2022年高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平測(cè)試及答案

2022年高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平測(cè)試下列說(shuō)法正確的是（ ）A．向量a與b共線，b與c共線，則a與c也共線B．任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)C．向量a與b不共線，則a與b都是非零向量D．有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行【答案】C【解析】AbA錯(cuò)誤；BB錯(cuò)誤；C：因?yàn)?CDD錯(cuò)誤，故選C．下列條件中能得到ab的是（abCa0b為任意向量【答案】D

）Ba與b的方向相同Da0且b0【解析】由于ab，所以a與bDD．已知ee1

是不共線向量，則下列各組向量中是共線向量的有（ ）①a

，b

；②a1e1

，b

；③ae+

，b

3e．1 1 21 32 1 2

1 2 1 2A．①②【答案】A

B．①③ C．②③ D．①②③2【解析】a與b顯然共線；2②中，因?yàn)閎

2e

61

1

6a，故a與b共線；221 2

1 3 ③中，設(shè)b1

2

k1

e)，得333

，無(wú)解，故a與b不共線，故選A．4VABCA，B，Ca，b，c，若ccosA，則VABC一定是（ ）等邊三角形【答案】B

等腰三角形 C．直角三角形 等腰直角三角形【解析】因?yàn)閏cosA，所以c2bb2c2a2，2bc則c2b2c2a2，所以ab，所以VABCB．13已知向量a=( 3,1)是單位向量若|2ab|= 則a與b的夾角（ ）136【答案】B

33613【解析】∵a=( 3,1)，b是單位向量，若|2ab|= ，13∴|a2，|b|=1，(2ab)2=13，∴4a24ab+b2=13，∴44b+1=13，∴ab=1，∴cosa,b= ab = 1 =1，|a||b| 21 2由a,b0,π]a與b的夾角為B．3已知在VABCa、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，則根據(jù)條件解三角形時(shí)恰有一解的一組條件是（ ）A．a(chǎn)=3，b=4，A=6

B．a(chǎn)=4，b=3，A=3C．a(chǎn)=1，b=2，A=4

D．a(chǎn)=2，b=3，A=3【答案】BAsinB故VABC有兩解；

bsinAa333

4123

2=3

sinAba，B選項(xiàng)，由正弦定理可得sinB故VABC只有一解；

bsinA=a

2 = sinA，且ba，334 833C選項(xiàng)，由正弦定理可得sinB

bsinA= 2 =22a 122

1，故VABC無(wú)解；2D選項(xiàng)，因?yàn)锳解，2故選B．

，則角A為VABC的最大內(nèi)角，且ab，故VABC無(wú)3如圖所示，在VCB=2C=3C=6，DC邊上的uur2

AM=

5AD，若AM=AB+BC，則+的值為（ ）43【答案】B

815

23

415【解析】在VCB=2C=3C=6，DC邊上的高，D=B0=1，uuurAM

2uuAD

( + ( +

21( + ( +

=2 AB=2 5 5 5 3 5 15=

2,

8AM

AB+

BC，所以=5 =15，所以+ =15，故選B．如圖，已知兩個(gè)單位向量OAOB

CO為圓? 心，1為半徑的B上運(yùn)動(dòng)，則AB的最小值為（ ）A．3－32

B．0

33C．2－23

3D．2【答案】A【解析】以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖坐標(biāo)系，32 則由已知得B1,0,A1, ．32 由點(diǎn)C在以O(shè)為圓心，1B上運(yùn)動(dòng)可設(shè)Cs,sin，0,． 31∴

s,

n1 s,

nCACB=2

2 3 3323 1 32

=s2s+n n+2=

3sin+ ，2 32由0,知，

,2，3∴sin+

+33 333， 3

2,3 3

3因此當(dāng)sin

3=1AB2

，故選A．二、多項(xiàng)選擇題：本題共 4小題，每小題 5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得 5分部分選對(duì)的得 2分，有選錯(cuò)的得0分．在VABC中，角所對(duì)的邊為則下列說(shuō)法正確的有（ ）A．A:B:C=a:b:cC．若A>B，則a>b【答案】BCD

B． a+b+c = asinA+sinB+sinC sinAD．A+B+C=π【解析】在三角形中，大角對(duì)大邊，所以C選項(xiàng)正確；三角形的內(nèi)角和為π，所以D選項(xiàng)正確；由正弦定理得abcsinA:sinB:sinCA選項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)a = b = c

=k，sinA sinB sinC則 a+b+c

kA+sinB+sinC)= =k=

a，B選項(xiàng)正確，sinA+sinB+sinC sinA+sinB+sinC sinA故選BCD．10已知向量m=1,1n=2,3a0b0則下列說(shuō)法正確的（ ）a b 6若ab1，則mn有最小值5266若ab1，則mn有最小值6若，則log23

(mn)的值為1若mn，則22b+3a1【答案】AD【解析】m=1,1n=2,3mn=2+3．a(chǎn) b a b 2b3aa b a+b=1mn=2+3a+b)=5+2b+32b3aa b

=5+2 ，a a 66666當(dāng)且僅當(dāng)a=b，即a= 2，b=3 ，取得等號(hào)，故選項(xiàng)A正確；666B：若ab1，則mn

2+32abab2 3

=2 ，當(dāng)且僅當(dāng)a=

b= B錯(cuò)誤；663 2661 3對(duì)C：若，則 12a b

0，即ab=3，2則log2

n)=

231C錯(cuò)誤； 2 a b 3 3Dmn，則mn

2+3=2b+3a=0，a b ab所以ba022b3a1D正確，故選AD．已知兩個(gè)向量e和e滿足e 2

與e的夾角為7e1 2 1

2 1 2 3 1 2與向量e14114

te2

的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)t可能的取值為（ ）

2

12

45【答案】AD【解析】因?yàn)閑1

2，e2

1e與e1

的夾角為，3所以ee1

21cos1，3因?yàn)橄蛄?te1

7e2

與向量e1

te2

的夾角為鈍角，所以te1

7e2

e1

te2

0，且不能共線，所以e1

7e2

e1

te2

e1

2t27ee1 2

e2

2t215t70，解得7t1，2當(dāng)向量2te1

7e2

與向量e1

te2

共線時(shí)，有2te1

7e2

e1

te2

，即t，t14解得t ，142所以實(shí)數(shù)t的取值范圍7,

142 U14

,1，142 214 所以實(shí)數(shù)t可能的取值為A，D，故選AD．已知abc分別是VABC三個(gè)內(nèi)角BC的對(duì)邊，下列四個(gè)命題中正確的是（ ）若VABC是銳角三角形，則sinAcosB若acosAbcosB，則VABC是等腰三角形若bcosCccosBb，則VABC是等腰三角形若VABC是等邊三角形，則a b ccosA cosB cosC【答案】ACD【解析】A，因?yàn)閂ABC是銳角三角形，所以AB

，所以2sinAsin

B，即sinAcosB，故A正確；2 2 B，由acosAbcosB及正弦定理，可得sinAcosAsinBcosB，即sin2Asin2B，所以2A2B或2A2B，所以AB或AB，所以VABCB錯(cuò)誤；2C，由bcosCccosBb及正弦定理化邊為角，可知sinBcosCsinCcosBsinB，即sinAsinB，因?yàn)锽為VABC的內(nèi)角，所以A=B，所以VABCC正確；D，由VABC是等邊三角形，所以ABC，所以tanAtanBtanC，a b ccos

=cos

=cos

，故D正確，故選ACD．第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本大題共 4小題，每小題 5分．13．若a=1,b= 3,C=120，則SVABC

= ．34或0.75【解析】S

=1absinC

11 3

3 3，故答案為．3VABC3

2 2 2 4 414陽(yáng)嘉元年，復(fù)造候風(fēng)地動(dòng)儀．以精銅鑄成，員徑八尺，ft一龍發(fā)機(jī)，而七首不動(dòng)，尋其方面，乃知震之所在．驗(yàn)之以事，合契若神．如200kmB在A的東偏北60°方向，若A地動(dòng)儀正東方向的銅丸落下，B地東南方向的丸落下，則地震的位置在A地正東 km．【答案】1003【解析】CAB200km，

200 AC則由題意可得A60oB,Csin45232又232

，osin75osin75o

n

sin

cos

cos

sin30o

2 2 2 6 2，4

200 6 2AC

200sin75osin45o

4 1003，22A地正東1003km故答案為1003．315．已知a1，b1，ab ，則ab ．3【答案】13【解析】因?yàn)閍1，b1，ab ，31所以ab2a2b22ab3，所以ab ，2ab2a2b2ab2a2b22ab故答案為1．16．已△ABC的內(nèi)角的對(duì)邊分別為角B為鈍角．△ABC的面積為S，若bSab2c2a2，則nnC的最大值是 ．9【答案】8【解析】S

1acsinB，則2abcsinBa(b2c2a2，2∴sinB

b2c2a2

cosAsin(

A)，2bc 2B為鈍角即AB2又C(AB，

A

，即B2

A，cosBcos(sinA且sinBsin(cosA，2 21 而sinAsinCsinAsin(AB)sinA(1cosB)1 sin2Bcos2BcosB1cosB2cos2B2(cosB )2 ，4 8∴當(dāng)cosB1sinAsinC9，4 89故答案為8．四、解答題：本大題共 6個(gè)大題，共 70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．ur ur uu17（10分）已知A(0,1)B(1,0)Ct,t)O是坐標(biāo)原點(diǎn)．A，B，C三點(diǎn)共線時(shí)，求t的值；uuruur當(dāng)tAB取最小值？并求出最小值．（1）t

1（2）t

1時(shí)，最小值為1．2 2 2ur ur uu【解析】（1）因?yàn)镺A(0,1),OB(1,0),OC(t,t)，所以u(píng)rurur1,0)0,)1,)uuuuurt,t)0,)t,t)，AB OB OA

ur

AC OC OA( )

t1．因?yàn)锽CAB//AC，交集ur ur uu（2）因?yàn)镺A(0,1),OB(1,0),OC(t,t，OAOC所以u(píng)ruruu0,)t,t)t,1t)，OAOC

t1

1t，解得 2CBOBOCururuu1,0)t,t)1t,t)，CBOBOC)uuruur)(所以 (

()

121，CA

t1

t1

2

2t 22所以當(dāng)t22

時(shí)，1AAB 18（12分）已知VC中CAB，點(diǎn)D是BE上一點(diǎn)．uura

1

設(shè)CA

CDbAEAB，請(qǐng)用abABCE；AE2EBADCE．

uurb a，

1a+b（2）證明見(jiàn)解析．【答案（1）AB2 CE 2（1）∵CAaCDb，點(diǎn)D是CB的中點(diǎn)，∴CB，∴ABCBCAa，uur∵ + a

1a

1a

1a+b．CE CA AE

AB2 2 2（2）以C點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CBCA為xy軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A(0,a)B點(diǎn)坐標(biāo)為(a,0)，另設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為(xy)，2∵點(diǎn)D是CB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)D坐標(biāo)為a,0，2(

) ( )

x=2a，y=a，AE2EB

x,ya

=2ax,y ，∴ 3 3所以u(píng)u=a,

，uur=2a,a，D 2 a

CE

3 3uuuur所以

aa+a

=0，∴ADCE．AD

2 3 319（12分）在C，，Ca，b，，其中b=4，3bsinAcosCcsinBcosA2 ，且ab．3B3若S =43VABC

，判斷△ABC的形狀．（1）B=（2）等邊三角形．33（1）∵23

= 4= b，∴bsinAcosC+csinBcosA= b，3332 2 2333a b由正弦定理 =

= c 得，sinBsinAcosC+sinCsinBcosA= sinB，3sinA sinB sinC 233∵sinB0，∴sinAcosC+sinCcosA= 2，33∴sin(A+C)=sinB)=sinB= ，32又ab，所以0B，可得B．2 3（2）由（1）知B，33余弦定理b2a2c22accosB，16a2c2ac①．3S△

1acsinB ac2 4

，ac16②3由①②可得ac，3又B，所以acb4，所以該三角形為等邊三角形．320（12分）已知VC，，Ca，b，，且(bc)(sinB+sinC)a(sinA+sinC)．B；當(dāng)b1時(shí)，求VABC面積的最大值．32π3（1）3（2）12．【解析由c)(sinBsinC)aAsinC，得c)(bc)ac)，a2+c2b2 1即a2c2b2

ac，sB

2ac

2，又B0,π)，故B2π．3（2）由（1）B

2π，∴S3 V

1acsinB ac．32 43由余弦定理得1a2c22ac33當(dāng)且僅當(dāng)ac時(shí)等號(hào)成立，33

a2+c2+ac2ac+ac3ac，即ac ，2π 13 32π 1∴S△

12，∴VABC12．21（12分）如圖，梯形DB//DDCBBCBDAEBD相交于G．

1AB2EF分2uruu uuurABADAFAE；uu uruur urAGAEDGDB，求的值；uuurAGABAF=uuAF=【答案】（1）

1(ur

ur3ur1AEAE= AB+

7））

563） ．AB+AB+AD)（1）ABCDAB//CDAD=DC=CB=EFBCBDAEBD相交于G，

1AB=2，2AF=uuAF=∴

1(ur

uur1uuFEFE= DC=

1uuur，AB+AB+AD)uruuuur1uruu 1ur3ur1uu∴AE=AF+FE= (AB+AD)+ AB= AB+ AD ．DC= DC= GE= BG=FEuurFE（2）∵

1uu

1ur uuAGAG

4ur4ur，uu

uuGFGF=

4uuur，2 4 5 5uu ur 4∵AG=AE，∴=5，uu

FBDBGBF，uu1ur uu1ur uu1ur∴DF= DB，F(xiàn)G= FB，即FG= DB，2 5 10uuruuuu1 1ur3ur∴DG=DF+FG= + DB= DB，2 10 5uur ur=

3 7∵DG