人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下 第十七章勾股定理知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第十七章勾股定理17.1勾股定理1、勾股定理：如果直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，那么勾股定理的證明：方法一：，，化簡(jiǎn)可證．方法二：四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積．四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為大正方形面積為∴方法三：，，化簡(jiǎn)得證17.2勾股定理的逆定理2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形.3、互逆命題的概念如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題.如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題.4、勾股數(shù)：能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，，，為正整數(shù)時(shí)，稱，，為一組勾股數(shù)常見的勾股數(shù)有：3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25等例、在Rt△ABC中，a=3，b=4，求c．錯(cuò)解 由勾股定理，得c===5診斷這里默認(rèn)了∠C為直角．其實(shí)，題目中沒有明確哪個(gè)角為直角，當(dāng)b＞a時(shí)，∠B可以為直角，故本題解答遺漏了這一種情況．當(dāng)∠B為直角時(shí)，c===例、已知Rt△ABC中，∠B=RT∠，a=，c=，求b.錯(cuò)解由勾股定理，得B===診斷這里錯(cuò)在盲目地套用勾股定理“a2＋b2=c2”．殊不知，只有當(dāng)∠C=Rt∠時(shí)，a2＋b2=c2才能成立，而當(dāng)∠B=Rt∠時(shí)，則勾股定理的表達(dá)式應(yīng)為a2＋c2=b2正確解答∵∠B=Rt∠，由勾股定理知a2＋c2=b2．∴b===例、若直角三角形的兩條邊長(zhǎng)為6cm、8cm，則第三邊長(zhǎng)為________．錯(cuò)解設(shè)第三邊長(zhǎng)為xcm．由勾股定理，得x2=62＋82．x===10即第三邊長(zhǎng)為10cm．診斷這里在利用勾股定理計(jì)算時(shí)，誤認(rèn)為第三邊為斜邊，其實(shí)題設(shè)中并沒有說明已知的兩邊為直角邊，∴第三邊可能是斜邊，也可能是直角邊．正確解法設(shè)第三邊長(zhǎng)為xcm．若第三邊長(zhǎng)為斜邊，由勾股定理，得x===10(cm)若第三邊長(zhǎng)為直角邊，則8cm長(zhǎng)的邊必為斜邊，由勾股定理，得x===(cm)因此，第三邊的長(zhǎng)度是10cm或者cm.例、如圖，已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，AM是中線，且AM=BC=AD.又RT△ABC的周長(zhǎng)是(6+2)cm.求AD．錯(cuò)解∵△ABC是直角三角形，∴AC:AB:BC=3:4:5∴AC∶AB∶BC=3∶4∶5．∴AC=(6+2)=，AB=(6+2)=，BC=(6+2)=又∵=∴AD====(3+)(cm)診斷我們知道，“勾三股四弦五”是直角三角形中三邊關(guān)系的一種特殊情形，并不能代表一般的直角三角形的三邊關(guān)系．上述解法犯了以特殊代替一般的錯(cuò)誤．正確解法∵AM=∴MD==又∵M(jìn)C=MA，∴CD=MD．∵點(diǎn)C與點(diǎn)M關(guān)于AD成軸對(duì)稱．∴AC=AM，∴∠AMD=60°=∠C．∴∠B=30°，AC=BC，AB=BC∴AC+AB+BC=BC+BC+BC=6+.∴BC=4．∵BC=AD，∴AD==(cm)例、在△ABC中，a∶b∶c=9∶15∶12，試判定△ABC是不是直角三角形．錯(cuò)解依題意，設(shè)a=9k，b=15k，c=12k(k＞0)．∵a2＋b2=(9k)2＋(15k)2=306k2，c2=(12k)2=144k2，∴a2＋b2≠c2．∴△ABC不是直角三角形．診斷我們知道“如果一個(gè)三角形最長(zhǎng)邊的平方等于另外兩邊的平方和，那么這個(gè)三角形是直角三角形”．而上面解答錯(cuò)在沒有分辨清楚最長(zhǎng)邊的情況下，就盲目套用勾股定理的逆定理．正確解法由題意知b是最長(zhǎng)邊．設(shè)a=9k，b=15k，c=12k(k＞0)．∵a2＋c2=(9k)2＋(12k)2=81k2＋144k2=225k2．b2=(15k)2=225k2，∴a2＋c2=b2．∴△ABC是直角三角形．例、已知在△ABC中，AB＞AC，AD是中線，AE是高．求證：AB2－AC2=2BC·DE錯(cuò)證如圖．∵AE⊥BC于E，∴AB2=BE2＋AE2，AC2=EC2＋AE2．∴AB2－AC2=BE2－EC2=(BE＋EC)·(BE－EC)=BC·(BE－EC)．∵BD=DC，∴BE=BC－EC=2DC－EC．∴AB2－AC2=BC·(2DC－EC－EC)=2BC·DE．診斷題設(shè)中既沒明確指出△ABC的形狀，又沒給出圖形，因此，這個(gè)三角形有可能是銳角三角形，也可能是直角三角形或鈍角三角形．∴高AE既可以在形內(nèi)，也可以與一邊重合，還可以在形外，這三種情況都符合題意．而這里僅只證明了其中的一種情況，這就犯了以偏概全的錯(cuò)誤.剩下的兩種情況如圖所示.正確證明由讀者自己完成．例、已知在△ABC中，三條邊長(zhǎng)分別為a，b，c，a=n，b=-1，c=(n是大于2的偶數(shù)).求證:△ABC是直角三角形.錯(cuò)證1∵n是大于2的偶數(shù)，∴取n=4，這時(shí)a=4，b=3，c=5．∵a2＋b2=42＋32=25=52=c2，∴△ABC是直角三角形(勾股定理的逆定理)．由勾股定理知△ABC是直角三角形．/