2023學(xué)年廣東省佛山市禪城實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測(cè)試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．等腰直角三角形BCD與等邊三角形ABD中，，，現(xiàn)將沿BD折起，則當(dāng)直線(xiàn)AD與平面BCD所成角為時(shí)，直線(xiàn)AC與平面ABD所成角的正弦值為（）A． B． C． D．2．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的，則輸出的()A．9 B．31 C．15 D．633．將一張邊長(zhǎng)為的紙片按如圖(1)所示陰影部分裁去四個(gè)全等的等腰三角形，將余下部分沿虛線(xiàn)折疊并拼成一個(gè)有底的正四棱錐模型，如圖(2)放置，如果正四棱錐的主視圖是正三角形，如圖(3)所示，則正四棱錐的體積是()A． B． C． D．4．已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足（是虛數(shù)單位），則=（）A． B． C． D．5．函數(shù)的部分圖象大致為（）A． B．C． D．6．設(shè)，，，則（）A． B． C． D．7．雙曲線(xiàn)：（，）的一個(gè)焦點(diǎn)為（），且雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)與圓：均相切，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（）A． B． C． D．8．一個(gè)由兩個(gè)圓柱組合而成的密閉容器內(nèi)裝有部分液體，小圓柱底面半徑為，大圓柱底面半徑為，如圖1放置容器時(shí)，液面以上空余部分的高為，如圖2放置容器時(shí)，液面以上空余部分的高為，則（）A． B． C． D．9．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B．3 C． D．410．國(guó)務(wù)院發(fā)布《關(guān)于進(jìn)一步調(diào)整優(yōu)化結(jié)構(gòu)、提高教育經(jīng)費(fèi)使用效益的意見(jiàn)》中提出，要優(yōu)先落實(shí)教育投入．某研究機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了年至年國(guó)家財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)投入情況及其在中的占比數(shù)據(jù)，并將其繪制成下表，由下表可知下列敘述錯(cuò)誤的是（）A．隨著文化教育重視程度的不斷提高，國(guó)在財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)的支出持續(xù)增長(zhǎng)B．年以來(lái)，國(guó)家財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)的支出占比例持續(xù)年保持在以上C．從年至年，中國(guó)的總值最少增加萬(wàn)億D．從年到年，國(guó)家財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)的支出增長(zhǎng)最多的年份是年11．已知，則的值等于（）A． B． C． D．12．已知雙曲線(xiàn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，、為其左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在的漸近線(xiàn)上，，且，則該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)，滿(mǎn)足約束條件，若的最大值是10，則________.14．已知，則_____15．設(shè)函數(shù)，若在上的最大值為，則________.16．若變量，滿(mǎn)足約束條件則的最大值是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)在曲線(xiàn)上，點(diǎn)在曲線(xiàn)上，且為正三角形．（1）求點(diǎn)，的極坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)為曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，求的最大值．18．（12分）已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的值；（2）定義：若直線(xiàn)與曲線(xiàn)都相切，我們稱(chēng)直線(xiàn)為曲線(xiàn)、的公切線(xiàn)，證明：曲線(xiàn)與總存在公切線(xiàn)．19．（12分）三棱柱中，平面平面，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn).（1）求證：；（2）若直線(xiàn)與平面所成角為，求二面角的正切值.20．（12分）已知三棱錐P-ABC（如圖一）的平面展開(kāi)圖（如圖二）中，四邊形ABCD為邊長(zhǎng)等于的正方形，和均為正三角形，在三棱錐P-ABC中：（1）證明：平面平面ABC；（2）若點(diǎn)M在棱PA上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)直線(xiàn)BM與平面PAC所成的角最大時(shí)，求直線(xiàn)MA與平面MBC所成角的正弦值.21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面，，，，為的中點(diǎn)，是上的點(diǎn).（1）若平面，證明：平面.（2）求二面角的余弦值.22．（10分）已知圓,定點(diǎn),為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，以線(xiàn)段為直徑的圓內(nèi)切于圓，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn)（1）求曲線(xiàn)的方程（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與交于兩點(diǎn)，已知點(diǎn)，直線(xiàn)分別與直線(xiàn)交于兩點(diǎn)，線(xiàn)段的中點(diǎn)是否在定直線(xiàn)上，若存在，求出該直線(xiàn)方程；若不是，說(shuō)明理由.

2023學(xué)年模擬測(cè)試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【答案解析】

設(shè)E為BD中點(diǎn)，連接AE、CE，過(guò)A作于點(diǎn)O，連接DO，得到即為直線(xiàn)AD與平面BCD所成角的平面角，根據(jù)題中條件求得相應(yīng)的量，分析得到即為直線(xiàn)AC與平面ABD所成角，進(jìn)而求得其正弦值，得到結(jié)果.【題目詳解】設(shè)E為BD中點(diǎn)，連接AE、CE，由題可知，，所以平面，過(guò)A作于點(diǎn)O，連接DO，則平面，所以即為直線(xiàn)AD與平面BCD所成角的平面角，所以，可得，在中可得，又，即點(diǎn)O與點(diǎn)C重合，此時(shí)有平面，過(guò)C作與點(diǎn)F，又，所以，所以平面，從而角即為直線(xiàn)AC與平面ABD所成角，，故選：A.【答案點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)平面圖形翻折問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有線(xiàn)面角的正弦值的求解，在解題的過(guò)程中，注意空間角的平面角的定義，屬于中檔題目.2、B【答案解析】

根據(jù)程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)的運(yùn)算，直至滿(mǎn)足條件退出循環(huán)體，即可得出結(jié)果.【題目詳解】執(zhí)行程序框；；；；；，滿(mǎn)足，退出循環(huán)，因此輸出，故選:B.【答案點(diǎn)睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)輸出結(jié)果，模擬程序運(yùn)行是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.3、B【答案解析】設(shè)折成的四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，則，故由題設(shè)可得，所以四棱錐的體積，應(yīng)選答案B．4、A【答案解析】

把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案．【題目詳解】解：由，得，．故選．【答案點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．5、B【答案解析】

圖像分析采用排除法，利用奇偶性判斷函數(shù)為奇函數(shù)，再利用特值確定函數(shù)的正負(fù)情況?！绢}目詳解】，故奇函數(shù)，四個(gè)圖像均符合。當(dāng)時(shí)，，，排除C、D當(dāng)時(shí)，，，排除A。故選B。【答案點(diǎn)睛】圖像分析采用排除法，一般可供判斷的主要有：奇偶性、周期性、單調(diào)性、及特殊值。6、A【答案解析】

先利用換底公式將對(duì)數(shù)都化為以2為底,利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可比較,再由中間值1可得三者的大小關(guān)系.【題目詳解】，，，因此，故選：A.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,屬于基礎(chǔ)題.7、A【答案解析】

根據(jù)題意得到，化簡(jiǎn)得到，得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意知：焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為，故，故漸近線(xiàn)為.故選：.【答案點(diǎn)睛】本題考查了直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.8、B【答案解析】

根據(jù)空余部分體積相等列出等式即可求解.【題目詳解】在圖1中，液面以上空余部分的體積為；在圖2中，液面以上空余部分的體積為.因?yàn)椋?故選：B【答案點(diǎn)睛】本題考查圓柱的體積，屬于基礎(chǔ)題.9、C【答案解析】

首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體，該幾何體為由一個(gè)三棱柱體，切去一個(gè)三棱錐體，由柱體、椎體的體積公式進(jìn)一步求出幾何體的體積.【題目詳解】解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為：該幾何體為由一個(gè)三棱柱體，切去一個(gè)三棱錐體，如圖所示：故：.故選：C.【答案點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖求幾何體的體積、需熟記柱體、椎體的體積公式，考查了空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.10、C【答案解析】

觀(guān)察圖表，判斷四個(gè)選項(xiàng)是否正確．【題目詳解】由表易知、、項(xiàng)均正確，年中國(guó)為萬(wàn)億元，年中國(guó)為萬(wàn)億元，則從年至年，中國(guó)的總值大約增加萬(wàn)億，故C項(xiàng)錯(cuò)誤．【答案點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)圖表，正確認(rèn)識(shí)圖表是解題基礎(chǔ)．11、A【答案解析】

由余弦公式的二倍角可得，，再由誘導(dǎo)公式有，所以【題目詳解】∵∴由余弦公式的二倍角展開(kāi)式有又∵∴故選：A【答案點(diǎn)睛】本題考查了學(xué)生對(duì)二倍角公式的應(yīng)用，要求學(xué)生熟練掌握三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式，屬于簡(jiǎn)單題12、D【答案解析】

根據(jù)，先確定出的長(zhǎng)度，然后利用雙曲線(xiàn)定義將轉(zhuǎn)化為的關(guān)系式，化簡(jiǎn)后可得到的值，即可求漸近線(xiàn)方程.【題目詳解】如圖所示：因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以，所以，所以漸近線(xiàn)方程為.故選：D.【答案點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)雙曲線(xiàn)中的長(zhǎng)度關(guān)系求解漸近線(xiàn)方程，難度一般.注意雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離等于虛軸長(zhǎng)度的一半.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】

畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域，數(shù)形結(jié)合即可容易求得結(jié)果.【題目詳解】畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域如下所示：目標(biāo)函數(shù)可轉(zhuǎn)化為與直線(xiàn)平行，數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)且僅當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)，取得最大值，故可得，解得.故答案為：.【答案點(diǎn)睛】本題考查由目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù)值，屬基礎(chǔ)題.14、【答案解析】

化簡(jiǎn)得，利用周期即可求出答案．【題目詳解】解：，∴函數(shù)的最小正周期為6，∴，，故答案為：．【答案點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．15、【答案解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由在上，可得在上單調(diào)遞增，則函數(shù)最大值為，即可求出參數(shù)的值.【題目詳解】解：定義域?yàn)椋谏蠁握{(diào)遞增，故在上的最大值為故答案為：【答案點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于基礎(chǔ)題.16、9【答案解析】

做出滿(mǎn)足條件的可行域，根據(jù)圖形，即可求出的最大值.【題目詳解】做出不等式組表示的可行域，如圖陰影部分所示，目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)時(shí)取得最大值，聯(lián)立，解得，即，所以最大值為9.故答案為:9.【答案點(diǎn)睛】本題考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域，利用數(shù)形結(jié)合求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），；（2）.【答案解析】

（1）利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式，即得解；（2）設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，則點(diǎn)的直角坐標(biāo)為．將此代入曲線(xiàn)的方程，可得點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，所以的最大值為，即得解.【題目詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在曲線(xiàn)上，為正三角形，所以點(diǎn)在曲線(xiàn)上．又因?yàn)辄c(diǎn)在曲線(xiàn)上，所以點(diǎn)的極坐標(biāo)是，從而，點(diǎn)的極坐標(biāo)是．（2）由（1）可知，點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，B的直角坐標(biāo)為設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，則點(diǎn)的直角坐標(biāo)為．將此代入曲線(xiàn)的方程，有即點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上．，所以的最大值為．【答案點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)和參數(shù)方程綜合，考查了極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化，參數(shù)方程的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.18、（1）；（2）見(jiàn)解析.【答案解析】

（1）求出導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可求解；（2）分別設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫(xiě)出切線(xiàn)方程，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明兩直線(xiàn)重合，只需滿(mǎn)足有解即可，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及零點(diǎn)存在性定理即可證明存在.【題目詳解】（1），函數(shù)在上單調(diào)遞增等價(jià)于在上恒成立．令，得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則．因?yàn)?，則在上恒成立等價(jià)于在上恒成立；又，所以，即．（2）設(shè)的切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則切線(xiàn)方程為……①設(shè)的切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則，切線(xiàn)方程為……②若存在，使①②成為同一條直線(xiàn)，則曲線(xiàn)與存在公切線(xiàn)，由①②得消去得即令，則所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，使得時(shí)總有又時(shí)，在上總有解綜上，函數(shù)與總存在公切線(xiàn)．【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的恒成立問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)證明方程有解，屬于難題.19、（1）見(jiàn)解析；（2）【答案解析】

（1）可證面，從而可得.（2）可證點(diǎn)為線(xiàn)段的三等分點(diǎn)，再過(guò)作于，過(guò)作，垂足為，則為二面角的平面角，利用解直角三角形的方法可求.也可以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用兩個(gè)平面的法向量來(lái)計(jì)算二面角的平面角的余弦值，最后利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式可求.【題目詳解】證明：（1）因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，而平面，故，又因?yàn)?，所以，則，又，故面，又面，所以.（2）由（1）可得：面在面內(nèi)的射影為，則為直線(xiàn)與平面所成的角，即.因?yàn)?，所以，所以，所以，即點(diǎn)為線(xiàn)段的三等分點(diǎn).解法一：過(guò)作于，則平面，所以，過(guò)作，垂足為，則為二面角的平面角,因?yàn)?，，，則在中，有，所以二面角的平面角的正切值為.解法二：以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)點(diǎn)，由得：，即，，，點(diǎn)，平面的一個(gè)法向量，又，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則平面的一個(gè)法向量為.設(shè)二面角的平面角為，則，即，所以二面角的正切值為.【答案點(diǎn)睛】線(xiàn)線(xiàn)垂直的判定可由線(xiàn)面垂直得到，也可以由兩條線(xiàn)所成的角為得到，而線(xiàn)面垂直又可以由面面垂直得到，解題中注意三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化.空間中的角的計(jì)算，可以建立空間直角坐標(biāo)系把角的計(jì)算歸結(jié)為向量的夾角的計(jì)算，也可以構(gòu)建空間角，把角的計(jì)算歸結(jié)平面圖形中的角的計(jì)算.20、（1）見(jiàn)解析（2）【答案解析】

(1)設(shè)的中點(diǎn)為,連接.由展開(kāi)圖可知,，.為的中點(diǎn),則有,根據(jù)勾股定理可證得,則平面,即可證得平面平面．(2)由線(xiàn)面成角的定義可知是直線(xiàn)與平面所成的角，且,最大即為最短時(shí),即是的中點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,求出與平面的法向量利用公式即可求得結(jié)果.【題目詳解】（1）設(shè)AC的中點(diǎn)為O，連接BO，PO．由題意，得，，．在中，，O為AC的中點(diǎn)，，在中，，，，，．，平面，平面ABC，平面PAC，平面平面ABC．（2）由（1）知，，，平面PAC，是直線(xiàn)BM與平面PAC所成的角，且，當(dāng)OM最短時(shí)，即M是PA的中點(diǎn)時(shí)，最大．由平面ABC，，，，于是以O(shè)C，OB，OD所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸建立如圖示空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面MBC的法向量為，直線(xiàn)MA與平面MBC所成角為，則由得：.令，得，，即.則.直線(xiàn)MA與平面MBC所成角的正弦值為.【答案點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明,考查線(xiàn)面成角問(wèn)題,借助空間向量是解決線(xiàn)面成角問(wèn)題的關(guān)鍵,難度一般.21、（1）證明見(jiàn)解析（2）【答案解析】

（1）因?yàn)?，利用線(xiàn)面平行的判定定理可證出平面，利用點(diǎn)線(xiàn)面的位置關(guān)系，得出和，由于底面，利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)，得出，且，最后結(jié)合線(xiàn)面垂直的判定定理得出平面，即可證出平面.（2）由（1）可知，，兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，標(biāo)出點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算求出所需向量，分別求出平面和平面的法向量，最后利用空間二面角公式，即可求出的余弦值.【題目詳解】（1）證明：因?yàn)椋矫?，平?r