人教版初中數(shù)學(xué)圖形的相似技巧及練習(xí)題附答案

人教版初中數(shù)學(xué)圖形的相似技巧及練習(xí)題附答案一.選擇題如圖，點(diǎn)E為MBC的內(nèi)心，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)M,交AC于點(diǎn)N,若AB=7,AC=5,BC=6，則MN的長為（）【答案】B【解析】【分析】連接EB、EC,如圖，利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)得到Z1=Z2,利用平行線的性質(zhì)得Z2=Z3,所以Z1=Z3,則BM=ME,同理可得NONE,接著證明厶AMN^AABC,所以MN1-BM75—=—-—,則BM=7--MN①，同理可得CN=5--MN②，把兩式相加得到MN的6766方程，然后解方程即可.【詳解】連接EB、EC,如圖，???點(diǎn)E為aABC的內(nèi)心，AEB平分ZABC,EC平分AEB平分ZABC,EC平分ZACB,AZ1=Z2,VMN/7BC,r.Z2=Z3,AZ1=Z3,ABM=ME,同理可得NC=NE,VMN//BC,AAAMN^AABC,MNAM?__MNAM?__即空=鳴,則bmf?MN①,676同理可得CN=5--MN（2）,6①+②得MN=12-2MN,AMN=4.故選：B.【點(diǎn)睛】此題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于掌握與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形.三角形的內(nèi)心就是三角形三個內(nèi)角角平分線的交點(diǎn).若厶ABCs^DEF,氐A(chǔ)BC與ADEF的相似比為2:3,則S“bc：Sadef為（）A.2：3B.4：9C.72?>/3D.3：2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩相似三角形的面枳比等于相似比的平方，所以?DEF'【詳解】因?yàn)锳ABC^ADEF,所以ZkABC與ADEF的面枳比等于相似比的平方，4所以S^abc：S^def=（—）2=~9故選B.9【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握：兩個相似三角形面枳比等于相似比的平方.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于0（9,為直徑，AD=CD,過點(diǎn)D作DE丄初于點(diǎn)3E，連接4C交DE于點(diǎn)尸?若sniZCAB=-9DF=5,則AB的長為（）A.10B?12C?16D?20【答案】D【解析】【分析】連接3D,如圖，先利用圓周角定理證明ZADE=ZDAC得到=FA=5,再根據(jù)正弦的定義計(jì)算出EF=3,則AE=4,DE=8,接著證明△ADEsqbE,利用相似比得到BE=6所以AB=20?【詳解】解：連接BD，如圖,\'AB為直徑，/.ZADB=ZACB=90°,-AD=CD,:.ZDAC=ZDCA,而ZDCA=ZAED,:.ZDAC=ZABD,???DE丄AB,:.ZABD+ZBDE=90°t而ZADE+ZBDE=90°,.\ZABD=ZADE,:.ZADE=ZDAC,:.FD=FA=5,EF3在RtAAEF中，vsinZCAB=——=-,AF5.?.EF=3,AE=（5,_3‘=4，DE=5+3=8，??ZADE=ZDBE，ZAED=ABED,/.SADE^ADBE,:.DE:BE=AE:DE,即8:5E=4:8,BE=16,.\AB=4+16=20.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半.推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90。的圓周角所對的弦是直徑.也考查了解直角三角形.4.如圖所示，在正方形ABCD中，G為CD邊中點(diǎn)，連接AG并延長交BC邊的延長線于E點(diǎn)，對角線BD交AG于F點(diǎn).已知FG=2,則線段AE的長度為（）

A.6B?8C?10D?12【答案】D【解析】分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出AB〃CD,進(jìn)而可得出△ABF-AGDF,根據(jù)相似三角形的性4FAB質(zhì)可得出K=—=2.結(jié)合FG=2可求出AF、AG的長度，由CG〃AB、AB=2CG可得出GFGDCG為ZiEAB的中位線，再利用三角形中位線的性質(zhì)可求出AE的長度，此題得解.詳解：???四邊形ABCD為正方形，?'?AB二CD,AB〃CD,AZABF=ZGDF,ZBAF=ZDGF,AAABF<^AGDF,AFAB/?==21GFGDAAF=2GF=4,/?AG=6????CG〃AB,AB=2CG,??.CG為ZkEAB的中位線，AAE=2AG=12.故選D.點(diǎn)睛：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及三角形的中位線，利用相似三角形的性質(zhì)求出AF的長度是解題的關(guān)鍵.5.如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,ZA=60°,AC=2,D是AB邊上一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），E是BC邊上一點(diǎn)，且ZCDE=30。.設(shè)AD=x,BE=y,則下列圖彖中，能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可得出4B=4,BC=2JJ,BD=4—x,CE=2JJ—y,然后判斷aCDE-ACBD,繼而利用相似三角形的性質(zhì)可得出y與x的關(guān)系式，結(jié)合選項(xiàng)即可得出答案.【詳解】解：???ZA=60。，AC=2,???AB=4,BC=2蟲BD=4-x,CE=2y[i-y,在ZkACD中，利用余弦定理可得CD2=AC2+AD2-2AC*ADcosZA=4+x2-2x,故可得CD=j4-2x+〒，又*：ZCDE=ZCBD=30°,ZECD=ZDCB（同一個角），,CECDAACDE^ACBD,即可得——=——，CDCB即當(dāng)=y]4-2x+x2yj^-2x+x22書故可得：〉，=一迴亍+迴X+班?即呈二次函數(shù)關(guān)系，且開「1朝下.633故選C.【點(diǎn)睛】考查解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.6.如圖，點(diǎn)E是口ABCD的邊ADt一點(diǎn)，DE=2AE,連接BE,交4C邊于點(diǎn)F,下列結(jié)論中錯誤的是（）

BC=3AEAC=4AFBF=3EFBC=2DEBC=3AEAC=4AFBF=3EFBC=2DE【答案】D【解析】【分析】由平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)分別判斷即可.【詳解】解：???在口4BCD中，AD//BC,AD=BC^?AEAFEFCBCFBFDE=2AE心嚴(yán)=應(yīng)，選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)D錯誤,CFCB3AE3???AC=4AF,?°?選項(xiàng)B正確，,即：BF=3EF,BFCB3AE3?°.選項(xiàng)c正確，故選：D.【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，能熟練利用相似三角形對應(yīng)邊成比例是解題關(guān)鍵.k7.如圖，正方形OABC的邊長為6,D為AB中點(diǎn)，0B交CD于點(diǎn)Q,0是丫=一上一點(diǎn)，Xk的值是（）【答案】c【解析】【分析】延長根據(jù)相似三角形得到bq：oq=i.29再過點(diǎn)0作垂線，利用相似三角形的性質(zhì)求出QF、OF,進(jìn)而確定點(diǎn)0的坐標(biāo)，確定k的值.【詳解】解：過點(diǎn)0作0F丄0A,垂足為尸，：.OA=AB=BC=OC=6,ZABC=ZOAB=90°=ZDAE,是AB的中點(diǎn)，BD=-AB,2?:BD//OC,氐OCQs^BDQ,BQ_BD_1"0Q=0C=2f又???QFHAB,??.SOFQ^SOAB,.QFOF_OQ_2_2"7^=~dA=~dB=2+l=3'???A3=6,22QF=6x—=4,OF=6x—=4,匕33「?0(4,4),丁點(diǎn)Q在反比例函數(shù)的圖彖上，,.k=4x4=16,故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)、相似三角形的性質(zhì)和判定，利用相似三角形性質(zhì)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)是解決問題的關(guān)鍵.k&如圖，點(diǎn)A在雙曲線(x>0)上，過點(diǎn)A作AB丄x軸，垂足為點(diǎn)B,分別以點(diǎn)0X和點(diǎn)A為圓心，人于丄0A的長為半徑作弧，兩弧相交于D,E兩點(diǎn)，作直線DE交x軸于2點(diǎn)C,交y軸于點(diǎn)F(0,2),連接AC.若AC=1,則k的值為()

A.2B.3225【答案】【解析】分析：如圖，設(shè)0A交CFAB.0B即可解決問題：A.2B.3225【答案】【解析】分析：如圖，設(shè)0A交CFAB.0B即可解決問題：fK.利用面積法求出OA的長，再利用相似三角形的性質(zhì)求出fK.由作圖可知，CF垂直平分線段0A,AOC=CA=1,OK=AK,在RtAOFC中，CF二JOF：+OC'厲,aak=ok=由△FOCsAOBA,可得OF_OC_CF2_1_>/5???喬_而_77?，I-TOC\o"1-5"\h\z84?0B=—9AB=—5584?A(—9—),

3225故選B.點(diǎn)睛：本題考查作圖-復(fù)雜作圖，反比例函數(shù)圖彖上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型.9.如圖，4〃為OO的直徑，C為OOh一點(diǎn)，弦4D平分ZBAC,交眩BC于點(diǎn)E，CD=4,DE=2,則4E的長為（）B.4C.6D.B.4C.6D.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)角平分線的定義得到ZCAD=ZBAD,ADAC,【答案】C【解析】【分析】根據(jù)角平分線的定義得到ZCAD=ZBAD,ADAC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出AD,【詳解】解：TAD平分ZBAC,AZCAD=ZBAD,由圓周角定理得，ZDCB=ZBAD,AZCAD=ZDCB,XZD=ZD,AADCE^ADAC,根據(jù)圓周角定理得到ZDCB二ZBAD,證明ADCEs結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案.DEDCun24:.=t即一=,DCDA4AD解得，AD=8,AAE=AD-DE=8-2=6,故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、定理是解題的關(guān)鍵.圓周角定理，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)10.矩形ABCO如圖擺放，點(diǎn)B在y軸上，點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=-（x>0）±,OA=2,AB=4,則k的值為（）32C.—5【答案】C【解析】32C.—5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到ZA=ZAOC=90%OC=AB,根據(jù)勾股定理得到0B二JOA^+AB?=20過C作CD丄x軸于D,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到cd=^￡,od=^5,求得c（辺5,跡）于是得到結(jié)論.5555【詳解】解：???四邊形ABCO是矩形，AZA=ZAOC=90\OC=AB,V0A=2,AB=4,???過C作CD丄x軸于D,?IZCDO=ZA=90\ZCOD+ZCOB=ZCOB+ZAOB=90\AZCOD=ZAOB,AAAOB^ADOC,OBABOA■OCCDODCD~OD??C（也，婕）555故選：C.本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.11.平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P(a,b)經(jīng)過某種變換后得到的對應(yīng)點(diǎn)為P(-o+l,乙)?已知4B,C是不共線的三個點(diǎn)，它們經(jīng)過這種變換后，得到的對應(yīng)點(diǎn)分別為2A,Br,C.若LABC的面枳為Si,LA'B'C的面積為S2,則用等式表示Si與S2的關(guān)系為()11Si=-S2B.Si=-S2C.Si=2S2D.Si=4S224【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)點(diǎn)P及其對應(yīng)點(diǎn)判斷出變換的類型，再依據(jù)其性質(zhì)町得答案.【詳解】由點(diǎn)P(Q，b)經(jīng)過變換后得到的對應(yīng)點(diǎn)為X(丄Q+l,-b-1)知，22此變換是以點(diǎn)(2,-2)為中心、2：1的位似變換，則MBC的面積與LA'B'C的面積比為4：1,???Si=4S2,故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何變換類型，解題的關(guān)鍵是根據(jù)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)判斷出其幾何變換類型?12.如圖，己知AABC和都OO是的內(nèi)接三角形，4C和3D相交于點(diǎn)E,則與△ADE的相似的三角形是()

E/OE/OA.ABCEB.^ABCC.AABDD.MBE【答案】A【解析】【分析】根據(jù)同弧和等弧所對的圓周角相等，則弧所對的圓周角Z3CE■二ZBDA,ZCEB和ZDE4是對頂角，所以MDEsABCE.【詳解】解：?/ZBCE=ZBDA.Z.CEB=ZDEA.?.AADEsABCE,故選：4.【點(diǎn)睛】考查相似三角形的判定定理：兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，關(guān)鍵就是牢記同弧所對的圓周角相等.13.如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD的邊AD的中點(diǎn)，且BE丄AC于點(diǎn)F,則卞列結(jié)論中錯誤的是()1A.AF=-CF1A.AF=-CF2ZDCF=ZDFCC?圖中與AAEF相似的三角形共有5個D.tanZCAD=D.tanZCAD=【答案】D【解析】【分析】1AEAF1由AE=-AD=-BC,又AD〃BC,所以詬=-=-，故A正確，不符合題意;2dCrC2過D作DM/7BE交AC于N,得到四邊形BMDE是平行四邊形，求出BM=DE=-BC,得到2CN=NF,根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得結(jié)論，故B正確，不符合題意；根據(jù)相似三角形的判定即可求解，故C正確，不符合題意；由厶BAE-AADC,得到CD與AD的人小關(guān)系，根據(jù)正切函數(shù)可求tanZCAD的值，故D錯誤，符合題意.【詳解】解：A、VAD/7BC,AAAEF^ACBF,.AE_AF_7c511???AE=—AD=—BC,22Ari/?—=-,故A正確，不符合題意；FC2B、過D作DM/7BE交AC于N,VDE/7BM,BE/7DM,??.四邊形BMDE是平行四邊形，1ABM=DE=-BC,2ABM=CM,ACN=NF,TBE丄AC于點(diǎn)F,DM/7BE,ADN±CF,???DF=DC,???ZDCF=ZDFC,故B正確，不符合題意；C、圖中與AAEF相似的三角形有ZkACD,ABAF,ACBF,ACAB,AABE共有5個，故C正確，不符合題意.D、設(shè)AD=a,AB=b由/kBAEsAADC,有-=-?a2VtanZCAD=—=-=^1,故D錯誤，符合題意.ADa2本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，圖形面積的計(jì)算，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.14.如圖，在△ABC中，DE//BC.AF丄BC,ZADE=30。，2DE=BC、BF=3屈則￡＞尸的長為()4B.2^33^3D.3【答案】D【解析】【分析】先利用相似三角形的相似比證明點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，再解直角三角形求得AB,最后利用直角三角形斜邊中線性質(zhì)求出DF.【詳解】解：?:DE"BC,/?aADE~aABC,?:2DE=BC,???點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，VAF丄陀ZADE=30。，BF=3羽,AZB=30°,BFcos30°ADF=3,故選:D.【點(diǎn)睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形和直角三角形斜邊中線性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)的運(yùn)用是解題關(guān)鍵.15?如圖，NABC中，ZBAC=45。，ZACB=30°9將MBC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)得到^ABiCi,當(dāng)點(diǎn)Cl、Bl、C三點(diǎn)共線時，旋轉(zhuǎn)角為a,連接881,交AC于點(diǎn)D.下列結(jié)論：①"GC為等腰三角形：②△人弘Ds^BCD；③a=75。：④CA=CBi9其中正確的是（）C]B]CA.①③④B.①②④C.②③④D.①②③④【答案】B【解析】【分析】將2XABC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)得到△ABC,得到AABC^AABiCi,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到ACfAC,于是得到AACiC為等腰三角形；故①正確；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到ZCi=ZACCi=30\由三角形的內(nèi)角和得到ZCiAC=120\得到ZBiAB=120。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到ZAB!B=30°=ZACB,于是得到AABiD^ABCD；故②正確；由旋轉(zhuǎn)角?=120°,故③錯誤；根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到ZC1AB1=ZBAC=45%推出ZB】AC=ZABiC,于是得到CA=CB1；故④正確.【詳解】解：???將MBC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)得到"BiCi,△&BC竺△ABiCi,:.AC1=AC9???△AGC為等腰三角形：故①正確；:.AC1=AC9AZCi=Z/4CCi=30%AZCd4C=120%AZ120°,\^B1=AB9:.ZABiB=30t>=ZACB.?/ZADBi=ZBDC,:.^ABiD^/\BCD；故②正確；???旋轉(zhuǎn)角為a,Aa=120%故③錯誤;???ZC*?=ZBAC=45。，:.ZBiAC=75°9:.ZABiC=75q9:.zb1ac=zab1c9???CA=CBi：故④正確.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵.

如圖，矩形AEHC是由三個全等矩形拼成的，AH與BE、BF、DF、DG、CG分別交于點(diǎn)P、Q、K、M、N,設(shè)ABPg,ADKM,的面積依次為5、S,、S’若,+〈=20,則S,的值為（）TOC\o"1-5"\h\zABDCEFGHA.6B.8C.10D.1【答案】B【解析】【分析】由已知條件可以得到ABPQ^ADKM^ACNH,然后得到2XBPQ與辺炯的相似比為丄,2△BPQ與MNH的相似比為由相似三角形的性質(zhì)求出S「從而求出S.【詳解】解：???矩形AEHC是由三個全等矩形拼成的，AAB=BD=CD,AE〃BF〃DG〃CH,???四邊形BEFD、四邊形DFGC是平行四邊形，ZBQP=ZDMK=ZCHN,.??BE〃DF〃CG,.?.ZBPQ=ZDKM=ZCNH,AAABQ^AADM,△ABQs^ACH,.AB_BQ_IBQ_AB_1…而一而VCH~7c~3'AABPQ^ADKM^ACNH,??BQBQ_I*MD~2'CHV?乂=丄乂顯r4*5s’/.S2=4S],S3=9S],???S】+S,=20,???：???：=4,=8；故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)以及平行四邊形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，正確得到S2=4Slt5=9,,從而求出答案.如圖，某河的同側(cè)有4，3兩個工廠，它們垂直于河邊的小路的長度分別為AC=2如?，BD=3km,這兩條小路相距5如7.現(xiàn)要在河邊建立一個抽水站，把水送到4，B兩個工廠去，若使供水管最短，抽水站應(yīng)建立的位置為（）B.4clDA.距C點(diǎn)1如7處B.距C點(diǎn)2加處C.距C點(diǎn)3km處D.CD的中點(diǎn)處【答案】B【解析】【分析】作出點(diǎn)A關(guān)于江邊的對稱點(diǎn)連接交CD于P,則PA+PB=PE+PB=EB，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可知當(dāng)供水站在點(diǎn)P處時，供水管路最短.再利用三角形相似即可解決問題.【詳解】作出點(diǎn)A關(guān)于江邊的對稱點(diǎn)E，連接交CD于P,則PA+PB=PE+FB=EB?根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可知當(dāng)供水站在點(diǎn)P處時，供水管路最短.根據(jù)山作?設(shè)PC=x,則PD=5—x,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得PCCEanx2=,即=—,PDBD5-x3解得x=2.故供水站應(yīng)建在距C點(diǎn)2千米處.故選：B.Bdp"b［點(diǎn)睛］■…E?本題為最短路徑問題，作對稱找出點(diǎn)p,利用三角形相似是解題關(guān)鍵.如圖，已知^ABC,D、E分別在邊AB、AC上，下列條件中，不能確定AADE^AACB的是（）

/1BCA.ZAED=ZBB.ZBDE+ZC=180°C.AD?BC=AC?DED.AD*AB=AE*AC【答案】C【解析】【分析】A、根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，進(jìn)行判斷即可；B：根據(jù)題意可得到ZADE=ZC,根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，進(jìn)行判斷即可；C、根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，進(jìn)行判斷即可：D、根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，進(jìn)行判斷即可.【詳解】解：A、由ZAED=ZB,ZA=ZA,則可判斷aADE^AACB；B、由ZBDE+ZC=180°,ZADE+ZBDE=180°,得ZADE=ZC,ZA=ZA,則可判斷AADEs^ACB；ADDEC、由AD?BC=AC?DE,得——=—不能判斷AADE^AACB,必須兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角ACBC對應(yīng)相等的兩個三角形相似.40AED、由AD?AB二AE?AC得一=——,ZA=ZA,故能確定△ADEs^ACB,ACAB故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似（注意，一定是夾角）；有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似?添