專(zhuān)升本高等數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)

PAGEPAGE14/14專(zhuān)升本高等數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)匯總常用知識(shí)點(diǎn)：一、常見(jiàn)函數(shù)的定義域總結(jié)如下：xyx

根式的形式定義域：x≥0ylog x a二、函數(shù)的性質(zhì)1、函數(shù)的單調(diào)性當(dāng)x x1

時(shí)，恒有f(x1

)f(x2

)，f(x)在x，x1 2

所在的區(qū)間上是增加的。當(dāng)x x1

時(shí)，恒有f(x1

)f(x2

)，f(x)在x，x1 2

所在的區(qū)間上是減少的。2、函數(shù)的奇偶性yf(xD關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)（即若xD，則有xD）fxDf(x)f(x。fxDf(x)f(x。三、基本初等函數(shù)1、常數(shù)函數(shù)：yc，定義域是(,)，圖形是一條平行于x軸的直線。2、冪函數(shù)：yxu，(u是常數(shù))。它的定義域隨著u的不同而不同。圖形過(guò)原點(diǎn)。3、指數(shù)函數(shù)定義:yf(x)axa是常數(shù)且a0a1).圖形過(guò)（0,1）點(diǎn)。4、對(duì)數(shù)函數(shù)定義:yf(x)log x，(a是常數(shù)且a0，a1)。圖形過(guò)點(diǎn)。a5、三角函數(shù)正弦函數(shù):ysinxT2，D(f)(,)，f(D)[1,1]。余弦函數(shù):ycosx.T2，D(f)(,)，f(D)[1,1]。正切函數(shù):ytanx.T，D(f){x|xR,x(2k余切函數(shù):ycotx.

2

kZ}，f(D)(,).(1)反正弦函數(shù):yarcsinxDf(2)反余弦函數(shù):yarccosx，D(f)[1,1]，f(D)[0,]。(3)(1)反正弦函數(shù):yarcsinxDf(2)反余弦函數(shù):yarccosx，D(f)[1,1]，f(D)[0,]。(3)反正切函數(shù):yarctanxD(f)(,)(4)反余切函數(shù):yarccotx，D(f)(,)，f(D)(0,)。極限一、求極限的方法1、代入法代入法主要是利用了“初等函數(shù)在某點(diǎn)的極限，等于該點(diǎn)的函數(shù)值?！币虼擞龅酱蟛糠趾?jiǎn)單題目的時(shí)候，可以直接代入進(jìn)行極限的求解。2、傳統(tǒng)求極限的方法利用極限的四則運(yùn)算法則求極限。利用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限。利用兩個(gè)重要極限求極限。利用羅比達(dá)法則就極限。二、函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則設(shè)limuA，limvB，則x xlim(uv)limulimvABx x xlim(uv)limulimvAB.x x x推論（a)lim(CvClimvC為常數(shù))。x x（b）limun(limu)nx x3，(B0.P(xPx

xnaxn

，則limP(xP(x)0 1

xx0 0P(xQ(x均為多項(xiàng)式，且Q(x)0，則三、等價(jià)無(wú)窮小常用的等價(jià)無(wú)窮小量代換有：當(dāng)x0時(shí)sinx~xtanx~xarctanx~x，arcsinx~xx)~xex1~x對(duì)這些等價(jià)無(wú)窮小量的代換，應(yīng)該更深一層地理解為：當(dāng)□0時(shí)，sin□~□，其余類(lèi)似。四、兩個(gè)重要極限重要極限I 。它可以用下面更直觀的結(jié)構(gòu)式表示重要極限II 。其結(jié)構(gòu)可以表示為：八、洛必達(dá)(L’Hospital)法則0”型不定式，存在有

f(x)

lim

f'(x)

A（或。0 xa

g(x)

xa

g'(x)一元函數(shù)微分學(xué)一、導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x 的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量 x在x 處取得增量x（點(diǎn)0 0x仍在該鄰域內(nèi)）時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)y取得增量yf(x x)f(x)。如果當(dāng)0 0 0x0時(shí)，函數(shù)的增量y與自變量x的增量之比的極限limy=lim=f（x）注意兩個(gè)符號(hào)x和x

在題目中可能換成其他的符號(hào)表示。x0x x0 0 0二、求導(dǎo)公式1、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式（1）(C)0 C)（2）(x)x（為任意常數(shù)）(ax)axlna(aa特殊情況(ex)ex(loga

x)1logx

e 1 (xaa，xlna(sinx)cosx(cosx)sinx（9）1x2（10）(arccosx)'1x2

(1x1)（12）2、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算公式（1）[u(x)v(x)]u(x)v(x)（2）[u(x)v(x)]u(x)v(x)u(x)v(x)（3）[ku]ku（k為常數(shù)）u(x)（4）v(x)

u(x)v(x)u(x)v(x)v2(x) 3、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式：設(shè)yf(u),u(x)，且f(u)及(x)都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)yf(xdy

dydu

f'(u).(x)。dx du dx三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1、函數(shù)的單調(diào)性f(x)0f(x)在(ab內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加。f(x)0f(x)在(ab內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)減少。2、函數(shù)的極值f'(x)0的點(diǎn)——函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)。設(shè)為x0xx0xx0

(x)0xx0(x0xx0

(x)0f(xf(x的極大值點(diǎn)。0(x)0f(xf(x的極小值點(diǎn)。0

'(xxf(x不是極值點(diǎn)。0 03、曲線的凹凸性f(x0yf(x在(ab內(nèi)是凹的。f(x0yf(x在(ab內(nèi)是凸的。4、曲線的拐點(diǎn)

''(x)在x 的左、右兩側(cè)異號(hào)時(shí)，點(diǎn)(x,f(x))為曲線yf(x)的拐點(diǎn)，此時(shí)0 0 0f''(x)0.0

(x)x的左、右兩側(cè)同號(hào)時(shí)，點(diǎn)(x,f(xyf(x的拐點(diǎn)。0 0 05、函數(shù)的最大值與最小值極值和端點(diǎn)的函數(shù)值中最大和最小的就是最大值和最小值。四、微分公式dyf(x)dx，求微分就是求導(dǎo)數(shù)。一元函數(shù)積分學(xué)一、不定積分1+C式來(lái)記憶。2、不定積分的性質(zhì)（1）[

f(x)dx]'f(x或d

f(x)dxf(x)dx（2）

F(x)dxF(xC或dF(x)F(xC（3）[f(x(x)(x)]dxf(x)dx(x)(x)dx。（4）kf(x)dxk

f(x)dx（k為常數(shù)且k0。2、基本積分公式（要求熟練記憶）0dxCxadx（3）.

1a

xa1

C (a.（4）(a0,a1)（5）

exdxexC（6）sinxdxcosxC（7）

cosxdxsinxC（8）.（9）

1sin2x

dxcotxC.（10） 11x

dxarcsinxC.

11x

dxarctanxC.3、第一類(lèi)換元積分法對(duì)不定微分g(x)dxg(x)dx湊成g(x)dxf[(x)](x)dxf(x)d(x，這是關(guān)鍵的一步。常用的湊微分的公式有：1f(axb)dxa

f(axb)d(axb)1f(axk

b)xk1dx f(axkb)d(axkb)xkaxx（3）f( x) x

dx2f xd1（4）f( )1x

1 1 1dx f( )dx2 x f(ex)exdxf(ex)d(ex)1f(lnx)

dxf(lnx)d(lnx)xf(sinx)cosxdxf(sinx)d(sinx)f(cosx)sinxdxf(cosx)d(cosx)1f(tanx)

cos21

dxf(tanx)d(tanx)f(cotx) dxf(cotx)d(cotx)sin2x1x2f(arcsinx)1x2

dxf(arcsinx)d(arcsinx)1x21f(arccosx) dxf(arccosx)d1x21f(arctanx)（14）(x)4、分部積分法udvuvvdu

11x

dxf(arctanx)d(arctanx)二、定積分公式1（牛頓—萊布尼茨公式）F(x)是連續(xù)函數(shù)fx在區(qū)間[ab上的任意一個(gè)原函數(shù)，bfx)dxF(bF(a。ayyyyf(x)yg(x)aob x如果某平面圖形是由兩條連續(xù)曲線g(x),y1

f(x)及兩條直線x1

a和x2

b所圍成的（其中y是下面的曲線，y是上面的曲線，則1 2其面積可由下式求出：Sb[f(x)g(x)]dx.a3、計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的體積設(shè)某立體是由連續(xù)曲線yf(x)(f(x)0)和直線yyf(x)o ax x+dxb xxa,xb(ayyf(x)o ax x+dxb x多元函數(shù)微分學(xué)1、偏導(dǎo)數(shù)，對(duì)某個(gè)變量求導(dǎo)，把其他變量看做常數(shù)。2、全微分公式：。3、復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)——利用函數(shù)結(jié)構(gòu)圖如果、在點(diǎn)處存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù) ， ，

v，且在對(duì)應(yīng)于(x,y的點(diǎn)(uv)yzzf(uv存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)

zf[(xy),(xy在點(diǎn)(x,y)處存在對(duì)x及y的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且4、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)F(x,y)0yf(xyxy：，2、隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)F(xyz)0zf(xy，可用下列公式求偏導(dǎo)數(shù)：，，5、二元函數(shù)的極值z(mì)f(xy在點(diǎn)(xy的某鄰域內(nèi)有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且0 0 0 0f'(x,yx 0

)0

'(x,yy 0

0f''xx

(x,y0

)A''xy

(x,y0

)B''yy

(x,y0

)C，則：B

AC0f(xy在點(diǎn)(xyA00 0時(shí)有極大值，當(dāng)A0時(shí)有極小值。B2B

AC0f(xy在點(diǎn)(xy處無(wú)極值。0 0AC0f(xy在點(diǎn)(xy處是否有極值不能確定，要用其它方0 0法另作討論。平面與直線平面與直線1、平面方程（1）平面的點(diǎn)法式方程：在空間直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)M(x,y1、平面方程（1）平面的點(diǎn)法式方程：在空間直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)M(x,y,z)，以n{,B,C}為0 0 0 0法向量的平面方程為A(xx)B(yy)C(zz)00 00稱(chēng)之為平面的點(diǎn)法式方程（2）平面的一般式方程AxByCzD0稱(chēng)之為平面的一般式方程2、特殊的平面方程AxByCz0表示過(guò)原點(diǎn)的平面方程AxByD0表示平行于Oz軸的平面方程AxBy0表示過(guò)Oz軸的平面方程CzD0表示平行于坐標(biāo)平面xOy的平面方程3、兩個(gè)平面間的關(guān)系設(shè)有平面1 1:AxByCzD01 1 12:AxByCzD2 2 220平面和A平面和AA1 21 2BB CC1 21 20平面和平行的充分必要條件是：1 2平面和重合的充分必要條件是：1 24、直線的方程（1）M(xyz且平行于向量sn的直線方程0 0 0 0xxm0yyn0zzp0稱(chēng)之為直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程（又稱(chēng)點(diǎn)向式方程、對(duì)稱(chēng)式方程。sn為所給直線的方向向量（2）直線的一般式方程AxByCzD 0AxByCzD 01111稱(chēng)之為直線的一般式方程22225、兩直線間關(guān)系設(shè)直線ll5、兩直線間關(guān)系設(shè)直線ll的方程為1 2l:1x1m1yy1n1zp11l:1xxm22yyn22zp22直線ll平行的充分必要條件為；1 2直線ll互相垂直的充分必要條件為mm1 21 2nn pp1 21 2066、直線l與平面間的關(guān)系設(shè)直線l與平面的方程為l:l:xxm0yyn0zzp0:A(xx)B(yy)C(zz)00 0 0直線直線l與平面垂直的充分必要條件為：直線與平面平行的充分必要條件為：直線與平面平行的充分必要條件為：lAmBnCp0Am Bn Cp D00o0直線直線l落在平面上的充分必要條件為AmBnCp0Am Bn Cp D00o0將初等函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)將初等函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)1fx在1fx在Ux,0limR(x)0，R(x)f(n1))(xx)n1nnn(n1)!0則在U(x,)內(nèi)0f(x)n0f (x)(n)0(xx)0nfxxfxxx的冪級(jí)數(shù)。0 02、幾個(gè)常用的標(biāo)準(zhǔn)展開(kāi)式①②③④sinx()nn0x2n1(2n⑤⑥⑦常微分方程常微分方程11、一階微分方程（1）可分離變量的微分方程若一階微分方程F(x,y,y)0通過(guò)變形后可寫(xiě)成g(y)dyf(x)dx 或 yf(x)g(y)則稱(chēng)方程F(x,y,y)0為可分離變量的微分方程.2、、可分離變量微分方程的解gy)dyf(x)dx必存在隱式通解Gy)F(xC。其中：G(y)g(y)dy,F(x)f(x)dx.即兩邊取積分。即兩邊取積分。（2）一階線性微分方程1、定義：方程yP(x)yQ(x)稱(chēng)為一階線性微分方程.(1)Q(x)0；(2)齊次方程——yP(x)y0.22、求解一階線性微分方程（（1）先求齊次方程yP(x)y0的通解：yCeP(x)dx,其中C為任意常數(shù)。（2（2）將齊次通解的C換成u(x)。即yu(x)eP(x)dx（3）代入非齊次方程yP(x)yQ(x),得yyeP(x)dxq(xeP(x)dxdxC2、二階線性常系數(shù)微分方程（1）可降階的二階微分方程11、yf(x)型的微分方程3.yy1

1e24

cosxC；1yydx e2xsinxCxC .8 1 222、yf(x,y)型的微分方程解法：py，方程化為pf(x,p；解此方程得通解p(xC；1再解方程y(xC1

) 得原方程的通解y(x,CC.1 233、yf(y,y)型的微分方程解法：py,py的函數(shù),y

dpdpdypdp,dx dy dx dy,得解此方程得通解pyC；1再解方程y(y,C) 得原方程的通解1.例4：求方程yyy20的通解.分析：(1)令py,并視p為y的函數(shù),那么y

dpdpdypdp,dx dy dx dy/r/