概率論與數(shù)理統(tǒng)計第2章

概率論與數(shù)理統(tǒng)計第2章隨機變量●2.1隨機變量的定義●2.2離散型隨機變量●2.3連續(xù)型隨機變量與隨機變量的分布函數(shù)●2.4隨機變量函數(shù)的分布

一、隨機變量概念的產(chǎn)生

在實際問題中，隨機試驗的結(jié)果可以用數(shù)量來表示，由此就產(chǎn)生了隨機變量的概念.

1、有些試驗結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（本身就是一個數(shù)）.

例如，擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點數(shù)；

九月份廣州的最高溫度；每天從廣州下火車的人數(shù)；昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)；2、對有些試驗而言，其結(jié)果未必是數(shù)量化的。如拋擲硬幣出正面或反面，檢查產(chǎn)品是正品或次品等等。但我們可以引進一個變量來表示它的各種結(jié)果。也就是說，把試驗結(jié)果數(shù)值化。這種對應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)上理解為定義了一種實值函數(shù).ω.ξ(ω)R定義

若變量ξ在隨機試驗中，隨著試驗結(jié)果的不同而隨機地取各種不同的數(shù)值，而且對取每個數(shù)值或每個確定范圍內(nèi)的值都有一定的概率，

稱這種定義在樣本空間上的實值函數(shù)為隨量機變說明：隨機變量與普通函數(shù)的主要區(qū)別有幾點：（1）普通函數(shù)的定義域是實數(shù)軸上的一個點集，而隨機變量是定義在樣本空間上的（樣本空間的元素不一定是實數(shù)）。（2）隨機變量的取值有一定的概率。引入隨機變量以后，隨機事件就可以通過隨機變量來表示，隨機變量將聯(lián)系著隨機試驗中的各個事件，反映試驗的全部結(jié)果。隨機變量是研究隨機試驗的有效工具。而表示隨機變量所取的值時,一般采用小寫字母x,y,z等.隨機變量通常用希臘字母ξ,η等表示

例如，從某一學(xué)校隨機選一學(xué)生，測量他的身高.我們可以把可能的身高看作隨機變量ξ,然后我們可以提出關(guān)于ξ的各種問題.

如

P(ξ>1.7)=？P(ξ≤1.5)=?P(1.5<ξ<1.7)=?有了隨機變量,隨機試驗中的各種事件，就可以通過隨機變量的關(guān)系式表達出來.二、引入隨機變量的意義如：單位時間內(nèi)某電話交換臺收到的呼叫次數(shù)用ξ表示，它是一個隨機變量.事件“收到不少于1次呼叫”

{ξ1}“沒有收到呼叫”

{ξ=0}可見，隨機事件這個概念實際上是包容在隨機變量這個更廣的概念內(nèi).也可以說，隨機事件是從靜態(tài)的觀點來研究隨機現(xiàn)象，而隨機變量則是一種動態(tài)的觀點，就象數(shù)學(xué)分析中常量與變量的區(qū)別那樣.隨機變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件.引入隨機變量后，對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的研究，就由對事件及事件概率的研究擴大為對隨機變量及其取值規(guī)律的研究.事件及事件概率隨機變量及其取值規(guī)律三、隨機變量的分類

如“取到次品的個數(shù)”.隨機變量離散型隨機變量連續(xù)型隨機變量所有取值可以逐個一一列舉例如，“電視機的壽命”.全部可能取值不僅無窮多，而且還不能一一列舉，而是充滿一個區(qū)間.

從中任取3個球取到的白球數(shù)ξ是一個隨機變量可能取的值是0,1,2取每個值的概率為例1且四、離散型隨機變量的分布其中

(k=1,2,…)滿足：

k=1,2,…（1）（2）

定義1：設(shè)xk(k=1,2,…)是離散型隨機變量ξ所取的一切可能值，稱

k=1,2,…為離散型隨機變量ξ的概率函數(shù)或分布律，也稱概率分布.用這兩條性質(zhì)判斷一個函數(shù)是否是概率函數(shù)例2設(shè)10件產(chǎn)品中有7件正品，3件次品，隨機地從中抽取產(chǎn)品，每次取一件，直到取到正品為止。求抽取次數(shù)ξ的分布，（1）每次取出是次品就不放回去；（2）每次取出是次品仍放回去。解

（1）

ξ可能取值為1、2、3、4

它的分布為

ξP1234(2)ξ的取值為1、2、3、……它的分布為k=1、2、3、…幾何分布五常見的幾種分布1、兩點分布（0--1分布）定義

如果隨機變量ξ只可能取0和1兩個值，其概率分布為：P(ξ=1）=p,P(ξ=0)=1-p(0<p<1),則稱ξ服從參數(shù)為p的0—1分布。

說明:隨機試驗的樣本空間只包含兩個樣本點，都可以定義一個具有0—1分布的隨機變量,用0—1分布來描述它。

例如檢查產(chǎn)品的質(zhì)量是否合格，嬰兒的性別是男是女；拋擲硬幣出現(xiàn)正反面等等。例3100件產(chǎn)品中，有98件是正品，2件次品，現(xiàn)從中隨機地抽取一件，可以定義隨機變量ξ如下這時隨機變量ξ的概率分布為：

P(ξ=1）=0.98,P(ξ=0)=0.02服從的就是0--1分布引例設(shè)生男孩的概率為p,生女孩的概率為q=1-p，令ξ表示隨機抽查出生的4個嬰兒中“男孩”的個數(shù).我們來求ξ的概率分布.

將試驗E在相同條件下重復(fù)進行n次，如果將第i次試驗的結(jié)果記為Ai(i=1,2,…n)，總有A1，A2，…，An相互獨立，即每次試驗結(jié)果的出現(xiàn)都不依賴于其它各次試驗的結(jié)果，則稱這n次試驗是相互獨立的。伯努利試驗

n

次獨立重復(fù)試驗稱作

n

重貝努里試驗，簡稱伯努利試驗或伯努利概型。

擲骰子：“擲出4點”，“未擲出4點”

射擊：“中10環(huán)”，“未中10環(huán)”

抽驗產(chǎn)品：“抽到正品”,“抽到次品”設(shè)重復(fù)地進行

n

次獨立試驗，每次試驗“成功”的概率都是p,“失敗”的概率是

q=1-p

。一般地，設(shè)在一次試驗中只有兩個互逆的結(jié)果：,形象地把兩個互逆結(jié)果叫做“成功”和“失敗”。如：定義設(shè)隨機變量ξ表示n次獨立試驗中事件A

發(fā)生的次數(shù)，p為一次試驗中A發(fā)生的概率，若

ξ的分布律為則稱隨機變量ξ服從二項分布，記為ξ~B(n,p)說明

(1)二項分布的背景是伯努利概型；

(2)n=1時的二項分布就是0—1分布.二項分布（2）不難驗證：（1）將試驗

E

在相同條件下獨立地進行

n

次，記

X

為

n

次獨立試驗中A出現(xiàn)的次數(shù)。描述第i

次試驗的隨機變量記作Xi,則Xi

～

B(1,p)，且X1,X2,…,Xn相互獨立(隨機變量相互獨立的嚴格定義將在第三章講述)。則有X=X1+X2+…

+Xn

.(1)某工廠每天用水量保持正常的概率為3/4，則最近6天內(nèi)用水量保持正常的天數(shù)(2)設(shè)有9個工人間歇地使用電力，每個工人在1小時內(nèi)平均有12分鐘需要電力。若各個工人相互獨立地工作，則在單位時間內(nèi)需要用電的工人數(shù)ξ～B（9，0.2)ξ～B（6，0.75)練習(xí)例4某射手每次射擊中靶的概率為0.8,求射擊10發(fā)子彈命中5發(fā)的概率。解設(shè)射擊10次命中的次數(shù)ξ則ξ～B(10,0.8)那么命中5發(fā)的概率為泊松(Poisson)分布定義如果隨機變量ξ的分布律為則稱ξ服從參數(shù)為λ的泊松分布，記作ξ～P(λ)（2）（1）解:例5:

某一城市每天發(fā)生火災(zāi)的次數(shù)

X

服從參數(shù)為0.8的泊松分布。求該城市一天內(nèi)發(fā)生

3

次以上火災(zāi)的概率?！?.0474.P{X≥3}=1-P{X<3}=1-(P{X=0}+P{X=1}+P{X=2})查表得出歷史上，泊松分布是作為二項分布的近似，于1837年由法國數(shù)學(xué)家泊松引入的。二項分布與泊松分布的關(guān)系泊松定理:對二項分布

B(n,p),當

n充分大,p又很小時,對任意固定的非負整數(shù)

k，有近似公式

連續(xù)型隨機變量所有可能取值充滿一個區(qū)間,對這種類型的隨機變量,不能象離散型隨機變量那樣,以指定它取每個值概率的方式,去給出其概率分布,而是通過給出所謂概率密度函數(shù)的方式.密度函數(shù)的定義隨機變量，若對于任意實數(shù)都有的概率密度或密度函數(shù)。則稱是一個連續(xù)型隨機變量，稱函數(shù)為設(shè)在內(nèi)是非負可積函數(shù)，為一密度函數(shù)的幾何意義密度函數(shù)的性質(zhì)1.2.（非負性）（歸一性）3.連續(xù)型隨機變量的充要條件稱A為幾乎不可能事件，B為幾乎必然事件.由P(A)=0,不能推出由P(B)=1,不能推出

B=Ω而“”并非不可能事件“”并非必然事件于是，4.對f(x)的進一步理解

若x是

f(x)的連續(xù)點，則：若忽略高階無窮小，有：在連續(xù)型隨機變量理論中所起的作用與在離散型隨機變量理論中所起的作用相類似.

它表示隨機變量取值于的概率近似等于.均勻分布若隨機變量具有密度函數(shù)則稱服從區(qū)間上的均勻分布，記為對任意實數(shù)c,d(a<c<d<b)，都有指數(shù)分布若隨機變量具有密度函數(shù)則稱服從以參數(shù)為的指數(shù)分布.例6電子元件的壽命

(年)服從參數(shù)為3的指數(shù)分布求該電子元件壽命超過2年的概率.解：正態(tài)分布若隨機變量具有密度函數(shù)其中為一實數(shù)，則稱服從以為參數(shù)的正態(tài)分布，記為當時，密度函數(shù)為此時，稱服從標準正態(tài)分布，記為一般正態(tài)分布可以通過變換化為標準正態(tài)分布：標準正態(tài)分布的性質(zhì)(3)圖象特點是“兩頭小，中間大，左右對稱”.

(1)單峰對稱,

μ決定了圖形的中心位置正態(tài)分布有兩個特性：密度曲線關(guān)于直線x=對稱(2)決定了圖形中峰的陡峭程度.越大，曲線越平坦，越小，曲線越陡峻。

———|——>x設(shè)

ξ

是一個r.v，稱為ξ

的分布函數(shù).記作ξ～

F(x)

或Fξ(x).如圖，分布函數(shù)F(x)的值就表示ξ落在區(qū)間的概率.分布函數(shù)定義

問：在上式中，ξ,x

皆為變量.二者有什么區(qū)別？x起什么作用？F(x)是不是概率？

ξ是隨機變量(如ξ表示電子元件的壽命等）,x是參變量（如x為3.5（年），4.8

（年）

……）F(x)是r.v

ξ取值不大于

x

的概率.

由定義，對任意實數(shù)x1<x2，隨機點落在區(qū)間（x1,x2]的概率為：P{x1<ξx2

}=P{ξx2}-P{ξx1}=F(x2)-F(x1)

分布函數(shù)是一個普通的函數(shù)，正是通過它，我們可以用數(shù)學(xué)分析的工具來研究隨機變量.(1)F(x)非降，即若x1<x2，則F(x1)F(x2);(3)F()=F(x)=0

(4)F(x)右連續(xù)，即

如果一個函數(shù)具有上述性質(zhì)，則一定是某個r.vξ

的分布函數(shù).也就是說，性質(zhì)(1)--(4)是鑒別一個函數(shù)是否是某r.v的分布函數(shù)的充分必要條件.F()=F(x)=1分布函數(shù)的性質(zhì)(2)1.已知分布列(律)求分布函數(shù)例7已知，求F(x).當0x<1時，

F(x)=P(ξ

x)=P(ξ=0)=F(x)=P(ξ

x)解:當x<0時，F(xiàn)(x)=P(ξ

x)=0離散型隨機變量的分布函數(shù)當1x<2時，

F(x)=P(ξ=0)+P(ξ=1)=+=當x2時，

F(x)=P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)=1故注意右連續(xù)設(shè)離散型r.vξ

的分布律是：P(ξ=xk

)=pk

,

k=1,2,3,…則

F(x)=P(ξ

x)=

可見F(x)是ξ取諸值xk（

xk

）的概率之和下面我們從圖形上來看一下.方法歸納:(已知分布列(律)求分布函數(shù))概率函數(shù)圖分布函數(shù)圖畫分布函數(shù)圖

不難看出，F(xiàn)(x)的圖形是階梯狀的圖形，在

x=0，1，2處有跳躍，其躍度分別等于P(ξ=0),P(ξ=1),P(ξ=2).2.已知分布函數(shù)求分布列(律)例8已知離散型隨機變量ξ的分布函數(shù)如下:試求ξ的分布列

正態(tài)分布的分布函數(shù)設(shè)ξ~,ξ的分布函數(shù)是的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布.其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用

和

表示：標準正態(tài)分布的分布函數(shù)書末附有標準正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計算查表.表中給的是x>0時,Φ0(x)的值.當x<0時正態(tài)分布表~N(0,1)

(1)若ξ

～N(0,1),若(2)(2)例9例10例如，已知圓柱截面直徑的分布，求截面面積的分布。一、隨機變量函數(shù)定義設(shè)是定義在隨機變量的一切可能值的集合上，若對于

的每一可能值

，有隨機變量的一個值與之對應(yīng)，則稱為

的函數(shù)，記為二、離散型隨機變量函數(shù)的分布例11求的分布列.

1