2018-2019學年第一學期數學湘教七年級第二章代數式電子課件

用字母表示數本課內容本節(jié)內容2.1

據中國新聞網2011年9月19日報道：中國工程院院士袁隆平指導的“Y兩優(yōu)2號”百畝①超級雜交稻試驗田平均畝產926.6kg，創(chuàng)中國大面積水稻畝產的最高紀錄.注：①畝，我國的一種面積單位.1畝≈666.67m2.動腦筋雜交水稻之父———袁隆平（1）根據上面數據完成下表：畝數11.522.53…總產量（kg）926.6×1926.6×1.5…926.6×2從表中可知，總產量可用“926.6×畝數”求得．926.6×2.5926.6×3a畝水稻的總產量是

926.6×a(kg).平均畝產為bkg時，a畝水稻的總產量是a×b(kg).（2）如果用字母a表示畝數，那么a畝水稻的總產量是多少？（3）如果平均畝產為bkg，那么a畝水稻的總產量是多少？

2011年9月29日21時16分，我國成功發(fā)射了“天宮一號”飛行器，它是目前中國最大、最重的在軌飛行航天器.已知“天宮一號”大約每小時繞地球飛行2.844萬千米，則它飛行2h，2.5h分別飛行了多少萬千米？如果時間為th，那么它飛行了多少萬千米？動腦筋“天宮一號”飛行2h，2.5h分別飛行了(2844×2)萬千米，2.844×2.5)萬千米.th飛行了2.844t萬千米.例1

填空：舉例（1）比a的0.6倍大c的數是

；（2）a與b的2倍的積為

.解（1）

0.6a+c

；（2）

2ab.例2小莉以5km/h的速度，走了20km的路程，那么她走了多長時間？如用字母v表示速度，用字母s表示路程，那么她走的時間又如何表示呢？舉例解小莉走20km所花的時間為20÷5=4(h).若用字母v表示速度，用字母s表示路程，則時間t=s÷v=.

從上述例子看到，用字母表示數，可以統(tǒng)一、簡明地表示實際問題中的數量關系.

在含字母的式子里，字母與字母相乘時，“×”號通常省略不寫或寫成“·”.例如

a×2b=2ab.小提示例如

a×b可以寫成

a·b或

ab；字母與數字相乘時，

數字與數字相乘時，一般仍用“×”號，也可用“·”號，但要注意與小數點區(qū)分開；字母與字母相除時，例如

926.6×a可以寫成

926.6a；例如s÷v

記做在字母和數字的乘積中，數字通常寫在字母的左邊．（2）學校有各種球共x個，其中藍球占35%，則藍球的個數是

；0.35x

（3）比314的a倍多10的數是

；

314a+101.填空：練習（1）小明上學騎自行車的速度是其步行速度的3倍，若小明的步行速度為am/s，則小明騎自行車的速度是

；

（4）比15b的一半少3的數是

.

3am/s解中考試題例1

某書店出售圖書的同時，推出一項租書業(yè)務，每租看1本書，租期不超過3天；每天租金a元；租期超過3天，從第4天開始每天加收b元，如果租看7天歸還，那么租金為

元.

依題意，得（7a+4b）元.（7a+4b)解中考試題例2

為鼓勵節(jié)約用電，某地居民用戶用電收費標準作如下規(guī)定：每戶每月用電如果不超過100千瓦時，那么每千瓦時電價按a元收費；如果超過100千瓦時，那么超過部分每千瓦時電價按b元收費.某戶居民在一個月內用電160千瓦時，該戶居民這個月應繳納電費

元.

用電160千瓦時，由題可知，其中100千瓦時按a元收費，60千瓦時按b元收費.故，該戶居民這個月應繳納（100a+60b）元.（100a+60b）解中考試題例3

如圖所示，有一塊長為a，寬為b的長方形鋁片，四角各載去一個相同的邊長為x的正方形，折起來做成一個沒有蓋的盒子，則此盒子的容積的表達式應該是（）A.V=x2(a-x)(b-x)B.V=x(a-x)(b-x)C.V=x(a-2x)(b-2x)D.V=x(a-2x)(b-2x)

由題意可知，盒子的底面長為(a-2x),寬為(b-2x),高為x.因此，盒子的容積為：V=x(a-2x)(b-2x).故選D.分析

本題應采用直接法求解.D列代數式本課內容本節(jié)內容2.2觀察圖，并完成下表：觀察六邊形的個數圖案所需火柴（根）1626+536+5×246+5×………m(m為正整數)…6+5×3m-1圍4個六邊形需火柴棍6+5×(4-1)=21（根）.每增加一個六邊形就增加5根火柴棍，因此圍m個六邊形，需火柴棍［6+5(m-1)］根．六邊形的個數圖案所需火柴（根）1626+536+5×246+5×………m(m為正整數)…6+5×3m-1

單獨一個字母或者一個數也是代數式.

前面我們列出了一些式子，如926.6a，ab，2ab，0.6a+c，

，6+5（m-1），

像這樣，把數與表示數的字母用運算符號連接而成的式子叫做代數式.例如-5，23，

-m，n都是代數式.例1

用代數式表示：

（1）a的7倍與2b的差；

（2）x,

y兩數的平方和減去兩數積的2倍；（3）a的倒數與b的和.舉例解

（1）

7a-2b；（2）x2+

y2-2xy；

（3）

.例2

（1）已知鉛筆每支x元，練習本每本y元.小明買鉛筆5支，練習本6本，需多少元？舉例解（1）需（5x+6y）元；（2）小蘭騎自行車的速度是（v+10）km/h，

從家到學校需

（2）小蘭的家距學校5km，她步行的速度是vkm/h.而騎自行車比步行快10km/h.

她騎自行車的速度是多少？她騎自行車從家到學校需多長時間?舉出實例，說說代數式25a可以表示什么.如果蘋果的價格是每千克a元，買25

kg蘋果則需要25a元．說一說如果用am/s表示小強跑步的速度，則他跑25s所跑的路程為25am．練習1.

用代數式填空：（1）某階梯教室第一排有8個座位，第二排有10個座位，以后每排都比它前一排多2個座位，那么第n

排有

個座位；[8+2(n-1)]（2）一批貨物共xt，第一天售出，第二天售出剩下的一半，還剩下貨物

t.[x

-x

-(x-x)]

（1）a與b的和的平方；2.列代數式：（2）一件進價為x元的商品，賣出后利潤率為

25%，那么這件商品的利潤是多少元？

(利潤=進價×利潤率)(a+b)20.25x元（3）某儲戶存入一年期定期儲蓄10000元，一年期定期儲蓄的年利率為a%，則一年到期后，該儲戶可得本息和（本金與利息的和）多少元？（利息=本金×年利率×年數）10000+10000×a%3.請你舉出實例，說說代數式可以表示什么.答：一斤蘋果a元，買半斤蘋果需要元.解中考試題例1

代數式4a可表示的實際意義是

.

如每支鋼筆4元，買a支鋼筆所需錢數為4a元；正方形的邊長為a，它的周長為4a等.正方形的邊長為a，它的周長為4a分析

本題是要說出實際意義，即找4a的一個問題背景.答案不惟一，只要符合實際意義及代數式的意義即可.解中考試題例2

D

“x的與y的和”用代數式表示為（）

A.(x+y)B.x++yC.x+yD.x+y分析

列代數式時，根據語序確定運算順序.

依題意，得x+y.故選D.代數式的值本課內容本節(jié)內容2.3

今年植樹節(jié)時，某校有305名同學參加了植樹活動，其中有的同學每人植樹a棵，其余同學每人植樹2棵.動腦筋

你能用代數式表示他們植樹的總棵數嗎？

如果a=3，他們共植樹多少棵？

如果a=4，他們共植樹多少棵？

他們共植樹

×305×a+×305×2=122a+366（棵）當a=3時，他們共植樹

棵，當a=4時，他們共植樹

棵.732

你能用代數式表示他們植樹的總棵數嗎？

如果a=3，他們共植樹多少棵？

如果a=4，他們共植樹多少棵？854

如果把代數式里的字母用數代入，那么計算后得出的結果叫做代數式的值.代入一個a值代數式122a+366得出一個結果

代數式里的字母可以取各種不同的數值，但所取的數值必須使代數式和它表示的實際數量有意義，如上例122a+366中的字母a不能取負數，又如中的v不能取零.例1

（1）當x=-3時，求x2

-3x+5的值；（2）當a=0.5，b=-2時，求

的值.舉例解（1）當x=-3時，

x2-3x+5=(-3)2-3×(-3)+5=23；（2）當a=0.5，b=-2時，例2我們在計算不規(guī)則圖形的面積時，有時采用“方格

法”來計算．計算方法如下：假定每個小方格的邊

長為1個單位長，S為圖形的面積，L是邊界上的格點

數，N是內部格點數，則有

.請根據此

方法計算圖中四邊形ABCD的面積.舉例解由圖可知，邊界上的格點數L=8，

內部格點數N=12，所以四邊形ABCD的面積為：練習1.

填空：輸入a的值輸出結果.-2a+1-440-7912.當

x=0.5，y=

0.79時，求代數式4x2＋2y的值．答：2.58.3.請用例2的方法求右圖中圖形的面積．答：面積為48.4.請你查閱有關資料找出兩個公式，再取適當的

數值代入公式，求出結果.解中考試題例1

當x=-2時，代數式(x+2)2-x(x+1)的值等于(

)A.2B.-2C.4D.-4當x=-2時，原式=(-2+2)2-(-2)(-2+1)=0-2=-2.故選B.B分析

本題中，應將x=-2直接代入求值.解中考試題例2

當x=3時，代數式px3+qx+1的值為2002，則當x=-3時，代數式px3+qx+1的值為（）A.2000B.-2002C.-2000D.2001∵當x=3時，px3+qx+1=27p+3q+1=2002,∴當x=-3時,px3+qx+1=-27p-3q+1=-27p-3q-1+1+1=-(27p+3q+1)+2=-2002+2=-2000.故選C.C解中考試題例3

如圖所示，一張邊長為16cm的正方形硬紙板，把它的四個角都剪去一個邊長為xcm的小正方形，然后把它折成一個無蓋的長方體，設長方體的容積為Vcm3，請回答下列問題：（1）用含有x的代數式表示V，則V=

.（2）完成下表：（3）觀察上表，容積V的值是否隨x的增大而增大？當x取什么值時，容積V的值最大？

x(cm)1234567

V(cm3)x(16-2x)21962883002561809628

V的值不是隨x增大而增大，從表中可知，當x=3時，V最大.整式本課內容本節(jié)內容2.4動腦筋（1）長為x，寬為0.8x的長方形的面積是多少？（2）半徑為r的圓的面積是多少？（3）長方體的底面是邊長為x的正方形，高為y，這個長方體的體積是多少？

0.8x2，πr2，x2y

它們有什么共同點?

像0.8x2，πr2，x2y這樣，由數與字母的積組成的代數式叫做單項式.單獨一個字母或者一個數也是單項式.單項式中，與字母相乘的數叫做單項式的系數.

例如，0.8x2的系數是0.8；πr2的系數是π

（注意：π是圓周率，是一個數）；x2y

的系數是1；-x的系數為-1.例如x，

是單項式.

一個單項式中，所有字母的指數的和叫做這個單項式的次數.

例如，0.8x2的次數是2；πr2的次數是2；x2y的次數是3；-x的次數是1.

如果單項式只是一個數，并且這個數不是0，那么它的次數是0.例如，單項式

的次數是0.

填表（其中π是圓周率）：單項式

1.5x4-y5xy2π

r2h2π

r系數1.5次數4-1153π312π做一做

下圖是某拱形門的示意圖，它是由上、下兩部分組成的.已知上部分的面積為

，下部分的面積為xy，則這個圖形的面積是多少（結果保留π）？說一說該圖形的面積是我們發(fā)現，

可以看做是單項式

與xy的和.2x3-5x2y+3xy-1可以看做是單項式2x3，-5x2y，3xy與-1的和.

像

，2x3-5x2y+3xy-1這樣，由幾個單項式的和組成的代數式叫做多項式.

組成多項式的每個單項式叫做多項式的項，其中不含字母的項叫常數項.

例如，在多項式2x3-5x2y+3xy-1中，2x3，-5x2y，3xy與-1都是它的項，其中-1是常數項.

多項式中次數最高的項的次數，叫做這個多項式的次數.例如，多項式2x3-7x2+9的次數是3.單項式可看成是只有一項的多項式.習慣上把單項式和多項式統(tǒng)稱為整式.多項式的項多項式的次數2x3

-7x2

+9例說出下列多項式的次數和常數項：

（1）2x-3；

（2）-x3+7x-4；（3）3x2-5xy+y2-4x+6y-9.舉例解（1）2x-3

2x-3的次數是1，常數項是-3；看字母的指數x的指數是1解（2）-x3+7x-4

-x3+7x-4的次數是3，常數項是-4；此題為多項式多項式里，次數最高的項的次數就是多項式的次數-x3為次數最高的項解（3）3x2-5xy+y2-4x+6y-9

3x2-5xy+y2-4x+6y-9的次數是2，常數項是-9.此題為多項式多項式里，次數最高的項的次數就是多項式的次數3x2,-5xy,y2都是次數最高的項練習1.說出下列單項式的系數和次數：系數是2，次數是3.（1）2x3；（2）；（3）-x；（4）；（5）.系數是，次數是3.系數是-1，次數是1.系數是，次數是4.系數是

，次數是1.

（1）-3x+11；（2）5x2-2x+7；（3）x2-2xy+y2-3x+5y-1；（4）y2-x3+x-2.2.說出下列多項式的次數和常數項：解（1）

-3x+11的次數為1，常數項為11；（2）

5x2-2x+7的次數為2，常數項為7；（3）

x2-2xy+y2-3x+5y-1

的次數為2，常數項為-1；（4）

y2-x3+x-2

的次數為3，常數項為-2.

（1）x4-5x3+7x-3；（2）；（3）

；（4）x2+x+1.3.下列代數式哪些是多項式？哪些不是多項式？解（1）

x4-5x3+7x-3為多項式；（2）

不是多項式；（3）

不是多項式；（4）

x2+x+1為多項式.中考試題例1

多項式x2y3-3xy3-1的次數和項數分別是（）A.5，3

B.5，2C.2，3

D.3，3

多項式的次數是次數最高的項的次數.x2y3的次數為5，-3xy3的次數為4，且本題有三項，所以為五次三項式.故選A.解A中考試題例2

若5a3|m|+1-(m+2)b-10是七次三項式，求m2+m的值.解∵原多項式是一個七次三項式，∴

由①，得m=±2.由②，得m≠-2.故，m=2.因此，m2+2=22+2=6.3|m|+1=7,m+2≠0.中考試題例3

有一個多項式為a8-a7b+a6b2-a5b3…，按照此規(guī)律寫下去，這個多項式的第八項是

.解

仔細觀察這個多項式會發(fā)現：字母a的指數第一項為8，以下各項依次減1；對于字母b，第一項不含字母b，自第二項開始字母b的指數為1，依次加1；各項的符號奇數項為“+”號，偶數項為“-”號.所以這個多項式的第八項是-ab7.-ab7整式的加法和減法本課內容本節(jié)內容2.5

如圖，在一塊長為x，寬為y的草地中間，挖了一個面積為的水池后，剩余草地的面積是多少？動腦筋原來草地面積為xy，水池的面積為，因此剩余草地的面積為xy.

例如在多項式x2y+3x+1-4x-5x2y

-5中，同類項有x2y與-5x2y，3x與-4x，1與-5.

像多項式中的項xy，，它們含有的字母相同，并且相同字母的指數也分別相同，稱它們?yōu)橥愴?

多項式

x2y+3x+1-4x-5x2y-5中的同類項可以合并嗎？議一議我想可以.因為多項式中的字母表示的是數，所以我們可以運用交換律、結合律、分配律把多項式中的同類項進行合并.x2y+3x+1-4x-5x2y-5=x2y-5x2y+3x-4x+1-5（交換律）=(1-5)x2y+(3-4)x+(-4)（分配律）=(x2y

-5x2y)+(3x

-4x)+(1-5)（結合律）=-4x2y-x-4.

把多項式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項.例1

合并同類項：

（1）-4x4-5x4+x4；

（2）

.舉例解（1）-4x4-5x4+x4-4x4-5x4+x4=-8x4=(-4-5+1)x4（2）解

合并同類項時，只要把它們的系數相加，字母和字母的指數不變.例2

合并同類項：

（1）-3x2-14x-5x2+4x2

；

（2）xy3+x3y-2xy3+5x3y+9

.舉例解（1）-3x2-14x-5x2+4x2找同類項-3x2

=(-3-5

+4)x2

-14x將同類項放在一起=合并同類項=-4x2-14x-5x2+4x2-14x-3x2-14x-5x2+4x2解（2）xy3+x3y-2xy3+5x3y+9找同類項=(1-2)xy3+(1+5)x3y+9將同類項放在一起=合并同類項xy3+x3y

-2xy3+5x3y+9=-xy3+6x3y+9xy3

+5x3y+9+x3y-2xy3

像例2這樣，先把同類項在底下畫線標出（對于不同的同類項，分別用不同的線），然后運用加法交換律和結合律，把同類項放在一起，最后合并同類項.熟練以后，可以不必把同類項調到一起而直接合并同類項.（1）-3x2-14x-5x2+4x2

；（2）xy3+x3y-2xy3+5x3y+9

.

多項式x3-4x2+7x2-2x-5與多項式x3+3x2-6x+4x-5相等嗎？說一說兩個式子合并同類項后都等于x3+3x2-2x-5.

兩個多項式分別經過合并同類項后，如果它們的對應項系數都相等，那么稱這兩個多項式相等.1.請將下面的同類項用線連接起來：2x3xy2-5x-7xy23x-4x3-7xy2練習2.合并同類項：（1）6x5-x5+9x5

；（2）-xy-4xy-7xy

；（3）8x4y-6x4y+15xy+9-2x4y.解（1）6x5-x5+9x5=

5x5+9x2=14x5（2）-xy-4xy-7xy=

-5xy-7xy=-12xy（3）8x4y-6x4y+15xy+9-2x4y=

8x4y-6x4y-2x4y+15xy+9=15xy+93.下列兩個多項式是否相等？x3-5x2+3x2-7x+2

，x3-2x2+5x-12x+2

.答：x3-5x2+3x2-7x+2=x3-2x2-7x+2，

x3-2x2+5x-12x+2=x3-2x2-7x+2

.所以兩個多項式相等.

根據加法結合律，去掉下面式子中的括號，填空：動腦筋a+（b+c

）=____________；a+（

b

-

c

）=____________.由上面的式子你發(fā)現了什么？a+b+ca+b

-

c

括號前是“+”號，運用加法結合律把括號去掉，原括號里各項的符號都不變.結論一般地，有下列去括號法則：

a+b與a-b的相反數分別是多少？議一議

根據加法結合律和交換律得(a+b)+(-a-b)=0，因此，a+b與-a-b互為相反數.同樣地，我們有a-b與-a+b也互為相反數.動腦筋a–(b-c)=a+(-b+c)=

；a–(-b-c)=a+(b+c)=

.由上面的式子有什么變化規(guī)律？a

-

b+ca+b

+

c

括號前是“-”號，把括號和它前面的“-”號去掉，原括號里各項的符號都要改變.結論一般地，有下列去括號法則：-b-c我要去掉括號我的符號全變了！b+c

我們可以利用合并同類項和去括號法則進行整式的加減運算.例3

計算：

（1）(5x-1)+(x-1)；

（2）(2x+1)-

(4-2x).舉例解

（1）(5x-1)+(x-1)

將括號展開得=5x-1+x-1=6x-2找同類項，計算結果(5x-1)+(x-1)

解

（2）(2x+1)-

(4-2x)

將括號展開得=2x+1-4+2x=4x-3找同類項，計算結果(2x+1)-

(4-2x)

練習1.判斷（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）2x-(3y-z)=2x-3y-z；（）×（2）-(5x-3y)-(2x-y)=-5x+3y-2x+y；（）√2.計算：（1）u2-v2+(v2-w2)；（2）(4x-2y)-(2x-y)；（3）-(x-3)-(3x-5).解（1）

u2-v2+(v2-w2)=

u2-v2+v2-w2=u2-w2；（2）

(4x-2y)-(2x-y)=

4x-2y-2x+y=2x–y；（3）

-(x-3)-(3x-5)=

-x+3-3x+5=-4x+8.

有兩個大小不一樣的長方體紙盒，如圖所示，已知大紙盒的體積是小紙盒體積的24倍.動腦筋xyz（1）這兩個紙盒的體積和為多少？（2）大紙盒與小紙盒的體積差為多少？小紙盒和大紙盒的體積分別為xyz

和24xyz，故兩紙盒的體積和為

xyz+24xyz=25xyz.大紙盒的體積與小紙盒的體積差為

24xyz-xyz=23xyz.例4求多項式3x2+5x與多項式-6x2+2x-3的和與差.舉例解

根據題意，得

3x2+5x+(-6x2+2x-3)

=3x2+5x-6x2+2x-3

=-3x2+7x-3；3x2+5x-(-6x2+2x-3)=3x2+5x+6x2-2x+3=9x2+3x+3.例5先化簡，再求值.舉例

5xy-(4x2+2xy)-2(2.5xy+10)，其中x=1，y=-2.解

5xy-(4x2+2xy)-2(2.5xy+10)

=5xy-4x2-2xy-(5xy+20)

=5xy-4x2-2xy-5xy-20

=-4x2-2xy-20.當

x=1，y=

-2

時，-4x2-2xy-20=

-4×12-2×1×(-2)-20=-20.例6如圖，正方形的邊長為x，用整式表示圖中陰影部分的面積，并計算當x=4m時陰影部分的面積（

取3.14）.舉例解

陰影部分的面積為當x=4m時，陰影部分的面積為練習1.當x=-3時，求7x2-3x2+(5x