2018年度二次函數(shù)壓軸題題型歸納

2018二次函數(shù)壓軸題題型歸納一、二次函數(shù)常考點匯總1、兩點間的距離公式：AB=J（y_y》+（x_x》ABAB2、中點坐標(biāo)：線段AB的中點C的坐標(biāo)為：XA+XB,yA+yBTOC\o"1-5"\h\zI22丿直線y=kx+b（k豐0）與y=kx+b（k豐0）的位置關(guān)系：111222（1）兩直線平行ok=k且b豐b（2）兩直線相交ok豐k121212（3）兩直線重合ok=k且b=b（4）兩直線垂直okk=-11212123、一元二次方程有整數(shù)根問題，解題步驟如下：用A和參數(shù)的其他要求確定參數(shù)的取值范圍；解方程，求出方程的根；（兩種形式：分式、二次根式）分析求解：若是分式，分母是分子的因數(shù)；若是二次根式，被開方式是完全平方式。例：關(guān)于x的一元二次方程x2—2（m+l）x+m2=0有兩個整數(shù)根，mV5且m為整數(shù)，求m的值。4、二次函數(shù)與x軸的交點為整數(shù)點問題。（方法同上）例：若拋物線y=mx2+（3m+1）x+3與x軸交于兩個不同的整數(shù)點，且m為正整數(shù)，試確定此拋物線的解析式。5、方程總有固定根問題，可以通過解方程的方法求出該固定根。舉例如下：已知關(guān)于x的方程mx2-3（m-1）x+2m-3=0（m為實數(shù)），求證：無論m為何值，方程總有一個固定的根。解：當(dāng)m=0時，x=1；當(dāng)m豐0時，A=（m-3）2>0,x=3"-"±'A,x=2--、x=1；2m1m2綜上所述：無論m為何值，方程總有一個固定的根是1。6、函數(shù)過固定點問題，舉例如下：已知拋物線y=x2-mx+m-2（m是常數(shù)），求證：不論m為何值，該拋物線總經(jīng)過一個固定的點，并求出固定點的坐標(biāo)。解：把原解析式變形為關(guān)于m的方程y-x2+2=mG-x）；???|y-竝+2=0，解得：；y=-1;???拋物線總經(jīng)過一個固定的點（1,—1）。[1-x=0[x=1（題目要求等價于：關(guān)于m的方程y-x2+2=m（1-x）不論m為何值，方程恒成立）

小結(jié)：關(guān)于X的方程ax二b有無數(shù)解oJa=0b=07、路徑最值問題(待定的點所在的直線就是對稱軸)如圖，直線l、l，點A在l上，分別在l、l上確定兩點M、N，使得AM+MN之和最12212小。(2)如圖，直線l、1l相交，兩個固定點A、B，分別在l、l上確定兩點(2)如圖，直線l、1212BM+MN+AN之和最小。8、在平面直角坐標(biāo)系中求面積的方法：直接用公式、割補法三角形的面積求解常用方法：如上圖，S=1/2?PM?Ax△PAB=1/2?AN?Ay9、函數(shù)的交點問題：二次函數(shù)(y=ax2+bx+c)與一次函數(shù)(解方程組J尸處2+bx+c可求出兩個圖象交點的坐標(biāo)。[y=kx+h解方程組Jy=ax2+bx+c即ax2+(b—k)x+c~h=0，通過A可判斷兩個圖象的交點的個數(shù)y=kx+h有兩個交點OA>0僅有一個交點OA二0沒有交點OAV010、方程法設(shè)：設(shè)主動點的坐標(biāo)或基本線段的長度表示：用含同一未知數(shù)的式子表示其他相關(guān)的數(shù)量列方程或關(guān)系式11、幾何分析法特別是構(gòu)造“平行四邊形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等圖形時，利用幾何分析法能給解題帶來方便。幾何要求幾何分析涉及公式應(yīng)用圖形跟平行有關(guān)的圖形平移l〃lok=k、k=yi-y21212X一X12平行四邊形矩形梯形跟直角有關(guān)的圖形勾股定理逆定理利用相似、全等、平行、對頂角、互余、互補等直角三角形直角梯形矩形AB=Q（y—y）2+G—x）2ABAB跟線段有關(guān)的圖形利用幾何中的全等、中垂線的性質(zhì)等。等腰三角形全等等腰梯形AB=Q（y—y）2+（x一x）2VABAB跟角有關(guān)的圖形利用相似、全等、平行、對頂角、互余、互補等

【例題精講】一基礎(chǔ)構(gòu)圖：y=x22x3（以下幾種分類的函數(shù)解析式就是這個）★和最小，差最大1在對稱軸上找一點P,使得PB+PC的和最小，求出P點坐標(biāo)2在對稱軸上找一點P,使得PB-PC的差最大，求出P點坐標(biāo)★討論直角三角連接AC,在對稱軸上找一點P,使得ACP為直角三角形，求出P坐標(biāo)或者在拋物線上求點匕使厶ACP是以AC為直角邊的直角三角形.★討論等腰三角連接AC，在對稱軸上找一點P，使得ACP為等腰三角形，求出P坐標(biāo)★討論平行四邊形1、點E在拋物線的對稱軸上，點F在拋物線上,且以BA，F(xiàn)，E四點為頂點的四邊形為平行四邊形，求點F的坐標(biāo)二綜合題型例1(中考變式)如圖，拋物線例1(中考變式)如圖，拋物線y=一x2+bx+c與x軸交與A(1,0),B(-3,0)兩點,頂點為D。若E為拋物線若E為拋物線B、C兩點間圖象上的一個動點(不與A、B重合)，過E作EF與X軸垂直交BC于F,設(shè)E點橫坐標(biāo)為x?EF的長度為L,求L關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式？關(guān)寫出X的取值范圍？當(dāng)E點運動到什么位置時，線段EF的值最大，并求此時E點的坐標(biāo)?⑸在(5)的情況下點E運動到什么位置時，使三角形BCE的面積最大?1）2）3）1）2）3）例2考點：關(guān)于面積最值如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A、C的坐標(biāo)分別為（一1,0）、（0,—石），點B在x軸上.已知某二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A、B、C三點，且它的對稱軸為直線x=1,點P為直線BC下方的二次函數(shù)圖象上的一個動點（點P與B、C不重合），過點P作y軸的平行線交BC于點F.求該二次函數(shù)的解析式；若設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m,試用含m的代數(shù)式表示線段PF的長;求厶PBC面積的最大值，并求此時點P的坐標(biāo).例3考點：討論等腰如圖，已知拋物線y=1x2+bx+c與y軸相交于C，與x軸相交于A、B,點A的坐標(biāo)為（2，0），2點C的坐標(biāo)為（0，一1）．（1）求拋物線的解析式；（2）點E是線段AC上一動點，過點E作DE丄x軸于點D,連結(jié)DC，當(dāng)△DCE的面積最大時，求點D的坐標(biāo)；（3）在直線BC上是否存在一點卩，使厶ACP為等腰三角形，若存在，求點P的坐標(biāo)，若不存在,

例4考點：討論直角三角⑴如圖，已知點A(—1,0)和點B例4考點：討論直角三角⑴如圖，已知點A(—1,0)和點B(1,2)，在坐標(biāo)軸上確定點P,使得△ABP為直角三角形，則滿足這樣條件的點P共有((A)2個(B)4個(C)6個(D)7個⑵已知：如圖一次函數(shù)匸i屮的圖象與汀由交于點A與y軸交于點B二次函數(shù)gIx2+b+的圖象與一次函數(shù)A1屮的圖象交于B、C兩點，與x軸交于D、E兩點且D點坐標(biāo)為(1，0)1)求二次函數(shù)的解析式；求四邊形BDEC的面積S；在x軸上是否存在點P,使得APBC是以P為直角頂點的直角三角形？若存在，求出所有的點P，若不存在，請說明理由.例5考點：討論四邊形已知：如圖所示，關(guān)于x的拋物線y=ax2+x+c(aH0)與x軸交于點A(—2，0)，點B(6,0),與y軸交于點C.(1)求出此拋物線的解析式，并寫出頂點坐標(biāo)；(2)在拋物線上有一點D,使四邊形ABDC為等腰梯形，寫出點D的坐標(biāo)，求出直線AD的解析式;(3)在(2)中的直線AD交拋物線的對稱軸于點M,拋物線上有一動點P,x軸上有一動點Q.是否存在以A、M、P、Q為頂點的平行四邊形？如果存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)；如果不存在，綜合練習(xí)：1、平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2-4ax+4a+c與X軸交于點A、點B,與y軸的正半軸交于點C,點A的坐標(biāo)為(1,0),OB=OC，拋物線的頂點為D。求此拋物線的解析式；若此拋物線的對稱軸上的點P滿足ZAPB^ZACB,求點P的坐標(biāo)；Q為線段BD上一點，點A關(guān)于ZAQB的平分線的對稱點為A，，若qa—qb=込，求點Q的坐標(biāo)和此時厶QAA的面積。|2、|在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知二次函數(shù)y=ax2+2ax+c的圖像與y軸交于點C(0,3)，與x軸交于A、B兩點，點B的坐標(biāo)為(—3,0)。求二次函數(shù)的解析式及頂點D的坐標(biāo)；點M是第二象限內(nèi)拋物線上的一動點，若直線0M把四邊形ACDB分成面積為1：2的兩部分，求出此時點M的坐標(biāo)；點P是第二象限內(nèi)拋物線上的一動點，問：點P在何處時厶CPB的面積最大？最大面積是多少？并求出此時點P的坐標(biāo)。23、如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=—x2-2x與x軸負半軸交于點A，頂點為B，且

m對稱軸與x軸交于點C。（1）求點B的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；（2）D為OB中點，直線AD交y軸于E，若E（0，2），求拋物線的解析式；（3）在（2）的條件下，點M在直線OB上，且使得AAMC的周長最小，P在拋物線上，Q在直4、已知關(guān)于x的方程（1-m）x2+（4-m）x+3=0。（1）若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求m的取值范圍；（2）若正整數(shù)m滿足8-2m>2，設(shè)二次函數(shù)y=（1-m）x2+（4-m）x+3的圖象與x軸交于A、B兩點，將此圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象；請你結(jié)合這個新的圖象回答：當(dāng)直線y=kx+3與此圖象恰好有三個公共點時，求出k的值（只需要求出兩個滿足題意的k值即可）。5如圖，拋物線y二ax2+2ax+c(aHO)與y軸交于點C(0,4),與x軸交于點A(-4,0)和B.求該拋物線的解析式；點Q是線段AB上的動點，過點Q作QE〃AC,交BC于點E,連接CQ.當(dāng)厶CEQ的面積最大時,求點Q的坐標(biāo)；平行于x軸的動直線l與該拋物線交于點P,與直線AC交于點F,點D的坐標(biāo)為(-2,0).問是否有直線1,使AODF是等腰三角形？若存在，請求出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.三、中考二次函數(shù)代數(shù)型綜合題題型一、拋物線與x軸的兩個交點分別位于某定點的兩側(cè)例1.已知二次函數(shù)y=x2+(m—l)x+m—2的圖象與x軸相交于A(x,0),B(x,0)兩點，且12xVx.若xxV0,且m為正整數(shù)，求該二次函數(shù)的表達式；12若xV1,x>1,求m的取值范圍；是否存在實數(shù)m,使得過A、B兩點的圓與y軸相切于點C(0,2),若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由；若過點D(0,*)的直線與(1)中的二次函數(shù)圖象相交于M、N兩點，且-DjN=y，求該直線的表達式.題型二、拋物線與X軸兩交點之間的距離問題例2已知二次函數(shù)y二x2+mx+m-5,求證：不論m取何值時，拋物線總與x軸有兩個交點；求當(dāng)m取何值時，拋物線與x軸兩交點之間的距離最短.題型三、拋物線方程的整數(shù)解問題例1.已知拋物線y=x2-2(m+1)x+m2=0與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，且mV5,則整數(shù)m的值為例2.已知二次函數(shù)y=x2—2mx+4m—8.當(dāng)xW2時，函數(shù)值y隨x的增大而減小，求m的取值范圍；以拋物線y=x2—2mx+4m—8的頂點A為一個頂點作該拋物線的內(nèi)接正AAMN(M，N兩點在拋物線上)，請問：△AMN的面積是與m無關(guān)的定值嗎？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由；若拋物線y=x2—2mx+4m—8與x軸交點的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，求整數(shù)m的值.題型四、拋物線與對稱，包括：點與點關(guān)于原點對稱、拋物線的對稱性、數(shù)形結(jié)合例1.已知拋物線y=X2+bx+c(其中b>0,cHO)與y軸的交點為A,點A關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為B(m,n)，且AB=2.(1)求m,b的值如果拋物線的頂點位于x軸的下方，且BO=vi0。求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式(友情提醒：請畫圖思考)題型五、拋物線中韋達定理的廣泛應(yīng)用(線段長、定點兩側(cè)、點點關(guān)于原點對稱、等等)例1.已知：二次函數(shù)y=x2-4x+m的圖象與x軸交于不同的兩點A(x,0)、B(x,0)(xV121x),其頂點是點C,對稱軸與x軸的交于點D.2求實數(shù)m的取值范圍；如果(x+1)(x+1)=8,求二次函數(shù)的解析式；12把(2)中所得的二次函數(shù)的圖象沿y軸上下平移，如果平移后的函數(shù)圖象與x軸交于點A、1B，頂點為點C1，且△ABC是等邊三角形，求平移后所得圖象的函數(shù)解析式.1111綜合提升已知二次函數(shù)的圖象與X軸交于A,B兩點，與y軸交于點C(0,4),且|AB|=2、.../3，圖象的對稱軸為x=1.求二次函數(shù)的表達式；若二次函數(shù)的圖象都在直線y=x+m的下方，求m的取值范圍.已知二次函數(shù)y=—x2+mx—m+2.若該二次函數(shù)圖象與x軸的兩個交點A、B分別在原點的兩側(cè)，并且AB=,./5，求m的值；設(shè)該二次函數(shù)圖象與y軸的交點為C,二次函數(shù)圖象上存在關(guān)于原點對稱的兩點M、N,且沐戸27，求m的值.已知關(guān)于x的一元二次方程x2—2(k+1)x+k2=0有兩個整數(shù)根，kV5且k為整數(shù).求k的值；當(dāng)此方程有兩個非零的整數(shù)根時，將關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2—2(k+1)x+k2的圖象沿x軸向左平移4個單位，求平移后的二次函數(shù)圖象的解析式；根據(jù)直線y=x+b與(2)中的兩個函數(shù)圖象交點的總個數(shù)，求b的取值范圍.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(1,0)和點B(2,1)，且與y軸交點的縱坐標(biāo)為m.若m為定值，求此二次函數(shù)的解析式；若二次函數(shù)的圖象與x軸還有異于點A的另一個交點，求m的取值范圍；若二次函數(shù)的圖象截直線y=—x+1所得線段的長為2、目，求m的值.四、中考二次函數(shù)定值問題1.如圖，已知二次函數(shù)L：y=X2-4x+3與x軸交于A.B兩點(點A在點B左邊)，與y軸交于點1C.寫出二次函數(shù)L的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)；1研究二次函數(shù)L：y=kx2-4kx+3k(kH0).2寫出二次函數(shù)L與二次函數(shù)L有關(guān)圖象的兩條相同的性質(zhì)；21若直線y=8k與拋物線L交于E、F兩點，問線段EF的長度是否發(fā)生變化？如果不會，請求出2EF的長度；如果會，請說明理由.2?如圖，已知拋物線與坐標(biāo)軸分別交于/r