微積分學課件：1-1 函數(shù)b

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推薦參考書目或參考書：《微積分》吳迪光、張彬，浙江大學出版社《微積分》盧興江、金蒙偉等，浙江大學出版社《高等數(shù)學》同濟大學數(shù)學教研室，高等教育出版社《高等數(shù)學習題課28講》蘇德礦、吳明華、盧興江，浙江大學出版社

微積分的起源主要來自兩方面的問題：一是物理學的一些新問題，已知路程對時間的關系求速度及已知速度對時間的關系求路程，二是幾何學的一些相當老的問題，作曲線的切線和確定面積和體積等問題。這些在古代就研究過，在17世紀初期開普勒、卡瓦列里和許多其他數(shù)學家也研究過，但是這兩類問題之間的顯著關系的發(fā)現(xiàn)，解決這些問題的一般方法的形成，要歸功于牛頓(Newton，英)和萊布尼茲(Leibniz，德)。引言

牛頓和萊布尼茲超越前人的功績在于，他們能夠站在更高的角度，對于以往分散的努力加以綜合，將自古希臘以來求解無窮小問題的各種技巧統(tǒng)一為兩類普遍的算法——微分和積分，并且確定了兩類運算的互逆關系，從而完成了微積分發(fā)明中最后的、也是最關鍵的一步，在17世紀后半葉建立了微積分。微積分的發(fā)現(xiàn)在科學史上具有決定性的意義。

微積分學：微分學和積分學的總稱微積分研究的基本方法：極限方法處理非均勻問題的基本思想：微元法微積分研究的對象：函數(shù)(連續(xù)量)連續(xù)量：

Example:時間t與位移S

連續(xù)量隨另外一個連續(xù)量連續(xù)地變化(函數(shù)).

連續(xù)量的運算體系及其數(shù)學理論(微積分)

下面提出一些問題：2.平面上任意曲線所圍成的平面圖形的面積3.不規(guī)則立體的體積5.變力沿曲線做功4.非均勻薄片的質量6.曲線上任意一點的切線的斜率7.最大值、最小值問題

微分問題

一個連續(xù)量隨著另一個連續(xù)量變化的“瞬時”變化率。

積分問題：計算一個連續(xù)量在連續(xù)量的作用下的總和成積累

微分和積分問題互為逆運算

Example：曲線上任意一點的切線的斜率、“瞬時”速度、最值問題等Example：變力沿曲線做功、平面上任意曲線所圍成的平面圖形的面積、不規(guī)則立體的體積等第一章函數(shù)與極限

第一節(jié)函數(shù)概念一、基本概念１、常量與變量在某變化過程中，保持一定數(shù)值不變的量叫常量；可以取不同數(shù)值的量叫變量。例如，一個金屬圓環(huán)，由于受熱，其直徑與周長是變量。但周長和直徑之比是常量，就是圓周率。通常用字母a，b，c等表示常量，用字母x，y，z表示變量。區(qū)間和鄰域設a,b∈R,且a<b,開區(qū)間閉區(qū)間半開區(qū)間和稱a,b為區(qū)間的端點，稱b－a為這些區(qū)間的長度.以上這些區(qū)間都稱為有限區(qū)間.無限區(qū)間用數(shù)軸可以表示區(qū)間,區(qū)間常用I表示.引進記號：

+∞

－∞

∞（讀作正無窮大）(讀作負無窮大）（讀作無窮大）(2)點a的去心鄰域：注若不強調δ的大小，點a的去心鄰域記為鄰域點a的左δ鄰域:點a的右δ鄰域:(1)設δ是任一正數(shù)，稱開區(qū)間(a-δ,a+δ)為點a的δ鄰域，記為U(a,δ)，即

點a稱為該鄰域的中心，稱δ為該鄰域的半徑.a

(a-δ,a)和(a–δ,a](a,a+δ)和[a,a+δ)因變量自變量數(shù)集D叫做這個函數(shù)的定義域二函數(shù)的概念自變量因變量對應法則f函數(shù)的兩要素:定義域與對應法則.約定:定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實數(shù)值.定義:

郵件的費用依賴與郵件的重量，郵局公布的費用表可根據(jù)郵件的重量W確定郵件的費用C。

自動紀錄儀畫出了一天中氣溫隨時間變化的曲線圖，由圖形可以找出在一天中的某個時刻t的溫度值T。tTo

真空中初速為零的自由落體，下落路程S與時間t的關系為：，設這一運動花費T秒鐘，則t[0,T]。表格法圖象法解析法函數(shù)的表示法(1)符號函數(shù)幾個特殊的函數(shù)舉例1-1xyo(2)取整函數(shù)y=[x][x]表示不超過的最大整數(shù)12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo階梯曲線如[-3.4]=-4,[－1]=－1,定義域D=(－∞,+∞),值域=Z.有理數(shù)點無理數(shù)點?1xyo(3)狄利克雷函數(shù)注意：不能正確地畫出圖象．(4)取最值函數(shù)yxoyxo在自變量的不同變化范圍中,

對應法則用不同的式子來表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).例1

脈沖發(fā)生器產生一個單三角脈沖,其波形如圖所示,寫出電壓U與時間函數(shù)關系式.解單三角脈沖信號的電壓例2解故反函數(shù)反函數(shù)的定義:設函數(shù)是單射,則它存在逆函數(shù)稱此映射為函數(shù)f

的反函數(shù).如:函數(shù)是單射,其反函數(shù)為DD)(xfy=函數(shù)

直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關于直線對稱.相對于反函數(shù)原來的函數(shù)y=f(x)稱為直接函數(shù).結論：反函數(shù)的定義域是直接函數(shù)的值域，值域是直接函數(shù)的定義域。復合函數(shù)定義:設函數(shù)的定義域為函數(shù)u=g(x)在D上有定義,且則由下式確定的函數(shù)稱為由函數(shù)u=g(x)和函數(shù)構成的復合函數(shù),它的定義域為D,變量u稱為中間變量.函數(shù)g與函數(shù)f

構成的復合函數(shù)通常記為函數(shù)g與函數(shù)f

構成復合函數(shù)的條件是:函數(shù)g在D上的值域g(D)必須含在f

的定義域內,即注意:1.不是任何兩個函數(shù)都可以復合成一個復合函數(shù)的;2.復合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經過復合構成.如:如:函數(shù)的運算設函數(shù)f(x),g(x)的定義域依次為則可以定義這兩個函數(shù)的下列運算：和(差)積商基本初等函數(shù)(２)冪函數(shù)(是常數(shù))（1）常數(shù)函數(shù)y=c(3)指數(shù)函數(shù)(4)對數(shù)函數(shù)(5)三角函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)(6)反三角函數(shù)反正弦函數(shù)反余弦函數(shù)反正切函數(shù)常值函數(shù),冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).(2)初等函數(shù)基本初等函數(shù)經過有限次四則運算和有限次的函數(shù)復合步驟所構成并可用一個式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).奇函數(shù).偶函數(shù).雙曲函數(shù)雙曲正弦雙曲余弦奇函數(shù),有界函數(shù),雙曲正切雙曲函數(shù)常用公式反雙曲函數(shù)反雙曲正弦奇函數(shù),在內單調增加.反雙曲余弦奇函數(shù),

１．函數(shù)的單調性:xyo例：y=[x],y=ex在（-∞,+∞)內單調增加。第二節(jié)函數(shù)的特性xyo

證:

設函數(shù)y＝f(x)的定義域為D,不妨設y＝f(x)在D上嚴格增,對f(D)中每一個y0，有x0∈D,使f(x0)＝y(tǒng)0，我們證明這樣的x0只能有一個.事實上,假設存在x0′≠x0,有f(x0′)＝f(x0),由f(x)嚴格遞增,當x0′＜x0時,f(x0′)＜f(x0).當x0′＞x0時,f(x0′)＞f(x0)，與f(x0′)＝f(x0)相矛盾.所以,對每一個y0∈f(D),都只存在唯一的一個x0∈D,使f(x0)＝y(tǒng)0.從而函數(shù)y＝f(x)存在反函數(shù)x＝f-1(y),y∈f(D).

現(xiàn)證:x=f-1(y)在f(D)上是嚴格增的,任取y1,y2∈f(D)且y1<y2,設x1=f-1(y1),x2=f-1(y2),則y1＝f(x1),y2＝f(x2).由f(x)嚴格增知,若x1＞x2,則f(x1)＞f(x2),即y1＞y2;若x1＝x2,則f(x1)＝f(x2),即y1＝y(tǒng)2,都與y1＜y2相矛盾.故x1＜x2時,有f-1(y1)＜f-1(y2),所以x＝f-1(y)在f(D)上嚴格增.反函數(shù)存在定理：嚴格增(減)函數(shù)必有嚴格增(減)反函數(shù)．２．函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)yxox-x奇函數(shù)yxox-x例

判斷函數(shù)

的奇偶性.解：∴f(x)是奇函數(shù).例

設

f(x)在R上定義，證明

f(x)可分解為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和。證明：設顯然

g(x)是偶函數(shù)，h(x)是奇函數(shù),而

故命題得證.

３．函數(shù)的周期性:（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.在(無窮)多個正周期中若存在一個最小數(shù)，此最小數(shù)稱為最小正周期。一個周期函數(shù)有無窮多個周期，

如y=sinx，±2π,±4π…均為周期。一般函數(shù)的周期均指最小正周期，但并非所有周期函數(shù)都存在最小正周期.如:f(x)=c事實上,對任何y(-,+)都有f(x+y)=f(x).注意例：狄利克雷函數(shù)它是一個周期函數(shù),任何有理數(shù)都是它的周期,但它沒有最小正周期.４．函數(shù)的有界性:oyxM-My=f(x)X有界M-MyxoX無界則稱函數(shù)若有成立，f(x)在X上有界.否則稱為無界.

例

y=sin2x,y=cosx在（-∞,+∞)上均為有界函數(shù),

y=x,y=x2在(-∞,+∞)上無界.成立，則稱函數(shù)

y=f(x)在區(qū)間

I上是上方有界的,

簡稱有上界。設函數(shù)

y=f(x)在區(qū)間I上有定義。

若存在實數(shù)

M(可正，可負)，對一切

x

I恒有y=f(x)f(x)≤MM稱為函數(shù)

y=f(x)的上界．

f(x)≥m在區(qū)間

I

上是下方有界的,簡稱有下界。設函數(shù)

y=f(x)在區(qū)間

I

上有定義。若存在實數(shù)

m(可正，可負),對一切

x

I

恒有

成立，則稱函數(shù)

y=f(x)y=f(x)m則稱函數(shù)

y=f(x)的下界．

函數(shù)y=f(x)有界f(x)既有上界又有下界.在區(qū)間

I上:xyABO注意：上、下界不唯一.無窮多個下界，所有下界中最大者稱為函數(shù)在區(qū)在區(qū)間

I

上有下界，則必有若函數(shù)

間

I

上的下確界，記為