工程力學-理論力學動能定理

tδ

w

F

d

s解析形式

：d

w

F

d

r

Fx

d

x

Fy

d

y

Fz

d

zw

s

(Fx

d

x

Fy

d

y

Fz

d

z)F

Fxi

Fy

j

Fzkr

xi

yj

zk第十二章動能定理§12-1力的功的一般表達式：功是度量力在一段路程上對物體作用的累積效應，力作功元功:總功:d

w

F

d

rw

s

F

d

r的結果使物體的機械能發(fā)生變化。d

r

d

s則tF

F

cosxyzMFdsdFrtrOF1,

F2

,

,Fn合力:

FR

FiwiSS1F

d

r

.......

w

RF

d

r

合力在任一段路程上所做的功等于各分力在同一段路程上所做的功之和。功的單位：焦耳（J)1J

1N1m

1Nm

1kg

m2

/s2合力的功n個力1.

常力的功1

21z

mg

2

d

z

mg(z

z

)zx

y

zs代入

w

F

d

x

F

d

y

F

d

z重力的功取決于重力大小和過程始末的質點位置，而與質點在其間運動的軌跡無關。對于質點系w

mig(zi1

zi2)

(mizi1)g

(mizi2)gw

mg(zC1

zC

2

)w

F

d

r

F

(r

r0

)x

y

zF

mg

0,

F

0,質點重力

FF二、幾種常見力的功：常矢量mgM1M

2M1zz2Oxyz2.質點系成對力（內力）的功δ

w

F

d

r

Fd

ri

A

BBA

F

d

r

一般而言:質點系成對力（內力）是要做功的。什么情況下內力不做功?FFAd

rd

rBrABrrBA

F

(d

rA

d

rB

)

F

d(

rA

rB

)令

1

r1

l0

,022

r

l

,應用1:彈性力的功AMAMr

l

)

AMAMAMAMr0r0

l

)

AM

d

rd

w

F

d

r

k

(r2rAM

d(

rAM

rAM

)1AM0

k

(r

l

)AMrrAM

k

(rAM

l0

)2r

2d(

AM

)

k

(rAM

l0

)

d

rAM12201

0

2

0

l

)2

k

[(r

l

)2

(r

l

)2

]AMM1

r1w

M

2

d

w

r2

k

d(r22221kw

(

)設彈簧原長為l0，彈簧剛度系數(shù)為k，F(xiàn)

k

(r彈性力為彈性力的功與彈簧的起始變形與終了變形有關，而與物體運動路徑無關。2MA1A2l0

1FAM1F

MrAMl0

2彈簧系數(shù)為k的彈簧約束在點O

。試求：小球從A到B的功，又從B到C的彈簧力的功。1

0

2

（2R

2R）2R)2

]

0.171kR2kw

[02

(2R

2從B到C的功:2

（OC

2R)OC

2R

cos

22.5

1.84776R21

2(

2

)

0.077kR2k2w

解:

從A到B的功:2R、例12-1：固定圓環(huán)半經為R，小球套在圓環(huán)上，被原長l

OABC22.5°1

（2R

2R）Fk45°Fk應用2:萬有引力的功r

2F

G

0

m

m

r

3rGm

m

rr

2Gm

m

F

0

0

r)2r3Gm

m

Gm

m

r

rd

w

F

d

r

0

rdr

0

d(r3d

r

Gm

m

d(1)r

2

0Gm

m0r12rrrr1

0w

F

d

r

Gm

m

d(

)120r

rw

Gm

m(

1

1

)萬有引力力的功只與物體的起始位置與終了位置有關，而與物體運動路徑無關。m0rB1

mB2A1A2rr2因為及及得即系統(tǒng)動滑動摩擦力的元功等于動滑動摩擦力與沿摩擦力方向的相對微小位移的乘積。FdAFdBd

A

d

Bδ

w

F

d

r

F

d

rA

Bd

rA

d

rB

d

rBAFd

A

Fd

Bδ

w

Fd

A

d

rBA特例：物A與物B為系統(tǒng)時動滑動摩擦力的功。設物塊A在物體B的表面上滑動，在物體A上接觸點的絕對微小位移為d

rA

,在物體B上接觸點的絕對微小位移為d

rB

,則由此兩物體構成系統(tǒng)的動滑動摩擦力的元功之和為：drAdrFrA3.力對剛體的功w

F

d

rBd

rB

d

rA

d

rABw

F

d

rA

F

(d

rAB

)F

(d

rAB

)

(rAB

F

)

d

w

F

d

rA

M

A

d又rAB

F

M

Ad

rBAd

rd

rAB4.理想約束力的功（1）光滑固定面約束力的功Nd

w

F

d

r

0FNd

r（2）系統(tǒng)靜摩擦力的功d

w

FvI

d

t

0系統(tǒng)靜滑動摩擦力不做功IFsF′s理想約束：凡約束力做功之和等于零的約束稱理想約束。包括：光滑面約束；固定支點；不可伸長的繩索；剛體純滾動；剛性連接約束等?！?2-2

動能221i

iO

m

v二、質點系的動能由速度 定理：T

n

i

im

vT

12mv222v

v

vi11i

O

iOiv2

vi

vi(v

vO

iO

2O

1

mviO

)

(v

v

)

v2

2

v

v

v2O

iO

O

O

iOi

i

i

Oi

iO

i

O

iO22

1

m

v

2

m

v

v2

2T

1

m

v

2

1

m

vO

mv22

2C

i

iCT

1

mv2

1

m

v2定理：質點系的動能等于隨同其質心平動的動能與相對其質心運動的動能之和。CO

若令點O′與質心C重合,則v

m

v

v

i

iOO得：一、質點的動能設質點的質量為m，速度為v

v

m

vO

i

iOCC

0Cv

mv三、剛體的動能2.定軸轉動剛體的動能：22i

1

m

v

2

1

mv

22i

i1.平移剛體的動能：

T

1

m

v

22221212

2zJ

i

i

i

im

)

T

1

m

v

2

(3.剛體作平面運動設剛體上任一質點到速度瞬心的垂直距離為i，則該點的速度為i2

i112

i

i

i

im

2

)2m

(2T

2CJP

JC

m2T

1

JP

2222112CCT

m

J

22)CCT

1

(J

m2例12-2：勻質桿AB長l，質量為m，滑塊B的質量為m，作純滾的圓柱A的質量為

m1，半徑為R。在運動過程中θ=θ(t)，試寫出在θ=45°瞬時的系統(tǒng)動能。解：vA

2l

2

l,

l

,vBv2C2122CJ

ABCT

mv

2

122122

21

ml

2m(

)2

1

l2

2

2

12

ml

6

121B

B2

)2ml

224T

mv

1

m(212

21

AA

AA1112

2

2T

1

m

v2

J

m

(2

l)2

1

(1

m

R2

)(vA2)2

2

2

R18

3

m

l

22183

m

l

221225ml

22ABBT

T

T

T

AABI

ABvACvCvB§12-3

質點系動能定理第i

個質點m

vd

v

F

d

rmi

id

td

v

Fi分別乘以v

d

t

d

r

i

ii

i

i

i

ii

i

i12d(2m

v

)

d

wi

i

i12

d(2m

v

)

d

wi

i

i2d(

1

m

v

2

)

d

wd

T

d

w質點系動能的微分等于作用于質點系的力的元功之和。兩邊積分T2

T1

wi動能定理的微分形式質點系動能的改變等于作用于質點系的所有力所做功的總和。T

T

wE2

1

i具約束的剛體系統(tǒng)動能的變化，等于作用于系統(tǒng)上所有外力功之和。T

T

w

E

w

I2

1

i

i由n個質點所組成的質點系例12-3：電梯的鼓輪重力為Q，半徑為r，轎廂重力為P。試求：轎廂下落到任意高度時，鋼索的張力。T1

const

T1

Px2g

2

2gPv2

1

Qr

2

2r

vP

a

P

FgPgx

T

42P

Q

2P

Q4gv21a

2P

g2P

QF

P

P

2Pgg

2P

Q2va4

Pg

x2P

Q2Pv2

1

Qr

2T2

2g

2

2g

w

PxT

T

2

1

w解:“系統(tǒng)”“轎廂”QxvPPFaMO例12-4：卷揚機在不變力矩M的作用下，無初速啟動。已知鼓輪半徑為R，重力為Q1

，質量分布在輪緣上，圓柱半徑也為

R，重力為Q2

，質量均勻分布，斜面傾角為，圓柱只滾不滑。試求圓柱中心C經過路程

l

時的速度。R

l1解：

T

02C

221

1

C22

g

2J

1

1

Q2

v2

12

J

T

式中:1gJ

Q1

R2RvRvCCwi

M

Q2

sin

lT2

T1

Wi2

1

1

32g

22

Q

l

sin2C

1

2v

(Q

Q

)

MlRCR(2Q1

3Q2

)v

2(M

RQ2

sin

)gl21vCCQ

1

Q2

R22

gC(環(huán))

J例12-5：已知：mA=m，mB=m/2，mC=m/3，鼓輪對輪心O的回轉半徑為，質量為m，鼓輪小半徑為r，大半徑為R，外力偶M，輪C的半徑為r，物體A接觸的摩擦因數(shù)為fd

，=30°。若系統(tǒng)初始無初速，試求物體A的速度（表示成物體A位移xA的函數(shù)）。

1

m

v2B22221

m2

3122

22

12C

CCO

OJ

vJ

AT

m

v2

BOCA3d

A

w

mg

sin

30x

mg

cos

30

f

x

M

m

gx

m

gx2CC

Br

s

s2r

COr解:O

R

xA

MOBC

r

sB

sC2C

r

OrAOR

xmg1

mg2mgC13FNA

Fd“系統(tǒng)”vAvCvBT1

0O式中:

J

m

2

1

m

r

22

3JC12

2

r

2T2

2

mxA

(1

R2

4R2

)T2

T1

W)

M

3

f

5rd12R

1

w

xA

R

mg(

2

2xAvA

d4R2R26R

Rm

5r

)

2M

g(1 3

f1

2

r

2R21mxA22(1

2

r

25rfd

12R

)324RA)

x

M

mg(

1

R

2

2M例12-6：已知：桿OA質量m＝40kg，長l＝1m，cz＝0.5m，小車質量m1＝200kg，h＝1.5m，＝0＝60時系統(tǒng)無初速。力偶M＝1046Nm。試求：小車在＝90時的加速度。解：“系統(tǒng)”ve

v