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文檔簡介
2022年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知數(shù)列滿足:,則()A.16 B.25 C.28 D.332.若,則下列不等式不能成立的是()A. B. C. D.3.過圓外一點引圓的兩條切線,則經(jīng)過兩切點的直線方程是().A. B. C. D.4.設(shè)集合,,則().A. B.C. D.5.已知橢圓:的左、右焦點分別為,,過的直線與軸交于點,線段與交于點.若,則的方程為()A. B. C. D.6.已知復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C. D.7.設(shè),其中a,b是實數(shù),則()A.1 B.2 C. D.8.已知點是拋物線:的焦點,點為拋物線的對稱軸與其準(zhǔn)線的交點,過作拋物線的切線,切點為,若點恰好在以,為焦點的雙曲線上,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.9.如圖所示,已知雙曲線的右焦點為,雙曲線的右支上一點,它關(guān)于原點的對稱點為,滿足,且,則雙曲線的離心率是().A. B. C. D.10.阿基米德(公元前287年—公元前212年)是古希臘偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家,他和高斯、牛頓并列被稱為世界三大數(shù)學(xué)家.據(jù)說,他自己覺得最為滿意的一個數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)就是“圓柱內(nèi)切球體的體積是圓柱體積的三分之二,并且球的表面積也是圓柱表面積的三分之二”.他特別喜歡這個結(jié)論,要求后人在他的墓碑上刻著一個圓柱容器里放了一個球,如圖,該球頂天立地,四周碰邊,表面積為的圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑,則該球的體積為()A. B. C. D.11.波羅尼斯(古希臘數(shù)學(xué)家,的公元前262-190年)的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果,它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡,幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題:平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)k(k>0,且k≠1)的點的軌跡是圓,后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有橢圓=1(a>b>0),A,B為橢圓的長軸端點,C,D為橢圓的短軸端點,動點M滿足=2,△MAB面積的最大值為8,△MCD面積的最小值為1,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.12.已知函數(shù),,則的極大值點為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若存在實數(shù)使得不等式在某區(qū)間上恒成立,則稱與為該區(qū)間上的一對“分離函數(shù)”,下列各組函數(shù)中是對應(yīng)區(qū)間上的“分離函數(shù)”的有___________.(填上所有正確答案的序號)①,,;②,,;③,,;④,,.14.若,則__________.15.已知集合,,則__________.16.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),為上的動點,點滿足,點的軌跡為曲線.(Ⅰ)求的方程;(Ⅱ)在以為極點,軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,射線與的異于極點的交點為,與的異于極點的交點為,求.18.(12分)已知矩陣的逆矩陣.若曲線:在矩陣A對應(yīng)的變換作用下得到另一曲線,求曲線的方程.19.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,求函數(shù)的圖象在處的切線方程;(2)討論函數(shù)的單調(diào)性;(3)當(dāng)時,若方程有兩個不相等的實數(shù)根,求證:.20.(12分)已知.(Ⅰ)當(dāng)時,解不等式;(Ⅱ)若的最小值為1,求的最小值.21.(12分)在四棱柱中,底面為正方形,,平面.(1)證明:平面;(2)若,求二面角的余弦值.22.(10分)已知橢圓:()的離心率為,且橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合.過點的直線交橢圓于,兩點,為坐標(biāo)原點.(1)若直線過橢圓的上頂點,求的面積;(2)若,分別為橢圓的左、右頂點,直線,,的斜率分別為,,,求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】
依次遞推求出得解.【詳解】n=1時,,n=2時,,n=3時,,n=4時,,n=5時,.故選:C【點睛】本題主要考查遞推公式的應(yīng)用,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.2.B【解析】
根據(jù)不等式的性質(zhì)對選項逐一判斷即可.【詳解】選項A:由于,即,,所以,所以,所以成立;選項B:由于,即,所以,所以,所以不成立;選項C:由于,所以,所以,所以成立;選項D:由于,所以,所以,所以,所以成立.故選:B.【點睛】本題考查不等關(guān)系和不等式,屬于基礎(chǔ)題.3.A【解析】過圓外一點,引圓的兩條切線,則經(jīng)過兩切點的直線方程為,故選.4.D【解析】
根據(jù)題意,求出集合A,進(jìn)而求出集合和,分析選項即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意,則故選:D【點睛】此題考查集合的交并集運算,屬于簡單題目,5.D【解析】
由題可得,所以,又,所以,得,故可得橢圓的方程.【詳解】由題可得,所以,又,所以,得,,所以橢圓的方程為.故選:D【點睛】本題主要考查了橢圓的定義,橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解.6.A【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則,可得,然后利用復(fù)數(shù)模的概念,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:由,所以所以故選:A【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運算,考驗計算,屬基礎(chǔ)題.7.D【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)相等,可得,然后根據(jù)復(fù)數(shù)模的計算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:,即,所以則故選:D【點睛】本題考查復(fù)數(shù)模的計算,考驗計算,屬基礎(chǔ)題.8.D【解析】
根據(jù)拋物線的性質(zhì),設(shè)出直線方程,代入拋物線方程,求得k的值,設(shè)出雙曲線方程,求得2a=丨AF2丨﹣丨AF1丨=(1)p,利用雙曲線的離心率公式求得e.【詳解】直線F2A的直線方程為:y=kx,F(xiàn)1(0,),F(xiàn)2(0,),代入拋物線C:x2=2py方程,整理得:x2﹣2pkx+p2=0,∴△=4k2p2﹣4p2=0,解得:k=±1,∴A(p,),設(shè)雙曲線方程為:1,丨AF1丨=p,丨AF2丨p,2a=丨AF2丨﹣丨AF1丨=(1)p,2c=p,∴離心率e1,故選:D.【點睛】本題考查拋物線及雙曲線的方程及簡單性質(zhì),考查轉(zhuǎn)化思想,考查計算能力,屬于中檔題.9.C【解析】
易得,,又,平方計算即可得到答案.【詳解】設(shè)雙曲線C的左焦點為E,易得為平行四邊形,所以,又,故,,,所以,即,故離心率為.故選:C.【點睛】本題考查求雙曲線離心率的問題,關(guān)鍵是建立的方程或不等關(guān)系,是一道中檔題.10.C【解析】
設(shè)球的半徑為R,根據(jù)組合體的關(guān)系,圓柱的表面積為,解得球的半徑,再代入球的體積公式求解.【詳解】設(shè)球的半徑為R,根據(jù)題意圓柱的表面積為,解得,所以該球的體積為.故選:C【點睛】本題主要考查組合體的表面積和體積,還考查了對數(shù)學(xué)史了解,屬于基礎(chǔ)題.11.D【解析】
求得定點M的軌跡方程可得,解得a,b即可.【詳解】設(shè)A(-a,0),B(a,0),M(x,y).∵動點M滿足=2,則=2,化簡得.∵△MAB面積的最大值為8,△MCD面積的最小值為1,∴,解得,∴橢圓的離心率為.故選D.【點睛】本題考查了橢圓離心率,動點軌跡,屬于中檔題.12.A【解析】
求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),令導(dǎo)數(shù)為零,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性,求得極大值點即可.【詳解】因為,故可得,令,因為,故可得或,則在區(qū)間單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,故的極大值點為.故選:A.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點,屬基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.①②④【解析】
由題意可知,若要存在使得成立,我們可考慮兩函數(shù)是否存在公切點,若兩函數(shù)在公切點對應(yīng)的位置一個單增,另一個單減,則很容易判斷,對①,③,④都可以采用此法判斷,對②分析式子特點可知,,進(jìn)而判斷【詳解】①時,令,則,單調(diào)遞增,,即.令,則,單調(diào)遞減,,即,因此,滿足題意.②時,易知,滿足題意.③注意到,因此如果存在直線,只有可能是(或)在處的切線,,因此切線為,易知,,因此不存在直線滿足題意.④時,注意到,因此如果存在直線,只有可能是(或)在處的切線,,因此切線為.令,則,易知在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以,即.令,則,易知在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,即.因此,滿足題意.故答案為:①②④【點睛】本題考查新定義題型、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖像,轉(zhuǎn)化與化歸思想,屬于中檔題14.【解析】
因為,由二倍角公式得到,故得到.故答案為.15.【解析】
解一元二次不等式化簡集合,再進(jìn)行集合的交運算,即可得到答案.【詳解】,,.故答案為:.【點睛】本題考查一元二次不等式的求解、集合的交運算,考查運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.16.【解析】
先求出導(dǎo)數(shù),再在定義域上考慮導(dǎo)數(shù)的符號為正時對應(yīng)的的集合,從而可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.【詳解】函數(shù)的定義域為.,令,則,故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為:.故答案為:.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用,注意先考慮函數(shù)的定義域,再考慮導(dǎo)數(shù)在定義域上的符號,本題屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(Ⅰ)(為參數(shù));(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)設(shè)點,,則,代入化簡得到答案.(Ⅱ)分別計算,的極坐標(biāo)方程為,,取代入計算得到答案.【詳解】(Ⅰ)設(shè)點,,,故,故的參數(shù)方程為:(為參數(shù)).(Ⅱ),故,極坐標(biāo)方程為:;,故,極坐標(biāo)方程為:.,故,,故.【點睛】本題考查了參數(shù)方程,極坐標(biāo)方程,弦長,意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.18.【解析】
根據(jù),可解得,設(shè)為曲線任一點,在矩陣對應(yīng)的變換作用下得到點,則點在曲線上,根據(jù)變換的定義寫出相應(yīng)的矩陣等式,再用表示出,代入曲線的方程中,即得.【詳解】,,即.,解得,.設(shè)為曲線任一點,則,又設(shè)在矩陣A變換作用得到點,則,即,所以即代入,得,所以曲線的方程為.【點睛】本題考查逆矩陣,矩陣與變換等,是基礎(chǔ)題.19.(1);(2)當(dāng)時,在上是減函數(shù);當(dāng)時,在上是增函數(shù);(3)證明見解析.【解析】
(1)當(dāng)時,,求得其導(dǎo)函數(shù),,可求得函數(shù)的圖象在處的切線方程;(2)由已知得,得出導(dǎo)函數(shù),并得出導(dǎo)函數(shù)取得正負(fù)的區(qū)間,可得出函數(shù)的單調(diào)性;(3)當(dāng)時,,,由(2)得的單調(diào)區(qū)間,以當(dāng)方程有兩個不相等的實數(shù)根,不妨設(shè),且有,,構(gòu)造函數(shù),分析其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得出函數(shù)的單調(diào)性,得出其最值,所證的不等式可得證.【詳解】(1)當(dāng)時,,所以,,所以函數(shù)的圖象在處的切線方程為,即;(2)由已知得,,令,得,所以當(dāng)時,,當(dāng)時,,所以在上是減函數(shù),在上是增函數(shù);(3)當(dāng)時,,,由(2)得在上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,所以,且時,,當(dāng)時,,,所以當(dāng)方程有兩個不相等的實數(shù)根,不妨設(shè),且有,,構(gòu)造函數(shù),則,當(dāng)時,所以,在上單調(diào)遞減,且,,由,在上單調(diào)遞增,.所以.【點睛】本題考查運用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)在某點的切線方程,討論函數(shù)的單調(diào)性,以及證明不等式,關(guān)鍵在于構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),得出其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),得出所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性,屬于難度題.20.(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)當(dāng)時,令,作出的圖像,結(jié)合圖像即可求解;(Ⅱ)結(jié)合絕對值三角不等式可得,再由“1”的妙用可拼湊為,結(jié)合基本不等式即可求解;【詳解】(Ⅰ)令,作出它們的大致圖像如下:由或(舍),得點橫坐標(biāo)為2,由對稱性知,點橫坐標(biāo)為﹣2,因此不等式的解集為.(Ⅱ)..取等號的條件為,即,聯(lián)立得因此的最小值為.【點睛】本題考查絕對值不等式、基本不等式,屬于中檔題21.(1)詳見解析;(2).【解析】
(1)連接,設(shè),可證得四邊形為平行四邊形,由此得到,根據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)論;(2)以為原點建立空間直角坐標(biāo)系,利用二面角的空間向量求法可求得結(jié)果.【詳解】(1)連接,設(shè),連接,在四棱柱中,分別為的中點,,四邊形為平行四邊形,,平面,平面,平面.(2)以為原點,所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè),四邊形為正方形,,,則,,,,,,,設(shè)為平面的法向量,為平面的法向量,由得:,令,則,,由得:,令,則,,,,,二面角為銳二面角,二面角的余弦值為.【點睛】本題考查立體幾何中線面平行關(guān)系的證明、空間向量法求解二面角的問題;關(guān)鍵是能夠熟練掌握二面角的向量求法,易錯點是求得法向量夾角余弦值后,未根據(jù)圖形判斷二面角為銳二面角還是鈍二面角,造成余弦值符號出現(xiàn)錯誤.22.(1)(2)【解析】
(1)根據(jù)拋物線的焦點求得橢圓的焦點,由此求得,結(jié)合橢圓離心率求得,進(jìn)而求得,從而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,求得橢圓上頂點的坐標(biāo),由此求得直線的方程.聯(lián)立直線的方程和橢圓方程,求得兩點的縱坐標(biāo),由此求得的面積.(2)求得兩點的坐標(biāo),設(shè)出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和
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