2022年秋高中數學第二章平面解析幾何2.3圓及其方程2.3.1圓的標準方程課件新人教B版選擇性必修第一冊

2.3.1圓的標準方程第二章課標要求1.掌握圓的定義及標準方程;2.能根據圓心、半徑寫出圓的標準方程,并能解決一些簡單的實際問題;3.能用待定系數法求圓的標準方程;4.能用圓的幾何性質處理與圓心及半徑有關的問題.內容索引0102基礎落實?必備知識全過關重難探究?能力素養(yǎng)全提升03學以致用?隨堂檢測全達標基礎落實?必備知識全過關知識點1

圓的定義平面內到一定點的距離等于定長的點的

是圓,其中定點是

,定長是圓的

.

知識點2

圓的標準方程一般地,如果平面直角坐標系中☉C的圓心為C(a,b),半徑為r(r>0),設M(x,y)為平面直角坐標系中任意一點,則點M在☉C上的充要條件是|CM|=r,即

=r,兩邊平方,得

,通常稱為圓的標準方程.

集合

圓心半徑(x-a)2+(y-b)2=r2

過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)方程(x-a)2+(y-b)2=r2一定是圓的方程.(

)(2)函數y=b-

(r>0)的圖象是以(a,b)為圓心,半徑為r的位于直線y=b下方的半圓弧.(

)×√2.在平面直角坐標系中,圓是函數的圖象嗎?提示根據函數知識,對于平面直角坐標系中的某一曲線,如果任意一條垂直于x軸的直線與此曲線至多有一個交點,那么這條曲線是函數的圖象,否則,不是函數的圖象.對于平面直角坐標系中的圓,存在一條垂直于x軸的直線與其有兩個交點,因此圓不是函數的圖象.知識點3

點與圓的位置關系點M(x0,y0)與☉C:(x-a)2+(y-b)2=r2的位置關系及判斷方法

位置關系利用距離判斷利用方程判斷點M在圓上|CM|=r(x0-a)2+(y0-b)2=r2點M在圓外|CM|>r(x0-a)2+(y0-b)2>r2點M在圓內|CM|<r(x0-a)2+(y0-b)2<r2過關自診點P(1,3)與圓x2+y2=24的位置關系是(

)A.點在圓外 B.點在圓內C.點在圓上 D.不確定答案

B重難探究?能力素養(yǎng)全提升探究點一求圓的標準方程【例1】

(1)圓心在點C(2,1),半徑長是

的圓的標準方程為

.

(2)圓心在點C(8,-3),且過點P(5,1)的圓的標準方程為

.

(3)已知兩點A(-1,-3),B(3,a),以線段AB為直徑的圓經過原點,則該圓的標準方程為

.

答案

(1)(x-2)2+(y-1)2=3

(2)(x-8)2+(y+3)2=25

(3)(x-1)2+(y+2)2=5

∵以線段AB為直徑的圓經過原點,∴(0,0)代入①成立,解得a=-1.故圓的標準方程為(x-1)2+(y+2)2=5.規(guī)律方法

1.確定圓的標準方程只需確定圓心坐標和半徑,因此用直接法求圓的標準方程時,要首先求出圓心坐標和半徑,然后直接寫出圓的標準方程.2.確定圓心和半徑時,常用到中點坐標公式、兩點間距離公式,有時還用到平面幾何知識,如“弦的中垂線必過圓心”,“兩條弦的中垂線的交點必為圓心”等.變式訓練以兩點A(-3,-1)和B(5,5)為直徑端點的圓的方程是(

)A.(x+1)2+(y+2)2=100 B.(x-1)2+(y-2)2=100C.(x+1)2+(y+2)2=25 D.(x-1)2+(y-2)2=25答案D

解析

∵線段AB為直徑,∴AB的中點(1,2)為圓心,∴該圓的標準方程為(x-1)2+(y-2)2=25.

探究點二點與圓的位置關系【例2】

已知在平面直角坐標系中有A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(-1,2)四點,這四點能否在同一個圓上,為什么?(x-1)2+(y-3)2=5.把點D的坐標(-1,2)代入上述圓的方程,得(-1-1)2+(2-3)2=5.所以點D在經過A,B,C三點的圓上,即A,B,C,D四點能在同一個圓上.規(guī)律方法

判斷點P(x0,y0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r2的位置關系的方法

變式探究試求過三點A(0,1),B(2,1),C(3,4)的圓的標準方程,并且判斷點(3,6)與所求圓的位置關系.解所求圓的方程同例題中的結論(x-1)2+(y-3)2=5.因為點(3,6)代入方程的左邊可得(3-1)2+(6-3)2=13>5,所以點(3,6)在該圓外.素養(yǎng)培優(yōu)一題多解——待定系數法與幾何法求圓的標準方程【典例】

求經過點P(1,1)和坐標原點,并且圓心在直線2x+3y+1=0上的圓的標準方程.【規(guī)范答題】

解(方法一)待定系數法設圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,∴圓的標準方程是(x-4)2+(y+3)2=25.(方法二)幾何法由題意知OP是圓的弦,其垂直平分線為x+y-1=0.∵弦的垂直平分線過圓心,規(guī)律方法

1.待定系數法求圓的標準方程的一般步驟

2.幾何法即是利用平面幾何知識,求出圓心和半徑,然后寫出圓的標準方程.3.有時待定系數法和幾何法交叉使用,體現數形結合的數學思想.學以致用?隨堂檢測全達標1.圓心為(3,1),半徑為5的圓的標準方程是(

)A.(x+3)2+(y+1)2=5B.(x+3)2+(y+1)2=25C.(x-3)2+(y-1)2=5D.(x-3)2+(y-1)2=25答案

D2.若點(5a+1,12a)在圓(x-1)2+y2=1的內部,則實數a滿足(

)答案

D解析

依題意有(5a)2+144a2<1,所以169a2<1,3.圓心在y軸上,半徑為1,且過點(1,2)的圓的標準方程是(

)A.x2+(y-2)2=1B.x2+(y+2)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1D.x2+(y-3)2=1答案A

解析

(方法一)直接法

∴b=2,∴圓的標準方程是x2+(y-2)2=1.(方法二)數形結合法作圖(如圖),根據點(1,2)到圓心的距離為1,且圓心在y軸上易知,圓心為(0,2),故圓的標準方程是x2+(y-2)2=1.4.圓(x-3)2+(y+1)2=1關于直線x+y-3=0對稱的圓的標準方程是