工程應(yīng)用數(shù)學(xué)第三章 拉普拉斯變換

第三章拉普拉斯變換

引子拉普拉斯變換的概念拉普拉斯變換的計(jì)算拉普拉斯逆變換的計(jì)算拉普拉斯變換的應(yīng)用用Matlab進(jìn)行拉普拉斯運(yùn)算引子1拉普拉斯變換的作用（1）求解常系數(shù)線性微分方程的有力工具（2）分析和綜合自動(dòng)控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程和脈沖電路的工作過(guò)程中有廣泛應(yīng)用2拉普拉斯變換的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖拉普拉斯變換的概念常用函數(shù)的拉普拉斯變換拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換表的使用拉普拉斯逆變換拉普拉斯變換的應(yīng)用3第三章拉普拉斯變換

引子拉普拉斯變換的概念拉普拉斯變換的計(jì)算拉普拉斯逆變換的計(jì)算拉普拉斯變換的應(yīng)用用Matlab進(jìn)行拉普拉斯運(yùn)算4引例

在研究激勵(lì)和響應(yīng)系統(tǒng)之間的關(guān)系時(shí)（建立的函數(shù)關(guān)系式通常是一種線性微分方程），主要是通過(guò)研究傳遞函數(shù)（響應(yīng)函數(shù)的拉普拉斯變換與激勵(lì)函數(shù)的拉普拉斯變換之比），建立微分方程模型解決問(wèn)題的，因此，拉普拉斯變換是經(jīng)典控制理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).在電路理論和自動(dòng)控制理論中，通常把系統(tǒng)的外加電動(dòng)勢(shì)看成這個(gè)系統(tǒng)隨時(shí)間變化的輸入函數(shù)，稱(chēng)為激勵(lì)函數(shù)

，而把電容器兩端的電壓看成是系統(tǒng)隨時(shí)間變化的輸出函數(shù)，叫做響應(yīng)函數(shù)，如圖. 激勵(lì)系統(tǒng)特性響應(yīng)5引例

——轉(zhuǎn)化為拉普拉斯變換后解決問(wèn)題

那么什么叫拉普拉斯變換呢？在電氣工程學(xué)科中還經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)的積分問(wèn)題，但由于是發(fā)散的，因此無(wú)法進(jìn)行計(jì)算，在這種情況下，一般都是通過(guò)將函數(shù)乘上因子變成絕對(duì)可積函數(shù)后解決問(wèn)題的.拉普拉斯變換的實(shí)質(zhì)是什么呢？

6定義

或7注意：（2）拉氏變換的本質(zhì)是一種積分變換例如：又如：8第三章拉普拉斯變換

引子拉普拉斯變換的概念拉普拉斯變換的計(jì)算拉普拉斯逆變換的計(jì)算拉普拉斯變換的應(yīng)用用Matlab進(jìn)行拉普拉斯運(yùn)算9求一個(gè)給定函數(shù)的拉氏變換，可用方法二：基本公式法

方法三：性質(zhì)法

方法一：定義法

10方法二：基本公式法

方法三：性質(zhì)法

方法一：定義法

11例

求函數(shù)的拉氏變換解

由拉氏變換的定義12案例

在自動(dòng)控制系統(tǒng)中，由于開(kāi)關(guān)的閉合或信號(hào)的突變等原因，系統(tǒng)中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)一個(gè)“突加作用信號(hào)”，用函數(shù)表示，如圖.試求它的拉氏變換.13解

由拉氏變換的定義注意:

1、這個(gè)結(jié)論成立的條件是，否則積分不收收斂2、單位階躍函數(shù)向右平移個(gè)單位后，解析式為14案例

在研究跟隨系統(tǒng)時(shí)，經(jīng)常以一種由弱到強(qiáng)做均勻變化的信號(hào)作為典型的輸入信號(hào)，這種信號(hào)函數(shù)稱(chēng)為斜坡函數(shù)，記為：（為常數(shù)），試求該函數(shù)的拉氏變換.解

由拉氏變換的定義同樣，結(jié)論成立的條件是15在自動(dòng)控制系統(tǒng)中，瞬時(shí)的擾動(dòng)（沖擊）信號(hào)常用單位脈沖函數(shù)表示，如圖.在研究線性電路在脈沖電動(dòng)勢(shì)作用后所產(chǎn)生的電流，機(jī)械系統(tǒng)受沖擊力作用后的運(yùn)動(dòng)情況等也要用到，它的拉氏變換等于1注意：

單位階躍函數(shù)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)即為單位脈沖函數(shù)，反之，單位脈沖函數(shù)對(duì)時(shí)間的積分即為單位階躍函數(shù)16例試求單位脈沖函數(shù)的拉氏變換解17例求函數(shù)的拉氏變換解18例解根據(jù)定義求函數(shù)的拉氏變換19方法二：基本公式法

方法三：性質(zhì)法

方法一：定義法

2021方法二：基本公式法

方法三：性質(zhì)法

方法一：定義法

22引例

在信號(hào)系統(tǒng)中，由于系統(tǒng)的不穩(wěn)定或外界因素的影響，我們經(jīng)常會(huì)碰到信號(hào)強(qiáng)弱跳動(dòng)的情況，因此常用分段信號(hào)函數(shù)表示這種情況，試將它用一個(gè)式子表示出來(lái)23解

根據(jù)單位階躍函數(shù)的性質(zhì)知所以有24那么如何求該函數(shù)的拉氏變換呢？一般地，利用拉氏變換的性質(zhì)求解復(fù)雜函數(shù)的拉氏變換25拉氏變換的性質(zhì)

性質(zhì)1【線性性質(zhì)】若為常數(shù)，函數(shù)的拉氏變換存在，且則表明：函數(shù)線性組合的拉普拉斯變換等于函數(shù)拉普拉斯變換的線性組合。性質(zhì)1可以推廣到有限個(gè)函數(shù)的線性組合形式。26例

解

查公式法的表可知所以27例

解

查公式法的表可知28性質(zhì)2【位移性質(zhì)】29例

解

求的拉普拉斯變換因?yàn)樗裕尚再|(zhì)2知30例

解

求的拉普拉斯變換因?yàn)樗裕尚再|(zhì)2知31性質(zhì)3【延滯性質(zhì)】32例

解

求的拉普拉斯變換由滯后性質(zhì)及33例

解

求圖示階梯函數(shù)的拉普拉斯變換該階梯函數(shù)可用單位階梯函數(shù)表示為：34

上式兩端取拉氏變換，并根據(jù)拉氏變換的線性性質(zhì)及滯后性質(zhì)，得35性質(zhì)4【微分性質(zhì)】表明：一個(gè)函數(shù)求導(dǎo)后的拉氏變換等于這個(gè)函數(shù)的拉氏變換乘以參數(shù)，再減去該函數(shù)的初值36類(lèi)似地，利用微分性質(zhì)及其推論，可將函數(shù)的微分方程轉(zhuǎn)化為象函數(shù)的代數(shù)方程，給解微分方程提供了簡(jiǎn)便的方法37例

求解

38例

利用微分性質(zhì)求函數(shù)的拉氏變換解

由微分性質(zhì)得39例

求解

根據(jù)拉普拉斯變換的位移性質(zhì)根據(jù)微分性質(zhì)40性質(zhì)5【積分性質(zhì)】表明：一個(gè)函數(shù)積分后取拉氏變換等于這個(gè)函數(shù)的拉氏變換除以類(lèi)似地，特別地，當(dāng)時(shí)，41例

求函數(shù)的拉氏變換解

所以由積分性質(zhì)42例

解

求根據(jù)性質(zhì)又根據(jù)性質(zhì)4344性質(zhì)6【相似性質(zhì)】案例【系統(tǒng)穩(wěn)定性】在自動(dòng)控制系統(tǒng)中，為研究系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能（即函數(shù)在時(shí)的數(shù)值），因此經(jīng)常需要求函數(shù)的初始值和終值。45性質(zhì)7【初值定理】性質(zhì)8【終值定理】46例

解

設(shè)求47例

解

設(shè)求48第三章拉普拉斯變換

引子拉普拉斯變換的概念拉普拉斯變換的計(jì)算拉普拉斯逆變換的計(jì)算拉普拉斯變換的應(yīng)用用Matlab進(jìn)行拉普拉斯運(yùn)算49引例

在自動(dòng)控制的一階線性系統(tǒng)中，有一種典型一階系統(tǒng)，其輸入信號(hào)為單位階躍函數(shù)，為研究系統(tǒng)輸出信號(hào)的變化規(guī)律，需要掌握該系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)（輸出信號(hào)函數(shù)）.50解

根據(jù)自動(dòng)控制系統(tǒng)的知識(shí)，典型一階系統(tǒng)的微分方程為對(duì)微分方程兩邊進(jìn)行拉氏變換，且設(shè)51由于系統(tǒng)為典型一階系統(tǒng)，已求出了輸出信號(hào)函數(shù)的拉氏變換，那么如何求輸出信號(hào)函數(shù)呢？52拉氏逆變換的求法定義

記為由拉氏變換的象函數(shù)求原函數(shù)的運(yùn)算稱(chēng)為拉氏逆變換（或拉氏反變換）53拉氏逆變換的性質(zhì)性質(zhì)1【線性性質(zhì)】性質(zhì)2【平移性質(zhì)】性質(zhì)3【延滯性質(zhì)】54拉普拉斯逆變換的求法直接查表法性質(zhì)法55例

解

求下列函數(shù)的拉氏逆變換1）將代入公式表中的公式5，得2)因?yàn)?6例

解

求下列函數(shù)的拉氏逆變換1）由公式知2)57如果象函數(shù)比較復(fù)雜，不能從表中直接找到，可先把象函數(shù)分成若干個(gè)簡(jiǎn)單象函數(shù)之和，然后再逐項(xiàng)查表（或應(yīng)用拉氏變換的性質(zhì)）求象原函數(shù)。Tips:58在運(yùn)用拉氏變換解決工程技術(shù)中的應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，通常遇到的象函數(shù)是有理分式.對(duì)于有理分式，一般可采用部分分式方法將它分解為較簡(jiǎn)單的分式之和，方法如下：第一步

先求出方程的根第二步

如果沒(méi)有重根，則將寫(xiě)成59再將上式展開(kāi)成部分分式其中為待定常數(shù).通過(guò)查表就可以求得象函數(shù)的象原函數(shù).如果有重根，如是重根，則將寫(xiě)成再將上式展開(kāi)成部分分式60例

解

求下列象函數(shù)的逆變換1）612)因?yàn)橛欣硎降姆帜笩o(wú)實(shí)根，所以無(wú)法用部分分式法把它分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單象函數(shù)的和，于是

62注意:

一般地

因式分解法配方法63例

解

求象函數(shù)的逆變換因?yàn)榉帜钢?，的查?4第三章拉普拉斯變換

引子拉普拉斯變換的概念拉普拉斯變換的計(jì)算拉普拉斯逆變換的計(jì)算拉普拉斯變換的應(yīng)用用Matlab進(jìn)行拉普拉斯運(yùn)算65用拉普拉斯變換解微分方程拉氏變換求解微分方程的步驟：

1)對(duì)微分方程的兩邊取拉氏變換，得象函數(shù)代數(shù)方程；2)由代數(shù)方程求象函數(shù)；3)對(duì)象函數(shù)取拉氏逆變換，求出象原函數(shù)(即微分方程的解).66用圖表示如下：

微分方程象函數(shù)的代數(shù)方程

象原函數(shù)(原方程的解)象函數(shù)取拉氏變換解代數(shù)方程取拉氏逆變換67例

解

求微分方程，滿足初始條件的特解對(duì)方程兩邊進(jìn)行拉氏變換，且設(shè)由拉氏變換的微分性質(zhì)知由初始條件為得68解出，并分解象函數(shù)，得兩邊取拉氏逆變換，得69運(yùn)用拉氏變換求微分方程的解，以下幾個(gè)結(jié)論非常重要：70例

解

求微分方程滿足初始條件的解對(duì)方程兩邊進(jìn)行拉氏變換，且設(shè)71由此得72例

解

求微分方程組滿足初始條件的解對(duì)方程組中每個(gè)方程的兩邊進(jìn)行拉氏變換，且設(shè)根據(jù)得73代入初始條件，整理得象函數(shù)的代數(shù)方程組解此代數(shù)方程組，得74對(duì)上述兩式取拉氏逆變換，得象原函數(shù)它們就是原方程組滿足初始條件的特解.75案例【系統(tǒng)響應(yīng)】已知響應(yīng)函數(shù)的拉氏變換為，試求系統(tǒng)的響應(yīng).解

查表知76案例【斜坡系統(tǒng)響應(yīng)】求典型一階系統(tǒng)中，輸入信號(hào)為單位斜坡函數(shù)的一階線性系統(tǒng)響應(yīng)解

根據(jù)自動(dòng)控制系統(tǒng)的知識(shí)，典型一階系統(tǒng)的微分方程為：對(duì)微分方程兩邊進(jìn)行拉氏變換，且設(shè)77由,初始條件為零（即）得由于系統(tǒng)為典型一階系統(tǒng)，對(duì)上式兩邊拉氏逆變換，得78案例【電路應(yīng)用】在寧波某電子元件公司設(shè)計(jì)的電子元件中包含有一個(gè)如圖所示的電路,其中電阻為,電感為,電壓為

,開(kāi)關(guān)合上后，電路中有電流通過(guò)，試求該電子元件的電路中電流的變化規(guī)律.79解

由回路電壓定律知對(duì)方程兩邊進(jìn)行拉氏變換，并設(shè)代入初始條件，整理后得80兩邊進(jìn)行拉氏逆變換，得即為所求的電流變化規(guī)律81案例【質(zhì)點(diǎn)位移】設(shè)一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)，受一大小為的吸引力作用，沿軸方向接近原點(diǎn)，此運(yùn)動(dòng)同時(shí)受到阻尼力的作用，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)位移.假設(shè).82解

根據(jù)題意建立微分方程，得對(duì)方程兩邊同時(shí)進(jìn)行拉氏變換，且設(shè)并將初始條件代入得兩邊取拉氏逆變換得83小結(jié)拉普拉斯解應(yīng)用問(wèn)題的步驟：（1）根據(jù)專(zhuān)業(yè)知識(shí)，建立數(shù)學(xué)模型（列出微分方程）；（2）對(duì)微分方程的兩邊取拉氏變換，得象函數(shù)代數(shù)方程；（3）由代數(shù)方程求象函數(shù)；（4）對(duì)象函數(shù)取拉氏逆變換，求出象原函數(shù)(即微分方程的

解)，從而求出問(wèn)題的解。84第三章拉普拉斯變換

引子拉普拉斯變換的概念拉普拉斯變換的計(jì)算拉普拉斯逆變換的計(jì)算拉普拉斯變換的應(yīng)用用Matlab進(jìn)行拉普拉斯運(yùn)算85在Matlab中，求拉氏變換的命令為laplace(f)

%求函數(shù)的拉氏變換86例

解

求下列函數(shù)的拉氏變換（1）symstlaplace(t^3+sin(2*t))ans=6/s^4+2/(s^2+4)

symstlaplace(t*exp(2*t)+cos(3*t))ans=1/(s-2)^2+s/(s^2+9)

（2）87例

解

求下列函數(shù)的拉氏變換（1）symstlaplace(t*exp(-2*t)*sin(5*t))ans=10/((s+2)^2+