信息技術(shù)環(huán)境下的初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

-.z.信息技術(shù)環(huán)境下的初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)【摘要】本文研究了在信息技術(shù)環(huán)境下初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的新內(nèi)涵，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究教學(xué)模式的研究與實(shí)踐進(jìn)展了探討，概括出五種常見范式："驗(yàn)證型〞、"形成型〞、"方法探索型〞、"模擬型〞、"變換型〞，從理論上闡述了中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究教學(xué)模式的構(gòu)建；從實(shí)踐上論證了中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究教學(xué)模式的實(shí)施。該模式的構(gòu)建與實(shí)施，有利于"優(yōu)化思維、培養(yǎng)能力、提高素質(zhì)〞，是實(shí)施數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的重要途徑。關(guān)鍵詞:信息技術(shù)、初中數(shù)學(xué)、探究、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)一、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的提出信息化是當(dāng)今世界經(jīng)濟(jì)和社會(huì)開展的大趨勢(shì)，信息技術(shù)的開展對(duì)數(shù)學(xué)課程和數(shù)學(xué)教學(xué)技術(shù)的開展產(chǎn)生了巨大影響。"初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)"提出："在保證筆算訓(xùn)練的前提下，盡可能使用科學(xué)型計(jì)算器、各種數(shù)學(xué)教育技術(shù)平臺(tái)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)與信息技術(shù)的結(jié)合〞。在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)盡量實(shí)現(xiàn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)的有機(jī)整合。如，充分利用計(jì)算機(jī)技術(shù)直觀演示數(shù)學(xué)模型所刻畫的數(shù)量關(guān)系，表達(dá)數(shù)形結(jié)合的思想，利用計(jì)算機(jī)軟件呈現(xiàn)大量的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)問題，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)其構(gòu)造特征，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力等，而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是實(shí)現(xiàn)這一標(biāo)準(zhǔn)的重要方法。什么是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)呢？數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)是指恰當(dāng)運(yùn)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生參與實(shí)踐、自主探索、合作交流，從而發(fā)現(xiàn)問題、提出猜測(cè)、驗(yàn)證猜測(cè)和創(chuàng)造性解決問題的教學(xué)活動(dòng)。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、規(guī)律及本質(zhì)的產(chǎn)生過(guò)程加深了解和掌握；有助于培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生操作、分析、探究、歸納和交流的能力。由于長(zhǎng)期以來(lái)，大多數(shù)教師、學(xué)生都認(rèn)為只有在物理、化學(xué)中才有"實(shí)驗(yàn)〞，導(dǎo)致數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中"實(shí)驗(yàn)〞的缺失，對(duì)于如何根據(jù)教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)更是一籌莫展，因此，我認(rèn)為有必要探討新課標(biāo)理念下數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)范式。二、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)范式的實(shí)施〔一〕、"驗(yàn)證型〞數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣"標(biāo)準(zhǔn)"指出:學(xué)生通過(guò)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，"經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)，開展合情推理能力和初步的演繹推理能力〞。從而把傳統(tǒng)教學(xué)中偏重于演繹推理的"證明〞，調(diào)整為合情推理與演繹推理相結(jié)合的"通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比等獲得數(shù)學(xué)猜測(cè)，并進(jìn)一步尋求證據(jù)、給出證明或反例〞的過(guò)程。同時(shí)，又在數(shù)學(xué)思考的學(xué)段目標(biāo)中明確提出7～9年級(jí)學(xué)生"能用實(shí)例對(duì)一些數(shù)學(xué)猜測(cè)作出檢驗(yàn)，從而增加猜測(cè)的可信度或推翻猜測(cè)〞的要求。因此，教師可以從激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和培養(yǎng)學(xué)生的理性精神出發(fā)，設(shè)計(jì)"驗(yàn)證型〞數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，對(duì)猜測(cè)或解的正確性進(jìn)展驗(yàn)證。例1、在三角形中位線定理教學(xué)時(shí)，我采用發(fā)生式命題學(xué)習(xí)模式行進(jìn)展教學(xué)設(shè)計(jì)，其中命題特殊化形式〔命題的邏輯起點(diǎn)〕過(guò)渡到命題一般化形式〔要學(xué)習(xí)的命題〕的環(huán)節(jié)，就可設(shè)計(jì)成"驗(yàn)證型〞數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，其過(guò)程設(shè)計(jì)如下(用幾何畫板)：1．如圖1，過(guò)平行四邊形ABCD對(duì)角線中點(diǎn)O作EF∥AB分別交BC、AD于E、F?！?〕E是BC的中點(diǎn)嗎？〔2〕在△ABC中，OE與AB有怎樣的特殊關(guān)系？說(shuō)明：通過(guò)拖動(dòng)點(diǎn)A改變平行四邊形ABCD的形狀，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)展猜測(cè)。圖3圖2圖12．如圖2，D、E分別是△ABC的邊AC、BC的中點(diǎn)，通過(guò)拖動(dòng)點(diǎn)C，讓學(xué)生在三角形形狀改變過(guò)程中，觀察DE，AB的長(zhǎng)度值以及∠CED與圖3圖2圖13．適度拓展：顯示點(diǎn)F，并拖動(dòng)點(diǎn)F，將△ABC變形為梯形ABCF，有了三角形中位線定理得鋪墊，可先讓學(xué)生對(duì)梯形中位線性質(zhì)進(jìn)展獨(dú)立思考，并進(jìn)展猜測(cè)，教師在此根底上，拖動(dòng)點(diǎn)F，不斷的改變梯形的形狀〔如圖3〕，觀察中位線DE的長(zhǎng)度與(AB+CF)的和以及∠CED與∠CBA度數(shù)來(lái)驗(yàn)證學(xué)生的猜測(cè)。為了讓學(xué)生的思維上一個(gè)臺(tái)階，使學(xué)生對(duì)中位線的感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，最后都要求學(xué)生進(jìn)展理論的證明。從上例可以看出，在新課的傳授時(shí)，"驗(yàn)證型〞數(shù)學(xué)探究實(shí)驗(yàn)不但能為猜測(cè)的正確性判斷提供了新的途徑，而且有利于學(xué)生在認(rèn)知過(guò)程中及時(shí)評(píng)價(jià)、反應(yīng)，發(fā)現(xiàn)存在的缺乏，修正和調(diào)整認(rèn)知策略。其時(shí)，"驗(yàn)證型〞數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在練習(xí)課中也起著舉足輕重的作用。例如：在一次數(shù)學(xué)測(cè)試中，出現(xiàn)了這樣一道題：如圖4所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，AB=6，BC=9，將腰AD以A為中心，逆時(shí)鐘旋轉(zhuǎn)90至AE，連接BE，則△ABE的面積是〔〕圖5圖5圖4不能確定B.3C.6D.9考后同學(xué)們對(duì)這道題爭(zhēng)論不休，許多學(xué)生認(rèn)為應(yīng)該選A，理由是符合這一條件的梯形形狀不唯一，導(dǎo)致△ABE的形狀也隨之變化，故面積不確定，選A。在這種學(xué)生認(rèn)為正確而實(shí)為錯(cuò)誤的問題，肯定會(huì)引起學(xué)生的質(zhì)疑，這時(shí)，可以用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)法——幾何畫板予以驗(yàn)證〔如圖5〕，改變梯形的高，發(fā)現(xiàn)△ABE中邊AB上的高EG始終不變，激起數(shù)學(xué)問題探究的欲望，在教師的適當(dāng)引導(dǎo)下，"將腰AD以A為中心，逆時(shí)鐘旋轉(zhuǎn)90至AE〞如何理解？一番畫圖剖析、診斷后，得出結(jié)論：將直角梯形或RT△AFD繞A旋轉(zhuǎn)90度，即可觀測(cè)到高線始終不變，整個(gè)過(guò)程經(jīng)幾何畫板的實(shí)驗(yàn)，讓數(shù)學(xué)變得更可信，從而激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，開展了學(xué)生的創(chuàng)新能力?！捕?、"形成型〞數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生科研意識(shí)初中學(xué)段的教學(xué)應(yīng)結(jié)合集體的教學(xué)內(nèi)容，采用"問題情境——建立模型——解釋、應(yīng)用于拓展〞的模式展開，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成與應(yīng)用的過(guò)程，從而更好的了解數(shù)學(xué)知識(shí)的意義，掌握必要的根底知識(shí)和根本技能。數(shù)學(xué)理念的抽象性通常都有*種"直觀〞的想法為背景，作為教師，就應(yīng)該通過(guò)實(shí)驗(yàn)，把這種"直觀〞的背景顯現(xiàn)出來(lái)，幫助學(xué)生抓住其本質(zhì)，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化，靜態(tài)問題動(dòng)態(tài)化，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，培養(yǎng)學(xué)生的非智力因素，有效提高課堂教學(xué)效果，減負(fù)增效。在學(xué)校舉行一次"同課異構(gòu)，增強(qiáng)課堂有效性"為主題的教學(xué)研討活動(dòng)中，我聽到對(duì)"圓周角定理導(dǎo)出〞的教學(xué)有兩種不同的處理方式。教法一：教師事先在黑板上畫出如下的三個(gè)圖：〔1〕〔1〕〔2〕〔3〕師：如圖，請(qǐng)測(cè)出一條弧BC所對(duì)的圓周角和圓心角的度數(shù)，它們之間有什么數(shù)量關(guān)系？生：圓周角是圓心角度數(shù)的一半〔學(xué)生經(jīng)過(guò)測(cè)量比擬后〕。師：再換一條弧試一試，是否有一樣的結(jié)論？生：一樣。師：為什么？請(qǐng)同學(xué)們來(lái)證明。……經(jīng)過(guò)了幾分鐘后，定理得證，然后穩(wěn)固定理，進(jìn)展運(yùn)用。給學(xué)生留下的印象：圓周角定理是一個(gè)有著深?yuàn)W道理的數(shù)學(xué)知識(shí)。教法二：該教師運(yùn)用幾何畫板開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)。圖6第一步，提出問題。把學(xué)生分成假設(shè)干人一組，每組共用一臺(tái)電腦。教師提出如下問題：〔如右圖所示〕請(qǐng)利用幾何畫板的測(cè)量功能，在圓上的不同位置上，測(cè)量∠BOC與∠BAC的度數(shù)，思考這兩者之間的數(shù)量關(guān)系。圖6第二步，設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)。學(xué)生首先認(rèn)真設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案，大局部學(xué)生的實(shí)驗(yàn)方案是：畫圖，測(cè)量一個(gè)位置上的兩個(gè)角的度數(shù)，然后，將點(diǎn)B、點(diǎn)C或點(diǎn)A移動(dòng)，觀察兩個(gè)角度的變化。第三步，實(shí)驗(yàn)操作。學(xué)生按實(shí)驗(yàn)方案進(jìn)展操作，第一次測(cè)量發(fā)現(xiàn)兩個(gè)角度之間的關(guān)系，然后移動(dòng)點(diǎn)B、點(diǎn)C或點(diǎn)A，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)角度之間的關(guān)系不變。在此過(guò)程中教師要求學(xué)生及時(shí)記錄兩個(gè)角度的數(shù)據(jù)。第四步，作出結(jié)論。學(xué)生根據(jù)以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果，得到結(jié)論，即一條弧所對(duì)的圓周角是它所對(duì)的圓心角的一半，并將實(shí)驗(yàn)結(jié)果寫在實(shí)驗(yàn)報(bào)告單上?！踩缦卤怼车谖宀剑碚撟C明。圓周角定理實(shí)驗(yàn)報(bào)告單實(shí)驗(yàn)方案實(shí)驗(yàn)結(jié)果實(shí)驗(yàn)體會(huì)在進(jìn)展活動(dòng)后的三天和兩周，對(duì)"圓周角定理"的教學(xué)效果進(jìn)展跟蹤測(cè)試，結(jié)果如下表.工程優(yōu)秀良好合格不合格教師一三天后151041兩周后12882教師二三天后20910兩周后161130跟蹤測(cè)試說(shuō)明，在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中恰當(dāng)使用實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生自主的在"問題空間〞或在"未知空間〞里進(jìn)展探索，來(lái)做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，能更透徹地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)本質(zhì)，培養(yǎng)創(chuàng)新能力和解決問題的能力，真正到達(dá)"減負(fù)增效〞的目的?！踩?、"方法探索型〞數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，提高學(xué)生的化歸能力信息技術(shù)的飛速開展，正深刻的改變數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，通過(guò)多媒體技術(shù)，可以把一些復(fù)雜多變的幾何關(guān)系，利用計(jì)算機(jī)動(dòng)態(tài)的作圖功能得到表示，在變化當(dāng)中尋找萬(wàn)變不離其中的量，培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化、歸納和應(yīng)用現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)和解決問題的意識(shí)和能力。尤其在一些數(shù)學(xué)難題的探索過(guò)程中，可設(shè)計(jì)"方法探索型〞數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來(lái)發(fā)現(xiàn)規(guī)律和解決數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，尋找方法和思路。例：點(diǎn)A的坐標(biāo)為〔m，0〕，在軸上存在點(diǎn)B〔不與點(diǎn)A重合〕，以AB為邊作∠B=600的菱形ABCD，使點(diǎn)C落在拋物線上上，請(qǐng)?zhí)骄縨滿足什么條件時(shí)，符合上述條件的菱形分別為兩個(gè)、三個(gè)、四個(gè)？圖7圖7圖8此題屬于動(dòng)點(diǎn)問題，因?yàn)轭}中除了拋物線是確定不變的，點(diǎn)A本身位置就已經(jīng)不確定，再加上點(diǎn)B的位置還不確定，更難確定點(diǎn)C的位置了，解決此題時(shí)，不僅花費(fèi)了較長(zhǎng)的時(shí)間，而且答案還是五花八門，如果教師如果不借助現(xiàn)代信息技術(shù)進(jìn)展形象演示，而是簡(jiǎn)單的用一只粉筆代替，學(xué)生要真正理解難度就相當(dāng)大，這時(shí)，可利用幾何畫板設(shè)計(jì)"方法探索型〞數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)(如圖7)，拖動(dòng)點(diǎn)A和點(diǎn)B，引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察的同時(shí)認(rèn)真思考，尋找萬(wàn)變不離其宗的量。由于有了剛剛的實(shí)驗(yàn)過(guò)程，經(jīng)過(guò)討論，學(xué)生經(jīng)歷了下面兩個(gè)階段的認(rèn)識(shí)觀察，得出了兩個(gè)不同的發(fā)現(xiàn)： 發(fā)現(xiàn)一：此題實(shí)際上是只與點(diǎn)A有關(guān)，與點(diǎn)B無(wú)關(guān)，過(guò)點(diǎn)A且與*軸夾角為60度的兩條直線l1、l2在*軸上運(yùn)動(dòng)，直線l1、l2與拋物線的交點(diǎn)就是點(diǎn)C，這樣的點(diǎn)C有幾個(gè)，菱形就有幾個(gè)〔這就是運(yùn)動(dòng)中保持不變的幾何關(guān)系〕。再次利用幾何實(shí)驗(yàn)(如圖8)(隱去無(wú)關(guān)點(diǎn)B)，直接拖動(dòng)點(diǎn)A，探索菱形的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)換為研究直線與拋物線交點(diǎn)個(gè)數(shù)，因此得出第二個(gè)發(fā)現(xiàn)：發(fā)現(xiàn)二:菱形的個(gè)數(shù)就是直線l1、l2與拋物線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)兩條直線都與拋物線相交時(shí)，可作四個(gè)菱形，當(dāng)兩條直線中有一條與拋物線相交，一條相切時(shí)，可作三個(gè)菱形，當(dāng)兩條中一條與拋物線相交，另一條與拋物線無(wú)交點(diǎn)時(shí)，可作兩個(gè)菱形。這樣我們可以提煉出"精彩瞬間〞確定類動(dòng)態(tài)問題認(rèn)知模式："適當(dāng)模擬，畫出特殊圖形，化動(dòng)為靜，量化圖形〞。當(dāng)學(xué)生遇到同類問題時(shí)，就可以借助這一認(rèn)知模式，探尋的解題思路。這種認(rèn)知模式的提煉和積累，比教師只從動(dòng)態(tài)問題的運(yùn)動(dòng)形式進(jìn)展歸類〔如單質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題、雙質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的問題、動(dòng)線問題、動(dòng)形問題〕更具有普遍的指導(dǎo)性，又比只從數(shù)學(xué)思想角度去歸納〔數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、分類思想等〕更具有實(shí)際的操作性，可以成為溝通數(shù)學(xué)思想與解題操作的橋梁?！菜摹?、"模擬型〞數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì)數(shù)學(xué)中的變量，由于其動(dòng)態(tài)的復(fù)雜性往往無(wú)法在靜觀或想象中完成對(duì)它的刻畫，如果利用多媒體技術(shù)中的交互性特點(diǎn)，可設(shè)計(jì)出較強(qiáng)帶有控制性的"模擬型〞數(shù)學(xué)演示，借助計(jì)算機(jī)的強(qiáng)大動(dòng)態(tài)功能描述變化現(xiàn)象或再現(xiàn)問題情境，從而對(duì)這種現(xiàn)象的*些規(guī)律做出預(yù)測(cè)和判斷，充分表達(dá)數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合的動(dòng)態(tài)效果。 例4在學(xué)習(xí)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)時(shí)，由于涉及到得參數(shù)比擬多，學(xué)生真正理解并掌握?qǐng)D形和性質(zhì)，對(duì)初中學(xué)生來(lái)說(shuō)，還有一定的難度，許多學(xué)生都是停留在一知半解的根底上，導(dǎo)致解題時(shí)生搬硬套，更談不上靈活運(yùn)用了，因此，為了提高課堂教學(xué)的有效性，我用FLASH軟件做了一個(gè)界面如圖9所示的課件，利用電腦的強(qiáng)大的動(dòng)態(tài)功能進(jìn)展"模擬型〞數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：通過(guò)改變不同的參數(shù)值(勾選區(qū)中的a、m、k的值可任意設(shè)定)，再點(diǎn)按對(duì)應(yīng)的畫圖按鈕就能正確地刻劃出參數(shù)與圖像位置的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)生不僅形象生動(dòng)的觀察了圖象的整個(gè)變化過(guò)程，而且深刻理解了拋物線中三個(gè)參數(shù)a、m、k對(duì)拋物線的作用，由于設(shè)置了"模擬型〞數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，學(xué)生理解了二次函數(shù)的數(shù)學(xué)本質(zhì)，在此根底上，學(xué)生不難概括出關(guān)于拋物線的一些性質(zhì)，并且編出了一些便于記憶的口訣，如"形狀開口由a定，頂點(diǎn)牽著圖形走等……〞〔五〕、"變換型〞數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，指引學(xué)生數(shù)學(xué)思維方向數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)有意識(shí)、有方案地設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的整體性，不斷豐富解決問題的策略，提高解決問題的能力。事實(shí)上，在眾多的數(shù)學(xué)問題中，特殊與一般之間都有密切的關(guān)系，它們往往是一個(gè)整體。但在我們的數(shù)學(xué)教學(xué)中，這類原本具有整體性的問題往往被分割成一個(gè)個(gè)單題，以致學(xué)生找不出其中的聯(lián)系。如能設(shè)計(jì)"變換型〞數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，使學(xué)生從整體把握這一類問題，則，無(wú)論是對(duì)于知識(shí)的掌握，還是對(duì)于認(rèn)識(shí)水平的升華，都會(huì)具有不可估量的作用。例5，如圖10，設(shè)點(diǎn)C為線段BD上的一點(diǎn)，在線段BD的根底上作正三角形ABC和正三角形ECD，連結(jié)BE，交AC于M，連結(jié)AD分別交BE，CE于P，N。(1)圖中共有幾對(duì)全等三角形;(2)試證明：AD=BE，ND=ME，NC=MC。這是一個(gè)極為常見習(xí)題，但可以通過(guò)設(shè)計(jì)"變換型〞數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)進(jìn)一步研究，當(dāng)△ECD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)時(shí)，上述問題〔1〕中哪幾對(duì)全等關(guān)系不變？上述問題〔2〕中哪些等量關(guān)系不變？(圖10)(圖10)(圖11)(圖12)(圖12)(圖13)(圖14) 利用幾何畫板，作兩個(gè)公共頂點(diǎn)為C的正△ABC和正△ECD，連結(jié)AD，BE。教師只要拖動(dòng)點(diǎn)D使△ECD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，就能連續(xù)產(chǎn)