小學(xué)奧數(shù)平面幾何五種面積模型等積,鳥頭,蝶形,相似,共邊

.PAGE20/NUMPAGES20小學(xué)奧數(shù)平面幾何五種模型〔等積,鳥頭,蝶形,相似,共邊目標(biāo)：熟練掌握五大面積模型等積,鳥頭,蝶形,相似〔含金字塔模型和沙漏模型,共邊〔含燕尾模型和風(fēng)箏模型,掌握五大面積模型的各種變形知識(shí)點(diǎn)撥一、等積模型①等底等高的兩個(gè)三角形面積相等；②兩個(gè)三角形高相等,面積比等于它們的底之比；兩個(gè)三角形底相等,面積比等于它們的高之比；如右圖③夾在一組平行線之間的等積變形,如右圖；反之,如果,則可知直線平行于．④等底等高的兩個(gè)平行四邊形面積相等<長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形>；⑤三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半；⑥兩個(gè)平行四邊形高相等,面積比等于它們的底之比；兩個(gè)平行四邊形底相等,面積比等于它們的高之比．二、鳥頭定理兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ),這兩個(gè)三角形叫做共角三角形．共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角<相等角或互補(bǔ)角>兩夾邊的乘積之比．如圖在中,分別是上的點(diǎn)如圖=1\*GB2⑴<或在的延長線上,在上>,則圖=1\*GB2⑴圖=2\*GB2⑵三、蝶形定理任意四邊形中的比例關(guān)系<"蝶形定理">：①或者②蝶形定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個(gè)途徑．通過構(gòu)造模型,一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面,也可以得到與面積對(duì)應(yīng)的對(duì)角線的比例關(guān)系．梯形中比例關(guān)系<"梯形蝶形定理">：①②；③的對(duì)應(yīng)份數(shù)為．四、相似模型<一>金字塔模型<二>沙漏模型①；②．所謂的相似三角形,就是形狀相同,大小不同的三角形<只要其形狀不改變,不論大小怎樣改變它們都相似>,與相似三角形相關(guān)的常用的性質(zhì)及定理如下：⑴相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段的長度成比例,并且這個(gè)比例等于它們的相似比；⑵相似三角形的面積比等于它們相似比的平方；⑶連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線．三角形中位線定理：三角形的中位線長等于它所對(duì)應(yīng)的底邊長的一半．相似三角形模型,給我們提供了三角形之間的邊與面積關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的工具．在小學(xué)奧數(shù)里,出現(xiàn)最多的情況是因?yàn)閮蓷l平行線而出現(xiàn)的相似三角形．五、共邊定理〔燕尾模型和風(fēng)箏模型在三角形中,,,相交于同一點(diǎn),那么．上述定理給出了一個(gè)新的轉(zhuǎn)化面積比與線段比的手段,因?yàn)楹偷男螤詈芟笱嘧拥奈舶?所以這個(gè)定理被稱為燕尾定理．該定理在許多幾何題目中都有著廣泛的運(yùn)用,它的特殊性在于,它可以存在于任何一個(gè)三角形之中,為三角形中的三角形面積對(duì)應(yīng)底邊之間提供互相聯(lián)系的途徑.典型例題如圖,正方形ABCD的邊長為6,1.5,2．長方形EFGH的面積為．連接DE,DF,則長方形EFGH的面積是三角形DEF面積的二倍．三角形DEF的面積等于正方形的面積減去三個(gè)三角形的面積,,所以長方形EFGH面積為33．[鞏固]如_A_A_B_G_C_E_F_D_A_B_G_C_E_F_D本題主要是讓學(xué)生會(huì)運(yùn)用等底等高的兩個(gè)平行四邊形面積相等<長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形>．三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半．證明：連接．<我們通過把這兩個(gè)長方形和正方形聯(lián)系在一起>．∵在正方形中,邊上的高,∴<三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半>同理,．∴正方形與長方形面積相等．長方形的寬<厘米>．長方形的面積為36,、、為各邊中點(diǎn),為邊上任意一點(diǎn),問陰影部分面積是多少？解法一：尋找可利用的條件,連接、,如下圖：可得：、、,而即；而,．所以陰影部分的面積是：解法二：特殊點(diǎn)法．找的特殊點(diǎn),把點(diǎn)與點(diǎn)重合,那么圖形就可變成右圖：這樣陰影部分的面積就是的面積,根據(jù)鳥頭定理,則有：．[鞏固]在邊長為6厘米的正方形內(nèi)任取一點(diǎn),將正方形的一組對(duì)邊二等分,另一組對(duì)邊三等分,分別與點(diǎn)連接,求陰影部分面積．〔法1特殊點(diǎn)法．由于是正方形內(nèi)部任意一點(diǎn),可采用特殊點(diǎn)法,假設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)重合,則陰影部分變?yōu)槿缟现袌D所示,圖中的兩個(gè)陰影三角形的面積分別占正方形面積的和,所以陰影部分的面積為平方厘米．〔法2連接、．由于與的面積之和等于正方形面積的一半,所以上、下兩個(gè)陰影三角形的面積之和等于正方形面積的,同理可知左、右兩個(gè)陰影三角形的面積之和等于正方形面積的,所以陰影部分的面積為平方厘米．如圖所示,長方形內(nèi)的陰影部分的面積之和為70,,,四邊形的面積為．利用圖形中的包含關(guān)系可以先求出三角形、和四邊形的面積之和,以及三角形和的面積之和,進(jìn)而求出四邊形的面積．由于長方形的面積為,所以三角形的面積為,所以三角形和的面積之和為；又三角形、和四邊形的面積之和為,所以四邊形的面積為．另解：從整體上來看,四邊形的面積三角形面積三角形面積白色部分的面積,而三角形面積三角形面積為長方形面積的一半,即60,白色部分的面積等于長方形面積減去陰影部分的面積,即,所以四邊形的面積為．[鞏固]如圖,長方形的面積是36,是的三等分點(diǎn),,則陰影部分的面積為．如圖,連接．根據(jù)蝶形定理,,所以；,所以．又,,所以陰影部分面積為：．已知為等邊三角形,面積為400,、、分別為三邊的中點(diǎn),已知甲、乙、丙面積和為143,求陰影五邊形的面積．<丙是三角形>因?yàn)?、、分別為三邊的中點(diǎn),所以、、是三角形的中位線,也就與對(duì)應(yīng)的邊平行,根據(jù)面積比例模型,三角形和三角形的面積都等于三角形的一半,即為200．根據(jù)圖形的容斥關(guān)系,有,即,所以．又,所以．如圖,已知,,,,線段將圖形分成兩部分,左邊部分面積是38,右邊部分面積是65,那么三角形的面積是．連接,．根據(jù)題意可知,；；所以,,,,,于是：；；可得．故三角形的面積是40．如圖在中,分別是上的點(diǎn),且,,平方厘米,求的面積．連接,,,所以,設(shè)份,則份,平方厘米,所以份是平方厘米,份就是平方厘米,的面積是平方厘米．由此我們得到一個(gè)重要的定理,共角定理：共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角<相等角或互補(bǔ)角>兩夾邊的乘積之比．[鞏固]如圖,三角形中,是的5倍,是的3倍,如果三角形的面積等于1,那么三角形的面積是多少？連接．∵∴又∵∴,∴．[鞏固]如圖,三角形ABC被分成了甲<陰影部分>、乙兩部分,,,,乙部分面積是甲部分面積的幾倍？連接．∵,∴,又∵,∴,∴,．如圖在中,在的延長線上,在上,且,,平方厘米,求的面積．連接,,所以,設(shè)份,則份,平方厘米,所以份是平方厘米,份就是平方厘米,的面積是平方厘米．由此我們得到一個(gè)重要的定理,共角定理：共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角<相等角或互補(bǔ)角>兩夾邊的乘積之比如圖,平行四邊形,,,,,平行四邊形的面積是,求平行四邊形與四邊形的面積比．連接、．根據(jù)共角定理∵在和中,與互補(bǔ),∴．又,所以．同理可得,,．所以．所以．如圖所示的四邊形的面積等于多少？題目中要求的四邊形既不是正方形也不是長方形,難以運(yùn)用公式直接求面積.我們可以利用旋轉(zhuǎn)的方法對(duì)圖形實(shí)施變換：把三角形繞頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),使長為的兩條邊重合,此時(shí)三角形將旋轉(zhuǎn)到三角形的位置.這樣,通過旋轉(zhuǎn)后所得到的新圖形是一個(gè)邊長為的正方形,且這個(gè)正方形的面積就是原來四邊形的面積.因此,原來四邊形的面積為.<也可以用勾股定理>如圖所示,中,,,,以為一邊向外作正方形,中心為,求的面積．如圖,將沿著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),到達(dá)的位置．由于,,所以．而,所以,那么、、三點(diǎn)在一條直線上．由于,,所以是等腰直角三角形,且斜邊為,所以它的面積為．根據(jù)面積比例模型,的面積為．如圖,以正方形的邊為斜邊在正方形內(nèi)作直角三角形,,、交于．已知、的長分別為、,求三角形的面積．如圖,連接,以點(diǎn)為中心,將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置．那么,而也是,所以四邊形是直角梯形,且,所以梯形的面積為：<>．又因?yàn)槭侵苯侨切?根據(jù)勾股定理,,所以<>．那么<>,所以<>．如下圖,六邊形中,,,,且有平行于,平行于,平行于,對(duì)角線垂直于,已知厘米,厘米,請(qǐng)問六邊形的面積是多少平方厘米？如圖,我們將平移使得與重合,將平移使得與重合,這樣、都重合到圖中的了．這樣就組成了一個(gè)長方形,它的面積與原六邊形的面積相等,顯然長方形的面積為平方厘米,所以六邊形的面積為平方厘米．如圖,三角形的面積是,是的中點(diǎn),點(diǎn)在上,且,與交于點(diǎn)．則四邊形的面積等于．方法一：連接,根據(jù)燕尾定理,,,設(shè)份,則份,份,份,如圖所標(biāo)所以方法二：連接,由題目條件可得到,,所以,,而．所以則四邊形的面積等于．[鞏固]如圖,長方形的面積是平方厘米,,是的中點(diǎn)．陰影部分的面積是多少平方厘米?設(shè)份,則根據(jù)燕尾定理其他面積如圖所示平方厘米.四邊形的對(duì)角線與交于點(diǎn)<如圖所示>．如果三角形的面積等于三角形的面積的,且,,那么的長度是的長度的_________倍．在本題中,四邊形為任意四邊形,對(duì)于這種"不良四邊形",無外乎兩種處理方法：⑴利用已知條件,向已有模型靠攏,從而快速解決；⑵通過畫輔助線來改造不良四邊形．看到題目中給出條件,這可以向模型一蝶形定理靠攏,于是得出一種解法．又觀察題目中給出的已知條件是面積的關(guān)系,轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系,可以得到第二種解法,但是第二種解法需要一個(gè)中介來改造這個(gè)"不良四邊形",于是可以作垂直于,垂直于,面積比轉(zhuǎn)化為高之比．再應(yīng)用結(jié)論：三角形高相同,則面積之比等于底邊之比,得出結(jié)果．請(qǐng)老師注意比較兩種解法,使學(xué)生體會(huì)到蝶形定理的優(yōu)勢,從而主觀上愿意掌握并使用蝶形定理解決問題．解法一：∵,∴,∴．解法二：作于,于．∵,∴,∴,∴,∴,∴．[鞏固]如圖,四邊形被兩條對(duì)角線分成4個(gè)三角形,其中三個(gè)三角形的面積已知,求：⑴三角形的面積；⑵？⑴根據(jù)蝶形定理,,那么；⑵根據(jù)蝶形定理,．如圖,平行四邊形的對(duì)角線交于點(diǎn),、、、的面積依次是2、4、4和6．求：⑴求的面積；⑵求的面積．⑴根據(jù)題意可知,的面積為,那么和的面積都是,所以的面積為；⑵由于的面積為8,的面積為6,所以的面積為,根據(jù)蝶形定理,,所以,那么．如圖,長方形中,,,三角形的面積為平方厘米,求長方形的面積．連接,．因?yàn)?,所以．因?yàn)?,所以平方厘米,所以平方厘米．因?yàn)?所以長方形的面積是平方厘米．如圖,正方形面積為平方厘米,是邊上的中點(diǎn)．求圖中陰影部分的面積．因?yàn)槭沁吷系闹悬c(diǎn),所以,根據(jù)梯形蝶形定理可以知道,設(shè)份,則份,所以正方形的面積為份,份,所以,所以平方厘米．[鞏固]在下圖的正方形中,是邊的中點(diǎn),與相交于點(diǎn),三角形的面積為1平方厘米,那么正方形面積是平方厘米．連接,根據(jù)題意可知,根據(jù)蝶形定理得<平方厘米>,<平方厘米>,那么<平方厘米>．已知是平行四邊形,,三角形的面積為6平方厘米．則陰影部分的面積是平方厘米．連接．由于是平行四邊形,,所以,根據(jù)梯形蝶形定理,,所以<平方厘米>,<平方厘米>,又<平方厘米>,陰影部分面積為<平方厘米>．[鞏固]右圖中是梯形,是平行四邊形,已知三角形面積如圖所示<單位：平方厘米>,陰影部分的面積是平方厘米．連接．由于與是平行的,所以也是梯形,那么．根據(jù)蝶形定理,,故,所以<平方厘米>．[鞏固]右圖中是梯形,是平行四邊形,已知三角形面積如圖所示<單位：平方厘米>,陰影部分的面積是平方厘米．連接．由于與是平行的,所以也是梯形,那么．根據(jù)蝶形定理,,故,所以<平方厘米>．另解：在平行四邊形中,<平方厘米>,所以<平方厘米>,根據(jù)蝶形定理,陰影部分的面積為<平方厘米>．如圖,長方形被、分成四塊,已知其中3塊的面積分別為2、5、8平方厘米,那么余下的四邊形的面積為___________平方厘米．連接、．四邊形為梯形,所以,又根據(jù)蝶形定理,,所以,所以<平方厘米>,<平方厘米>．那么長方形的面積為平方厘米,四邊形的面積為<平方厘米>．如圖,是等腰直角三角形,是正方形,線段與相交于點(diǎn)．已知正方形的面積48,,則的面積是多少？由于是正方形,所以與平行,那么四邊形是梯形．在梯形中,和的面積是相等的．而,所以的面積是面積的,那么的面積也是面積的．由于是等腰直角三角形,如果過作的垂線,為垂足,那么是的中點(diǎn),而且,可見和的面積都等于正方形面積的一半,所以的面積與正方形的面積相等,為48．那么的面積為．下圖中,四邊形都是邊長為1的正方形,、、、分別是,,,的中點(diǎn),如果左圖中陰影部分與右圖中陰影部分的面積之比是最簡分?jǐn)?shù),那么,的值等于．左、右兩個(gè)圖中的陰影部分都是不規(guī)則圖形,不方便直接求面積,觀察發(fā)現(xiàn)兩個(gè)圖中的空白部分面積都比較好求,所以可以先求出空白部分的面積,再求陰影部分的面積．如下圖所示,在左圖中連接．設(shè)與的交點(diǎn)為．左圖中為長方形,可知的面積為長方形面積的,所以三角形的面積為．又左圖中四個(gè)空白三角形的面積是相等的,所以左圖中陰影部分的面積為．如上圖所示,在右圖中連接、．設(shè)、的交點(diǎn)為．可知∥且．那么三角形的面積為三角形面積的,所以三角形的面積為,梯形的面積為．在梯形中,由于,根據(jù)梯形蝶形定理,其四部分的面積比為：,所以三角形的面積為,那么四邊形的面積為．而右圖中四個(gè)空白四邊形的面積是相等的,所以右圖中陰影部分的面積為．那么左圖中陰影部分面積與右圖中陰影部分面積之比為,即,那么．如圖,中,,,互相平行,,則．設(shè)份,根據(jù)面積比等于相似比的平方,所以,,因此份,份,進(jìn)而有份,份,所以[鞏固]如圖,平行,且,,,求的長．由金字塔模型得,所以[鞏固]如圖,中,,,,,互相平行,,則．設(shè)份,,因此份,進(jìn)而有份,同理有份,份,份．所以有如圖,已知正方形的邊長為,是邊的中點(diǎn),是邊上的點(diǎn),且,與相交于點(diǎn),求方法一：連接,延長,兩條線交于點(diǎn),構(gòu)造出兩個(gè)沙漏,所以有,因此,根據(jù)題意有,再根據(jù)另一個(gè)沙漏有,所以．方法二：連接,分別求,,根據(jù)蝶形定理,所以．如圖所示,已知平行四邊形的面積是1,、是、的中點(diǎn),交于,求的面積．解法一：由題意可得,、是、的中點(diǎn),得,而,所以,并得、是的三等分點(diǎn),所以,所以,所以,；又因?yàn)?所以．解法二：延長交于,如右圖,可得,,從而可以確定的點(diǎn)的位置,,,<鳥頭定理>,可得如圖,為正方形,且,請(qǐng)問四邊形的面積為多少？<法>由,有,所以,又,所以,所以,所以占的,所以．<法>如圖,連結(jié),則<,而,所以,<>．而<>,因?yàn)?所以,則<>,陰影部分面積等于<>．如右圖,三角形中,,,求．根據(jù)燕尾定理得〔都有的面積要統(tǒng)一,所以找最小公倍數(shù)所以[點(diǎn)評(píng)]本題關(guān)鍵是把的面積統(tǒng)一,這種找最小公倍數(shù)的方法,在我們用比例解題中屢見不鮮,如果能掌握它的轉(zhuǎn)化本質(zhì),我們就能達(dá)到解奧數(shù)題四兩撥千斤的巨大力量！[鞏固]如右圖,三角形中,,,求.根據(jù)燕尾定理得〔都有的面積要統(tǒng)一,所以找最小公倍數(shù)所以[鞏固]如右圖,三角形中,,,求.根據(jù)燕尾定理得〔都有的面積要統(tǒng)一,所以找最小公倍數(shù)所以[點(diǎn)評(píng)]本題關(guān)鍵是把的面積統(tǒng)一,這種找最小公倍數(shù)的方法,在我們用比例解題中屢見不鮮,如果能掌握它的轉(zhuǎn)化本質(zhì),我們就能達(dá)到解奧數(shù)題四兩撥千斤的巨大力量！如右圖,三角形中,,且三角形的面積是,則三角形的面積為______,三角形的面積為________,三角形的面積為______．連接、、．由于,所以,故；根據(jù)燕尾定理,,,所以,則,；那么；同樣分析可得,則,,所以,同樣分析可得,所以,．[鞏固]如右圖,三角形中,,且三角形的面積是,求三角形的面積．連接BG,份根據(jù)燕尾定理,,得<份>,<份>,則<份>,因此,同理連接AI、CH得,,所以三角形GHI的面積是1,所以三角形ABC的面積是19[鞏固]如圖,中,,,那么的面積是陰影三角形面積的倍．如圖,連接．根據(jù)燕尾定理,,,所以,,那么,．同理可知和的面積也都等于面積的,所以陰影三角形的面積等于面積的,所以的面積是陰影三角形面積的7倍．[鞏固]如圖在中,,求的值．連接BG,設(shè)1份,根據(jù)燕尾定理,,得<份>,<份>,則<份>,因此,同理連接AI、CH得,,所以[點(diǎn)評(píng)]如果任意一個(gè)三角形各邊被分成的比是相同的,那么在同樣的位置上的圖形,雖然形狀千變?nèi)f化,但面積是相等的,這在這講里面很多題目都是用"同理得到"的,即再重復(fù)一次解題思路,因此我們有對(duì)稱法作輔助線.如圖,三角形的面積是,,,三角形被分成部分,請(qǐng)寫出這部分的面積各是多少?設(shè)BG與AD交于點(diǎn)P,BG與AE交于點(diǎn)Q,BF與AD交于點(diǎn)M,BF與AE交于點(diǎn)N．連接CP,CQ,CM,CN．根據(jù)燕尾定理,,,設(shè)<份>,則<份>,所以同理可得,,,而,所以,．同理,,所以,,,[鞏固]如圖,的面積為1,點(diǎn)、是邊的三等分點(diǎn),點(diǎn)、是邊的三等分點(diǎn),那么四邊形的面積是多少？連接、、．根據(jù)燕尾定理,,,所以,那么,．類似分析可得．又,,可得．那么,．根據(jù)對(duì)稱性,可知四邊形的面積也為,那么四邊形周圍的圖形的面積之和為,所以四邊形的面積為．右圖,中,是的中點(diǎn),、、是邊上的四等分點(diǎn),與交于,與交于,已知的面積比四邊形的面積大平方厘米,則的面積是多少平方厘米？連接、．根據(jù)燕尾定理,,,所以；再根據(jù)燕尾定理,,所以,所以,那么,所以．根據(jù)題意,有,可得<平方厘米>如圖,面積為l的三角形ABC中,D、E、F、G、H、I分別是AB、BC、CA的三等分點(diǎn),求陰影部分面積.三角形在開會(huì),那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI與CD的交點(diǎn)為M,AF與CD的交點(diǎn)為N,BI與AF的交點(diǎn)為P,BI與CE的交點(diǎn)為Q,連接AM、BN、CP=1\*GB2⑴求：在中,根據(jù)燕尾定理,設(shè)<份>,則<份>,<份>,<份>,所以,所以,,所以,同理可得另外兩個(gè)頂點(diǎn)的四邊形面積也分別是面積的=2\*GB2⑵求：在中,根據(jù)燕尾定理,所以,同理在中,根據(jù)燕尾定理,所以,所以同理另外兩個(gè)五邊形面積是面積的,所以如圖,面積為l的三角形ABC中,D、E、F、G、H、I分別是AB、BC、CA的三等分點(diǎn),求中心六邊形面積.設(shè)深黑色六個(gè)三角形的頂點(diǎn)分別為N、R、P、S、M、Q,連接CR在中根據(jù)燕尾定理,,所以,同理,所以,同理根據(jù)容斥原理,和上題結(jié)果課后練習(xí)：已知的面積為平方厘米,,求的面積．,設(shè)份,則份,份,份,份,恰好是平方厘米,所以平方厘米如圖,四邊形的面積是平方米,,,,,求四邊形的面積．連接．由共角定理得,即同理,即所以連接,同理可以得到所以平方米正方形的面積是120平方厘米,是的中點(diǎn),是的中點(diǎn),四邊形的面積是平方厘米．欲求四邊形的面積須求出和的面積．由題意可得到：,所以可得：將、延長交于點(diǎn),可得：,而,得,而,所以．本題也可以用蝶形定理來做,連接,確定的位置<也就是>,同樣也能解出．如圖,已知,,,,則．將三角形繞點(diǎn)和點(diǎn)分別順時(shí)針和逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),構(gòu)成三角形和,再連接,顯然,,,所以是正方形．三角形和三角形關(guān)于正方形的中心中心對(duì)稱,在中心對(duì)稱圖形