平面教學課件

2．1.1平面2．1.1平面平面教學課件要點一平面概念的理解1.平面是一個不加定義，只須理解的最基本的原始概念．常見的桌面、黑板面、平靜的水面等，都給我們以平面的形象．要點一平面概念的理解2．立體幾何里所說的平面就是從生活中的平面抽象出來的，生活中的平面是比較平、且有限的，而立體幾何中的平面是理想的、絕對的“平”并無限延展的．3．立體幾何體中的平面與平面幾何中的平面圖形是有區(qū)別的：平面圖形如三角形，正方形，梯形等它們有大小之分；而平面是無大小、無厚薄之分的，它可以無限延伸，它是不可度量的．2．立體幾何里所說的平面就是從生活中的平面抽象出來的，生活中例1判斷下列說法是否正確，并說明理由．(1)平行四邊形是一個平面．(2)任何一個平面圖形都是一個平面．(3)空間圖形中先畫的線是實線，后畫的線是虛線．【分析】

解答本題可先考慮平面的性質及其畫法，然后依次解決。例1判斷下列說法是否正確，并說明理由．【解】

(1)不正確．平行四邊形它僅是平面上四條線段構成的圖形，它是不能無限延展的．(2)不正確．平面圖形和平面是完全不同的兩個概念，平面圖形是有大小的，它是不可能無限延展的．(3)不正確．在空間圖形中，我們一般是把能夠看得見的線畫成實線，把被平面遮住看不見的線畫成虛線(無論是題中原有的，還是后引的輔助線)．【解】(1)不正確．平行四邊形它僅是平面上四條線段構成的圖【規(guī)律方法】

(1)在立體幾何中，我們通常用平行四邊形表示平面，但絕不是說平行四邊形就是平面．(2)要嚴格區(qū)分“平面圖形”和“平面”這兩個概念．【規(guī)律方法】(1)在立體幾何中，我們通常用平行四邊形表示平(3)在平面幾何中，凡是后引的輔助線都畫成虛線，在立體幾何中卻不然．有的同學在學習立體幾何時，對此點沒有認識，必將影響空間立體感的形成，削弱或阻斷空間想象能力的培養(yǎng)．(3)在平面幾何中，凡是后引的輔助線都畫成虛線，在立體幾何中變式1在下列命題中，正確命題的個數為(

)①書桌面是平面②8個平面重疊起來，要比6個平面重疊起來厚③有一個平面的長是50m，寬是20m④平面是絕對的平，無厚度，可以無限延展的抽象的數學概念變式1在下列命題中，正確命題的個數為()A．1

B．2C．3 D．4解析：平面具有無限延展性，且無薄厚之分．答案：AA．1 B．2要點二共面問題某些點或線在同一個平面內，稱之為這些點、線共面．證明點、線共面問題的理論依據是公理1和公理2，及其推論，常用方法有：1．先由部分點、線確定一個面，再證其余的點、線都在這個平面內，即用“納入法”；要點二共面問題2．先由其中一部分點、線確定一個平面α，其余點、線確定另一個平面β，再證平面α與β重合，即用“同一法”；3．假設不共面，結合題設推出矛盾，用“反證法”．2．先由其中一部分點、線確定一個平面α，其余點、線確定另一個例2求證：兩兩平行的三條直線如果都與另一條直線相交，那么這四條直線共面．已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求證：直線a、b、c和l共面．【分析】

例2求證：兩兩平行的三條直線如果都與另一條直線相交，那么【證明】

∵a∥b，∴直線a與b確定一個平面，設為α，【證明】∵a∥b，∴直線a與b確定一個平面，設為α，∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈a，B∈b，則A∈a，B∈α.而A∈l，B∈l，∴由公理1可知：l?α.∵b∥c，∴直線b與c確定一個平面，設為β，同理可知l?β.∴平面α和平面β都包含直線b與l，

∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈a，B∈b，則A∈a，B∈α且l∩b＝B，又∵經過兩條相交直線，有且只有一個平面，∴平面α與平面β重合，∴直線a，b，c和l共面．【規(guī)律方法】

在證明多線共面時，常用“納入法”或“同一法”(如本例)來證明．且l∩b＝B，變式2已知直線l與兩平行直線a和b分別相交于A，B兩點．求證：三條直線a，b，l共面．證明：證法一：(納入法)如下圖所示．變式2已知直線l與兩平行直線a和b分別相交于A，B兩點．求∵a∥b，∴直線a，b確定一個平面α.又∵a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈a，B∈α，∴l(xiāng)?α.因此直線a，b，l都在平面α內，即三線共面．∵a∥b，∴直線a，b確定一個平面α.證法二：(同一法)∵a∩l＝A，∴直線a與l確定一平面α.又∵a∥b，∴直線a和b確定一平面β.∵b∩l＝B，∴B∈β且B?a.又∵a?α，a?β，證法二：(同一法)∵a∩l＝A，∴α和β有公共的一條直線a.又∵B∈α，B∈β，B?a，∴由推論可知，α和β重合．∴直線a，b，l共面.∴α和β有公共的一條直線a.要點三共線問題利用公理3證明三點共線：兩個平面的公共點在交線上．如圖，E、F、G、H分別是空間四邊形AB、BC、CD、DA上的點，且直線EH與直線FG交于點O.求證：B、D、O三點共線．要點三共線問題【分析】

解答本題只要證明點O在平面ABD與平面CBD的交線BD上即可。平面教學課件【證明】

∵E∈AB，H∈AD，∴E∈平面ABD，H∈平面ABD.∴EH?平面ABD.∵EH∩FG＝O，∴O∈平面ABD.同理O∈平面BCD，即O∈平面ABD∩平面BCD，∴O∈BD，即B、D、O三點共線．【證明】∵E∈AB，H∈AD，【規(guī)律方法】

證明多點共線通常利用公理3，即兩相交平面交線的惟一性，通過證明點分別在兩個平面內，證明點在相交平面的交線上，也可選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其他點也在其上．【規(guī)律方法】證明多點共線通常利用公理3，即兩相交平面交線的變式3如圖，已知△ABC在平面α外，它的三邊所在直線分別交α于P，Q，R，求證：P，Q，R三點共線．變式3如圖，已知△ABC在平面α外，它的三邊所在直線分別交證明：∵A，B，C為α外的三點，∴△ABC所在的平面β與平面α不重合．∵P＝AB∩α，∴P為平面α與β的公共點，同理可證：R，Q也是平面α與β的公共點，由公理3知，P，Q，R三點共線.證明：∵A，B，C為α外的三點，要點四共點問題利用公理3證明多線共點：任意兩條直線的交點是兩個平面的公共點，兩個平面的公共點在兩個平面的交線上．要點四共點問題例4如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為AB的中點，F為AA1的中點．求證：CE、D1F、DA三線交于一點．例4如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，【分析】

因為CE?平面ABCD，D1F?平面ADD1A1，且平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD.所以可證明D1F與CE的交點在直線DA上．【分析】因為CE?平面ABCD，D1F?平面ADD1A1，平面教學課件又D1F?平面A1D1DA，CE?平面ABCD.∴P為平面A1D1DA與平面ABCD的公共點．又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，根據公理3，可得P∈DA，即CE、D1F、DA相交于一點．又D1F?平面A1D1DA，CE?平面ABCD.【規(guī)律方法】

證明三線共點的基本方法是：(1)先說明兩條直線共面且相交于一點，然后說明這個點在兩個平面內，于是該點在這兩個平面的交線上，從而得到三線共點．(2)也可以先說明a，b相交于一點A，b與c相交于一點B，再說明A、B是同一點，從而得到a、b、c三線共點．【規(guī)律方法】證明三線共點的基本方法是：(1)先說明兩條直線變式4如圖三個平面α、β、γ兩兩相交于三條直線，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直線a和b不平行．

求證：a、b、c三條直線必過同一點．變式4如圖三個平面α、β、γ兩兩相交于三條直線，即α∩β＝證明：∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a?γ，b?γ.由于直線a和b不平行，∴a、b必相交．設a∩b＝P，則P∈a，P∈b.∵a?β，b?α，∴P∈β，P∈α.又α∩β＝c，∴P∈c即交線c經過點P.∴a、b、c三條直線相交于同一點．證明：∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a?γ，b?γ.1.2.1平面的基本性質11.2.1平面的基本性質1

象這些桌面、平靜的湖面、鏡面、黑板面等都給我們以____的印象一.平面的概念：光滑的桌面、平靜的湖面等都是我們很熟悉.二.平面的特征：平面沒有大小、厚薄和寬窄，平面在空間是無限延伸的。數學中的平面概念是現實平面加以抽象的結果。平面象這些桌面、平靜的湖面、鏡面、黑板面等都給我們以__ADCB平面α、平面ABCD三.平面的表示方法幾何畫法：通常用平行四邊形來表示平面．

符號表示：通常用希臘字母等來表示，如：平面也可用表示平行四邊形的兩個相對頂點的字母來表示，如：平面AC．、平面ACADCB平面α、平面ABCD三.平面的表示方法幾何畫法：通常（1）水平放置的平面：（2）垂直放置的平面：a?一般用水平放置的正方形的直觀圖作為水平放置的平面的直觀圖（1）水平放置的平面：（2）垂直放置的平面：a?一般用水平放（3）在畫圖時，如果圖形的一部分被另一部分遮住，可以把遮住部分畫成虛線，也可以不畫。（3）在畫圖時，如果圖形的一部分被另一部分遮住，可以把遮住部四.用數學符號來表示點、線、面之間的位置關系：ABa

點A在直線a上：記為：A∈a點B不在直線a上：記為：B∈a點A在平面α內：記為：A∈α點B不在平面α上：記為：B∈αABα(1)點與直線的位置關系：(2)點與平面的位置關系：四.用數學符號來表示點、線、面之間的位置關系：ABa點A(3)直線與平面的位置關系：

直線a上的所有點都在平面α上，稱直線a在平面α內，或稱平面α通過直線a.記為：

直線a與平面α只有一個公共點A時，稱直線a與平面α相交。記為：a∩α＝AαaαAa(3)直線與平面的位置關系：直線a上的所有點都在平【例1】已知命題：①10個平面重疊起來，要比5個平面重疊起來厚；②有一個平面的長是50m，寬是20m；③黑板面是平面；④平面是絕對的平，沒有大小、沒有厚度，可以無限延展的抽象的數學概念.

其中正確的的命題是__________.④【例1】已知命題：④如果把桌面看作一個平面，把筆看作是一條直線的話，你覺得在什么情況下，才能使筆所代表的直線上所有的點都能在桌面上？思考：··如果把桌面看作一個平面，把筆看作是一條直線的話，你覺得在什么公理1.如果一條直線上兩點在一個平面內，那么這條直線上的所有的點都在這個平面內（即直線在平面內）。αlAB桌面αAB觀察下列問題，你能得到什么結論？五.平面的基本性質公理1.如果一條直線上兩點在一個平面內，那么這條直線上的所有公理1.如果一條直線上兩點在一個平面內，那么這條直線上的所有的點都在這個平面內（即直線在平面內）。αlAB文字語言：圖形語言：符號語言：公理1.如果一條直線上兩點在一個平面內，那么這條直線上的所有一是可以用來判定一條直線是否在平面內，即要判定直線在平面內，只需確定直線上兩個點在平面內即可；

二是可以用來判定點在平面內，即如果直線在平面內、點在直線上，則點在平面內.

三是表明平面是“平的”公理1的作用有三：一是可以用來判定一條直線是否在平面內，即二是可以用公理2.如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其它公共點，這些公共點的集合是經過這個公共點的一條直線。Pαβa觀察下列問題，你能得到什么結論？P天花板α墻面β墻面γ公理2.如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其它公共點，這文字語言：圖形語言：符號語言：公理2.如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其它公共點，這些公共點的集合是經過這個公共點的一條直線。Paαβ如果兩個平面有一條公共直線，則稱這兩個平面相交，這條公共直線叫做這兩個平面的交線。文字語言：圖形語言：符號語言：公理2.如果兩個平面有一個公共一是判定兩個平面相交，即如果兩個平面有一個公共點，那么這兩個平面相交；二是判定點在直線上，即點若是某兩個平面的公共點，那么這點就在這兩個平面的交線上.公理2的作用有二：三.兩平面兩個公共點的連線就是它們的交線Plβα一是判定兩個平面相交，即如果兩個平面有一個二是判定點在直ABCDA1B1C1D1O【例2】在長方體ABCD—A1B1C1D1中，畫出平面A1C1D與平面B1D1D的交線.

ABCDA1B1C1D1O【例2】在長方體ABCD—A1B1DABCE【例3】如圖畫出平面與平面ADE的交線畫出DE與平面的交點PDABCE【例3】如圖畫出平面與平面ADE的交線A變式：如圖，已知△ABC三邊所在的直線分別交平面于點P、Q、R，求證：P、Q、R三點在同一直線上。BCQPRA變式：如圖，已知△ABC三邊所在的直線分別交平面證明：（公理2）同理可證：要證明空間諸點共線，通常證明這些點同時落在兩個相交平面內，則落在它們的交線上.ABCQPR證明：（公理2）同理可證：要證明空間諸點共線，通常證明這些點

用手指頭將一本書平衡地擺方在空間某一位置，至少需要幾個手指頭？思考：手指的位置需要滿足什么條件？用手指頭將一本書平衡地擺方在空間某一位置，至少需要幾公理3.過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面.αACB公理3.過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面.αACB文字語言：圖形語言：符號語言：公理3.過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面.αACB或記為平面ABC公理3是確定平面的依據;

判定點或線的共面文字語言：圖形語言：符號語言：公理3.過不在同一直線上的三點推論1.一條直線和直線外一點唯一確定一個平面。βaABC數學語言表示:推論1.一條直線和直線外一點唯一確定一個平面。βaABC數學已知：點A求證：過點A和直線a有且只有一個平面.∵∴過不共線的三點A,B,C有一個平面（公理3）∵B∈，C∈∴a（公理1）∴過點A和直線a有一個平面證明:（存在性）（唯一性）推論1：經過一條直線和直線外一點，有且只有一個平面.,在a上任取兩點B、C，又由公理3,經過不共線的三點A、B、C的平面只有一個∴經過a和點A的平面只有一個.aABC已知：點A求證：過點A和直線a有且只有一個平面.∵∴過不共線推論2.兩條相交直線唯一確定一個平面。βCab數學語言表示:推論2.兩條相交直線唯一確定一個平面。βCab數學語言表示:推論3.兩條平行直線唯一確定一個平面。βACBab數學語言表示:思考1：不共面的四點可以確定多少個平面？思考2：四條相交于同一點的直線a,b,c,d并且任意三條都不在同一平面內，有它們中的兩條來確定平面，可以確定多少個平面?推論3.兩條平行直線唯一確定一個平面。βACBab數學語言表【例4】如圖，直線AB、BC、CA兩兩相交，交點分別為A、B、C，判斷這三條直線是否共面，并說明理由.ABC共面【例4】如圖，直線AB、BC、CA兩兩相交，交點分別為A、B∵A、B、C三點不在一條直線上證明：∴過A、B、C三點可以確定平面(公理3)∵A∈,B∈∴AB(公理1)同理BC,AC∴AB、AC、BC共面ABC∵A、B、C三點不在一條直線上證明：∴過A、B、C三點可以證法2：∵A直線BC∴過點A和直線BC確定平面∵A∈,B∈BC∴B∈,∴AB同理AC∴AB、AC、BC共面ABC證法2：∵A直線BC∴過點A和直線BC確定平面∵A∈,B證法3：∵AB∩AC=A∴直線AB、AC確定一個平面∵B∈AB,C∈AC,C∈∴B∈∴BC(推論2)(公理1)∴直線AB、BC、CA都在平面內即它們共面ABC證法3：∵AB∩AC=A∴直線AB、AC確定一個平面∵B∈A1.已知下列四個說法：①很平的桌面是一個平面②平面ABCD的面積為10cm2③平面是矩形或平行四邊形④空間圖形中，后引的輔助線是虛線其中正確的命題有A.0個B.1個C.2個D.3個

練習1.已知下列四個說法：①很平的桌面是一個平面練習（×）（×）（×）（×）（×）（×）（×）（×）練3.直線l與過點P的三條直線a1,a2,a3分別交于A，B，C三點（A，B，C異于點P），求證：這四條直線共面。αa3ACPa1a2B例2圖練3.直線l與過點P的三條直線a1,a2,a3分4．根據下列符號表示的語句，說出有關點、線、面的關系，并畫出圖形．4．根據下列符號表示的語句，說出有關點、線、面的關系●lA●lA點A在直線l上點A在直線l外●AA●點A在平面內點A在平面外直線l在平面外直線l在平面內lll５填空●lA●lA點A在直線l上點A在直線l外●AA6.如圖找平面BA1C1與平面B1AC的交線

ABCDA1B1C1D16.如圖找平面BA1C1與平面B1AC的交線ABCDA7.P、Q分別是正方體ABCD—A1B1C1D1的棱AA1、CC1上的點，畫出過B、P、Q三點的截面C1D1QABCDA1B1P7.P、Q分別是正方體ABCD—A1B1C1D1的棱想一想:兩個平面能將空間分成幾部分?3或4兩個平面相交1342132兩個平面平行想一想:兩個平面能將空間分成幾部分?3或4兩個平面相交三個平面能將空間分成幾部分?13244678三個平面能將空間分成幾部分?132446782．1.1平面2．1.1平面平面教學課件要點一平面概念的理解1.平面是一個不加定義，只須理解的最基本的原始概念．常見的桌面、黑板面、平靜的水面等，都給我們以平面的形象．要點一平面概念的理解2．立體幾何里所說的平面就是從生活中的平面抽象出來的，生活中的平面是比較平、且有限的，而立體幾何中的平面是理想的、絕對的“平”并無限延展的．3．立體幾何體中的平面與平面幾何中的平面圖形是有區(qū)別的：平面圖形如三角形，正方形，梯形等它們有大小之分；而平面是無大小、無厚薄之分的，它可以無限延伸，它是不可度量的．2．立體幾何里所說的平面就是從生活中的平面抽象出來的，生活中例1判斷下列說法是否正確，并說明理由．(1)平行四邊形是一個平面．(2)任何一個平面圖形都是一個平面．(3)空間圖形中先畫的線是實線，后畫的線是虛線．【分析】

解答本題可先考慮平面的性質及其畫法，然后依次解決。例1判斷下列說法是否正確，并說明理由．【解】

(1)不正確．平行四邊形它僅是平面上四條線段構成的圖形，它是不能無限延展的．(2)不正確．平面圖形和平面是完全不同的兩個概念，平面圖形是有大小的，它是不可能無限延展的．(3)不正確．在空間圖形中，我們一般是把能夠看得見的線畫成實線，把被平面遮住看不見的線畫成虛線(無論是題中原有的，還是后引的輔助線)．【解】(1)不正確．平行四邊形它僅是平面上四條線段構成的圖【規(guī)律方法】

(1)在立體幾何中，我們通常用平行四邊形表示平面，但絕不是說平行四邊形就是平面．(2)要嚴格區(qū)分“平面圖形”和“平面”這兩個概念．【規(guī)律方法】(1)在立體幾何中，我們通常用平行四邊形表示平(3)在平面幾何中，凡是后引的輔助線都畫成虛線，在立體幾何中卻不然．有的同學在學習立體幾何時，對此點沒有認識，必將影響空間立體感的形成，削弱或阻斷空間想象能力的培養(yǎng)．(3)在平面幾何中，凡是后引的輔助線都畫成虛線，在立體幾何中變式1在下列命題中，正確命題的個數為(

)①書桌面是平面②8個平面重疊起來，要比6個平面重疊起來厚③有一個平面的長是50m，寬是20m④平面是絕對的平，無厚度，可以無限延展的抽象的數學概念變式1在下列命題中，正確命題的個數為()A．1

B．2C．3 D．4解析：平面具有無限延展性，且無薄厚之分．答案：AA．1 B．2要點二共面問題某些點或線在同一個平面內，稱之為這些點、線共面．證明點、線共面問題的理論依據是公理1和公理2，及其推論，常用方法有：1．先由部分點、線確定一個面，再證其余的點、線都在這個平面內，即用“納入法”；要點二共面問題2．先由其中一部分點、線確定一個平面α，其余點、線確定另一個平面β，再證平面α與β重合，即用“同一法”；3．假設不共面，結合題設推出矛盾，用“反證法”．2．先由其中一部分點、線確定一個平面α，其余點、線確定另一個例2求證：兩兩平行的三條直線如果都與另一條直線相交，那么這四條直線共面．已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求證：直線a、b、c和l共面．【分析】

例2求證：兩兩平行的三條直線如果都與另一條直線相交，那么【證明】

∵a∥b，∴直線a與b確定一個平面，設為α，【證明】∵a∥b，∴直線a與b確定一個平面，設為α，∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈a，B∈b，則A∈a，B∈α.而A∈l，B∈l，∴由公理1可知：l?α.∵b∥c，∴直線b與c確定一個平面，設為β，同理可知l?β.∴平面α和平面β都包含直線b與l，

∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈a，B∈b，則A∈a，B∈α且l∩b＝B，又∵經過兩條相交直線，有且只有一個平面，∴平面α與平面β重合，∴直線a，b，c和l共面．【規(guī)律方法】

在證明多線共面時，常用“納入法”或“同一法”(如本例)來證明．且l∩b＝B，變式2已知直線l與兩平行直線a和b分別相交于A，B兩點．求證：三條直線a，b，l共面．證明：證法一：(納入法)如下圖所示．變式2已知直線l與兩平行直線a和b分別相交于A，B兩點．求∵a∥b，∴直線a，b確定一個平面α.又∵a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈a，B∈α，∴l(xiāng)?α.因此直線a，b，l都在平面α內，即三線共面．∵a∥b，∴直線a，b確定一個平面α.證法二：(同一法)∵a∩l＝A，∴直線a與l確定一平面α.又∵a∥b，∴直線a和b確定一平面β.∵b∩l＝B，∴B∈β且B?a.又∵a?α，a?β，證法二：(同一法)∵a∩l＝A，∴α和β有公共的一條直線a.又∵B∈α，B∈β，B?a，∴由推論可知，α和β重合．∴直線a，b，l共面.∴α和β有公共的一條直線a.要點三共線問題利用公理3證明三點共線：兩個平面的公共點在交線上．如圖，E、F、G、H分別是空間四邊形AB、BC、CD、DA上的點，且直線EH與直線FG交于點O.求證：B、D、O三點共線．要點三共線問題【分析】

解答本題只要證明點O在平面ABD與平面CBD的交線BD上即可。平面教學課件【證明】

∵E∈AB，H∈AD，∴E∈平面ABD，H∈平面ABD.∴EH?平面ABD.∵EH∩FG＝O，∴O∈平面ABD.同理O∈平面BCD，即O∈平面ABD∩平面BCD，∴O∈BD，即B、D、O三點共線．【證明】∵E∈AB，H∈AD，【規(guī)律方法】

證明多點共線通常利用公理3，即兩相交平面交線的惟一性，通過證明點分別在兩個平面內，證明點在相交平面的交線上，也可選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其他點也在其上．【規(guī)律方法】證明多點共線通常利用公理3，即兩相交平面交線的變式3如圖，已知△ABC在平面α外，它的三邊所在直線分別交α于P，Q，R，求證：P，Q，R三點共線．變式3如圖，已知△ABC在平面α外，它的三邊所在直線分別交證明：∵A，B，C為α外的三點，∴△ABC所在的平面β與平面α不重合．∵P＝AB∩α，∴P為平面α與β的公共點，同理可證：R，Q也是平面α與β的公共點，由公理3知，P，Q，R三點共線.證明：∵A，B，C為α外的三點，要點四共點問題利用公理3證明多線共點：任意兩條直線的交點是兩個平面的公共點，兩個平面的公共點在兩個平面的交線上．要點四共點問題例4如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為AB的中點，F為AA1的中點．求證：CE、D1F、DA三線交于一點．例4如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，【分析】

因為CE?平面ABCD，D1F?平面ADD1A1，且平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD.所以可證明D1F與CE的交點在直線DA上．【分析】因為CE?平面ABCD，D1F?平面ADD1A1，平面教學課件又D1F?平面A1D1DA，CE?平面ABCD.∴P為平面A1D1DA與平面ABCD的公共點．又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，根據公理3，可得P∈DA，即CE、D1F、DA相交于一點．又D1F?平面A1D1DA，CE?平面ABCD.【規(guī)律方法】

證明三線共點的基本方法是：(1)先說明兩條直線共面且相交于一點，然后說明這個點在兩個平面內，于是該點在這兩個平面的交線上，從而得到三線共點．(2)也可以先說明a，b相交于一點A，b與c相交于一點B，再說明A、B是同一點，從而得到a、b、c三線共點．【規(guī)律方法】證明三線共點的基本方法是：(1)先說明兩條直線變式4如圖三個平面α、β、γ兩兩相交于三條直線，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直線a和b不平行．

求證：a、b、c三條直線必過同一點．變式4如圖三個平面α、β、γ兩兩相交于三條直線，即α∩β＝證明：∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a?γ，b?γ.由于直線a和b不平行，∴a、b必相交．設a∩b＝P，則P∈a，P∈b.∵a?β，b?α，∴P∈β，P∈α.又α∩β＝c，∴P∈c即交線c經過點P.∴a、b、c三條直線相交于同一點．證明：∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a?γ，b?γ.1.2.1平面的基本性質11.2.1平面的基本性質1

象這些桌面、平靜的湖面、鏡面、黑板面等都給我們以____的印象一.平面的概念：光滑的桌面、平靜的湖面等都是我們很熟悉.二.平面的特征：平面沒有大小、厚薄和寬窄，平面在空間是無限延伸的。數學中的平面概念是現實平面加以抽象的結果。平面象這些桌面、平靜的湖面、鏡面、黑板面等都給我們以__ADCB平面α、平面ABCD三.平面的表示方法幾何畫法：通常用平行四邊形來表示平面．

符號表示：通常用希臘字母等來表示，如：平面也可用表示平行四邊形的兩個相對頂點的字母來表示，如：平面AC．、平面ACADCB平面α、平面ABCD三.平面的表示方法幾何畫法：通常（1）水平放置的平面：（2）垂直放置的平面：a?一般用水平放置的正方形的直觀圖作為水平放置的平面的直觀圖（1）水平放置的平面：（2）垂直放置的平面：a?一般用水平放（3）在畫圖時，如果圖形的一部分被另一部分遮住，可以把遮住部分畫成虛線，也可以不畫。（3）在畫圖時，如果圖形的一部分被另一部分遮住，可以把遮住部四.用數學符號來表示點、線、面之間的位置關系：ABa

點A在直線a上：記為：A∈a點B不在直線a上：記為：B∈a點A在平面α內：記為：A∈α點B不在平面α上：記為：B∈αABα(1)點與直線的位置關系：(2)點與平面的位置關系：四.用數學符號來表示點、線、面之間的位置關系：ABa點A(3)直線與平面的位置關系：

直線a上的所有點都在平面α上，稱直線a在平面α內，或稱平面α通過直線a.記為：

直線a與平面α只有一個公共點A時，稱直線a與平面α相交。記為：a∩α＝AαaαAa(3)直線與平面的位置關系：直線a上的所有點都在平【例1】已知命題：①10個平面重疊起來，要比5個平面重疊起來厚；②有一個平面的長是50m，寬是20m；③黑板面是平面；④平面是絕對的平，沒有大小、沒有厚度，可以無限延展的抽象的數學概念.

其中正確的的命題是__________.④【例1】已知命題：④如果把桌面看作一個平面，把筆看作是一條直線的話，你覺得在什么情況下，才能使筆所代表的直線上所有的點都能在桌面上？思考：··如果把桌面看作一個平面，把筆看作是一條直線的話，你覺得在什么公理1.如果一條直線上兩點在一個平面內，那么這條直線上的所有的點都在這個平面內（即直線在平面內）。αlAB桌面αAB觀察下列問題，你能得到什么結論？五.平面的基本性質公理1.如果一條直線上兩點在一個平面內，那么這條直線上的所有公理1.如果一條直線上兩點在一個平面內，那么這條直線上的所有的點都在這個平面內（即直線在平面內）。αlAB文字語言：圖形語言：符號語言：公理1.如果一條直線上兩點在一個平面內，那么這條直線上的所有一是可以用來判定一條直線是否在平面內，即要判定直線在平面內，只需確定直線上兩個點在平面內即可；

二是可以用來判定點在平面內，即如果直線在平面內、點在直線上，則點在平面內.

三是表明平面是“平的”公理1的作用有三：一是可以用來判定一條直線是否在平面內，即二是可以用公理2.如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其它公共點，這些公共點的集合是經過這個公共點的一條直線。Pαβa觀察下列問題，你能得到什么結論？P天花板α墻面β墻面γ公理2.如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其它公共點，這文字語言：圖形語言：符號語言：公理2.如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其它公共點，這些公共點的集合是經過這個公共點的一條直線。Paαβ如果兩個平面有一條公共直線，則稱這兩個平面相交，這條公共直線叫做這兩個平面的交線。文字語言：圖形語言：符號語言：公理2.如果兩個平面有一個公共一是判定兩個平面相交，即如果兩個平面有一個公共點，那么這兩個平面相交；二是判定點在直線上，即點若是某兩個平面的公共點，那么這點就在這兩個平面的交線上.公理2的作用有二：三.兩平面兩個公共點的連線就是它們的交線Plβα一是判定兩個平面相交，即如果兩個平面有一個二是判定點在直ABCDA1B1C1D1O【例2】在長方體ABCD—A1B1C1D1中，畫出平面A1C1D與平面B1D1D的交線.

ABCDA1B1C1D1O【例2】在長方體ABCD—A1B1DABCE【例3】如圖畫出平面與平面ADE的交線畫出DE與平面的交點PDABCE【例3】如圖畫出平面與平面ADE的交線A變式：如圖，已知△ABC三邊所在的直線分別交平面于點P、Q、R，求證：P、Q、R三點在同一直線上。BCQPRA變式：如圖，已知△ABC三邊所在的直線分別交平面證明：（公理2）同理可證：要證明空間諸點共線，通常證明這些點同時落在兩個相交平面內，則落在它們的交線上.ABCQPR證明：（公理2）同理可證：要證明空間諸點共線，通常證明這些點

用手指頭將一本書平衡地擺方在空間某一位置，至少需要幾個手指頭？思考：手指的位置需要滿足什么條件？用手指頭將一本書平衡地擺方在空間某一位置，至少需要幾公理3.過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面.αACB公理3.過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面.αACB文字語言：圖形語言：符號語言：公理3.過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面.αACB或記為平面ABC公理3是確定平面的依據;

判定點或線的共面文字語言：圖形語言：符號語言：公理3.過不在同一直線上的三點推論1.一條直線和直線外一點唯一確定一個平面。βaABC數學語言表示:推論1.一條直線和直線外一點唯一確定一個平面。βaABC數學已知：點A求證：過點A和直線a有且只有一個平面.∵∴過不共線的三點A,B,C有一個平面（公理3）∵B∈，C∈∴a（公理1）∴過點A和直線a有一個平面證明:（存在