數(shù)學(xué)競賽-試題2003年集訓(xùn)隊(duì)測試

在2003年中國國家集訓(xùn)隊(duì)測第1次 設(shè)正實(shí)數(shù)x,yz滿足??+??+??=??????.求??7(?????1)+??7(?????1)+??7(???????)的最小值設(shè)△ABCa、b、c上對(duì)應(yīng)的中線為????????????，內(nèi)角平分線為????????????，且????????=P，????∩????=Q,????∩????=R.記△PQR的面積為δ，△ABCF等式??<λ成立的最小正常數(shù)λn2n邊形，若存在一種跳法，跳完后有青第2次 =x、yx＜y，令??=

P復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式??(??)=????+??1?????1+?+?????1??+????n個(gè)根為??1，??2，…，????∑|????|2≤∑|????|2≤第3次 n、m為正整數(shù)，A={1，2，n}，B??={(??，??

∈??，i=

1、|?????????+1|≠n?1，i=1，2，m?2、a1,a2,?,am(m≥3)中至少有三個(gè)不同。求Bm和B3 是否存在正實(shí)數(shù)??1??2，…??2002，使得對(duì)任意正整數(shù)k1≤k2002，多項(xiàng)式 + ????+1??+????z都滿足|????z|≤|????z|??2002+i=????,i=1,2,?設(shè)??0√2003??0為方程式??22003??2=1…(??，??)x，y＞0x的所有素因子整除??0.第4次 △ABC中，AB＞BC＞CA，AB=6，∠C－∠B=90O為內(nèi)切圓，EBC邊上的切點(diǎn)。EFOAFBCDDE等于△ABCBC，AC的長。求所有函數(shù)??????→??，使得??(??+????(??))=??(??)+????(??)????∈設(shè)A{??1，??2…，????}B{??1，??2…，????為兩個(gè)正整數(shù)集合，且|??∩??|=1，C={??的所有二元子集{??的所有二元子集}，函數(shù)??AB→{0，1，2，2??2}的一C中至少有兩個(gè)元素的標(biāo)號(hào)相同。第5次 S1rANBFMDCP為△ADE的外接圓和△ABF的外接圓的另一個(gè)交點(diǎn)；NAF與△ACE的外接圓的另一個(gè)交點(diǎn)；PANBFMDCP設(shè)數(shù)列{????}滿足：??1=3，??2=7，??2+5=?????1????+1，n≥2.證明：若????+(?1)??為素m，使得??=3??。第6次 設(shè)??(??)=??1????????+??2??????2??+?+??????????????，其中??1??2????，??均為實(shí)數(shù)。若對(duì)一切實(shí)數(shù)??，恒有??(??)≥?1，求證：??1+??2+?+????≤n.n23ab，使得|2???3??|=n.n(1)設(shè)D為△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，求證

≥{2sin??，當(dāng)∠A<90°時(shí)； (2)EABCD內(nèi)任一點(diǎn)，A、B、C、D、E五點(diǎn)中任意兩點(diǎn)間的最大距離與最小距離之比記為k，求證：k≥2sin70°.并說明等號(hào)能否成立。第7次 在平面上有n(3)1對(duì)給定的整數(shù)??1(≠?1)，求一個(gè)實(shí)數(shù)列{????}(????≠0，??=1，2，5)??1,??2,…,??5,??1,??2,…,滿足{??11??1+??12??2+?+??15??5=??51??1+??52??2+?+??55??5=則??1??1+??2??2??5??5=0????j=∏(1+S為平面上給定的有限整點(diǎn)集，AS的滿足任兩點(diǎn)的連線都不平行于坐標(biāo)軸的元素個(gè)數(shù)最多的子集。B為整數(shù)集的滿足對(duì)任意(??，y)∈??，總有x∈B或y∈B的元素個(gè)數(shù)最少的子集，證明:|??|≥|??|.第8次 設(shè)△ABCOAPD，DBC上，PDAPO的割線PU，UBD上，PU交圓OQ、T且交AB、ACR、S。證明：若QR=ST，則S是一個(gè)有限集合，fS的子集族2??f是單調(diào)遞減的，如果X?Y?S，推出??(??)≥??(??)。證明：f滿足??(??????(????)≤??(????(Y)，X，Y?S的充要條件是對(duì)任意的??∈S,??(X)=??(X∪{??})???(X)是S\{??}的子集族2??\{??}上的單調(diào)遞設(shè)??1，??2，????是不全相等的??個(gè)正數(shù)(??≥2)∑?????2??=求證

∑a2??? (?????

>??2

2003年中國國家隊(duì)選拔第一天331在銳角△ABC中，AD∠ADBCD分別作BG、GEBF組成的三角形是直角三角形。設(shè)A?{0,1,2,,29}滿足：對(duì)任何整數(shù)??A中任意數(shù)??、??(??、??可以相同)，????設(shè)A?{(??1??2????)|????∈??,??=1,2,??},A是有限集，對(duì)任意的??=(??1,??2????)∈????=(??1??2????)∈??,定義:??(????)=(|??1???1||??2???2||?????????|)??(??){??(????)|??∈????∈??}。試證：|??(??)|≥|??|第二天4月1 求所有正整數(shù)集上到實(shí)數(shù)集的函數(shù)??（1）對(duì)任意??1??(??1)??(??)（2）對(duì)任意??，??,(??，??)=1，有??(????)=??(??)??(??)。設(shè)A{1,2,,2002}??={1001,2003,3005}ABB和不屬于M時(shí)，稱B為M一集。如果A=??1∪??2，??1∩??2=?，且??1、??2均為M一集，那么稱有序?qū)???1??2)AMAM（供題設(shè)實(shí)數(shù)列{??}滿足

=0，??=3√2??，??是正整數(shù)，且

=1

+

4√4

1

(n≥2)。問：這類數(shù)列中最少有多少個(gè)整數(shù)項(xiàng)？（民供題22003年中國國家隊(duì)培訓(xùn)ABW的直徑，?AW的切線，C、M、D為直線?上依次排列的三CM=MD.BC、BD分別交WP、Q.BMR，RPRQW相切。n2的一個(gè)例子。 設(shè)??為質(zhì)數(shù)，任給??1個(gè)不同的正整數(shù)。求證：從中可以找出兩個(gè)數(shù)，使得其中較大的數(shù)除以它們的最大公因數(shù)所得的商不小于??+1。ABCABHI、BCDECAFGXYZEF、GH圍出的三角形。求證：?????????≤(4?2√3)?????????(1)求所有的正整數(shù)對(duì)(??，??),使得??、??不相等，??2a??2??|??2(2)設(shè)??、b1的兩個(gè)不同的正整數(shù)，且??2+???1|??2+???1求證：數(shù)??2+???1n為給定的正整數(shù)（n≥5整數(shù)m的最小值，使得任意一個(gè)有m條邊的n階簡G中存在兩個(gè)恰有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，

2

非負(fù)實(shí)數(shù)??，??，??滿足????????????=求1+

+1

設(shè)??1，??2，????n1，且它們的0。證明：可以將??1，??2，????重排為??1，??2，????，使得向量??1，??1??2，，??1+??2+?+????的模長都不超過√5設(shè)??1??2??3??4是一個(gè)既有外接圓，又有內(nèi)切圓的凸四邊形，且其內(nèi)切圓分別與邊??1??22????????和????切于點(diǎn)????????.求證2

??2??3

??3??4

??4??12 3 48

+

+

+ )非負(fù)實(shí)數(shù)??、??、??滿足??2+y2+??2=1.1

+??

≤ 求所有的正整數(shù)??11的正約數(shù)具有????1??為正整數(shù)，r1的正整數(shù)。 三角形BCE和ADF的外心。求證：AB、CD、GH三線共點(diǎn)或兩兩平行的充要條件是A、B、E、F四點(diǎn)共圓。 設(shè)S是由2??個(gè)人組成的集合。求證：其中必定有兩個(gè)人，他們的公共朋友的個(gè)數(shù)為偶設(shè)??為正整數(shù)。求證：任何一個(gè)以√??+1?√?? 設(shè)在三角形ABC內(nèi)存在一點(diǎn)F，使得∠AFB=∠BFC=∠CFA。直線BFCF分別交AC、ABD和E。求證：AB+AC≥4DE。 考慮直角坐標(biāo)平面上由100個(gè)點(diǎn)組成的集合M。求證：至多有2025個(gè)長方形，其頂點(diǎn)M，且該長方形的邊與坐標(biāo)軸平行。 對(duì)怎樣的正整數(shù)??，存在一個(gè)以-1，0，1為元素的????的方陣，使得它的各行元和與各列元和這2??個(gè)和數(shù)兩兩不同？證明你的結(jié)論。 圓S1和S2交于點(diǎn)P和Q，在S1上取兩個(gè)不同的點(diǎn)A1和B1(不同于P，Q)，直線A1P和B1P分別交S2于另外一點(diǎn)A2,B2.直線A1B1和A2B2交于點(diǎn)C。求證：當(dāng)A1和B1變化時(shí)，三角形設(shè)??1，??2，??2020個(gè)兩兩不同的正整數(shù)，且集合{????+????|1≤??≤??≤20}201個(gè)不同的元素。求集合{|?????????||1≤??＜??≤20}設(shè)??1，??2，????為??個(gè)正實(shí)數(shù)，且方程組x???1?2????+????+1+????????=0，??=1,2,??。有一組不全為零的實(shí)數(shù)解x1，??2，????。這里??0=????+1=求證：??1+??2+?+

≥4 ABC的內(nèi)切圓ΩBCK，ADABC的高，MAD的中點(diǎn)，直KM交ΩNBCN的外接圓與ΩN。 給定正整數(shù)??>2,k角形數(shù)形成的數(shù)列為1,??3??3,6??8,；是一個(gè)二階等差數(shù)k－2。Fermat數(shù)形成的數(shù)列為3/