專題與圓有關(guān)的最值問題

00與圓有關(guān)的最值（取值范圍）問題引例1：在坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,0）,點(diǎn)B為y軸正半軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)C是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且AC=2.設(shè)tanZBOC二m，則m的取值范圍是.引例2：如圖，在邊長(zhǎng)為1的等邊△OAB中，以邊AB為直徑作OD，以O(shè)為圓心OA長(zhǎng)為半徑作00,C為半圓弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、B兩點(diǎn)重合），射線AC交0O于點(diǎn)E,BC=a，AC=b，求a+b的最大值.引例3：如圖，ZBAC=60。，半徑長(zhǎng)為1的圓O與ZBAC的兩邊相切，P為圓O上一動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心，PA長(zhǎng)為半徑的圓P交射線AB、AC于D、E為半徑的圓P交射線AB、AC于D、E兩點(diǎn)，連接DE,3\/3C.則線段DE長(zhǎng)度的最大值為（）.A.3*yB.6OD.一、題目分析：此題是一個(gè)圓中的動(dòng)點(diǎn)問題，也是圓中的最值問題，主要考察了圓內(nèi)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思維方法，注重了初、高中知識(shí)的銜接引例1：通過隱藏圓（高中軌跡的定義），尋找動(dòng)點(diǎn)C與兩個(gè)定點(diǎn)O、A構(gòu)成夾角的變化規(guī)律，轉(zhuǎn)化為特殊位置（相切）進(jìn)行線段、角度有關(guān)計(jì)算，同時(shí)對(duì)三角函數(shù)值的變化（增減性）進(jìn)行了延伸考查，其實(shí)質(zhì)是高中“直線斜率”的直接運(yùn)用；引例2：通過圓的基本性質(zhì)，尋找動(dòng)點(diǎn)C與兩個(gè)定點(diǎn)A、B構(gòu)成三角形的不變條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，其實(shí)質(zhì)是高中“柯西不等式”的直接運(yùn)用；引例3：本例動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)由引例1、引例2中的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，增加為三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，從性質(zhì)運(yùn)用、構(gòu)圖形式、動(dòng)點(diǎn)關(guān)聯(lián)上增加了題目的難度，解答中還是注意動(dòng)點(diǎn)D、E與一個(gè)定點(diǎn)A構(gòu)成三角形的不變條件（ZDAE=60°），構(gòu)造弦DE、直徑所在的直角三角形，從而轉(zhuǎn)化為弦DE與半徑AP之間的數(shù)量關(guān)系，其實(shí)質(zhì)是高中“正弦定理”的直接運(yùn)用；綜合比較、回顧這三個(gè)問題，知識(shí)本身的難度并不大，但其難點(diǎn)在于學(xué)生不知道轉(zhuǎn)化的套路，只能憑直觀感覺去尋找、猜想關(guān)鍵位置來求解，但對(duì)其真正的幾何原理卻無法通透.二、解題策略直觀感覺，畫出圖形；特殊位置，比較結(jié)果；理性分析動(dòng)點(diǎn)過程中所維系的不變條件，通過幾何構(gòu)建，尋找動(dòng)量與定量（常量）之間的關(guān)系，建立等式，進(jìn)行轉(zhuǎn)化.三、中考展望與題型訓(xùn)練例一、斜率運(yùn)用如圖，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2,1）,以A為圓心的0A切x軸于點(diǎn)B,P（a,b）為0A上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)分別探索：③b-a③b-a的最大值；④b-a的最大值;【拓展延伸】①b+2a的范圍；②b—2a的范圍;D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，線段D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，線段CM長(zhǎng)度的取值范圍是.例二、圓外一點(diǎn)與圓的最近點(diǎn)、最遠(yuǎn)點(diǎn)如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3，點(diǎn)D是平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AD=2,M為BD的中點(diǎn)，在1.如圖，AABC中，ZBAC=60°,ZABC=45°,AB=2力2,D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AD1.如圖，AABC中，ZBAC=60°,ZABC=45°,AB=2力2,D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AD為直徑作0Q分￡C別交AB,AC于E,F兩點(diǎn)，連接EF,則線段EF長(zhǎng)度的最小值為.2.如圖，定長(zhǎng)弦CD在以AB為直徑的0Q上滑動(dòng)（點(diǎn)C、D與點(diǎn)A、B不重合），M是CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CP丄AB于點(diǎn)P,若CD=3,AB=8，則PM長(zhǎng)度的最大值是.例四、柯西不等式、配方法如圖，已知半徑為2的0Q與直線l相切于點(diǎn)A,點(diǎn)P是直徑AB左側(cè)半圓上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為C,PC與0Q交于點(diǎn)D,連接PA、PB,設(shè)PC的長(zhǎng)為X（2VxV4）,則當(dāng)x=大，且最大值是為.—時(shí)，PD?CD的值最如圖，線段AB=4,C為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AC、BC為邊作等邊△ACD和等邊△BCE,0Q外接于△CDE,則。Q半徑的最小值為（）.如圖，Q）的直徑為4,C為OQ上一個(gè)定點(diǎn)，ZABC=30°,動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿半圓弧AB向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)C在直徑AB的異側(cè)），當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，在運(yùn)動(dòng)過程中，過點(diǎn)C作CP的垂線CD交PB的延長(zhǎng)線于D點(diǎn).（1）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，線段CD長(zhǎng)度的取值范圍為；（2）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，線段AD長(zhǎng)度的最大值為例三、正弦定理A.4D.2例四、相切的應(yīng)用（有公共點(diǎn)、最大或最小夾角）1.如圖，在RtAABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,則線段CE長(zhǎng)度的最小值.A.4D.2例四、相切的應(yīng)用（有公共點(diǎn)、最大或最小夾角）1.如圖，在RtAABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,則線段CE長(zhǎng)度的最小值.2.如圖，RtAABC中，ZC=90°,ZA=30°,AB=4，以AC上的一點(diǎn)0為圓心0A為半徑作OO,若00與邊BC始終有交點(diǎn)（包括B、C兩點(diǎn)），則線段A0的取值范圍是.如圖，射線PQ〃射線MN,PM丄MN,A為PM的中點(diǎn)，0為射線PQ上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AC丄AB交MN于點(diǎn)C,當(dāng)以0為圓心，以0B為半徑的圓與線段PM有公共點(diǎn)時(shí)（包括P、M兩點(diǎn)），則線段0P長(zhǎng)度的最小值為.例五、其他幾何知識(shí)的運(yùn)用如圖所示，AC丄AB,AB=6,AC=4,點(diǎn)D是以AB為直徑的半圓0上一動(dòng)點(diǎn)，DE丄CD交直線AB于點(diǎn)E,設(shè)ZDAB=a,（0°Va<90°）.若要使點(diǎn)E在線段0A上（包括0、A兩點(diǎn)），則tana的取值范圍為.5824194582419458241945824194関1関1g坤関咨用圖【題型訓(xùn)練】如圖，已知直線l與00相離，0A丄l于點(diǎn)A,0A=5,0A與00相交于點(diǎn)P,AB與00相切于點(diǎn)B,BP的延長(zhǎng)線交直線l于點(diǎn)C,若在00上存在點(diǎn)Q,使厶QAC是以AC為底邊的等腰三角形，則00的半徑r的取值范(A)(A)已知：如圖，RtAABC中，ZB=90°,ZA=30°,BC=6cm,點(diǎn)0從A點(diǎn)出發(fā)，沿AB以每秒J3cm的速度向B點(diǎn)方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)0運(yùn)動(dòng)了t秒（t>0）時(shí)，以0點(diǎn)為圓心的圓與邊AC相切于點(diǎn)D,與邊AB相交于E、F兩點(diǎn),過E作EG丄DE交射線BC于G.（1）若點(diǎn)G在線段BC上，則t的取值范圍是（2）若點(diǎn)G在線段BC的延長(zhǎng)線上，則t的取值范圍是.如圖，0M,0N的半徑分別為2cm,4cm，圓心距MN=10cm.P為0M上的任意一點(diǎn)，Q為0N上的任意一點(diǎn),直線PQ與連心線l所夾的銳角度數(shù)為a,當(dāng)P、Q在兩圓上任意運(yùn)動(dòng)時(shí)，tanZa的最大值為（）.4.如圖，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,04.如圖，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,0為矩形ABCD的中心,個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP、0P，貝9^A0P面積的最大值為（）?⑻21（C）35以D為圓心1為半徑作0D,P為0D上的一(A)4（D）如圖，在RtAABC中，ZC=90。，AC=8,BC=6,經(jīng)過點(diǎn)C且與邊AB相切的動(dòng)圓與CA、CB分別相交于點(diǎn)P、Q,則線段PQ長(zhǎng)度的最小值是（）.A.B.C.5D.A.B.C.5D.4^2如圖，在等腰RtAABC中，ZC=90°AC=BC=4,D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB邊上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A重合）,過A、D、E三點(diǎn)作00,00交AC于另一點(diǎn)F,在此運(yùn)動(dòng)變化的過程中，線段ef長(zhǎng)度的最小值為?如圖，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2,0）、（0，2）,OC的圓心的坐標(biāo)為（-1,0），半徑為1,若D是OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段DA與y軸交于點(diǎn)E,則厶ABE面積的最小值是（）.8.如圖，已知8.如圖，已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-2,0）、（0,1）,OC的圓心坐標(biāo)為（0,-1）,半徑為1,D是OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，射線AD與y軸交于點(diǎn)E,貝△ABE面積的最大值是（）.A.311B.—C.A.311B