

y

)x

=x0固定x=x0Txx.zy0偏導數(shù)的幾何意義Mz

f

(

x,

y)Myzyyf

(

x

,

y

y)

f

(

x

,

y

)

limMzy由一元函數(shù)導數(shù)的幾何意義：z=

f

(x,y)

x

xz

f

(

x,

y)L.(

x

,

y

)x

=x0固定x=x0得曲線TxTy=tanx.zy0偏導數(shù)的幾何意義偏導數(shù)

f

x

(

x0

,y0

)

就是曲面被平面

y

y0所截得的曲線在點M0

處的切線M

0Tx

對x

軸的斜率.偏導數(shù)f

y

(x0

,y0

)就是曲面被平面x

x0所截得的曲線在點M0

處的切線M0Ty

對y

軸的斜率.幾何意義:偏導數(shù)的幾何意義說明二元函數(shù)的偏導數(shù)存在，只是表明函數(shù)沿著x軸和y軸方向是連續(xù)的，而二元函數(shù)在一點處連續(xù)必須是沿著空間的任何方向均連續(xù)，故由偏導數(shù)存在不能推出函數(shù)連續(xù)。,(yx),

z

2

z2y

yyy

f

(

x,

y)

y

z

2

zfxy

(

x,

y),

z

2

z

y

x

xy

純偏導

f

yx

(

x,

y)混合偏導

2

zyx

x

y

z

函數(shù)z

f

(

x,

y)的二階偏導數(shù)為定義：二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù).二、高階偏導數(shù)例

6

設(shè)z

x

3

y2

3

xy

3

xy

1，2x

yxxy求

、

、

、2y3x

2

z

2

z

2

z

2

z

3

z及

.解xz

3x2

y2

3

y3

y,z

2x3

y

9xy2

x;

2

zx2

6xy2

,y

2

zy2

2x

3

zx3

6

y2

,

2

zyx

6x2

y

9

y2

1.

2

zxy

6x2

y

9

y2

1,原函數(shù)圖形偏導函數(shù)圖形偏導函數(shù)圖形導二函階數(shù)混圖合形偏觀察上例中原函數(shù)、偏導函數(shù)與二階混合偏導函數(shù)圖象間的關(guān)系：例

7

設(shè)u

eax

cos

by

，求二階偏導數(shù).解xu

aeax

cos

by,yu

beax

sin

by;a2eax

cos

by,x2

2u

2

ax

b

e

cosby,2uy2axxy

abe

sin

by,2uabe

sin

by.yxax2u

問題：混合偏導數(shù)都相等嗎？求f

(x,y)的二階混合偏導數(shù).(

x,

y)

(0,0)(

x,

y)

(0,0)22x3

yy0設(shè)

f

(

x,

y)

x

例

8

解當(x,y)

(0,0)時,(

x2

y2

)23

x2

y(

x2

y2

)

2

x

x3

yfx

(

x,

y)

3

x2

y

2

x4

y,x2

y2

(

x2

y2

)22

x3

y2

,(

x2

y2

)2x3f

y

(

x,

y)

x2

y2當(x,y)

(0,0)時,按定義可知：xxx0f

(0,0)

lim

f

(x,0)

f

(0,0)

lim

0

0,x0

xyyy0f

(0,0)

lim

f

(0,

y)

f

(0,0)

lim

0

0,y0

yyfy0xy(0,0)

lim

fx

(0,

y)

fx

(0,0)

0,x(0,0)

lim

f

y

(x,0)

f

y

(0,0)

1.fx0yx顯然

fxy

(0,0)

f

yx

(0,0).及定理

如果函數(shù)z

f

(

x,

y)的兩個二階混合偏導數(shù)

2

z

2

z在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，那末在該區(qū)域內(nèi)這yx

xy兩個二階混合偏導數(shù)必相等．例

9

驗證函數(shù)u(,x) y

lnx

y22滿足拉斯方程x20.y22u

2u

問題：具備怎樣的條件才能使混合偏導數(shù)相等？解2x2ln

y2

1

ln(

x2

y2

),,

u

xx2

x2,

y2x

y2

yu

yy2(

x2

y2

)2

,x2(

x2

y2

)2

.

2u

(

x2

y2

)

x

2x

x2x2

(

x2

y2

)22u

(

x2

y2

)

y

2

y

y2y2

(

x2

y2

)2

0.

2u

2u

y2

x2x2

y2

(

x2

y2

)2(

x2

y2

)2x2

y2證畢．偏導數(shù)的定義（偏增量比的極限）偏導數(shù)的計算、偏導數(shù)的幾何意義

純偏導高階偏導數(shù)

混合偏導（相等的條件）三、小結(jié)若函數(shù)f

(x,y)在點P0

(x0