2023學(xué)年湖南省五市十校高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某校團委對“學(xué)生性別與中學(xué)生追星是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，利用列聯(lián)表，由計算得,參照下表:0.010.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828得到正確結(jié)論是()A．有99%以上的把握認為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星無關(guān)”B．有99%以上的把握認為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星有關(guān)”C．在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下，認為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星無關(guān)”D．在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下，認為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星有關(guān)”2．某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積為（）A． B． C． D．3．已知為圓：上任意一點，，若線段的垂直平分線交直線于點，則點的軌跡方程為()A． B．C．（） D．（）4．已知等差數(shù)列中，，則（）A．20 B．18 C．16 D．145．已知（），i為虛數(shù)單位，則（）A． B．3 C．1 D．56．“且”是“”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．已知拋物線上的點到其焦點的距離比點到軸的距離大，則拋物線的標準方程為（）A． B． C． D．8．，則與位置關(guān)系是()A．平行 B．異面C．相交 D．平行或異面或相交9．設(shè)實數(shù)、滿足約束條件，則的最小值為（）A．2 B．24 C．16 D．1410．設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域為，若從圓：的內(nèi)部隨機選取一點，則取自的概率為（）A． B． C． D．11．已知復(fù)數(shù)，滿足，則（）A．1 B． C． D．512．過圓外一點引圓的兩條切線，則經(jīng)過兩切點的直線方程是（）．A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在的二項展開式中，x的系數(shù)為________．（用數(shù)值作答）14．在矩形ABCD中，，，點E，F(xiàn)分別為BC，CD邊上動點，且滿足，則的最大值為________.15．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的最大值為______.16．設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的離心率為，點在橢圓上.（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）設(shè)直線交橢圓于兩點，線段的中點在直線上，求證：線段的中垂線恒過定點.18．（12分）已知，，分別為內(nèi)角，，的對邊，且.（1）證明：；（2）若的面積，，求角.19．（12分）某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：℃）有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率．（1）求六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y（單位：元），當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出Y的所有可能值，并估計Y大于零的概率．20．（12分）已知三棱錐中，為等腰直角三角形，，設(shè)點為中點，點為中點，點為上一點，且．（1）證明：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．21．（12分）已知點為圓：上的動點，為坐標原點，過作直線的垂線（當、重合時，直線約定為軸），垂足為，以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求點的軌跡的極坐標方程；（2）直線的極坐標方程為，連接并延長交于，求的最大值.22．（10分）某景點上山共有級臺階，寓意長長久久．甲上臺階時，可以一步走一個臺階，也可以一步走兩個臺階，若甲每步上一個臺階的概率為，每步上兩個臺階的概率為．為了簡便描述問題，我們約定，甲從級臺階開始向上走，一步走一個臺階記分，一步走兩個臺階記分，記甲登上第個臺階的概率為，其中，且．（1）若甲走步時所得分數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（3）求甲在登山過程中，恰好登上第級臺階的概率．

2023學(xué)年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【答案解析】

通過與表中的數(shù)據(jù)6.635的比較，可以得出正確的選項.【題目詳解】解:，可得有99%以上的把握認為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星有關(guān)”，故選B.【答案點睛】本題考查了獨立性檢驗的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題.2、B【答案解析】

由三視圖知該四棱錐是底面為正方形，且一側(cè)棱垂直于底面，由此求出四棱錐的體積．【題目詳解】由三視圖知該四棱錐是底面為正方形，且一側(cè)棱垂直于底面，畫出四棱錐的直觀圖，如圖所示：則該四棱錐的體積為.故選：B.【答案點睛】本題考查了利用三視圖求幾何體體積的問題，是基礎(chǔ)題．3、B【答案解析】

如圖所示：連接，根據(jù)垂直平分線知，，故軌跡為雙曲線，計算得到答案.【題目詳解】如圖所示：連接，根據(jù)垂直平分線知，故，故軌跡為雙曲線，，，，故，故軌跡方程為.故選：.【答案點睛】本題考查了軌跡方程，確定軌跡方程為雙曲線是解題的關(guān)鍵.4、A【答案解析】

設(shè)等差數(shù)列的公差為,再利用基本量法與題中給的條件列式求解首項與公差,進而求得即可.【題目詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為.由得,解得.所以.故選：A【答案點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的基本量求解,屬于基礎(chǔ)題.5、C【答案解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡得答案.【題目詳解】由，得，解得.故選:C.【答案點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算,是基礎(chǔ)題.6、A【答案解析】

畫出“,,,所表示的平面區(qū)域,即可進行判斷.【題目詳解】如圖，“且”表示的區(qū)域是如圖所示的正方形，記為集合P，“”表示的區(qū)域是單位圓及其內(nèi)部，記為集合Q，顯然是的真子集,所以答案是充分非必要條件，故選:.【答案點睛】本題考查了不等式表示的平面區(qū)域問題,考查命題的充分條件和必要條件的判斷,難度較易.7、B【答案解析】

由拋物線的定義轉(zhuǎn)化，列出方程求出p，即可得到拋物線方程．【題目詳解】由拋物線y2＝2px（p＞0）上的點M到其焦點F的距離比點M到y(tǒng)軸的距離大，根據(jù)拋物線的定義可得，，所以拋物線的標準方程為：y2＝2x．故選B．【答案點睛】本題考查了拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，拋物線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題．8、D【答案解析】結(jié)合圖(1)，(2)，(3)所示的情況，可得a與b的關(guān)系分別是平行、異面或相交．選D．9、D【答案解析】

做出滿足條件的可行域，根據(jù)圖形即可求解.【題目詳解】做出滿足的可行域，如下圖陰影部分，根據(jù)圖象，當目標函數(shù)過點時，取得最小值，由，解得，即，所以的最小值為.故選：D.【答案點睛】本題考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域，利用數(shù)形結(jié)合求線性目標函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.10、B【答案解析】

畫出不等式組表示的可行域，求得陰影部分扇形對應(yīng)的圓心角，根據(jù)幾何概型概率計算公式，計算出所求概率.【題目詳解】作出中在圓內(nèi)部的區(qū)域，如圖所示，因為直線，的傾斜角分別為，，所以由圖可得取自的概率為.故選：B【答案點睛】本小題主要考查幾何概型的計算，考查線性可行域的畫法，屬于基礎(chǔ)題.11、A【答案解析】

首先根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算求出，求出的模即可．【題目詳解】解：，，故選：A【答案點睛】本題考查了復(fù)數(shù)求模問題，考查復(fù)數(shù)的除法運算，屬于基礎(chǔ)題．12、A【答案解析】過圓外一點，引圓的兩條切線，則經(jīng)過兩切點的直線方程為，故選．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-40【答案解析】

由題意，可先由公式得出二項展開式的通項，再令10-3r=1，得r=3即可得出x項的系數(shù)【題目詳解】的二項展開式的通項公式為，r=0，1，2，3，4，5，令，所以的二項展開式中x項的系數(shù)為.故答案為：-40.【答案點睛】本題考查二項式定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是靈活掌握二項式展開式通項的公式，屬于基礎(chǔ)題.14、【答案解析】

利用平面直角坐標系，設(shè)出點E，F(xiàn)的坐標，由可得，利用數(shù)量積運算求得，再利用線性規(guī)劃的知識求出的最大值.【題目詳解】建立平面直角坐標系，如圖（1）所示：設(shè)，，，即，又，令，其中，畫出圖形，如圖（2）所示：當直線經(jīng)過點時，取得最大值.故答案為：【答案點睛】本題考查了向量數(shù)量積的坐標運算、簡單的線性規(guī)劃問題，解題的關(guān)鍵是建立恰當?shù)淖鴺讼?，屬于基礎(chǔ)題.15、【答案解析】

由三角函數(shù)圖象相位變換后表達函數(shù)解析式，再利用三角恒等變換與輔助角公式整理的表達式，進而由三角函數(shù)值域求得最大值.【題目詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則所以，當函數(shù)最大，最大值為故答案為：【答案點睛】本題考查表示三角函數(shù)圖象平移后圖象的解析式，還考查了利用三角恒等變換化簡函數(shù)式并求最值，屬于簡單題.16、【答案解析】

根據(jù)漸近線得到，，計算得到離心率.【題目詳解】，一條漸近線方程為：，故，，.故答案為：.【答案點睛】本題考查了雙曲線的漸近線和離心率，意在考查學(xué)生的計算能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.【答案解析】

（Ⅰ）把點代入橢圓方程，結(jié)合離心率得到關(guān)于的方程，解方程即可；（Ⅱ）聯(lián)立直線與橢圓方程得到關(guān)于的一元二次方程，利用韋達定理和中垂線的定義求出線段的中垂線方程即可證明.【題目詳解】（Ⅰ）由已知橢圓過點得，，又，得，所以，即橢圓方程為.（Ⅱ）證明：由，得，由，得，由韋達定理可得，，設(shè)的中點為，得，即，，的中垂線方程為，即，故得中垂線恒過點.【答案點睛】本題考查橢圓的標準方程及其幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系及橢圓中的定值問題；考查運算求解能力和知識的綜合運用能力；正確求出橢圓方程和利用中垂線的定義正確表示出中垂線方程是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.18、（1）見解析；（2）【答案解析】

（1）利用余弦定理化簡已知條件，由此證得（2）利用正弦定理化簡（1）的結(jié)論，得到，利用三角形的面積公式列方程，由此求得，進而求得的值，從而求得角.【題目詳解】（1）由已知得，由余弦定理得，∴.（2）由（1）及正弦定理得，即，∴，∴，∴.，∴，，.【答案點睛】本小題主要考查余弦定理、正弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查運算求解能力，屬于中檔題.19、（1）．（2）．【答案解析】

（1）由前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，求出最高氣溫位于區(qū)間[20，25）和最高氣溫低于20的天數(shù)，由此能求出六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率．（2）當溫度大于等于25℃時，需求量為500，求出Y＝900元；當溫度在[20，25）℃時，需求量為300，求出Y＝300元；當溫度低于20℃時，需求量為200，求出Y＝﹣100元，從而當溫度大于等于20時，Y＞0，由此能估計估計Y大于零的概率．【題目詳解】解：（1）由前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得到最高氣溫位于區(qū)間[20，25）和最高氣溫低于20的天數(shù)為2+16+36＝54，根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：℃）有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶，如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶，如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶，∴六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率p．（2）當溫度大于等于25℃時，需求量為500，Y＝450×2＝900元，當溫度在[20，25）℃時，需求量為300，Y＝300×2﹣（450﹣300）×2＝300元，當溫度低于20℃時，需求量為200，Y＝400﹣（450﹣200）×2＝﹣100元，當溫度大于等于20時，Y＞0，由前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得當溫度大于等于20℃的天數(shù)有：90﹣（2+16）＝72，∴估計Y大于零的概率P．【答案點睛】本題考查概率的求法，考查利潤的所有可能取值的求法，考查函數(shù)、古典概型等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．20、(1)證明見解析；(2)【答案解析】

（1）連接交于點，連接，通過證，并說明平面，來證明平面（2）采用建系法以、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，分別表示出對應(yīng)的點坐標，設(shè)平面的一個法向量為，結(jié)合直線對應(yīng)的和法向量，利用向量夾角的余弦公式進行求解即可【題目詳解】證明：如圖，連接交于點，連接，點為的中點，點為的中點，點為的重心，則，，，又平面，平面，平面；，，，/r