2023屆黑龍江省綏化市青岡縣縣第一中學(xué)數(shù)學(xué)高三上期末經(jīng)典模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有4個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．2．將函數(shù)圖象向右平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則函數(shù)在上的值域是（）A． B． C． D．3．若向量，，則與共線的向量可以是（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，所得到的圖象關(guān)于軸對稱，則的最小值是（）A． B． C． D．5．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．6．設(shè)為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．已知函數(shù)，方程有四個不同的根，記最大的根的所有取值為集合，則“函數(shù)有兩個零點”是“”的（）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時24海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點間的距離是（）A．6海里 B．6海里 C．8海里 D．8海里9．2019年10月1日上午，慶祝中華人民共和國成立70周年閱兵儀式在天安門廣場隆重舉行.這次閱兵不僅展示了我國的科技軍事力量，更是讓世界感受到了中國的日新月異.今年的閱兵方陣有一個很搶眼，他們就是院?？蒲蟹疥?他們是由軍事科學(xué)院、國防大學(xué)、國防科技大學(xué)聯(lián)合組建．若已知甲、乙、丙三人來自上述三所學(xué)校，學(xué)歷分別有學(xué)士、碩士、博士學(xué)位.現(xiàn)知道：①甲不是軍事科學(xué)院的；②來自軍事科學(xué)院的不是博士；③乙不是軍事科學(xué)院的；④乙不是博士學(xué)位；⑤國防科技大學(xué)的是研究生．則丙是來自哪個院校的，學(xué)位是什么()A．國防大學(xué)，研究生 B．國防大學(xué)，博士C．軍事科學(xué)院，學(xué)士 D．國防科技大學(xué)，研究生10．已知是邊長為1的等邊三角形，點，分別是邊，的中點，連接并延長到點，使得，則的值為（）A． B． C． D．11．已知是雙曲線的左、右焦點，若點關(guān)于雙曲線漸近線的對稱點滿足（為坐標(biāo)原點），則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．12．使得的展開式中含有常數(shù)項的最小的n為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知是等比數(shù)列，且，，則__________，的最大值為__________．14．已知向量滿足，，則______________.15．設(shè)，則_____，（的值為______．16．已知函數(shù)函數(shù)，其中，若函數(shù)恰有4個零點，則的取值范圍是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若在定義域內(nèi)是增函數(shù)，且存在不相等的正實數(shù)，使得，證明：.18．（12分）記拋物線的焦點為，點在拋物線上，且直線的斜率為1，當(dāng)直線過點時，.（1）求拋物線的方程；（2）若，直線與交于點，，求直線的斜率.19．（12分）設(shè)函數(shù)（）.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若關(guān)于x的方程有唯一的實數(shù)解，求a的取值范圍.20．（12分）已知中，角所對邊的長分別為，且（1）求角的大??；（2）求的值.21．（12分）在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知：，：，：.（1）求與的極坐標(biāo)方程（2）若與交于點A，與交于點B，，求的最大值.22．（10分）已知拋物線C:x24py（p為大于2的質(zhì)數(shù)）的焦點為F，過點F且斜率為k(k0)的直線交C于A，B兩點，線段AB的垂直平分線交y軸于點E，拋物線C在點A，B處的切線相交于點G.記四邊形AEBG的面積為S.（1）求點G的軌跡方程；（2）當(dāng)點G的橫坐標(biāo)為整數(shù)時，S是否為整數(shù)？若是，請求出所有滿足條件的S的值；若不是，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

求導(dǎo)，先求出在單增，在單減，且知設(shè)，則方程有4個不同的實數(shù)根等價于方程在上有兩個不同的實數(shù)根，再利用一元二次方程根的分布條件列不等式組求解可得.【詳解】依題意，，令，解得，，故當(dāng)時，，當(dāng)，，且，故方程在上有兩個不同的實數(shù)根，故，解得.故選：C.【點睛】本題考查確定函數(shù)零點或方程根個數(shù).其方法：(1)構(gòu)造法：構(gòu)造函數(shù)(易求，可解)，轉(zhuǎn)化為確定的零點個數(shù)問題求解，利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性、極值，并確定定義區(qū)間端點值的符號(或變化趨勢)等，畫出的圖象草圖，數(shù)形結(jié)合求解；(2)定理法：先用零點存在性定理判斷函數(shù)在某區(qū)間上有零點，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)及區(qū)間端點值符號，進(jìn)而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點的個數(shù).2、D【解析】

由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對稱性，余弦函數(shù)的值域，求得結(jié)果.【詳解】解：把函數(shù)圖象向右平移個單位長度后，可得的圖象；再根據(jù)得到函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，，，，函數(shù).在上，，，故，即的值域是，故選：D.【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對稱性，余弦函數(shù)的值域，屬于中檔題．3、B【解析】

先利用向量坐標(biāo)運算求出向量,然后利用向量平行的條件判斷即可.【詳解】故選B【點睛】本題考查向量的坐標(biāo)運算和向量平行的判定,屬于基礎(chǔ)題,在解題中要注意橫坐標(biāo)與橫坐標(biāo)對應(yīng),縱坐標(biāo)與縱坐標(biāo)對應(yīng),切不可錯位.4、A【解析】

化簡為，求出它的圖象向左平移個單位長度后的圖象的函數(shù)表達(dá)式，利用所得到的圖象關(guān)于軸對稱列方程即可求得，問題得解?！驹斀狻亢瘮?shù)可化為：，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象，又所得到的圖象關(guān)于軸對稱，所以，解得：，即：，又，所以.故選：A.【點睛】本題主要考查了兩角和的正弦公式及三角函數(shù)圖象的平移、性質(zhì)等知識，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題。5、D【解析】

結(jié)合三視圖可知,該幾何體的上半部分是半個圓錐,下半部分是一個底面邊長為4,高為4的正三棱柱,分別求出體積即可.【詳解】由三視圖可知該幾何體的上半部分是半個圓錐,下半部分是一個底面邊長為4,高為4的正三棱柱,則上半部分的半個圓錐的體積,下半部分的正三棱柱的體積,故該幾何體的體積.故選:D.【點睛】本題考查三視圖,考查空間幾何體的體積,考查空間想象能力與運算求解能力,屬于中檔題.6、A【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法運算化簡，求得對應(yīng)的坐標(biāo)，由此判斷對應(yīng)點所在象限.【詳解】，對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，位于第一象限.故選：A.【點睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)除法運算，考查復(fù)數(shù)對應(yīng)點所在象限，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

作出函數(shù)的圖象，得到，把函數(shù)有零點轉(zhuǎn)化為與在（2，4]上有交點，利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，即可求得的取值范圍，再根據(jù)充分、必要條件的定義即可判斷．【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖，由圖可知，，函數(shù)有2個零點，即有兩個不同的根，也就是與在上有2個交點，則的最小值為；設(shè)過原點的直線與的切點為，斜率為，則切線方程為，把代入，可得，即，∴切線斜率為，∴k的取值范圍是，∴函數(shù)有兩個零點”是“”的充分不必要條件，故選A．【點睛】本題主要考查了函數(shù)零點的判定，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，試題有一定的綜合性，屬于中檔題．8、A【解析】

先根據(jù)給的條件求出三角形ABC的三個內(nèi)角，再結(jié)合AB可求，應(yīng)用正弦定理即可求解.【詳解】由題意可知：∠BAC＝70°﹣40°＝30°.∠ACD＝110°，∴∠ACB＝110°﹣65°＝45°，∴∠ABC＝180°﹣30°﹣45°＝105°.又AB＝24×0.5＝12.在△ABC中，由正弦定理得，即，∴.故選：A.【點睛】本題考查正弦定理的實際應(yīng)用，關(guān)鍵是將給的角度、線段長度轉(zhuǎn)化為三角形的邊角關(guān)系，利用正余弦定理求解.屬于中檔題.9、C【解析】

根據(jù)①③可判斷丙的院校；由②和⑤可判斷丙的學(xué)位.【詳解】由題意①甲不是軍事科學(xué)院的，③乙不是軍事科學(xué)院的；則丙來自軍事科學(xué)院；由②來自軍事科學(xué)院的不是博士，則丙不是博士；由⑤國防科技大學(xué)的是研究生，可知丙不是研究生，故丙為學(xué)士.綜上可知，丙來自軍事科學(xué)院，學(xué)位是學(xué)士.故選：C.【點睛】本題考查了合情推理的簡單應(yīng)用，由條件的相互牽制判斷符合要求的情況，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

設(shè)，，作為一個基底，表示向量，，，然后再用數(shù)量積公式求解.【詳解】設(shè)，，所以，，，所以.故選：D【點睛】本題主要考查平面向量的基本運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

先利用對稱得，根據(jù)可得，由幾何性質(zhì)可得，即，從而解得漸近線方程.【詳解】如圖所示：由對稱性可得：為的中點，且，所以，因為，所以，故而由幾何性質(zhì)可得，即，故漸近線方程為，故選B.【點睛】本題考查了點關(guān)于直線對稱點的知識，考查了雙曲線漸近線方程，由題意得出是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.12、B【解析】二項式展開式的通項公式為，若展開式中有常數(shù)項，則，解得，當(dāng)r取2時，n的最小值為5，故選B【考點定位】本題考查二項式定理的應(yīng)用．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、5【解析】，即的最大值為14、1【解析】

首先根據(jù)向量的數(shù)量積的運算律求出，再根據(jù)計算可得；【詳解】解：因為，所以又所以所以故答案為：【點睛】本題考查平面向量的數(shù)量積的運算，屬于基礎(chǔ)題.15、7201【解析】

利用二項展開式的通式可求出；令中的，得兩個式子，代入可得結(jié)果.【詳解】利用二項式系數(shù)公式，，故，，故（=，故答案為：720；1.【點睛】本題考查二項展開式的通項公式的應(yīng)用，考查賦值法，是基礎(chǔ)題.16、【解析】∵，∴，∵函數(shù)y=f(x)?g(x)恰好有四個零點，∴方程f(x)?g(x)=0有四個解，即f(x)+f(2?x)?b=0有四個解，即函數(shù)y=f(x)+f(2?x)與y=b的圖象有四個交點，，作函數(shù)y=f(x)+f(2?x)與y=b的圖象如下，，結(jié)合圖象可知，<b<2，故答案為.點睛：(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．(2)當(dāng)給出函數(shù)值求自變量的值時，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗，看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）當(dāng)時，在上遞增，在上遞減；當(dāng)時，在上遞增，在上遞減，在上遞增；當(dāng)時，在上遞增；當(dāng)時，在上遞增，在上遞減，在上遞增；（2）證明見解析【解析】

（1）對求導(dǎo)，分，，進(jìn)行討論，可得的單調(diào)性；（2）在定義域內(nèi)是是增函數(shù)，由（1）可知，，設(shè)，可得，則，設(shè)，對求導(dǎo)，利用其單調(diào)性可證明.【詳解】解：的定義域為，因為，所以，當(dāng)時，令，得，令，得；當(dāng)時，則，令，得，或，令，得；當(dāng)時，，當(dāng)時，則，令，得；綜上所述，當(dāng)時，在上遞增，在上遞減；當(dāng)時，在上遞增，在上遞減，在上遞增；當(dāng)時，在上遞增；當(dāng)時，在上遞增，在上遞減，在上遞增；（2）在定義域內(nèi)是是增函數(shù)，由（1）可知，此時，設(shè)，又因為，則，設(shè)，則對于任意成立，所以在上是增函數(shù)，所以對于，有，即，有，因為，所以，即，又在遞增，所以，即.【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性及導(dǎo)數(shù)在極值點偏移中的應(yīng)用，考查學(xué)生分類討論與轉(zhuǎn)化的思想，綜合性大，屬于難題.18、（1）（2）0【解析】

（1）根據(jù)題意，設(shè)直線，與聯(lián)立，得，再由弦長公式，求解.（2）設(shè)，根據(jù)直線的斜率為1，則，得到，再由，所以線段中點的縱坐標(biāo)為，然后直線的方程與直線的方程聯(lián)立解得交點H的縱坐標(biāo)，說明直線軸，直線的斜率為0.【詳解】（1）依題意，，則直線，聯(lián)立得；設(shè)，則，解得，故拋物線的方程為.（2），因為直線的斜率為1，則，所以，因為，所以線段中點的縱坐標(biāo)為.直線的方程為，即①直線的方程為，即②聯(lián)立①②解得即點的縱坐標(biāo)為，即直線軸，故直線的斜率為0.如果直線的斜率不存在，結(jié)論也顯然成立，綜上所述，直線的斜率為0.【點睛】本題考查拋物線的方程、直線與拋物線的位置關(guān)系，還考查推理論證能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.19、（1）當(dāng)時，遞增區(qū)間時，無遞減區(qū)間，當(dāng)時，遞增區(qū)間時，遞減區(qū)間時；（2）或.【解析】

（1）求出，對分類討論，先考慮（或）恒成立的范圍，并以此作為的分類標(biāo)準(zhǔn)，若不恒成立，求解，即可得出結(jié)論；（2）有解，即，令，轉(zhuǎn)化求函數(shù)只有一個實數(shù)解，根據(jù)（1）中的結(jié)論，即可求解.【詳解】（1），當(dāng)時，恒成立，當(dāng)時，，綜上，當(dāng)時，遞增區(qū)間時，無遞減區(qū)間，當(dāng)時，遞增區(qū)間時，遞減區(qū)間時；（2），令，原方程只有一個解，只需只有一個解，即求只有一個零點時，的取值范圍，由（1）得當(dāng)時，在單調(diào)遞增，且，函數(shù)只有一個零點，原方程只有一個解，當(dāng)時，由（1）得在出取得極小值，也是最小值，當(dāng)時，，此時函數(shù)只有一個零點，原方程只有一個解，當(dāng)且遞增區(qū)間時，遞減區(qū)間時；，當(dāng)，有兩個零點，即原方程有兩個解，不合題意，所以的取值范圍是或.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到單調(diào)性、零點、極值最值，考查分類討論和等價轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.20、（1）；（2）.【解析】

（1）正弦定理的邊角轉(zhuǎn)換，以及兩角和的正弦公式展開，特殊角的余弦值即可求出答案；（2）構(gòu)造齊次式，利用正弦定理的邊角轉(zhuǎn)換，得到，結(jié)合余弦定理得到【詳解】解：（1）由已知，得又∵∴∴,因為得∵∴.（2）∵又由余弦定理，得∴【點睛】1.考查學(xué)生對正余弦定理的綜合應(yīng)用；2.能處理基本的邊角轉(zhuǎn)換問題；3.能利用特殊的三角函數(shù)值推特殊角，屬于中檔題21、（1）的極坐標(biāo)方程為；的極坐標(biāo)方程為：（2）【解析】

（1）根據(jù)，代入即可轉(zhuǎn)化.（2）由：，可得，代入與的極坐標(biāo)方程求出，從而可得，再利用二倍角公式、輔助角公式，借助三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）：，，的極坐標(biāo)方程為：，，的極坐標(biāo)方程為：，（2）：，則（為銳角），，，，當(dāng)時取等號.【點睛】本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化、二倍角