第十二周筆記及題目解析

已知平面上不重合的四點P，A，B，C滿足PAPBPC0且ABACmAP，那么實數(shù)m的值為 已知平面向量,,

1,

2,22a

若非零向量ab

bab，則a與ab的夾角 2，3，B（3，2）a

1bxy2

y{xy40，求（1）x2y,(2) ,(3)x2y210y25的最小x2xy5圓關于直線對稱的圓的方程C：(x1)2y2)225，直線l2m1)xm1)y7m4交點，經過這三個交點的圓記為C（1）求實數(shù)b的取值范圍（2）求圓C的方程；fxx22xb0b≠0Δ＞0b＜1且（Ⅱ）設所求圓為一般方程，x2y2DxEyF0 x2y22xb1)yb0已知直線l當直線lx2y2有兩個交點時，其斜率k的取值范圍是．已知圓(x1)2y21P(0,2P已知P是直線3x4y80上的動點，PA，PB是圓x2y22x2y10的兩條切線，A，B是切點，C是圓心，那么四邊形PACB面積的最小值為 若直線l與圓x2(y1)24相交于A,B兩點,且線段AB的中點坐標是(1,2),則直線l的方程為 已知圓C：(x1)2y28，過點A(1,0)的直線l將圓C分成弧長之比為1:2的兩段圓弧，則直線l的方程為 Cy=x2+a到直線l:y=x的距離等于Cx2+(y+4)2=2到直l:y=x的距離,則實 222202解析：C：x2＋(y＋4)2＝2，圓心(0，—4)，圓心到直線l：y＝x的距離為：d 2 故曲線C2到直線l：y＝x的距離為ddr222202 2＝x的距離的點為

1，

a)，d

111(24 a11(242 22已知橢圓C：x2y21(ab0)的離心率e 2

4 求橢圓C的方程5c ca

a2b2c2323

a2b 4因為原點到直線AB：1的距離d ,解得a4,b2a2a2 y故所求橢圓C的方程 已知橢圓C：x2y21(ab0)的右焦點為F(1,0)且點 2)在橢圓C上

橢圓C的標準方程

所以 1．所以橢圓C的標準方程

x(1(1 222222

2

1(0m

A 如圖,橢圓C:

是橢圓上異于

PAM對稱.若橢圓CM,使得OPOMm的取值

x001,且1x0 m因為MAP的中點,所以P(2x01,2y0因為OPOM,所以x(2x1)2y20 2x2由①,②消去y0,整理得m 02x2034 34所以m1 2 2(x02)

23當且僅當x02 3所以m的取值范圍是(0,1 3 22a

y

1(ab0)6設過橢圓的右焦點且傾斜角為4533直線l和橢圓交于A，B兩點.當|AB 3ca

a23b2.x23y2636 4x262bx3b2 33設A(x1,y1),B(x2,y2)，由③有：x1x2 ,x1x2

(x2(x2x1)2(y2y1x2y2

a

3b∴b2272b2213 b

1，短軸長為 （3 4ac32（Ⅰ） b2a2b2解得a 3,c1 即：橢圓方程為x2y2 34（Ⅱ）當直線AB與x軸垂直時，AB 343此時SAOB 3ABxAByk(x1)，代入消去y(23k2x26k2x3k26)0.A(x1y1B(x2y2)，則

6k23k，2x

3k1

k1kk1k所以AB

43(k243(k2

1212 1kk43(k1212 1kk43(k223k34由S k22k23422所以直線lAB:2xy 0或lAB:2xy 022 1的左、右焦點分別為F1、F2，過F1的直線交橢圓于B,D兩點 P．求四邊形ABCD的面積的最小值BD的斜率k存在且k0BDyk(x1) 1，并化簡得

2)x26k2x3k2606k 3k2B(x1，y1D(x2，y2x1x23k22x1x23k2243(k43(k21kk)2(xx)4x2 12BD x1x21

3k2 k43143(k243(k2

31 k

2k2 24(k2 (k2 S BD2

(3k22)(2k2

(3k22)(2k23)

綜上，四邊形ABCD的面積的最小值 已知雙曲線x 1已知直線xym0與雙曲線C交于不同的兩點A、B，且2ABx2y25上，求m ∵ 在 上 已知橢圓C:x2y21(ab0)的離心率e 3,原點到過

.(Ⅰ)求橢圓C44ykx1k0)交橢圓CEFEFB為圓心的圓上,求k的值.解Ⅰ)ca

a2b2c2323

a2ba2因為原點到直線AB：xy1的距離da2 ．故所求橢圓Cx2y2．

，解得a4b244 y0y12x(Ⅱ)因為點Px0,y0關于直線y2x的對稱點為P1x1,y1，所以 y0y12x0x1 解得x4y0

3y04x0x2y2x2y2 ， y

因為點Px,y在橢圓C: 1上，所以x2y2x2y24 0 因為4x4，所以4x2y216x2y2的取值范圍為4,16 ykx2(Ⅲ)由題意x22

y

(14k2)x28kx120 可知0E(x2y2F(x3y3EFM(xMyM．則xx2x34k，y 1 ．所以 yM2．xkM 14k 14k xkM所以xky2k0． 4k 2k0 14k 14k又因為k0，所以k21．所以k x 已知橢圓C: 1(ab0)的右焦點為

，且點(1, 54A、B證明QAQB為定 1(1 22222(1 22222所以

1

C

x222

證明：當直線l0A(2,0B(2,0)5則QAQB(2 ,0)

2 ,0) 2 當直線l的斜率不為0設直線l的方程為x22

1，Ax1,y1,Bx2,y2 由

0顯然 0yy

t2

因為

1， 1yy t2 所以(x14y1x24y2(ty14)(ty24y1(t(t1)y 1t(141y21121 421x2xa

y

.2,62(t21 即QA2,62(t21 即QAQB 3

0)?若存在,求出k的值;若不解析：(Ⅰ)由e

623c,c ,a2b2 得a ,b623 x2 2 3 y1),Q(x2 y2 則y1kx12,y2kx22ykx223

y

1,整理得(3k21)x212kx90則xx12k xx 3k2 1 3k2以PQ為直徑的圓過 0),則PDQD,即PDQDPDQD(x1 y1)(x2 y2)(x11)(x21)y1xx(xx)yy1(k21)xx(2k1)(xx)1 112k1403k217

1 7解得k

,此時(*)方程0,所以存在k

,使得以PQ為直徑的圓過點 1有相同的焦點,且離心率 2AP2PB,求AOB y解:(Ia2b21ab02由c ,可得a2,b2a2c22

2 2 (IIA(x1,y1B(x2,y2由AP2PB有 x11y12(y2ykx1,代入橢圓方程整理,得(2k21)x24kx22k8k2 2k2若x12k8k2

2k2

,x22k8k2k8k2

2k22k 8k2k 8k2 2k2 2k2解得k2 又AOBS2|OP||x1x2|2答:AOB的面積是 8

28k228k2 已知橢圓C:

(ab0)M(1),其離心率為 (|k|1與橢圓CA、B求橢圓C的方程；(Ⅱ)設直線l:ykx2

a2

，所以

又點M(1,)在橢圓C上，所

由①②解之，得a4,b3.故橢圓C的方程 (Ⅱ)當k0P(0,2m在橢圓C上，解得mykx

，所以|OP 3323當k0時，則由 4

64k2m24(34k24m212)48(34k2m20 ABP點的坐標分別為(x1,y1)(x2y2(x0y0，則 x0x1x234k2,y0y1y2k(x1x2)2m34k2xy xy由于點P在橢圓C上，所 0

16k

而 1，化簡得4m234k2，經檢驗滿足(34k

(34k2x2 64x2 64k(34k2 (34k24m2(16k24m2(16k2(34k216k24k2434k2因為0k1，得34k234，有3 4k23 OP3

.綜上，所求OP的取值范圍是[3, ] 2直線AP，BP的斜率分別為k1，k2，求證：k1k2為定值．解：（Ⅰ）依題意橢圓的焦點在x軸上，且c1，2a2 2∴a 2 b2a2c2x22

y（Ⅱ）證明：設A(x1,y1B(x2y2P(2,x22y2y

y整理得(2k21)x2222k222k222k222k2∴x1 ，x2 ；y1

2k21，y2

x1x2x1x2x1x22x1x2) 2k21

2k

∴ 為定值12 2k2

24k2 已知橢圓的中心在原點O，離心率e

，短軸的一個端點為 2)，點M為直323y1x與該橢圓在第一象限內的交點，平行于OM的直線lAB2x2y2 （Ⅰ） 1 0) 則b

,3 解得a223

x2y2 y1x

1xm2由

x22mx2m240設直線MAMB的斜率分別為k1k212A(xyB(xy，則ky11ky2112

x1

x2x22mx2m240可得xx2mxx2m24 1 2 k y y (y1)(x 2 x x (x2)(x (2x1m1)(x22)(2x2m1)(x1 (x12)(x2x1x2(m2)(x1x2)4(m(x12)(x22m24(m2)(2m)4(m(x12)(x22m242m24m4m4(x12)(x22)0．即k1k20x3

y41上一點P作x軸的平行線交兩漸線于Q，R則PQ 4x焦點的直線交拋物線于A，B兩點，若AB10，則AB的中點到 y24x上，且直線AP與BP的斜率之積等于2，則x0 F1(c0)F2c0)分別是雙曲線C1a2b21a0,b0)曲線C和圓Cx2y2c2P，且2PFFPFF，求雙曲線C 1 2 心 某三棱椎的三視圖，最大的是．已知一個幾何體是由上下兩部分構成的組合體，其三視圖如下，若圖中圓的半徑為等腰三角形的腰長為5，則該幾何體的體積 11 111主視 左視1對于直線mn和平面，使mA．mn，n B．m∥，C．m，n，n D．mn，n，F(xiàn)D如圖四邊形ABCD與BDEF均為菱形 FDDABDBF60FAC 所以AD//BCDE//BF，PNQDMBPNQDMBCA且滿足AE FCCP1.將△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角EFEF

EF EF圖 圖AECF1DE1所以AFAD2，而A60，即△ADF是正三角形.又因為AEED1,所以EFAD 2分所以在圖2中有A1EEF，BE 3A1EFB為直二面角，所以A1EBE.又因為 EFE ABCD中，AB//CD設平面 平面PCDm求證：CD//m證明：因為AB//CD，CD平面PAB，AB平面PAB ACAC因為CDPCDPABPCDm，所以CDm.DB求異面直線BE，SF所稱角度SESEPCFBSESECQFBA如圖l1l2是互相垂直的異面直線，MN是他們公垂線段，點A，Bl1上，Cl2求證ACNB略（2）解法一：（等體積換底求高比正弦法 A B BC2BN42三棱錐體積VNABC3SABChVCNAB3SNABBC2BN4233 1ACBCsin6012 33 2 2SNAB2BNAN22 1 所以代入VN