指對數(shù)比較大小

全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)學(xué)案專題匯編（附詳解）指對數(shù)比較大小對數(shù)混在一起，進(jìn)行排序。這類問題如果兩兩進(jìn)行比較，則花費(fèi)的時(shí)間較多，所以本講介紹處理此類問題的方法與技巧一、一些技巧和方法1、如何快速判斷對數(shù)的符號？八字真言“同區(qū)間正，異區(qū)間負(fù)”，容我慢慢道來：判斷對數(shù)的符號，關(guān)鍵看底數(shù)和真數(shù)，區(qū)間分為 0,1和（1）如果底數(shù)和真數(shù)均在0,1中，或者均在中，那么對數(shù)的值為正數(shù)（2）如果底數(shù)和真數(shù)一個(gè)在0,1中，一個(gè)在1「：中，那么對數(shù)的值為負(fù)數(shù)3 0.5 例如：log0.5v0,log 0.3>0,log3a03 0.5 2、要善于利用指對數(shù)圖像觀察指對數(shù)與特殊常數(shù)（如 0,1）的大小系，一作圖，自明了3、比較大小的兩個(gè)理念：求同存異：如果兩個(gè)指數(shù)（或?qū)?shù)）的底數(shù)相同，則可通過真數(shù)的大小與指對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷出指數(shù)（或?qū)?shù)）的關(guān)系，所以要熟練運(yùn)用公式，盡量將比較的對象轉(zhuǎn)化為某一部分相同的情況例如：33,44,52，丄 丄 丄1 1 13334衣,44=43衣,52=5612，從而只需比較底數(shù)的大小即可全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)學(xué)案專題匯編（附詳解）22 2 2 利用特殊值作“中間量”在指對數(shù)中通?？蓛?yōu)先選擇“0,1”對所比較的數(shù)進(jìn)行劃分，然后再進(jìn)行比較，有時(shí)可以簡化比較的步驟（在兵法上可稱為“分割包圍，各個(gè)擊破”也有一些題目需要選擇特殊的常數(shù)對所log31現(xiàn)2loglog，進(jìn)而可log322 2 2 4、常用的指對數(shù)變換公式:ana a log Mlog N=log MNloa a a logNn=nlogNa0,a=1,N a a （4）換底公式：logblogcba a進(jìn)而有兩個(gè)推論：loga二、典型例題：

b（clogba

log

aNn-logaNm m例1:設(shè)a=1og：b,二 Jog,'3l，g則2,b,c的大小關(guān)系是思路：可先進(jìn)行0,1分堆，可判斷出a 1,0：：：b：：：1,0：：：c"，從而a肯定最大，只需比較b,c即可，觀察到b,c有相同的結(jié)構(gòu)：真數(shù)均帶根號，抓住這個(gè)特點(diǎn)，利用對數(shù)公式進(jìn)行變換：b=log

、3

3,c二2 23 3 3 log、2=*log2log21log3c3 3 3 cba全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)學(xué)案專題匯編（附詳解）全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)學(xué)案專題匯編（附詳解）1例2:設(shè)a=log2,b=ln2,c=5^，則a,b,c的大小關(guān)系是 13a,b,c0,1內(nèi)，a,b的真數(shù)相同，進(jìn)而可通過比較底數(shù)得到大小關(guān)系：a:bcc是指數(shù)，很難直接與對數(shù)找到聯(lián)系，考慮估計(jì)a,b,c值得大小：=32a=log2>log3V5=1a>}cbac3答案：bac

，可考3a晉噸,c罟abbca

a,b,c的大小關(guān)系為（acb C.bac D.111思路：觀察到a,b,c都是以e為底的對數(shù)，所以將其系數(shù)“放”進(jìn)對數(shù)之中,111再進(jìn)行真數(shù)的比較。a=2 3

=ln22,b==ln33,c==ln55,發(fā)現(xiàn)真數(shù)的底與指數(shù)也不相同，所以依然考慮“求同存異；讓三個(gè)真數(shù)的指數(shù)一致：1111112221530,3^31030,556元，通過比較底數(shù)的大小可得：bac答案：C小煉有話說：（1）本題的核心處理方式就是“求同存異”，將三個(gè)數(shù)變形為具備某相同的部分，從而轉(zhuǎn)換比較的對象，將“無法比較”轉(zhuǎn)變?yōu)椤翱梢员容^”（2）本題在比較指數(shù)幕時(shí)，底數(shù)的次數(shù)較高，計(jì)算起來比較麻煩。所以也可以考慮將這三個(gè)數(shù)兩兩進(jìn)行比較，從而減少底數(shù)的指數(shù)便于計(jì)111111a,b:236,35=32aba,c或b,c即可3 5 例4:設(shè)a=log6,b=logl0,^log 14，貝卩（3 5 A.cba B.bca C.acb

）D.abc思路：觀察可發(fā)現(xiàn)：a=log332log32,b=log552=1log52,c=log772=1log723 5 log2log2-log2，所以可得：3 5 答案：D2 3 2例5:設(shè)a二35,b二25,c二-",則a,b,c的大小關(guān)系為（ ）帖丿（5丿 （5丿abbca

acb C.bac D.b,c的底數(shù)相同，a,c的指數(shù)相同，進(jìn)而考慮先進(jìn)行這兩b,c0,1，則指數(shù)越大，指數(shù)幕越小，所以可b：：：ca,caacb答案：B36a=30.5,b=Iog2,c二込弓，則它們之間的大小關(guān)系是3（）cb:abc:a

cab C.abc D.0,1分組,a=30.510：：b,c1b,c者都介于0,1之間且一個(gè)是對數(shù)，一個(gè)是三角函數(shù)，無法找到之間的聯(lián)系。所以考慮尋找中間值作為橋梁。以 cos§作為入手點(diǎn)。利用特2角的余弦值估計(jì)其大小。?>

cos==〕，而Iog

2〉Iog

V3=〕，2 3 c 3 2 3 3 2cbcb2答案：A小煉有話說：在尋找中間量時(shí)可以以其中一個(gè)為入手點(diǎn)，由于非特殊角的三角函數(shù)值可用特殊角三角函數(shù)值估計(jì)值的大小，所以本題優(yōu)先選擇c作為研究對象。37:（優(yōu)質(zhì)試題甘肅河西三校第一次聯(lián)考）a=Iog7,b=21.1,c則（）3b:a::c::a::b

acb C.cb：a D.0,1cd：a,ba,b的大小，可以考：3 慮以2作為中間量，b=21.1 2,a=Iog7：：： Iog9=2，所以a2b3 cab答案：Db11例8:設(shè)abC)ab= yb11

ab,z二昭a(bǔ)，

x,y,z的大小關(guān)系是（ ）A.yxzD.xyz

盲弋丿 bB.zyx C.yzx思路：由ab0,a^1可得：0<b-：a，先用0,1將x,y,z分堆，x，y,z0xy,zy,z的底數(shù)與真數(shù)不同，考慮進(jìn)行適當(dāng)變形并尋找中間量。y=log「1abab=logab--1abab ab全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)學(xué)案專題匯編（附詳解）而z=log0：：b

a二-logb1b

a,因?yàn)橐詌oga■byzx答案：C

logb

b=1,z=-log

a兮-仁yb9:下列四個(gè)數(shù):a=]1n2jbrinln2,c=ln2,d=ln2的大小順序?yàn)閎inln2<0a,c,d1In2?0,1，所以a:d，而c=ln^^ln2：：：d，所以下一步比較a,c:a-c=（ln2$-bn2=ln2‘ln2-^Lln2（ln2-12 I2丿

，所以a>c，綜上所述，大小順序?yàn)閎.ca:d答案：bca:::d2b10a,b,c均為正數(shù),2a=log1a,2（）a:b::cba::c

c:b/