六年級(jí)奧數(shù)第15講-抓“不變量”解題(教)

學(xué)科教師輔導(dǎo)講義學(xué)員編號(hào):年級(jí)：六年級(jí)課時(shí)數(shù)：3學(xué)員姓名:輔導(dǎo)科目：奧數(shù)學(xué)科教師:授課主題第15講——“學(xué)員編號(hào):年級(jí)：六年級(jí)課時(shí)數(shù)：3學(xué)員姓名:輔導(dǎo)科目：奧數(shù)學(xué)科教師:授課主題第15講——“不變量”解題授課類型T同步課堂P實(shí)戰(zhàn)演練S歸納總結(jié)教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)掌握“總量不變”，“相差量不變”和“部分量不變”三種不變量思想，并能用這些思想解決現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題。授課日期及時(shí)段T(Textbook-Based)同步課堂知識(shí)梳理一個(gè)數(shù)量的變化，往往會(huì)引起其他數(shù)量的變化。如'某班轉(zhuǎn)走3名女生”，女生人數(shù)變了，總?cè)藬?shù)也跟著變了，男生與女生、女生與總?cè)藬?shù)之間的倍數(shù)關(guān)系也變了……只有注意到這些變化，才能防止出錯(cuò)。但在這些數(shù)量變化時(shí)，與它們相關(guān)的另外一些數(shù)量卻沒有改變。在分析數(shù)量關(guān)系時(shí)，這種不變量常常會(huì)起到非常重要的作用。抓住不變量進(jìn)行思考，可以順利解答一些經(jīng)典的應(yīng)用題，能達(dá)到事半功倍的效果。根據(jù)不變量的不同，可以將“量不變”應(yīng)用題分為三種類型：“總量不變”應(yīng)用題、“相差量不變”應(yīng)用題和“部分量不變”應(yīng)用題。典例分析考點(diǎn)一：總量不變題中兩個(gè)變化的量中，一個(gè)量在增加，另一個(gè)量減少，但是增加的和減少的同樣多，所以兩個(gè)量的總和保持不變。解題時(shí)，一般把兩個(gè)量的總和看作單位“1”或者把其中一個(gè)量看作是1倍的量。例1、有一個(gè)書架，上層與下層書的數(shù)量比是7:8,現(xiàn)從上層拿10本給下層,這時(shí)上層與下層的數(shù)量比是8:7,求原來(lái)上、下層各有多少本？【解析】這道題上下層都發(fā)生了變化，但總數(shù)量不變，可把總數(shù)量看作單位“1”，抓住總數(shù)量不變，根據(jù)上層與下層的數(shù)量比是7:8知上層占總數(shù)的7/15,又根據(jù)上層與下層的數(shù)量比是8:7，知上層占總數(shù)的8/15,列式:10—(8/15-7/15)=150(本),150本為總數(shù)量,150—(7+8)=10(本)7x10=70(本)8x10=80(本)。例2、小麗有故事書108本，小芳有故事書140本，小芳借了若干本故事書給小麗后，小麗的故事書的本數(shù)是小芳的3倍。問(wèn)小芳借了多少本故事書給小麗？【解析】小芳借了若干本故事書給小麗前后，小芳和小麗擁有故事書的本數(shù)都發(fā)生了變化，但兩人擁有故事書的總本數(shù)不變，這是本題解題的關(guān)鍵。即(108+140)本就是小芳現(xiàn)有故事書的本數(shù)的(3+1)倍，因此小芳現(xiàn)有故事書的本數(shù)是(108+140)—(3+1)=62本，所以小芳借給小麗故事書的本數(shù)是140-62=78(本)?？梢则?yàn)證一下：(108+78)—(140-78)=186—62=3，答案正確。例3、有一個(gè)書架，上層與下層書的數(shù)量比是2：3,現(xiàn)從上層拿15本書給下層，這時(shí)上層與下層書的數(shù)量比是3：7,求原來(lái)上、下層各有多少本書？【解析】根據(jù)題意，上、下兩層書的本數(shù)都發(fā)生了變化，而上下兩層書的總數(shù)量是不變的，可把總數(shù)量看作單位“1”。抓住總數(shù)量不變，根據(jù)上層與下層書的數(shù)量比是2:3,知道上層書占總數(shù)的2/5；又根據(jù)上層與下層書的數(shù)量比是3:7,知道上層書占總數(shù)的3/10，兩人故事書的總本數(shù)是：15—(2/5-3/10)=150(本)，所以上層原有書150x2/5=60(本)，下層原有書150-60=90(本)。考點(diǎn)二：相差量不變題中的兩個(gè)量同時(shí)增加，或者同時(shí)減少，但是這兩個(gè)量的差始終保持不變。根據(jù)這個(gè)不變的差量，就可以解決問(wèn)題了。例1、有一個(gè)書架，上層與下層的數(shù)量比是7:8,上、下層同時(shí)都拿走10本后,剩下上層與下層本數(shù)的比是13:15,求原來(lái)上、下層各有多少本？【解析】這道題上下層都發(fā)生了變化，但它們的差不變,可把它們的差看作單位“1”，抓住相差量不變，根據(jù)上層與下層的數(shù)量比是7:8,知上層占差的7/1,又根據(jù)上層與下層的數(shù)量比是13:15,知上層占差的13/2,列式:10—(7/1-13⑵=20本,20—(8-7)=20本,20x8=160(本),20x7=140(本)。例2、今年琪琪5歲，媽媽32歲，再過(guò)多少年媽媽的歲數(shù)是琪琪歲數(shù)的4倍？【解析】不論經(jīng)過(guò)多少年，琪琪和媽媽的年齡差都是不變的。今年媽媽與琪琪的年齡差為32-5=27（歲），等于媽媽的歲數(shù)是琪琪歲數(shù)的4倍時(shí)的年齡差，所以27歲對(duì)應(yīng)的是那一年琪琪歲數(shù)的（4-1）倍。那一年琪琪的歲數(shù)是（32-5）-（4-1）=9（歲），經(jīng)過(guò)的年限是：9-5=4（年）。例3、用杯子往一個(gè)空瓶里倒水，如果倒進(jìn)6杯水，連瓶共重680克，如果倒進(jìn)9杯水，連瓶共重920克，求空瓶的重量?！窘馕觥侩S著倒進(jìn)的杯數(shù)不同，瓶里水的重量和總重量都在變化，但是不管倒進(jìn)幾杯水，每一杯水的重量都是不變的，所以，（920-680）克就正好是（9-6）杯水的重量。對(duì)應(yīng)相除就能求出1杯水的重量，（920-680）-（9-6）=80（克）從而就可以求出空瓶的重量。920-80x9=200（克）。考點(diǎn)三：部分量不變這類應(yīng)用題的特點(diǎn)是：兩個(gè)量中的一個(gè)量發(fā)生了變化，而另一個(gè)量不變。解題時(shí)可以把這個(gè)不變的量作為解題突破口，尋找解題方法。例1、有一個(gè)書架，上層與下層書的數(shù)量比是7:8,現(xiàn)又拿來(lái)10本書放到上層，這時(shí)上層與下層的比是15:16，求原來(lái)上、下層各有多少本？【解析】這道題中,由于從外面拿10本書放到上層，上層的數(shù)量發(fā)生了變化，而下層本數(shù)不變，可把下層本數(shù)看成單位“1”,抓住部分量不變,根據(jù)原來(lái)上層與下層書的數(shù)量比是7:8,知上層本數(shù)占下層的7/8,放入10本后,上層本數(shù)占下層的15/16,也就是下層的（15/16-7/8）是10本，列式:10—（15/16-7/8）=160本,160本為原下層的本數(shù),上層為160/8x7=140本。例2、小軍原有的錢數(shù)是小明的3/4，小軍用去100元后，這時(shí)小軍的錢數(shù)是兩人總錢數(shù)的5/17。小軍原來(lái)有多少元錢？【解析】題中小軍的錢數(shù)減少了，總錢數(shù)也減少了，但小明的錢數(shù)沒有變，因此，我們可以把小明的錢數(shù)看作單位“1”。這時(shí)“小軍用去100元后，這時(shí)小軍的錢數(shù)是兩人總錢數(shù)的5/17”就轉(zhuǎn)化為“小軍用去100后，這時(shí)小軍的錢數(shù)是小明的5/（17-5），即5/12”，再根據(jù)題中前兩個(gè)條件可知，100元相當(dāng)于小明的錢數(shù)的3/4-5/12=1/3。因此小明的錢數(shù)是100-1/3=300（元），小軍原有錢數(shù)是300x3/4=400（元）。例3、唐洋小學(xué)六（4）班男生人數(shù)占班級(jí)總?cè)藬?shù)的9/16，后來(lái)又轉(zhuǎn)走了4名男生，這時(shí)男生人數(shù)占班級(jí)總?cè)藬?shù)的8/15,求六（4）班原來(lái)有學(xué)生多少名？【解析】從男生轉(zhuǎn)走了4名看出，男生人數(shù)和班級(jí)總?cè)藬?shù)都發(fā)生了變化，但女生人數(shù)沒有變。因此可以把女生人數(shù)這個(gè)不變量看作單位“1”，原來(lái)男生人數(shù)占班級(jí)總?cè)藬?shù)的9/16，女生人數(shù)就占班級(jí)總?cè)藬?shù)的1-9/16=7/16,原

來(lái)男生人數(shù)是女生人數(shù)的9/16一7/16=9/7；現(xiàn)在男生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的8/15，女生人數(shù)就占班級(jí)總?cè)藬?shù)的1-8/15=7/15,現(xiàn)在男生人數(shù)是女生人數(shù)的8/15-7/15=8/7,男生人數(shù)減少了4名，分率減少了9/7-8/7=1/7,據(jù)此求出女生人數(shù)為4-1/7=28（名），六（4）班原有學(xué)生人數(shù)是28-7/16=64（名）。P(Practice-Oriented)P(Practice-Oriented)――實(shí)戰(zhàn)演練實(shí)戰(zhàn)演練課堂狙擊1、育才小學(xué)六（1）班原有學(xué)生56人，其中女生人數(shù)占全班人數(shù)的3/7，現(xiàn)又轉(zhuǎn)入若干名女生，這時(shí)，女生人數(shù)占全班的13/29。問(wèn)又轉(zhuǎn)入多少名女生？【解析】這道題中，據(jù)六（1）班原有學(xué)生56人，其中女生人數(shù)占全班人數(shù)的3/7，知女生有56x3/7=24（人），由于女生后來(lái)人數(shù)發(fā)生了變化，而男生人數(shù)一直沒有變化，抓住不變量男生人數(shù)，男生人數(shù)為56-24=32（人），據(jù)又轉(zhuǎn)入若干名女生，這時(shí)，女生人數(shù)占全班的13/29，知男生人數(shù)占后來(lái)全班人數(shù)的（1-13/29）=16/39，后來(lái)全班人數(shù)為32-（1-13/29）=58（人），58-56=2（人），得出又轉(zhuǎn)入女生2人。列式：56x3/7=24（人），56-24=32（人），1-13/29=16/39，32-（1-13/29）=58（人），58-56=2（人）。2、某工程，由甲先做了12天，再由甲、乙兩人合做，完成任務(wù)時(shí)，甲做了這項(xiàng)工程的5/8，甲每天的工作量是乙的2/3，假如這項(xiàng)工程由甲單獨(dú)做，幾天完工？【解析】從題中條件可知，這項(xiàng)工程在由甲先做了12天后，剩下的工程是由甲、乙兩人合做，才完成剩下的工程，甲、乙兩人做的時(shí)間是相等的，這是一個(gè)不變的量。另外由題意明白，甲每天的工作量是乙的2/3,因?yàn)檫@項(xiàng)工程，甲做了其中的5/8，乙則做了其中的：1—5/8=3/8，在乙完成這項(xiàng)工程的3/8這段時(shí)間里，甲只能完成這項(xiàng)工程的：3/8x2/3=1/4，即可得，在甲先做的12天的這段時(shí)間里，完成了工程的：5/8—1/4，因此可得，甲單獨(dú)完成這項(xiàng)工程用的時(shí)間是：12-（5/8—1/4）=32（天）。3、王進(jìn)和張明計(jì)算甲、乙兩個(gè)自然數(shù)的積（這兩個(gè)自然數(shù)都比1大）。王進(jìn)把甲數(shù)的個(gè)位數(shù)字看錯(cuò)了，計(jì)算結(jié)果為91,張明卻把甲數(shù)的十位數(shù)字看錯(cuò)了，計(jì)算的結(jié)果為175。兩個(gè)數(shù)的積究竟是多少?【解析】91=7x13=1x91，所以175和91的公約數(shù)是1或7,因?yàn)橐覕?shù)比1大，所以乙數(shù)一定是7。抓住：一個(gè)因數(shù)（乙數(shù)）沒有變，乙是91和175的公約數(shù)；9"7=13……王進(jìn)看錯(cuò)了的甲數(shù)。175-7=25……張明看錯(cuò)了的甲數(shù)。15x7=105。194、如果給分?jǐn)?shù)的分子加上一個(gè)數(shù)，又從它的分母中減去同一個(gè)數(shù)，原分?jǐn)?shù)就變?yōu)橐?，求所加（減）的這個(gè)數(shù)?！窘馕觥孔兓昂蠓肿臃帜傅暮筒蛔?，原分?jǐn)?shù)分子分母比為19:45,分子分母子的和的總份數(shù)為19+45=64份；新分?jǐn)?shù)分子分母比為3:5,分子分母的和的總份數(shù)為3+5=8份。原來(lái)總份數(shù)64份和現(xiàn)在總份數(shù)8份所表示的量應(yīng)該是相同的，把3:5改為24:40，這樣分子多了24—19=5，分母少了45—40=5，因而所加（減）的這個(gè)數(shù)是5。5、有濃度為95%的酒精溶液600克，現(xiàn)要加水稀釋成濃度為75%的酒精，求加水后酒精溶液的重量?！窘馕觥考铀♂專f(shuō)明純酒精不變，原來(lái)純酒精與溶液的比是95:100即19:20，純酒精份數(shù)為19份；加水后純酒精與溶液的比是75:100即3:4,純酒精份數(shù)為3份。原來(lái)純酒精份數(shù)為19份和現(xiàn)在純酒精份數(shù)為3份所表示的量應(yīng)該是相同的，把原來(lái)19:20改為57:60,把3:4改為57:76，這樣原來(lái)酒精溶液所表示的份數(shù)為60份，因而原來(lái)酒精溶液600克對(duì)應(yīng)的份數(shù)是60份，而加水后溶液份數(shù)為76份?加水后酒精溶液的重量600—60x76=760。課后反擊1、育才小學(xué)六（1）班原有女生26人，其中女生人數(shù)占全班人數(shù)的13/29，現(xiàn)又轉(zhuǎn)出若干名女生，這時(shí)，女生人數(shù)占全班的3/7。問(wèn)又轉(zhuǎn)出多少名女生？【解析】這道題中，據(jù)六（1）班原有女生26人，其中女生人數(shù)占全班人數(shù)的13/29,知全班人數(shù)為26—13/29=58（人）由于女生后來(lái)人數(shù)發(fā)生了變化，而男生人數(shù)一直沒有變化，抓住不變量男生人數(shù)，男生人數(shù)為58-26=32（人），據(jù)又轉(zhuǎn)出若干名女生，這時(shí)，女生人數(shù)占全班的3/7,知男生人數(shù)占后來(lái)全班人數(shù)的（1-3/7）=4/7,后來(lái)全班人數(shù)為32-（1-3/7）=56（人），58-56=2（人），得出又轉(zhuǎn)出女生2人。列式：26-13/29=58（人），58-26=32（人），1-3/7=4/7,32-（1-3/7）=56（人），58-56=2（人）。2、甲、乙兩車分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行。出發(fā)時(shí)，甲、乙兩車的速度比是4：3。相遇后，兩車?yán)^續(xù)前進(jìn)，乙車每小時(shí)比本來(lái)多行35千米。結(jié)果兩車同時(shí)達(dá)到目標(biāo)地，求甲車每小時(shí)行多少千米？【解析】甲、乙兩車同時(shí)出發(fā)，相向而行。出發(fā)時(shí)，甲、乙兩車的速度比是4：3，到相遇時(shí)用的時(shí)間相等，因此可得，這時(shí)兩車行的路程比也是4：3，兩車相遇后，兩車達(dá)到目標(biāo)地的行程比則變?yōu)?:4,如設(shè)乙車的速度為“1”則甲車的速度為4/3,設(shè)乙車本來(lái)的速度為X,乙車現(xiàn)如今的速度則為：X+35,甲車的速度則為4/3X，因?yàn)閮绍囋谙嘤龊?，又繼續(xù)前進(jìn)，并且兩車同時(shí)達(dá)到目標(biāo)地，這時(shí)兩車行的時(shí)間又是相等的，時(shí)間一定，路程和速度成正比例，因此可得：4：（X+35）=3:4/3X，解得，X=45，即乙車本來(lái)的速度為每小時(shí)行45千米，甲車的速度則為：45x4/3=60（千米）。3、把一個(gè)長(zhǎng)25厘米，寬10厘米，高4厘米的長(zhǎng)方體木塊鋸成若干個(gè)小正方體，接著拼成一個(gè)大正方體，求這個(gè)大正方體的表面積?！窘馕觥恳?yàn)閷⑦@個(gè)長(zhǎng)方體鋸成若干個(gè)小正方體，接著再拼成一個(gè)大正方體，這個(gè)大正方體的體積和本來(lái)長(zhǎng)方體的體積是相等的。因此，我們可抓住大正方體的體積和本來(lái)長(zhǎng)方體的體積相等這個(gè)關(guān)鍵進(jìn)行解答。本來(lái)長(zhǎng)方體的體積為：25x10x4=1000（立方厘米），因此可得，將這個(gè)長(zhǎng)方體鋸成若干個(gè)小正方體接著再拼成一個(gè)大正方體的體積也為1000立方厘米。而1000=10x10x10=103,因此可得，這個(gè)大正方體的棱長(zhǎng)為10厘米，這個(gè)大正方體的表面積則為：10x10x6=600（平方厘米）。4、甲、乙兩個(gè)書架放圖書冊(cè)數(shù)的比是7:5，從甲書架上拿78冊(cè)到乙書架，甲、乙書架上的圖書冊(cè)數(shù)的比變?yōu)?：4。甲書架原有圖書多少冊(cè)？【解析】從甲書架上拿78冊(cè)到乙書架，甲、乙兩個(gè)書架圖書總數(shù)不變，原來(lái)甲、乙兩個(gè)書架放圖書冊(cè)數(shù)的比是7:5,總份數(shù)為7+5=12份；后來(lái)甲、乙書架上的圖書冊(cè)數(shù)的比變?yōu)?:4,總份數(shù)為3+4=7份。原來(lái)總份數(shù)12份和現(xiàn)在總份數(shù)7份所表示的量應(yīng)該是相同的，把7:5改為49:35,把3:4改為36:48,這樣甲少了49—36=13份，乙多了48-35=13份，因而從甲書架上拿78冊(cè)到乙書架這個(gè)78冊(cè)對(duì)應(yīng)的份數(shù)是13份。甲書架原有圖書78^13x49=294本。555、某班男生人數(shù)是女生人數(shù)的丁，最近又轉(zhuǎn)來(lái)一名女生，結(jié)果女生人數(shù)成了男生人數(shù)的丁，求現(xiàn)在全班有46多少人？5【解析】最近又轉(zhuǎn)來(lái)一名女生，男生人數(shù)不變，原來(lái)男生人數(shù)是女生人數(shù)的丁，即原來(lái)男生人數(shù)與女生人數(shù)4的比是5:4,男生人數(shù)份數(shù)為5份；后來(lái)女生人數(shù)成了男生人數(shù)的，即男生人數(shù)與女生人數(shù)的比是6:5,男生人數(shù)份數(shù)為6份。原來(lái)男生人數(shù)份數(shù)為5份和現(xiàn)在男生人數(shù)份數(shù)為6份所表示的量應(yīng)該是相同的，把5:4改為30:24，把6:5改為30:25,這樣女生人數(shù)增加了25—24=1份，因而又轉(zhuǎn)來(lái)一名女生對(duì)應(yīng)的份數(shù)是1份?，F(xiàn)在全班有(30+25)x1=55人。6、甲乙兩種商品價(jià)格比為7:3,它們的價(jià)格都上漲70元后價(jià)格比變?yōu)?:4,兩種商品原來(lái)價(jià)格各是多少元？【解析】甲乙兩種商品價(jià)格上漲70元前后價(jià)格差不變，原來(lái)價(jià)格比為7:3，差7—3=4份；上漲70元后價(jià)格比變?yōu)?:4,差7—4=3份。原來(lái)差4份和現(xiàn)在差3份所表示的量應(yīng)該是相同的，把7:3改為21:9，把7:4改為28:16，這樣甲價(jià)格上漲28—21=7份，乙價(jià)格上漲16—9=7份。因而它們的價(jià)格都上漲70元對(duì)應(yīng)的份數(shù)是7份。原來(lái)甲價(jià)格70-7x21=210元；原來(lái)乙價(jià)格70-7x9=90元。直擊賽場(chǎng)1、(華杯賽)第一桶柴油的重量是第二桶的6倍，從第一桶取出12千克柴油加入第二桶，這時(shí)第一桶柴油的重量是第二桶的4倍，原來(lái)第一桶有柴油多少千克？【解析】?jī)赏安裼偷闹亓靠偸遣蛔兊?，又未知，要看作單位一的量。貝f取前”第一桶占兩桶總量的1/(1+6)=1/7,取后”第一桶占兩桶總量的1/(1+4)=1/5,第一桶取前取后差12千克占兩桶總量的1/5—1/7/r