2023屆高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)：第12章 計(jì)數(shù)原理 第2節(jié) 排列與組合 課件

第12章計(jì)數(shù)原理第2節(jié)排列與組合必備知識(shí)

整體提升考點(diǎn)1

排列問(wèn)題考點(diǎn)2

組合問(wèn)題考點(diǎn)3排列、組合的綜合問(wèn)題排列問(wèn)題分考點(diǎn)講解排列問(wèn)題的常見(jiàn)解法(1)直接法：把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算．(2)優(yōu)先法：優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置．(3)捆綁法：把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列．(4)插空法：對(duì)不相鄰問(wèn)題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中．(5)先整體后局部：“小集團(tuán)”排列問(wèn)題中，先整體后局部．分考點(diǎn)講解排列問(wèn)題(6)定序問(wèn)題除法處理：對(duì)于定序問(wèn)題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列．(7)間接法：正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法．(8)分排問(wèn)題直排處理：分排后排列問(wèn)題，可以忽略分排，看成一排問(wèn)題處理．無(wú)限制條件的排列問(wèn)題應(yīng)遵循兩個(gè)原則：一是按元素的性質(zhì)分類(lèi)，二是按時(shí)間發(fā)生的過(guò)程進(jìn)行分步．對(duì)于有限制條件的排列問(wèn)題，通常從以下三個(gè)途徑考慮：(1)以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；(2)以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置；(3)先不考慮限制條件，計(jì)算出排列數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)．例15名男同學(xué)和4名女同學(xué)站成一排．(1)如果女同學(xué)必須站在一起，有多少種不同的排法？(2)任意兩名女同學(xué)彼此不相鄰，有多少種不同的排法？(3)甲同學(xué)不站在第一位，也不站在最后一位，有多少種不同的排法？(4)若將站成一排改為兩名同學(xué)站一排，剩余同學(xué)站一排，有多少種不同的排法？(5)甲同學(xué)不站在第一位，乙同學(xué)不站在最后一位，有多少種不同的排法？【解】(1)(捆綁法)女同學(xué)必須站在一起，則視4名女同學(xué)為一個(gè)整體，再和5名男同學(xué)全排，可得排法為A66A44＝17280(種)．(2)(插空法)先排5名男同學(xué)，再插入女同學(xué)即可，所以排法為A55A64＝43200(種)．(3)方法一(特殊位置優(yōu)先法)：第一位和最后一位先安排除甲外的任意兩個(gè)人，有A82種排法，剩余7人有A77種排法，共有A82A77＝282240(種)排法；方法二(特殊元素優(yōu)先法)：先排甲，有7種排法，其余8人有A88種排法，共有7×A88＝282240(種)排法．(4)(分排問(wèn)題直排處理)可以忽略分排，看成排一排問(wèn)題，共有A99＝362880(種)排法．(5)(間接法)9名同學(xué)全排共有A99種排法，其中甲站在第一位時(shí)有A88種排法，乙站在最后一位時(shí)有A88種排法，甲在第一位且乙在最后一位時(shí)有A77種排法，故共有A99－2A88＋A77＝287280(種)排法．例27人排隊(duì)，其中甲、乙、丙3人順序一定，共有多少種不同的排法？分考點(diǎn)講解組合問(wèn)題1．解決組合問(wèn)題的幾種常見(jiàn)的方法正難則反、窮舉法(即樹(shù)狀圖法)、隔板法和分類(lèi)討論．2．組合問(wèn)題常見(jiàn)的兩類(lèi)題型(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型．“含”，則先將這些元素取出，空缺的再由另外的元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再?gòu)氖Ｏ碌脑刂腥ミx取．(2)“至少”或“最多”含有幾個(gè)元素的題型．解這類(lèi)題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防元素的重復(fù)與遺漏．若直接法分類(lèi)復(fù)雜時(shí)，可逆向思維，間接求解．3．解決組合問(wèn)題的基本原則(1)特殊元素優(yōu)先考慮；(2)合理分類(lèi)與準(zhǔn)確分步．例3[山東青島2021調(diào)研]在疫情防控常態(tài)化條件下，各地電影院有序開(kāi)放，某影院一排共有10個(gè)座位，選出3個(gè)用于觀影，防疫要求選出座位的左右兩邊都是空位，則不同的選法有________種．(用數(shù)字回答)【解析】由某影院一排共有10個(gè)座位，選出3個(gè)用于觀影，要求選出座位的左右兩邊都是空位，可先將其中的7個(gè)空位排成一排，則空位之間有6個(gè)空隙．再把3個(gè)座位放在其中的3個(gè)空隙中，共有C63＝20(種)不同方法．20例4[湖南長(zhǎng)沙2021月考]2020年義烏國(guó)際馬拉松賽，我校要從甲、乙、丙、丁等10人中挑選3人參加比賽，其中甲、乙、丙、丁4人中至少有1人參加且甲、乙不同時(shí)參加，丙、丁也不同時(shí)參加，則不同的報(bào)名方案種類(lèi)為_(kāi)_______．【解析】根據(jù)題意，分3種情況討論．①甲、乙、丙、丁4人中，只從甲、乙中選出1人，需要在其他6人中選出2人，有C21C62＝30(種)報(bào)名方案；②甲、乙、丙、丁4人中，只從丙、丁中選出1人，需要在其他6人中選出2人，有C21C62＝30(種)報(bào)名方案；③甲、乙、丙、丁4人中，從甲、乙，丙、丁中各選1人，需要在其他6人中選出1人，有C21C21C61＝24(種)報(bào)名方案．綜上，共有30＋30＋24＝84(種)報(bào)名方案．84分考點(diǎn)講解排列、組合問(wèn)題1．解排列、組合綜合問(wèn)題的思路(1)分析題目的條件，辨別題目的類(lèi)型，如有無(wú)限制元素(或位置)，是相鄰問(wèn)題，還是插空問(wèn)題等；(2)對(duì)于較復(fù)雜的應(yīng)用題中的元素往往分成互相排斥的幾類(lèi)，然后逐類(lèi)解決；(3)把問(wèn)題化成幾個(gè)互相聯(lián)系的步驟，每一步都是簡(jiǎn)單的排列組合問(wèn)題，然后逐步解決．2．分組分配問(wèn)題解決分組分配問(wèn)題的一個(gè)基本思想就是先分組后分配，分組時(shí)應(yīng)注意是否均分，只要有一些組中元素的個(gè)數(shù)相等，就存在均分現(xiàn)象.分考點(diǎn)講解排列、組合問(wèn)題常見(jiàn)形式處理方法非均勻不編號(hào)分組n個(gè)不同元素分成m組，每組元素?cái)?shù)目均不相等，且不考慮各組間的順序，不管是否分盡，分法種數(shù)為A＝Cm1n·Cm2n－m1·Cm3n－(m1＋m2)·…·Cmmn－(m1＋m2＋…＋mm－1)均勻不編號(hào)分組n個(gè)不同元素分成不編號(hào)的m組，假定其中r組元素個(gè)數(shù)相等，不管是否分盡，其分法種數(shù)為(其中A＝Cm1n·Cm2n－m1·Cm3n－(m1＋m2)·…·Cmmn－(m1＋m2＋…＋mm－1))．如果再有k組均勻分組，應(yīng)再除以Akk非均勻編號(hào)分組n個(gè)不同元素分成m組，各組元素?cái)?shù)目均不相等，且考慮各組間的順序，其分法種數(shù)為A·Amm(其中A＝Cm1n·Cm2n－m1·Cm3n－(m1＋m2)·…·Cmmn－(m1＋m2＋…＋mm－1))均勻編號(hào)分組n個(gè)不同元素分成m組，其中r組元素個(gè)數(shù)相同且考慮各組間的順序．其分法種數(shù)為(其中A＝Cm1n·Cm2n－m1·Cm3n－(m1＋m2)·…·Cmmn－(m1＋m2＋…＋mm－1))例5[四川成都2021測(cè)試]學(xué)校將從4名男生和4名女生中選出4人分別擔(dān)任辯論賽中的一、二、三、四辯手，其中男生甲不適合擔(dān)任一辯手，女生乙不適合擔(dān)任四辯手．現(xiàn)要求：如果男生甲入選，則女生乙必須入選．那么不同的組隊(duì)形式有________種．【解析】若甲、乙都入選，則從其余6人中選出2人，有C62＝15(種)選法，男生甲不適合擔(dān)任一辯手，女生乙不適合擔(dān)任四辯手，則有A44－2A33＋A22＝14(種)，故共有15×14＝210(種)組隊(duì)形式；若甲不入選，乙入選，則從其余6人中選出3人，有C63＝20(種)選法，女生乙不適合擔(dān)任四辯手，則有C31A33＝18(種)，故共有20×18＝360(種)組隊(duì)形式；若甲、乙都不入選，則從其余6人中選出4人，有C64＝15(種)選法，再全排有A44＝24(種)，故共有15×24＝360(種)組隊(duì)形式．綜上所述，共有210＋360＋360＝930(種)組隊(duì)形式，故答案為930.930例6六本不同的書(shū)，分為三組，求在下列條件下各有多少種不同的分配方法？(1)每組兩本．(2)一組一本，一組兩本，一組三本．(3)一組四本，另外兩組各一本．對(duì)點(diǎn)強(qiáng)化排列問(wèn)題用數(shù)字1，2，3，4組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為(

)A．8B．12C．16D．24【解析】根據(jù)題意，要求組成四位奇數(shù)，其個(gè)位必須為1或3，有2種情況，將剩下的3個(gè)數(shù)字全排列，安排在千、百、十位，有A33＝6種情況，則有2×6＝12(個(gè))奇數(shù)．B對(duì)點(diǎn)強(qiáng)化排列問(wèn)題[河北唐縣第一中學(xué)2022屆月考]7個(gè)人站成一排準(zhǔn)備照一張合影，其中甲、乙要求相鄰，丙、丁要求分開(kāi)，則不同的排法有(

)A．400種

B．720種C．960種

D．1200種【解析】根據(jù)題意，可知甲、乙要求相鄰的排法有A66×A22＝1440種，而甲、乙相鄰且丙、丁也相鄰的排法有A55×A22×A22＝480種，故甲、乙要求相鄰，丙、丁要求分開(kāi)的排法有1440－480＝960種．故選C.C對(duì)點(diǎn)強(qiáng)化組合問(wèn)題[江蘇南通2022屆質(zhì)量監(jiān)測(cè)]某親子欄目中，節(jié)目組給6位小朋友布置一項(xiàng)搜尋空投食物的任務(wù)．已知①食物投擲點(diǎn)有遠(yuǎn)、近兩處；②由于小朋友甲年紀(jì)尚小，所以要么不參與該項(xiàng)任務(wù)，要么參與搜尋近處投擲點(diǎn)的食物，但不參與時(shí)另需一位小朋友在大本營(yíng)陪同；③所有參與搜尋任務(wù)的小朋友被均勻分成兩組，一組去遠(yuǎn)處，一組去近處．那么不同的搜尋方案有(

)A．10種

B．40種C．70種

D．80種B【解析】若甲不參與任務(wù)，則需要先從剩下的5位小朋友中任意選出1位陪同，有C51種選擇，再?gòu)氖Ｏ碌?位小朋友中選出2位搜尋遠(yuǎn)處，有C42種選擇，最后剩下的2位小朋友搜尋近處，因此搜尋方案共有C51C42＝30(種)；若甲參與任務(wù)，則其只能去近處，需要從剩下的5位小朋友中選出2位搜尋近處，有C52種選擇，剩下的3位小朋友去搜尋遠(yuǎn)處，因此搜尋方案共有C52＝10(種)．綜上，搜尋方案共有30＋10＝40(種)．故選B.對(duì)點(diǎn)強(qiáng)化組合問(wèn)題為抗擊此次疫情，我市某醫(yī)院從3名呼吸內(nèi)科醫(yī)生、4名急診重癥科醫(yī)生和5名護(hù)士中選派5人組成一個(gè)抗擊疫情醫(yī)療小組，則呼吸內(nèi)科與急診重癥科醫(yī)生都至少有一人的選派方法種數(shù)是________．611【解析】根據(jù)題意，有3名呼吸內(nèi)科醫(yī)生、4名急診重癥科醫(yī)生和5名護(hù)士共12人，從中選出5人，有C125＝792(種)選法，其中沒(méi)有呼吸內(nèi)科醫(yī)生的選法有C95＝126(種)，沒(méi)有急診重癥科醫(yī)生的選法有C85＝56(種)，呼吸內(nèi)科醫(yī)生和急診重癥科醫(yī)生都沒(méi)有，即只有護(hù)士的選法有1種．則滿足題意的選法有792－126－56＋1＝611(種)．對(duì)點(diǎn)強(qiáng)化排列、組合的綜合問(wèn)題將4名學(xué)生分配到5間宿舍中的任意2間住宿，每間宿舍住2人，則不同的分配方法有(

)A．240種

B．120種

C．90種

D．60種D對(duì)點(diǎn)強(qiáng)化排列、組合的綜合問(wèn)題2020年5月22日，國(guó)務(wù)院總理李克強(qiáng)在發(fā)布的2020年國(guó)務(wù)院政府工作報(bào)告中提出，2020年要優(yōu)先穩(wěn)就業(yè)保民生，堅(jiān)決打贏脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)，努力實(shí)現(xiàn)全面建成小康社會(huì)目標(biāo)任務(wù)．為響應(yīng)黨中央號(hào)召，某單位決定再加派五名工作人員甲、乙、丙、丁、戊去所負(fù)責(zé)的A，B，C，D四個(gè)村小組幫助指導(dǎo)貧困戶脫貧，每個(gè)村小組至少派一人，為工作方便，甲不去A村小組，乙去B村小組，則不同的安排方法有(

)A．24種

B．42種C．120種

D．240種B【解析】根據(jù)題意，分兩種情況討論：①甲、乙安排在一起，則甲、乙都去B村小組，剩下3人去其他三個(gè)村小組，有A33＝6(種)安排方法；②甲、乙不在同一組，有C52－1＝9(種)分組方法，乙所在的組去B村小組，甲所在的組有2種安排方法，剩下的2組去剩下的其他兩個(gè)村小組，有2種安排方法，則此時(shí)有9×2×2＝36(種)安排方