北師大數(shù)學八下課件4角平分線

初中數(shù)學課件

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燦若寒星*****整理制作第一章三角形的證明4角平分線廣東學導練數(shù)學八年級下冊配北師大版第一章三角形的證明4角平分線廣東學導練數(shù)學八課前預習

1．如圖1-4-1，OP平分∠AOB，PC⊥OA于點C，PD⊥OB于點D，則PC與PD的大小關系是 （）

A．PC＞PD B．PC=PD

C．PC＜PD D．不能確定

2．到三角形三條邊的距離都相等的點是這個三角形 （）

A．三條中線的交點

B．三條高的交點

C．三條邊的垂直平分線的交點

D．三條角平分線的交點BD課前預習1．如圖1-4-1，OP平分∠AOB，BD

3．用尺規(guī)作∠AOB的平分線的步驟：①在OA和OB上分別截取OD，OE，使______________；②分別以__________為圓心，以______________的長為半徑作弧，弧在∠AOB的_______交于一點C；③作___________，OC就是∠AOB的平分線．

4．在Rt△ABC中,銳角A的平分線與銳角B的鄰補角的平分線相交于點D,則∠ADB=_______.

5.如圖1-4-2,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于點D,DE⊥AB于點E,且AB=10cm,則△DEB的周長是_______.OD=OE點D，E內(nèi)部射線OC45°10cm3．用尺規(guī)作∠AOB的平分線的步驟：OD=OE點D，E名師導學新知1角平分線的性質定理

定理角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等．

注意：①用語言符號表示：如圖1-4-3，如果點P在∠AOB的平分線上，且PM⊥OA于點M，PN⊥OB于點N，那么PM=PN；②點到直線的距離，即點到直線的垂線段的長；③角平分線的性質能夠證明線段相等或為證三角形全等準備條件.名師導學新知1角平分線的性質定理定理角平分線上的點到【例1】如圖1-4-4，已知OD平分∠AOB，在OA，OB邊上取OA=OB，P是OD上一點，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分別是點M，N．求證：PM=PN．

解析已知PM⊥BD，PN⊥AD，根據(jù)角平分線的性質，只要證∠3=∠4即可．【例1】如圖1-4-4，已知OD平分∠AOB，在OA，OB邊證明∵OD平分∠AOB，∴∠1=∠2.在△OBD和△OAD中，∵OB=OA，∠1=∠2，OD=OD，∴△OBD≌△OAD（SAS）.∴∠3=∠4.∵PM⊥BD，PN⊥AD，∴PM=PN.證明∵OD平分∠AOB，舉一反三如圖1-4-5，在△ABC中，CD是AB邊上的高，BE平分∠ABC，交CD于點E，BC=5，DE=2，求△BCE的面積.舉一反三如圖1-4-5，在△ABC中，CD是AB邊上的高解：如答圖1-4-1,過點E作EF⊥BC于點F.∵CD是AB邊上的高，∴DE⊥AB.∵BE平分∠ABC，∴DE=EF=2.∵BC=5，∴△BCE的面積=解：如答圖1-4-1,過點E作EF⊥BC于點F.新知2角平分線的性質定理的逆定理

定理

在一個角的內(nèi)部，且到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上．

語言符號：如圖1-4-6，若點P是∠AOB內(nèi)一點，PM⊥OA于點M，PN⊥OB于點N，且PM=PN，則點P在∠AOB的平分線上.

性質定理及逆定理的關系：

點在角的平分線上點到這個角兩邊的距離相等.因此角平分線的性質定理的逆定理也是角平分線的判定定理，可以證明兩角相等.新知2角平分線的性質定理的逆定理定理在一個角的內(nèi)部，【例2】如圖1-4-7，PA⊥ON于點A，PB⊥OM于點B，且PA=PB，∠MON=50°，∠OPC=30°，求∠PCA的大小.

解析根據(jù)圖形可知∠PCA=∠OPC+∠POC，所以關鍵是找∠AOP與∠POB的關系，由PA=PB可知∠AOP=∠POB.

解∵PA⊥ON，PB⊥OM，PA=PB，∴∠AOP=∠POB.又∵∠MON=50°，∴∠POC=25°.∴∠PCA=∠POC+∠OPC=25°+30°=55°.【例2】如圖1-4-7，PA⊥ON于點A，舉一反三如圖1-4-8,BD⊥AM于點D，CE⊥AN于點E，BD,CE交于點F，CF＝BF，求證：點F在∠A的平分線上.舉一反三如圖1-4-8,BD⊥AM于點D，CE⊥AN于點證明：如答圖1-4-2,連接AF.∵BD⊥AM,CE⊥AN,∴∠FDC=∠FEB=90°.又∵∠CFD=∠BFE,CF=BF,∴△CDF≌△BFE(AAS).∴FD=FE.∵BD⊥AM,CE⊥AN,∴∠CAF＝∠BAF.∴AF平分∠BAC,即點F在∠A的平分線上.證明：如答圖1-4-2,連接AF.

已知：∠AOB（如圖1-4-9）．

求作：射線OC，使∠AOC=∠BOC.

注意：（1）這個作法是以SSS公理為基礎的．

由作法可知：OD=OE，EC=DC.

又∵OC=OC，

∴△OEC≌△ODC.

∴∠BOC=∠AOC.

（2）所作圖形是過頂點O的射線OC，其關鍵是確定點C的位置．新知3作已知角的平分線已知：∠AOB（如圖1-4-9）．新知3作已知角的平分線（3）“大于DE”的原因是：如果小于DE，兩弧不相交；而等于DE時，兩弧雖然有一個交點，但難以準確得到．（4）點C是兩弧交于∠AOB內(nèi)的點，另一交點沒有作出，這是因為O，C兩點就可以確定出平分∠AOB的射線．（3）“大于DE”的原因是：如果小于DE，兩弧【例3】如圖1-4-10，在公路的南側、鐵路的東側有一所學校，這所學校到公路和鐵路的距離相等，并且與兩路的交叉點O處的距離為400m．請在圖中標出學校的位置，并說明理由．（比例尺1∶12500）

解析學校到公路和鐵路的距離相等，就是指學校在把公路和鐵路看作兩條直線相交時所成角的平分線上．【例3】如圖1-4-10，在公路的南側、鐵路的東側有一所學校

解把公路和鐵路看作兩條直線，畫出它們所成角的平分線，在角的平分線上從頂點截出表示實際長400m的線段，即可確定學校的位置，如圖1-4-11，圖中的點P即為所求．表示實際長400m的線段為40000÷12500=3.2cm．解把公路和鐵路看作兩條直線，畫出它們所成角的平分線，在舉一反三如圖1-4-12，點D在△ABC的AB邊上，且∠ACD=∠A.（1）作∠BDC的平分線DE，交BC于點E（用尺規(guī)作圖法，保留作圖痕跡，不要求寫作法）；（2）在（1）的條件下，判斷直線DE與直線AC的位置關系（不要求證明）.舉一反三如圖1-4-12，點D在△ABC的AB邊上，且∠解：（1）如答圖1-4-3所示：（2）DE∥AC解：（1）如答圖1-4-3所示：

定理

三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等．

注意：交點只可能在三角形的內(nèi)部，且到三邊的垂線段相等.新知4三角形角平分線交點的性質定理定理三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊【例4】如圖1-4-13，O是△ABC內(nèi)一點，且O到三邊AB，BC，CA的距離OF=OD=OE，若∠A=70°，求∠BOC的度數(shù)．

解析要求∠BOC的度數(shù)，只要求得∠1和∠3的度數(shù)，由180°-∠1-∠3即可得出∠BOC的度數(shù).根據(jù)題中所給條件，可知∠1＝∠2，∠3＝∠4，又∠A＝70°，可得出∠1+∠3，從而求得∠BOC的度數(shù)．【例4】如圖1-4-13，O是△ABC內(nèi)一點，且O到三邊AB

解∵OF⊥AB，OD⊥BC，且OF=OD，∴BO平分∠ABC.∴∠1＝∠2.同理可得∠3=∠4.解∵OF⊥AB，OD⊥BC，且OF=OD，舉一反三如圖1-4-14，在△ABC中，BD,CE分別平分∠ABC,∠ACB，且BD,CE交于點O，過O作OP⊥BC于點P，OM⊥AB于點M，ON⊥AC于點N.求證：點O在∠BAC的平分線上.證明：∵BD平分∠ABC,OP⊥BC，OM⊥AB,∴OP＝OM.∵CE平分∠ACB,OP⊥BC，ON⊥AC,∴OP＝ON.∴OM＝ON.∴點O在∠BAC的平分線上.舉一反三如圖1-4-14，在△ABC中，BD,CE分別平初中數(shù)學課件

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1．如圖1-4-1，OP平分∠AOB，PC⊥OA于點C，PD⊥OB于點D，則PC與PD的大小關系是 （）

A．PC＞PD B．PC=PD

C．PC＜PD D．不能確定

2．到三角形三條邊的距離都相等的點是這個三角形 （）

A．三條中線的交點

B．三條高的交點

C．三條邊的垂直平分線的交點

D．三條角平分線的交點BD課前預習1．如圖1-4-1，OP平分∠AOB，BD

3．用尺規(guī)作∠AOB的平分線的步驟：①在OA和OB上分別截取OD，OE，使______________；②分別以__________為圓心，以______________的長為半徑作弧，弧在∠AOB的_______交于一點C；③作___________，OC就是∠AOB的平分線．

4．在Rt△ABC中,銳角A的平分線與銳角B的鄰補角的平分線相交于點D,則∠ADB=_______.

5.如圖1-4-2,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于點D,DE⊥AB于點E,且AB=10cm,則△DEB的周長是_______.OD=OE點D，E內(nèi)部射線OC45°10cm3．用尺規(guī)作∠AOB的平分線的步驟：OD=OE點D，E名師導學新知1角平分線的性質定理

定理角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等．

注意：①用語言符號表示：如圖1-4-3，如果點P在∠AOB的平分線上，且PM⊥OA于點M，PN⊥OB于點N，那么PM=PN；②點到直線的距離，即點到直線的垂線段的長；③角平分線的性質能夠證明線段相等或為證三角形全等準備條件.名師導學新知1角平分線的性質定理定理角平分線上的點到【例1】如圖1-4-4，已知OD平分∠AOB，在OA，OB邊上取OA=OB，P是OD上一點，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分別是點M，N．求證：PM=PN．

解析已知PM⊥BD，PN⊥AD，根據(jù)角平分線的性質，只要證∠3=∠4即可．【例1】如圖1-4-4，已知OD平分∠AOB，在OA，OB邊證明∵OD平分∠AOB，∴∠1=∠2.在△OBD和△OAD中，∵OB=OA，∠1=∠2，OD=OD，∴△OBD≌△OAD（SAS）.∴∠3=∠4.∵PM⊥BD，PN⊥AD，∴PM=PN.證明∵OD平分∠AOB，舉一反三如圖1-4-5，在△ABC中，CD是AB邊上的高，BE平分∠ABC，交CD于點E，BC=5，DE=2，求△BCE的面積.舉一反三如圖1-4-5，在△ABC中，CD是AB邊上的高解：如答圖1-4-1,過點E作EF⊥BC于點F.∵CD是AB邊上的高，∴DE⊥AB.∵BE平分∠ABC，∴DE=EF=2.∵BC=5，∴△BCE的面積=解：如答圖1-4-1,過點E作EF⊥BC于點F.新知2角平分線的性質定理的逆定理

定理

在一個角的內(nèi)部，且到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上．

語言符號：如圖1-4-6，若點P是∠AOB內(nèi)一點，PM⊥OA于點M，PN⊥OB于點N，且PM=PN，則點P在∠AOB的平分線上.

性質定理及逆定理的關系：

點在角的平分線上點到這個角兩邊的距離相等.因此角平分線的性質定理的逆定理也是角平分線的判定定理，可以證明兩角相等.新知2角平分線的性質定理的逆定理定理在一個角的內(nèi)部，【例2】如圖1-4-7，PA⊥ON于點A，PB⊥OM于點B，且PA=PB，∠MON=50°，∠OPC=30°，求∠PCA的大小.

解析根據(jù)圖形可知∠PCA=∠OPC+∠POC，所以關鍵是找∠AOP與∠POB的關系，由PA=PB可知∠AOP=∠POB.

解∵PA⊥ON，PB⊥OM，PA=PB，∴∠AOP=∠POB.又∵∠MON=50°，∴∠POC=25°.∴∠PCA=∠POC+∠OPC=25°+30°=55°.【例2】如圖1-4-7，PA⊥ON于點A，舉一反三如圖1-4-8,BD⊥AM于點D，CE⊥AN于點E，BD,CE交于點F，CF＝BF，求證：點F在∠A的平分線上.舉一反三如圖1-4-8,BD⊥AM于點D，CE⊥AN于點證明：如答圖1-4-2,連接AF.∵BD⊥AM,CE⊥AN,∴∠FDC=∠FEB=90°.又∵∠CFD=∠BFE,CF=BF,∴△CDF≌△BFE(AAS).∴FD=FE.∵BD⊥AM,CE⊥AN,∴∠CAF＝∠BAF.∴AF平分∠BAC,即點F在∠A的平分線上.證明：如答圖1-4-2,連接AF.

已知：∠AOB（如圖1-4-9）．

求作：射線OC，使∠AOC=∠BOC.

注意：（1）這個作法是以SSS公理為基礎的．

由作法可知：OD=OE，EC=DC.

又∵OC=OC，

∴△OEC≌△ODC.

∴∠BOC=∠AOC.

（2）所作圖形是過頂點O的射線OC，其關鍵是確定點C的位置．新知3作已知角的平分線已知：∠AOB（如圖1-4-9）．新知3作已知角的平分線（3）“大于DE”的原因是：如果小于DE，兩弧不相交；而等于DE時，兩弧雖然有一個交點，但難以準確得到．（4）點C是兩弧交于∠AOB內(nèi)的點，另一交點沒有作出，這是因為O，C兩點就可以確定出平分∠AOB的射線．（3）“大于DE”的原因是：如果小于DE，兩弧【例3】如圖1-4-10，在公路的南側、鐵路的東側有一所學校，這所學校到公路和鐵路的距離相等，并且與兩路的交叉點O處的距離為400m．請在圖中標出學校的位置，并說明理由．（比例尺1∶12500）

解析學校到公路和鐵路的距離相等，就是指學校在把公路和鐵路看作兩條直線相交時所成角的平分線上．【例3】如圖1-4-10，在公路的南側、鐵路的東側有一所學校

解把公路和鐵路看作兩條直線，畫出它們所成角的平分線，在角的平分線上從頂點截出表示實際長400m的線段，即可確定學校的位置，如圖1-4-11，圖中的點P即為所求．表示實際長400m的線段為40000÷12500=3.2cm．解把公路和鐵路看作兩條直線，畫出它們所成角的平分線，在舉一反三如圖1-4-12，點D在△ABC的AB邊上，且∠ACD=∠A.（1）作∠BDC的平分線DE，交BC于點E（用尺規(guī)作圖法，保留作圖痕跡，不要求寫作法）；（2）在（1）的條件下，判斷直線DE與直線AC的位置關系（不要求