三角形、勾股定理知識(shí)點(diǎn)整理

v.v.全等三角形、勾股定理教案教學(xué)內(nèi)容一、三角形1、三角形的定義：是由三條線段首尾順次相接所組成的平面圖形叫做三角形.2、組成三角形的元素：三條邊和三個(gè)角3、三角形的分類⑴三角形按邊的關(guān)系分類如下：不等邊三角形三角形＜等腰二角形J底邊和腰不相等的等腰三角形（一般等腰三角形）等女三形［底邊和腰相等的等腰三角形（等邊三角形或正三角形）⑵三角形按角的關(guān)系分類如下：直角三角形（有一個(gè)角是直角的三角形）三角形］斜二角形/銳角三角形（三個(gè)角都是銳角的三角形）八'一‘I鈍角三角形（有一個(gè)角是鈍角的三角形）把邊和角聯(lián)系在一起，我們又有一種特殊的三角形：等腰直角三角形，它是兩條直角邊相等的直角三角形.4、三角形的性質(zhì)⑴三角形三邊關(guān)系定理：三角形的任意兩邊之和大于第三邊且任意兩邊之差小于第三邊.⑵三角形的內(nèi)角和定理：三角形的三個(gè)內(nèi)角和等于180。.⑶三角形的外角和定理：三角形的三個(gè)外角和等于360。.⑷三角形的內(nèi)外角定理：①互補(bǔ)關(guān)系：三角形的一個(gè)外角與它相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)；相等關(guān)系：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的來兩個(gè)內(nèi)角的和.不等關(guān)系：三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.⑸三角形的邊角關(guān)系：在同一個(gè)三角形中：大邊對(duì)大角，等邊對(duì)等角，小邊對(duì)小角；反之，大角對(duì)大邊等角對(duì)等邊，小角對(duì)小邊也成立.5、三角形的面積：三角形的面積=^x底x高2二、等腰三角形1、等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.2、等腰三角形的性質(zhì)定理及推論：性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡稱：等邊對(duì)等角）推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊.即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高三線合一.推論2：等邊三角形的各個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°.3、三角形中的中位線⑴三角形中的中位線：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.⑵三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半；⑶三角形中位線定理的作用：位置關(guān)系：可以證明兩條直線平行；數(shù)量關(guān)系：可以證明線段的倍分關(guān)系;⑷常用結(jié)論：任一個(gè)三角形都有三條中位線，由此有：結(jié)論1：三條中位線組成一個(gè)三角形，其周長為原三角形周長的一半；結(jié)論2：三條中位線將原三角形分割成四個(gè)全等的三角形；結(jié)論3：三條中位線將原三角形劃分出三個(gè)面積相等的平行四邊形；結(jié)論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分；結(jié)論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對(duì)的三角形的頂角相等；三、直角三角形1、直角三角形的兩個(gè)銳角互余；2、在直角三角形中，30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；3、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；4、直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即a2+b2=c25、常用關(guān)系式：由三角形面積公式可得：AC-BC二CD-AB6、直角三角形的射影定理從一定向一直線所引垂線的垂足，叫做這個(gè)點(diǎn)在這條直線上的正射影；一條線段在直線上的正射影,是指線段的兩個(gè)端點(diǎn)在這條直線上的正射影間的線段.點(diǎn)和線段的正射影簡稱為射影

直角三角形的射影定理：直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng);推論：直角三角形中其中一條直角邊是該直角邊在斜邊上的射影與斜邊的比例中項(xiàng).即ZACB=90CD丄ZACB=90CD丄ABAC2=AD-ABBC2=BD-AB四、全等三角形1、全等三角形的概念：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形;2、三角形全等的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等；3、全等三角形的判定定理:⑴邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“SAS”）⑵角角邊定理:任意兩角及其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”;⑶角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“ASA”）⑷邊邊邊定理：有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）；（5）直角三角形全等的判定：對(duì)于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r(shí)，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）注意：對(duì)應(yīng)相等意思是：例如三角形ABC和三角形DEF,AB和DE是對(duì)應(yīng)邊，AB=DE；BC和EF是對(duì)應(yīng)邊，BC=EF；AC和DF是對(duì)應(yīng)邊，AC=DF角A和角D是對(duì)應(yīng)角，角人=角D角B和角E是對(duì)應(yīng)角，角3=角E角C和角F是對(duì)應(yīng)角，角。=角F這些對(duì)應(yīng)關(guān)系都可以從題目給出的三角形XXX和三角形yyy中按順序?qū)懞?、全等變換：只改變圖形的位置，不改變其形狀大小的圖形變換叫做全等變換;全等變換包括一下三種：平移變換：把圖形沿某條直線平行移動(dòng)的變換叫做平移變換；

對(duì)稱變換：將圖形沿某直線翻折180°，這種變換叫做對(duì)稱變換；旋轉(zhuǎn)變換：將圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度到另一個(gè)位置，這種變換叫做旋轉(zhuǎn)變換;同步訓(xùn)練：1、如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,BC=DC,E為AC邊上的點(diǎn)，BE=DE.試判斷:⑴圖中有哪些三角形全等？請(qǐng)說明理由。⑵圖中有哪些角相等？2、如圖1,AD丄BC，D為BC的中點(diǎn)，則△ABD竺2、如圖1,AD丄BC，D為BC的中點(diǎn)，則△ABD竺3、4、，△ABC是如圖2,若AB=DE,BE=CF,要證△ABF^^DEC，需補(bǔ)充條件或.三角形。如圖3,已知AB〃CD,AD〃BC,E、F是BD上兩點(diǎn)，且BF=DE，則圖中共有對(duì)全等三角形，它們分別是等三角形，它們分別是

5、如圖4,四邊形ABCD的對(duì)角線相交于0點(diǎn)，且有AB〃DC,AD〃BC，則圖中有對(duì)全等三角形。6、如圖5,已知AB=DC,AD=BC,E、F在DB上兩點(diǎn)且BF=DE，若ZAEB=120°,ZADB=30。，則ZBCF=。7、如圖6,AE=AF,AB=AC,ZA=60°,ZB=24。，則ZBOC=。8、在等腰AABC中，AB=AC=14cm,E為AB中點(diǎn)，DE丄AB于E,交AC于。，若4BDC的周長為24cm,則底邊BC=。9、若AABC^^A7BzC,AD和AD，分別是對(duì)應(yīng)邊BC和BzC的高，則AABD^^A7B，Dz,理由是，從而AD=A‘Dz,這說明全等三角形相等。10、在Rt^ABC中，ZC=90°,ZA、ZB的平分線相交于0,貝0ZAOB=知識(shí)點(diǎn)二：1、勾股定理：直角三角形兩直角邊，b的平方和等于斜邊的平方，即—要點(diǎn)詮釋：主要勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用：已矢直角三角形的兩邊求第三邊(在ABC中，ZC=90。，貝b=va2+b2,b=3—a2,a=7c2-b2)已矢直角三角形的一遁另兩邊侏系，求直角三角形的另兩邊利用勾股定理可以證明線段平方關(guān)系的問題2勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長：a、b、c，則有關(guān)系2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角;要點(diǎn)詮釋：勾股定理的逆定理是判定一卜三角形是否是直角三角形的一種重要方它通過'數(shù)轉(zhuǎn)化為形'來確定三角形的能形狀,在運(yùn)用這一定理時(shí)應(yīng)注意：首先確定最大邊，不妨設(shè)最長邊長為：c；驗(yàn)證C2與a2+b2是否具有相等關(guān)系，C2^a2+bz,貝【△ABC是以zC為直角的直角三角形(若c2>a2+b2，貝眩ABC是以/C為鈍角的鈍角三角形；若<a2+bz，形)。(定理中,b，c及a2+b2=c2只是一種表現(xiàn)形式不可認(rèn)為是唯一的如若三角形三邊長b，c滿足a2+c2=b2，那么以，b，c為三邊的三角形是直角三角形，但是斜邊)3：勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；

聯(lián)系：勾股定理其逆定理的題a和結(jié)論正好相反，都與直角三角形有關(guān)。4：互逆命題的概念如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論禾這樣J兩個(gè)命題叫做互命題。如果把其一個(gè)叫做原施，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。規(guī)律方法指導(dǎo)2.勾股定理反映的是直三角形勺三邊的數(shù)量關(guān)系,12.勾股定理反映的是直三角形勺三邊的數(shù)量關(guān)系,邊關(guān)易犯邊關(guān)易犯3.勾股定理在應(yīng)用時(shí)一要注意弄清誰是斜邊誰直角邊,的主要錯(cuò)誤。4.勾股定理的謹(jǐn)理：如果三角形的三條邊長b,C有下列關(guān)系:32+b2=C2,□那么這個(gè)三角形是直角三形；該逆定理^出判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的判定方法.5?□應(yīng)用勾股定理逆定理判定一個(gè)三角形是不是直角三角形的過程主要是進(jìn)行代數(shù)龍通過學(xué)習(xí)加深對(duì)數(shù)形結(jié)合”的理解.我們把題設(shè)、結(jié)論正好相反的兩個(gè)命題叫做互逆命如果把其中一個(gè)叫做原命題，么另一個(gè)叫做它的逆1題。（例：勾殳定理與勾股定理逆定理）5：勾股定理的證明勾股定理的E明方法很多常見的是拼圖的方法用拼圖的方￡驗(yàn)證勾股越的思路是

②根據(jù)同F(xiàn)種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理常見方法如下:方法一S正方形efgh=S正方形abcd，4X2ab+(b-a)2=C2，化簡可證?方法二:四個(gè)直角三角形面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積.四個(gè)直角三角形面積與小正方形面積的和為=4x2ab+c2=2ab+c2所以a2+b2=c2大正方形面積為=(a+b)2所以a2+b2=c26：勾股數(shù)能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即C2中，a，b，c為正整數(shù)時(shí)，稱，b，c為一組勾股數(shù)記住常見的勾股數(shù)可Z提高解題速度，如,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等同步訓(xùn)練：1、一高為2.5米的木梯，架在高為2.4米的墻上(如圖),這時(shí)梯腳與墻的距離是多少？

2、三角形的三邊長分別為7、24、25，請(qǐng)問這個(gè)三角形是直角三角形嗎？TOC\o"1-5"\h\z直角三角形中一直角邊的長為9,另兩邊為連續(xù)自然數(shù)，則直角三角形的周長為（）A.121B.120C.90D.不能確定AABC中，AB=15,AC=13，高AD=12，則AABC的周長為（）A.42B.32C.42或32D.37或335?斜邊的邊長為17cm，一條直角邊長為8cm的直角三角形的面積是.假如有一個(gè)三角形是直角三角形，那么三邊a、b、c之間應(yīng)滿足，其中邊是直角所對(duì)的邊；如果一個(gè)三角形的三邊a、b、c滿足a2+c2=b2，那么這個(gè)三角形是三角形，其中b邊是邊，b邊所對(duì)的角是?一個(gè)三角形三邊之比是io：8：6，則按角分類它是三角形.8若三角形的三個(gè)內(nèi)角的比是1：2:3，最短邊長為1cm，最長邊長為2cm，則這個(gè)三角形三個(gè)角度數(shù)分別是，另外一邊的平方是.9.如圖，已知AABC中，ZC=90。，BA=15，AC=12，以直角邊BC為直徑作半圓，則這個(gè)半圓的面積是.10.—長方形的一邊長為3