湖南省株洲市醴陵市四中2022年高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題含解析_第1頁
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文檔簡(jiǎn)介

2022年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.陀螺是中國民間最早的娛樂工具,也稱陀羅.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為,粗線畫出的是某個(gè)陀螺的三視圖,則該陀螺的表面積為()A. B.C. D.2.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為,,以線段為直徑的圓與雙曲線在第二象限的交點(diǎn)為,若直線與圓相切,則雙曲線的漸近線方程是()A. B. C. D.3.函數(shù)在上的圖象大致為()A. B. C. D.4.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》提出了數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng).為了比較甲、乙兩名高二學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平,現(xiàn)以六大素養(yǎng)為指標(biāo)對(duì)二人進(jìn)行了測(cè)驗(yàn),根據(jù)測(cè)驗(yàn)結(jié)果繪制了雷達(dá)圖(如圖,每項(xiàng)指標(biāo)值滿分為5分,分值高者為優(yōu)),則下面敘述正確的是()A.甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)高于乙B.甲的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)C.乙的六大素養(yǎng)中邏輯推理最差D.乙的六大素養(yǎng)整體平均水平優(yōu)于甲5.()A. B. C.1 D.6.甲、乙、丙、丁四人通過抓鬮的方式選出一人周末值班(抓到“值”字的人值班).抓完鬮后,甲說:“我沒抓到.”乙說:“丙抓到了.”丙說:“丁抓到了”丁說:“我沒抓到."已知他們四人中只有一人說了真話,根據(jù)他們的說法,可以斷定值班的人是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁7.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)(,)對(duì)應(yīng)向量(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),設(shè),以射線Ox為始邊,OZ為終邊旋轉(zhuǎn)的角為,則,法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理:,,則,由棣莫弗定理可以導(dǎo)出復(fù)數(shù)乘方公式:,已知,則()A. B.4 C. D.168.已知函數(shù),,的零點(diǎn)分別為,,,則()A. B.C. D.9.“一帶一路”是“絲綢之路經(jīng)濟(jì)帶”和“21世紀(jì)海上絲綢之路”的簡(jiǎn)稱,旨在積極發(fā)展我國與沿線國家經(jīng)濟(jì)合作關(guān)系,共同打造政治互信、經(jīng)濟(jì)融合、文化包容的命運(yùn)共同體.自2015年以來,“一帶一路”建設(shè)成果顯著.如圖是2015—2019年,我國對(duì)“一帶一路”沿線國家進(jìn)出口情況統(tǒng)計(jì)圖,下列描述錯(cuò)誤的是()A.這五年,出口總額之和比進(jìn)口總額之和大B.這五年,2015年出口額最少C.這五年,2019年進(jìn)口增速最快D.這五年,出口增速前四年逐年下降10.已知某超市2018年12個(gè)月的收入與支出數(shù)據(jù)的折線圖如圖所示:根據(jù)該折線圖可知,下列說法錯(cuò)誤的是()A.該超市2018年的12個(gè)月中的7月份的收益最高B.該超市2018年的12個(gè)月中的4月份的收益最低C.該超市2018年1-6月份的總收益低于2018年7-12月份的總收益D.該超市2018年7-12月份的總收益比2018年1-6月份的總收益增長(zhǎng)了90萬元11.已知平行于軸的直線分別交曲線于兩點(diǎn),則的最小值為()A. B. C. D.12.已知函數(shù).若存在實(shí)數(shù),且,使得,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.(5分)已知橢圓方程為,過其下焦點(diǎn)作斜率存在的直線與橢圓交于兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),則面積的取值范圍是____________.14.設(shè)滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)的最小值為_.15.若滿足約束條件,則的最小值是_________,最大值是_________.16.平面向量,,(R),且與的夾角等于與的夾角,則.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在四棱錐中,四邊形是直角梯形,底面,是的中點(diǎn).(1).求證:平面平面;(2).若二面角的余弦值為,求直線與平面所成角的正弦值.18.(12分)在中,、、分別是角、、的對(duì)邊,且.(1)求角的值;(2)若,且為銳角三角形,求的取值范圍.19.(12分)如圖,四棱錐中,底面為直角梯形,∥,為等邊三角形,平面底面,為的中點(diǎn).(1)求證:平面平面;(2)點(diǎn)在線段上,且,求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.20.(12分)已知數(shù)列,其前項(xiàng)和為,滿足,,其中,,,.⑴若,,(),求證:數(shù)列是等比數(shù)列;⑵若數(shù)列是等比數(shù)列,求,的值;⑶若,且,求證:數(shù)列是等差數(shù)列.21.(12分)已知拋物線:,點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn),焦點(diǎn)到直線的距離為,焦點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為,且.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若軸上存在點(diǎn),過點(diǎn)的直線與拋物線相交于、兩點(diǎn),且為定值,求點(diǎn)的坐標(biāo).22.(10分)已知函數(shù)(1)若函數(shù)在處取得極值1,證明:(2)若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】

畫出幾何體的直觀圖,利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的表面積即可,【詳解】由題意可知幾何體的直觀圖如圖:上部是底面半徑為1,高為3的圓柱,下部是底面半徑為2,高為2的圓錐,幾何體的表面積為:,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查三視圖求解幾何體的表面積,判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵.2.B【解析】

先設(shè)直線與圓相切于點(diǎn),根據(jù)題意,得到,再由,根據(jù)勾股定理求出,從而可得漸近線方程.【詳解】設(shè)直線與圓相切于點(diǎn),因?yàn)槭且詧A的直徑為斜邊的圓內(nèi)接三角形,所以,又因?yàn)閳A與直線的切點(diǎn)為,所以,又,所以,因此,因此有,所以,因此漸近線的方程為.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的漸近線方程,熟記雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)即可,屬于??碱}型.3.C【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性及函數(shù)在時(shí)的符號(hào),即可求解.【詳解】由可知函數(shù)為奇函數(shù).所以函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,排除選項(xiàng)A,B;當(dāng)時(shí),,,排除選項(xiàng)D,故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的判定及奇偶函數(shù)圖像的對(duì)稱性,屬于中檔題.4.D【解析】

根據(jù)雷達(dá)圖對(duì)選項(xiàng)逐一分析,由此確定敘述正確的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng),甲的數(shù)據(jù)分析分,乙的數(shù)據(jù)分析分,甲低于乙,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng),甲的建模素養(yǎng)分,乙的建模素養(yǎng)分,甲低于乙,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng),乙的六大素養(yǎng)中,邏輯推理分,不是最差,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng),甲的總得分分,乙的總得分分,所以乙的六大素養(yǎng)整體平均水平優(yōu)于甲,故D選項(xiàng)正確.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查圖表分析和數(shù)據(jù)處理,屬于基礎(chǔ)題.5.A【解析】

利用復(fù)數(shù)的乘方和除法法則將復(fù)數(shù)化為一般形式,結(jié)合復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.【詳解】,,因此,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的計(jì)算,同時(shí)也考查了復(fù)數(shù)的乘方和除法法則的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.6.A【解析】

可采用假設(shè)法進(jìn)行討論推理,即可得到結(jié)論.【詳解】由題意,假設(shè)甲:我沒有抓到是真的,乙:丙抓到了,則丙:丁抓到了是假的,?。何覜]有抓到就是真的,與他們四人中只有一個(gè)人抓到是矛盾的;假設(shè)甲:我沒有抓到是假的,那么丁:我沒有抓到就是真的,乙:丙抓到了,丙:丁抓到了是假的,成立,所以可以斷定值班人是甲.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了合情推理及其應(yīng)用,其中解答中合理采用假設(shè)法進(jìn)行討論推理是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與分析判斷能力,屬于基礎(chǔ)題.7.D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)乘方公式:,直接求解即可.【詳解】,.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的新定義題目、同時(shí)考查了復(fù)數(shù)模的求法,解題的關(guān)鍵是理解棣莫弗定理,將復(fù)數(shù)化為棣莫弗定理形式,屬于基礎(chǔ)題.8.C【解析】

轉(zhuǎn)化函數(shù),,的零點(diǎn)為與,,的交點(diǎn),數(shù)形結(jié)合,即得解.【詳解】函數(shù),,的零點(diǎn),即為與,,的交點(diǎn),作出與,,的圖象,如圖所示,可知故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的零點(diǎn),考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)形結(jié)合的能力,屬于中檔題.9.D【解析】

根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中數(shù)據(jù)的含義進(jìn)行判斷即可.【詳解】對(duì)A項(xiàng),由統(tǒng)計(jì)圖可得,2015年出口額和進(jìn)口額基本相等,而2016年到2019年出口額都大于進(jìn)口額,則A正確;對(duì)B項(xiàng),由統(tǒng)計(jì)圖可得,2015年出口額最少,則B正確;對(duì)C項(xiàng),由統(tǒng)計(jì)圖可得,2019年進(jìn)口增速都超過其余年份,則C正確;對(duì)D項(xiàng),由統(tǒng)計(jì)圖可得,2015年到2016年出口增速是上升的,則D錯(cuò)誤;故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖和折線統(tǒng)計(jì)圖解決實(shí)際問題,屬于基礎(chǔ)題.10.D【解析】

用收入減去支出,求得每月收益,然后對(duì)選項(xiàng)逐一分析,由此判斷出說法錯(cuò)誤的選項(xiàng).【詳解】用收入減去支出,求得每月收益(萬元),如下表所示:月份123456789101112收益203020103030604030305030所以月收益最高,A選項(xiàng)說法正確;月收益最低,B選項(xiàng)說法正確;月總收益萬元,月總收益萬元,所以前個(gè)月收益低于后六個(gè)月收益,C選項(xiàng)說法正確,后個(gè)月收益比前個(gè)月收益增長(zhǎng)萬元,所以D選項(xiàng)說法錯(cuò)誤.故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查圖表分析,考查收益的計(jì)算方法,屬于基礎(chǔ)題.11.A【解析】

設(shè)直線為,用表示出,,求出,令,利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間和極小值、最小值,即可求出的最小值.【詳解】解:設(shè)直線為,則,,而滿足,那么設(shè),則,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以故選:.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用:求單調(diào)區(qū)間和極值、最值,考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力,正確求導(dǎo)確定函數(shù)的最小值是關(guān)鍵,屬于中檔題.12.D【解析】

首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)分析函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值,根據(jù)題意,列出參數(shù)所滿足的不等關(guān)系,求得結(jié)果.【詳解】,令,得,.其單調(diào)性及極值情況如下:x0+0_0+極大值極小值若存在,使得,則(如圖1)或(如圖2).(圖1)(圖2)于是可得,故選:D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)根據(jù)函數(shù)值的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍的問題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值,畫出圖象數(shù)形結(jié)合,屬于較難題目.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

由題意,,則,得.由題意可設(shè)的方程為,,聯(lián)立方程組,消去得,恒成立,,,則,點(diǎn)到直線的距離為,則,又,則,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào).故面積的取值范圍是.14.【解析】

根據(jù)滿足約束條件,畫出可行域,將目標(biāo)函數(shù),轉(zhuǎn)化為,平移直線,找到直線在軸上截距最小時(shí)的點(diǎn),此時(shí),目標(biāo)函數(shù)取得最小值.【詳解】由滿足約束條件,畫出可行域如圖所示陰影部分:將目標(biāo)函數(shù),轉(zhuǎn)化為,平移直線,找到直線在軸上截距最小時(shí)的點(diǎn)此時(shí),目標(biāo)函數(shù)取得最小值,最小值為故答案為:-1【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃求最值,還考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法,屬于基礎(chǔ)題.15.06【解析】

作不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,即可求出結(jié)果.【詳解】作出可行域,如圖中的陰影部分:求的最值,即求直線在軸上的截距最小和最大時(shí),當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí),軸上截距最大,即z取最小值,.當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí),軸上截距最小,即z取最大值,.故答案為:0;6.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線性規(guī)劃中的最值問題,利用數(shù)形結(jié)合是解決問題的基本方法,屬于中檔題.16.2【解析】試題分析:,與的夾角等于與的夾角,所以考點(diǎn):向量的坐標(biāo)運(yùn)算與向量夾角三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)見解析;(2).【解析】試題分析:(1)根據(jù)平面有,利用勾股定理可證明,故平面,再由面面垂直的判定定理可證得結(jié)論;(2)在點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,利用二面角的余弦值為建立方程求得,在利用法向量求得和平面所成角的正弦值.試題解析:(Ⅰ)平面平面因?yàn)?所以,所以,所以,又,所以平面.因?yàn)槠矫?,所以平面平面.(Ⅱ)如圖,以點(diǎn)為原點(diǎn),分別為軸、軸、軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,則.設(shè),則取,則為面法向量.設(shè)為面的法向量,則,即,取,則依題意,則.于是.設(shè)直線與平面所成角為,則即直線與平面所成角的正弦值為.18.(1).(2).【解析】

(1)根據(jù)題意,由余弦定理求得,即可求解C角的值;(2)由正弦定理和三角恒等變換的公式,化簡(jiǎn)得到,再根據(jù)為銳角三角形,求得,利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),即可求解.【詳解】(1)由題意知,∴,由余弦定理可知,,又∵,∴.(2)由正弦定理可知,,即∴,又∵為銳角三角形,∴,即,則,所以,綜上的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用正弦定理和三角函數(shù)的恒等變換求解三角形問題,對(duì)于解三角形問題,通常利用正弦定理進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”尋求角的關(guān)系,利用“角轉(zhuǎn)邊”尋求邊的關(guān)系,利用余弦定理借助三邊關(guān)系求角,利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數(shù)值.利用正、余弦定理解三角形問題是高考高頻考點(diǎn),經(jīng)常利用三角形內(nèi)角和定理,三角形面積公式,結(jié)合正、余弦定理解題.19.(1)見解析(2)【解析】

(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證得,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理,證得底面,由此證得,結(jié)合證得平面,由此證得:平面平面.(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用平面和平面的法向量,計(jì)算出平面與平面所成的銳二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:∵為等邊三角形,為的中點(diǎn),∴∵平面底面,平面底面,∴底面平面,∴又由題意可知為正方形,又,∴平面平面,∴平面平面(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,由已知,得,設(shè)平面的法向量為,則令,則,∴由(1)知平面的法向量可取為∴∴平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理,考查二面角的求法,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.20.(1)見解析(2)(3)見解析【解析】試題分析:(1)(),所以,故數(shù)列是等比數(shù)列;(2)利用特殊值法,得,故;(3)得,所以,得,可證數(shù)列是等差數(shù)列.試題解析:(1)證明:若,則當(dāng)(),所以,即,所以,又由,,得,,即,所以,故數(shù)列是等比數(shù)列.(2)若是等比數(shù)列,設(shè)其公比為(),當(dāng)時(shí),,即,得,①當(dāng)時(shí),,即,得,②當(dāng)時(shí),,即,得,③②①,得,③②,得,解得.代入①式,得.此時(shí)(),所以,是公比為1的等比數(shù)列,故.(3)證明:若,由,得,又,解得.由,,,,代入得,所以,,成等差數(shù)列,由,得,兩式相減得:即所以相減得:所以所以,因?yàn)?,所以,即?shù)列是等差數(shù)列.21.(1)(2)【解析】

(1)先分別表示出,然后根據(jù)求解出的值,則的標(biāo)準(zhǔn)方程可求;(2)設(shè)出直線的方程并聯(lián)立拋物線方程得到韋達(dá)定理形式,然后根據(jù)距離公式表示出并代入韋達(dá)定理形式,由此判斷出為定值時(shí)的坐標(biāo).【詳解】(1)由題意可得,焦點(diǎn),,則,,∴解得.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

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